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Suites numériques

Une suite est une fonction de ℕ dans ℝ : ce thème en construit toute l'analyse, des propriétés générales (monotonie, majoration, bornitude) aux deux modèles fondamentaux que sont les suites arithmétiques et géométriques. On y forge l'outil de démonstration central du programme — le raisonnement par récurrence — puis on étudie le comportement asymptotique : limites, opérations, théorèmes de comparaison, comportement de q^n et théorème de la limite monotone. L'algorithmique (Python) accompagne chaque étude : calcul de termes, recherche de seuil, sommes.

5 sections~22 min de lecture4 compétencesNiveau Base 1 · Standard 2 · Approfondissement 2Vérifié · 06/2026

T·0111 / 12

Profil d’examen

Manipuler une suite définie explicitement ou par récurrence ; conjecturer une expression, une monotonie ou une limite, puis la démontrer.Démontrer par récurrence une propriété portant sur un entier naturel (initialisation et hérédité rédigées rigoureusement).Modéliser une situation par une suite arithmétique ou géométrique et calculer une somme de termes consécutifs.Déterminer la limite d'une suite par opérations, comparaison ou encadrement, et exploiter le théorème de la limite monotone.

Opérateurs :démontrerétudiercalculermodéliserencadrerconjecturerjustifierinterpréterprogrammer

niveau de base

Maîtriser d'abord les formules des suites arithmétiques et géométriques, le mécanisme de la récurrence et le comportement de q^n : ces automatismes sont au cœur de presque tous les sujets de spécialité.

niveau approfondi

Approfondir les preuves exigibles (rédaction complète d'une récurrence, comportement de $q^n$ via l'inégalité de Bernoulli, convergence par limite monotone) et savoir conduire un raisonnement à prise d'initiative reliant seuil algorithmique et limite ; les croissances comparées sont un prolongement utile, rattaché au programme à la fonction exponentielle.

Profondeur

Texte

Sommaire · 5 sections

Suites numériques

Définitions et propriétés générales : monotonie, majoration, bornitude#

BaseBO-2019-spe-maths-terminale-§Suites

Vocabulaire d'une suite : majorant, minorant, monotonie

Fig. 1Une suite croissante majorée : tous les points

(n,u_n)

montent et restent sous la droite

y=M

, au-dessus de

y=m

Une suite numérique

(u_n)

est une fonction de

\mathbb{N}

(ou d'une partie

\{n \ge n_0\}

) dans

\mathbb{R}

: à chaque entier

n

elle associe le réel

u_n

, appelé terme de rang

n

. On la définit soit de façon explicite (

u_n = f(n)

, où le terme se calcule directement à partir de

n

), soit par récurrence (un premier terme

u_0

et une relation

u_{n+1} = f(u_n)

qui calcule chaque terme à partir du précédent).

Sens de variation (monotonie) :

(u_n)

est croissante lorsque

u_{n+1} \ge u_n

pour tout

n

, décroissante lorsque

u_{n+1} \le u_n

pour tout

n

, et constante si

u_{n+1} = u_n

. On l'étudie en trois méthodes : signe de la différence

u_{n+1} - u_n

; pour une suite à termes strictement positifs, comparaison du quotient

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}

1

; ou, si

u_n = f(n)

, sens de variation de la fonction

f

associée sur

[0\,;+\infty[

Suite majorée : il existe un réel

M

tel que

u_n \le M

pour tout

n

(

M

est un majorant). Suite minorée : il existe

m

tel que

u_n \ge m

pour tout

n

(

m

est un minorant). Une suite à la fois majorée et minorée est dite bornée : il existe alors un réel

K \ge 0

tel que

|u_n| \le K

pour tout

n

Attention à la quantification : un majorant doit convenir pour TOUS les rangs, pas seulement pour les premiers termes. Une suite croissante est automatiquement minorée par son premier terme

u_0

; une suite décroissante est majorée par

u_0

. Conjecturer monotonie et bornes à la calculatrice ou en Python est utile, mais ne remplace jamais la démonstration.

u_{n+1} - u_n > 0 \;\Rightarrow\; (u_n)\ \text{strictement croissante}

Critère par la différence

On calcule et on étudie le SIGNE de la différence $u_{n+1}-u_n$ pour tout $n$ : positif partout donne une suite croissante, négatif partout une suite décroissante.

u_n > 0 \ \text{pour tout } n,\quad \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1 \;\Rightarrow\; (u_n)\ \text{strictement croissante}

Critère par le quotient (termes strictement positifs)

Quand tous les termes sont strictement positifs, comparer le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ est souvent plus simple que la différence — un quotient $>1$ traduit une suite croissante.

(u_n)\ \text{bornée} \iff \exists\, m, M \in \mathbb{R},\ \forall n,\ m \le u_n \le M \iff \exists\, K \ge 0,\ \forall n,\ |u_n| \le K

Suite bornée

Une suite est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée ; cela équivaut à l'existence d'un seuil $K$ qui borne sa valeur absolue.

Nuage de points d'une suite définie par récurrence : u₀ = 1, uₙ₊₁ = 0,8 uₙ + 1

Fig. 2Les points (n, uₙ) montent puis se stabilisent : la suite est croissante et majorée par 5 (sa limite). Tracer le nuage est la première étape pour conjecturer monotonie et bornes.

Exemple corrigé

Sens de variation par la fonction associée

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ . Étudier son sens de variation, puis montrer qu'elle est majorée par $1$ .

Calculer la différence
On forme $u_{n+1}-u_n$ et on met au même dénominateur.
$u_{n+1}-u_n = \frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$
Conclure sur la monotonie
Pour tout entier $n \ge 0$ , le numérateur vaut $1>0$ et le dénominateur $(n+1)(n+2)>0$ , donc $u_{n+1}-u_n>0$ . La suite est strictement croissante.
Majorer la suite
Comme $n < n+1$ , on a $u_n = \dfrac{n}{n+1} < 1$ pour tout $n$ . La suite est donc majorée par $1$ .
$\forall n \in \mathbb{N},\quad 0 \le u_n = \frac{n}{n+1} < 1$

Résultat : La suite $(u_n)$ est strictement croissante et majorée par $1$ ; elle est aussi minorée par $u_0=0$ , donc bornée.

Erreurs fréquentes

Conclure une monotonie à partir des seuls premiers termes : observer $u_0 < u_1 < u_2$ ne prouve rien ; il faut établir le signe de $u_{n+1}-u_n$ (ou le quotient) pour TOUT $n$ .
Confondre « majorée » et « convergente » : une suite peut être majorée sans converger (par exemple $u_n=(-1)^n$ est bornée mais diverge) ; la majoration seule ne suffit pas, il faut aussi la monotonie.

Révision active

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}$ . Conjecturer à la calculatrice sa monotonie et une borne, puis étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ (ou de $f(x)-x$ avec $f(x)=\sqrt{x+6}$ ) pour justifier le sens de variation.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Suites arithmétiques et géométriques : formes, sommes, modélisation#

StandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Suites

Arithmétique vs géométrique : deux modes d'évolution

Fig. 3À gauche, on AJOUTE la raison

r

(croissance régulière, points alignés) ; à droite, on MULTIPLIE par la raison

q>1

(croissance qui s'accélère).

Suite arithmétique de raison

r

: on passe d'un terme au suivant en AJOUTANT toujours le même réel

r

, donc

u_{n+1}=u_n+r

. Forme explicite à partir du rang

0

u_n=u_0+n\,r

; plus généralement

u_n=u_p+(n-p)\,r

. Son sens de variation ne dépend que du signe de

r

: croissante si

r>0

, décroissante si

r<0

, constante si

r=0

. Les points

(n,u_n)

sont alignés (croissance linéaire).

Suite géométrique de raison

q

: on passe d'un terme au suivant en MULTIPLIANT toujours par le même réel

q

, donc

u_{n+1}=q\,u_n

. Forme explicite :

u_n=u_0\,q^{\,n}

; plus généralement

u_n=u_p\,q^{\,n-p}

. Avec

u_0>0

q>0

, la suite croît si

q>1

, décroît si

0<q<1

, est constante si

q=1

(croissance exponentielle).

Somme des premiers entiers :

0+1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}

. Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique : « nombre de termes

\times

moyenne du premier et du dernier », soit

\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k=(n+1)\,\dfrac{u_0+u_n}{2}

Somme d'une suite géométrique de raison

q\neq 1

1+q+q^2+\dots+q^{n}=\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}

, d'où pour des termes

u_k=u_0 q^k

on a

\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k=u_0\,\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}

. Modéliser : une évolution à PAS CONSTANT (intérêts fixes, ajout d'une quantité) est arithmétique ; une évolution à TAUX CONSTANT (augmentation de

t\%

, multiplication par

1+\tfrac{t}{100}

) est géométrique.

\text{Arithmétique :}\quad u_{n+1}=u_n+r \quad\Longleftrightarrow\quad u_n=u_0+n\,r=u_p+(n-p)\,r

Suite arithmétique — récurrente et explicite

On ajoute la raison $r$ à chaque rang : le terme général est une fonction affine de $n$ .

\text{Géométrique :}\quad u_{n+1}=q\,u_n \quad\Longleftrightarrow\quad u_n=u_0\,q^{\,n}=u_p\,q^{\,n-p}

Suite géométrique — récurrente et explicite

On multiplie par la raison $q$ à chaque rang : le terme général est une exponentielle discrète $u_0 q^n$ .

\sum_{k=0}^{n} k = 0+1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}

Somme des premiers entiers

Résultat clé, base du calcul d'une somme arithmétique et exigible.

\sum_{k=0}^{n} q^{k} = 1+q+q^2+\dots+q^{n} = \frac{1-q^{\,n+1}}{1-q}\quad (q\neq 1)

Somme géométrique

Somme de $n+1$ termes d'une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $q\neq 1$ .

Comparaison : arithmétique uₙ = 2 + 1,5n vs géométrique vₙ = 2 × 1,5ⁿ

Fig. 4Même premier terme 2 : l'arithmétique (raison 1,5 ajoutée) progresse en ligne droite, la géométrique (raison 1,5 multipliée) décolle. Ici les valeurs tracées sont celles de la suite géométrique vₙ.

Exemple corrigé

Modélisation géométrique et somme de termes

Une population de $8000$ habitants augmente de $2{,}5\%$ chaque année. On note $P_n$ la population au bout de $n$ années, avec $P_0=8000$ . Exprimer $P_n$ , calculer $P_5$ arrondi à l'unité, puis la somme $P_0+P_1+\dots+P_5$ (population cumulée sur six relevés).

Identifier la suite
Augmenter de $2{,}5\%$ revient à multiplier par $1+\frac{2{,}5}{100}=1{,}025$ . La suite $(P_n)$ est géométrique de premier terme $8000$ et de raison $q=1{,}025$ .
$P_n = 8000 \times 1{,}025^{\,n}$
Calculer P5
On applique la forme explicite avec $n=5$ .
$P_5 = 8000 \times 1{,}025^{5} \approx 8000 \times 1{,}131408 \approx 9051$
Sommer les six termes
La somme de $P_0$ à $P_5$ contient $6$ termes ( $n+1$ avec $n=5$ ). On utilise la formule géométrique.
$\sum_{k=0}^{5} P_k = 8000\,\frac{1-1{,}025^{6}}{1-1{,}025} = 8000\,\frac{1{,}025^{6}-1}{0{,}025} \approx 51102$

Résultat : $P_n = 8000\times1{,}025^n$ , $P_5\approx 9051$ habitants, et la population cumulée sur les six relevés vaut environ $51\,102$ .

Erreurs fréquentes

Se tromper sur le nombre de termes : la somme $u_0+u_1+\dots+u_n$ comporte $n+1$ termes, pas $n$ ; oublier ce « $+1$ » fausse aussitôt le résultat.
Appliquer la formule géométrique avec $q=1$ : la formule $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ n'a de sens que pour $q\neq 1$ (division par zéro sinon) ; si $q=1$ la somme vaut simplement $(n+1)\,u_0$ .

Révision active

Un capital de $1500$ € est placé au taux annuel de $3\%$ à intérêts composés. Modéliser le capital $C_n$ après $n$ années par une suite géométrique, donner $C_n$ , calculer $C_{10}$ , puis le total des intérêts versés sur $10$ ans.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Le raisonnement par récurrence : méthode et rédaction#

StandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Suites

Structure d'une démonstration par récurrence

Fig. 5Les deux étapes indispensables — l'initialisation allume le premier domino, l'hérédité propage la chute à tous les suivants.

Principe : pour démontrer qu'une propriété

P(n)

est vraie pour tout entier

n \ge n_0

, il suffit de prouver deux choses. INITIALISATION :

P(n_0)

est vraie (souvent

n_0=0

1

). HÉRÉDITÉ : pour un entier

k \ge n_0

quelconque, SI

P(k)

est vraie ALORS

P(k+1)

est vraie. CONCLUSION : par le principe de récurrence,

P(n)

est vraie pour tout

n \ge n_0

Image mentale : une rangée infinie de dominos. L'initialisation fait tomber le premier domino ; l'hérédité garantit que chaque domino fait tomber le suivant. Les deux ensemble font tomber TOUS les dominos. Aucune des deux étapes ne peut être omise.

Rédaction attendue : annoncer la propriété

P(n)

avec précision (« Montrons par récurrence que pour tout

n

P(n)

: … »). Dans l'hérédité, énoncer clairement l'HYPOTHÈSE DE RÉCURRENCE (« Supposons

P(k)

vraie pour un entier

k

fixé »), puis démontrer

P(k+1)

en s'en servant explicitement. Terminer par la conclusion qui invoque le principe de récurrence.

Usages typiques au programme : démontrer une forme explicite conjecturée (

u_n=\dots

), une inégalité (

u_n \ge 0

u_n \le 3

, une borne), une monotonie, ou une propriété arithmétique (divisibilité, par exemple

7

divise

u_n

). La récurrence est l'outil exigible dès qu'une propriété porte sur « tout entier naturel » et que la suite est définie par récurrence.

\Big[\,P(n_0)\ \text{vraie}\,\Big]\ \text{et}\ \Big[\,\forall k \ge n_0,\ P(k)\Rightarrow P(k+1)\,\Big]\ \Longrightarrow\ \forall n \ge n_0,\ P(n)\ \text{vraie}

Principe de récurrence

Initialisation ( $P(n_0)$ ) plus hérédité ( $P(k)\Rightarrow P(k+1)$ ) entraînent la vérité de $P(n)$ pour tout $n \ge n_0$ .

Exemple corrigé

Récurrence : encadrement d'une suite récurrente

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier $n$ , $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3$ . Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $2 \le u_n \le 6$ .

Énoncer la propriété
On note $P(n)$ la propriété « $2 \le u_n \le 6$ » et on la démontre par récurrence sur $n$ .
Initialisation
Pour $n=0$ : $u_0=2$ , donc $2 \le u_0 \le 6$ . La propriété $P(0)$ est vraie.
Hérédité — hypothèse
Supposons $P(k)$ vraie pour un entier $k$ fixé, c'est-à-dire $2 \le u_k \le 6$ . Montrons $P(k+1)$ , soit $2 \le u_{k+1} \le 6$ .
Hérédité — calcul
La fonction $x\mapsto \frac{1}{2}x+3$ est croissante ; on encadre donc $u_{k+1}$ à partir de l'encadrement de $u_k$ .
$2 \le u_k \le 6 \;\Rightarrow\; 1 \le \tfrac{1}{2}u_k \le 3 \;\Rightarrow\; 4 \le \tfrac{1}{2}u_k+3 \le 6 \;\Rightarrow\; 4 \le u_{k+1} \le 6$
Conclure l'hérédité
On a obtenu $4 \le u_{k+1} \le 6$ , donc en particulier $2 \le u_{k+1} \le 6$ : $P(k+1)$ est vraie. L'hérédité est établie.
Conclusion
Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ , $2 \le u_n \le 6$ . La suite est donc bornée (minorée par $2$ , majorée par $6$ ).

Résultat : Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $2 \le u_n \le 6$ : la suite est encadrée, donc bornée — un résultat exploitable ensuite par le théorème de la limite monotone.

Erreurs fréquentes

Oublier (ou bâcler) l'initialisation : sans le premier domino, rien ne tombe. Une hérédité seule ne prouve RIEN ; il faut vérifier explicitement $P(n_0)$ .
Ne pas utiliser l'hypothèse de récurrence dans l'hérédité : on doit partir de $P(k)$ supposée vraie et s'en servir pour obtenir $P(k+1)$ ; « re-démontrer » $P(k+1)$ sans invoquer $P(k)$ n'est pas une récurrence.

Révision active

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=2u_n-1$ . Conjecturer une expression de $u_n$ de la forme $A\cdot2^n+B$ , puis la démontrer par récurrence.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Limites de suites : définitions, opérations, comparaison et théorème des gendarmes#

ApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Suites

Théorème des gendarmes

Fig. 6La suite

w_n

(au milieu) est encadrée par deux « gendarmes »

u_n

v_n

qui convergent tous deux vers

\ell

: elle est contrainte d'y converger aussi.

Limite finie :

(u_n)

converge vers le réel

\ell

(noté

\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell

) lorsque tout intervalle ouvert contenant

\ell

contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Une suite qui admet une limite finie est dite CONVERGENTE ; toute suite qui n'est pas convergente est DIVERGENTE (limite infinie, ou pas de limite du tout, comme

u_n=(-1)^n

). Une suite convergente est nécessairement bornée.

Limite infinie :

\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty

signifie que tout réel

A

est dépassé par les termes à partir d'un certain rang (de même pour

-\infty

). On utilise les limites de référence

\lim n=\lim n^2=\lim\sqrt{n}=+\infty

\lim\dfrac{1}{n}=\lim\dfrac{1}{n^2}=0

Opérations sur les limites : la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient se calcule en combinant les limites des termes — SAUF dans les quatre formes indéterminées «

+\infty-\infty

», «

0\times\infty

», «

\dfrac{\infty}{\infty}

» et «

\dfrac{0}{0}

», qu'il faut LEVER (factoriser par le terme dominant, simplifier, utiliser une expression conjuguée…).

Théorèmes de comparaison et théorème des gendarmes (encadrement). Comparaison : si

u_n \le v_n

à partir d'un rang et

u_n\to+\infty

, alors

v_n\to+\infty

; si

u_n \le v_n

v_n\to-\infty

, alors

u_n\to-\infty

. Théorème des gendarmes : si

u_n \le w_n \le v_n

à partir d'un rang et si

u_n

v_n

convergent vers la MÊME limite

\ell

, alors

w_n

converge aussi vers

\ell

. Cas-clé :

|w_n| \le v_n

avec

v_n\to0

entraîne

w_n\to0

Prolongement (hors capacités attendues de la section « Suites ») — croissances comparées appliquées aux suites : pour

q>1

et tout entier

k

\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^{k}}{q^{\,n}}=0

— l'exponentielle

q^n

« l'emporte » sur toute puissance de

n

. C'est la version discrète des croissances comparées, qui figurent au programme dans la partie fonction exponentielle ; elle sert d'outil pour lever des indéterminations faisant intervenir

q^n

\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell \iff \text{tout intervalle ouvert contenant } \ell \text{ contient tous les } u_n \text{ à partir d'un certain rang}

Définition d'une suite convergente

La suite « se rapproche autant qu'on veut » de $\ell$ : au-delà d'un rang, tous les termes sont aussi proches de $\ell$ qu'on l'exige.

u_n \le w_n \le v_n \ \text{(à partir d'un rang)}\ \text{et}\ \lim u_n = \lim v_n = \ell \;\Longrightarrow\; \lim w_n = \ell

Théorème des gendarmes (encadrement)

Coincée entre deux suites qui convergent vers la même limite $\ell$ , la suite du milieu y converge aussi.

u_n \le v_n \ \text{(à partir d'un rang)}\ \text{et}\ \lim u_n = +\infty \;\Longrightarrow\; \lim v_n = +\infty

Théorème de comparaison

Si une suite plus petite tend déjà vers $+\infty$ , celle du dessus, encore plus grande, tend aussi vers $+\infty$ .

q>1,\ k\in\mathbb{N} \;\Longrightarrow\; \lim_{n\to+\infty}\frac{n^{k}}{q^{\,n}}=0

Croissances comparées (version suites) — prolongement

Prolongement (hors des capacités attendues de la section « Suites » : les croissances comparées relèvent au programme de la fonction exponentielle). L'exponentielle de raison $q>1$ croît bien plus vite que toute puissance de $n$ : le quotient tend vers $0$ .

Convergence par encadrement : wₙ = (sin n)/n

Fig. 7Comme −1/n ≤ (sin n)/n ≤ 1/n et que ±1/n → 0, le théorème des gendarmes donne wₙ → 0. Le nuage oscille en se resserrant vers l'axe.

Exemple corrigé

Lever une indétermination et encadrer

Déterminer la limite des suites suivantes : a) $u_n=\dfrac{4n^2+3n}{n^2-1}$ ; b) $v_n=\dfrac{\cos n}{n^2+1}$ .

a) Identifier l'indétermination
Numérateur et dénominateur tendent vers $+\infty$ : forme $\frac{\infty}{\infty}$ à lever. On factorise par $n^2$ , le terme dominant.
$u_n=\frac{n^2\!\left(4+\frac{3}{n}\right)}{n^2\!\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}=\frac{4+\frac{3}{n}}{1-\frac{1}{n^2}}$
a) Passer à la limite
Comme $\frac{3}{n}\to0$ et $\frac{1}{n^2}\to0$ , le numérateur tend vers $4$ et le dénominateur vers $1$ .
$\lim_{n\to+\infty}u_n=\frac{4}{1}=4$
b) Encadrer le cosinus
Pour tout $n$ , $-1\le\cos n\le1$ . En divisant par $n^2+1>0$ , on obtient un encadrement de $v_n$ .
$-\frac{1}{n^2+1}\le v_n=\frac{\cos n}{n^2+1}\le\frac{1}{n^2+1}$
b) Appliquer les gendarmes
Les deux bornes $\pm\frac{1}{n^2+1}$ tendent vers $0$ . Par le théorème des gendarmes, $v_n\to0$ .
$\lim_{n\to+\infty}\frac{\cos n}{n^2+1}=0$

Résultat : a) $\lim u_n=4$ (la suite converge vers $4$ ) ; b) $\lim v_n=0$ par encadrement.

Erreurs fréquentes

Écrire « $+\infty-\infty=0$ » ou « $\frac{\infty}{\infty}=1$ » : ce sont des formes INDÉTERMINÉES, dont la valeur dépend du cas ; il faut les lever par factorisation ou simplification, jamais les « calculer » directement.
Mal utiliser le théorème des gendarmes : un encadrement où les deux bornes n'ont pas la même limite ne permet PAS de conclure ; et un encadrement valable seulement « parfois » (pas à partir d'un rang) est invalide.

Révision active

Déterminer $\lim_{n\to+\infty}\dfrac{3n^2-n+5}{2n^2+4}$ (par factorisation du terme dominant) puis $\lim_{n\to+\infty}\dfrac{2+\cos n}{n}$ (par le théorème des gendarmes).

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Convergence : limite monotone, suites géométriques, seuils et algorithmes Python#

ApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Suites

Comportement de q^n selon la raison q

Fig. 8L'enveloppe continue

q^x

visualise le comportement de

(q^n)

: pour

q>1

elle explose vers

+\infty

, pour

0<q<1

elle décroît vers

0

, pour

q=1

elle reste constante. (Le cas

q\le-1

, oscillant, n'a pas de limite.)

Comportement de la suite géométrique

(q^{\,n})

selon la raison

q

: si

q>1

q^n\to+\infty

; si

-1<q<1

q^n\to0

; si

q=1

, la suite est constante égale à

1

; si

q\le-1

, la suite n'a PAS de limite (elle oscille, par exemple

(-1)^n

(-2)^n

). Pour une suite

u_n=u_0\,q^n

, on combine ce comportement avec le signe de

u_0

Démonstration exigible — comportement de

(q^n)

pour

q>1

: on pose

q=1+a

avec

a>0

et on établit par récurrence l'INÉGALITÉ DE BERNOULLI

(1+a)^n\ge 1+na

pour tout entier

n

. Comme

1+na\to+\infty

, le théorème de comparaison donne

q^n\to+\infty

. Le cas

-1<q<1

(avec

q\neq0

) s'en déduit en appliquant ce résultat à

\dfrac{1}{|q|}>1

|q|^n\to0

, donc

q^n\to0

Théorème de la limite monotone (admis) : toute suite croissante et MAJORÉE converge (vers une limite finie

\le

son majorant) ; toute suite décroissante et MINORÉE converge. Conséquence : une suite croissante non majorée tend vers

+\infty

, une suite décroissante non minorée vers

-\infty

. C'est le théorème-clé pour PROUVER l'existence d'une limite sans la connaître à l'avance.

Méthode-type de convergence d'une suite récurrente

u_{n+1}=f(u_n)

: (1) montrer par récurrence un encadrement / une borne ; (2) étudier la monotonie ; (3) conclure la convergence par le théorème de la limite monotone ; (4) si

f

est continue, déterminer la limite

\ell

comme solution de l'équation de point fixe

\ell=f(\ell)

Recherche de SEUIL : pour une suite divergente vers

+\infty

(ou convergente), trouver le plus petit rang

n

tel que

u_n

dépasse (ou approche à

\varepsilon

près) une valeur donnée. On le programme en Python par une boucle « while » qui itère la relation de récurrence tant que la condition de seuil n'est pas atteinte, en comptant les itérations.

Algorithmique en Python : calcul des termes par boucle « for » (suite explicite) ou itération de la récurrence ; calcul d'une somme par accumulateur ; recherche de seuil par boucle « while ». L'algorithme accompagne la démonstration : il fournit la valeur du seuil que l'analyse justifie ensuite (croissances comparées, comportement de

q^n

a\ge 0,\ n\in\mathbb{N} \;\Longrightarrow\; (1+a)^{n}\ge 1+na

Inégalité de Bernoulli (démonstration exigible)

Se démontre par récurrence sur $n$ ; appliquée à $q=1+a$ avec $a>0$ , elle minore $q^n$ par $1+na\to+\infty$ et établit ainsi $q^n\to+\infty$ pour $q>1$ (puis $q^n\to0$ pour $-1<q<1$ par passage à $\tfrac{1}{|q|}$ ).

\lim_{n\to+\infty}q^{\,n}=\begin{cases}+\infty & \text{si } q>1\\[2pt] 0 & \text{si } -1<q<1\\[2pt] 1 & \text{si } q=1\\[2pt] \text{pas de limite} & \text{si } q\le-1\end{cases}

Comportement de (q n) selon la raison

Le destin d'une suite géométrique se lit entièrement sur la valeur de sa raison $q$ .

(u_n)\ \text{croissante et majorée} \;\Longrightarrow\; (u_n)\ \text{converge}

Théorème de la limite monotone (admis)

La monotonie plus une borne dans le sens de variation suffisent à garantir la convergence — sans calculer la limite.

u_{n+1}=f(u_n),\ f\ \text{continue},\ u_n\to\ell \;\Longrightarrow\; \ell=f(\ell)

Limite et point fixe

Si la suite récurrente converge et que $f$ est continue, la limite $\ell$ vérifie l'équation de point fixe $\ell=f(\ell)$ , qui permet de la déterminer.

Recherche de seuil : plus petit n tel que uₙ = 2 × 1,3ⁿ > 100

Fig. 9La suite géométrique uₙ = 2 × 1,3ⁿ croît vers +∞. Le nuage franchit la valeur 100 entre n = 14 et n = 15 : la boucle « while » renvoie le seuil n = 15.

Convergence par limite monotone : u₀ = 2, uₙ₊₁ = ½ uₙ + 3

Fig. 10Croissante (vu en section 3) et majorée par 6, la suite converge. Le point fixe ℓ = ½ ℓ + 3 donne ℓ = 6, confirmé par le nuage qui se stabilise à 6.

Exemple corrigé

Limite d'une suite géométrique et seuil en Python

On considère la suite $u_n=5\times0{,}8^{\,n}+2$ . a) Déterminer $\lim_{n\to+\infty}u_n$ en justifiant. b) Écrire un algorithme en Python qui renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n<2{,}1$ .

a) Comportement de la raison
La raison de la partie géométrique est $q=0{,}8$ , avec $-1<0{,}8<1$ , donc $0{,}8^{\,n}\to0$ .
$-1<0{,}8<1 \;\Longrightarrow\; \lim_{n\to+\infty}0{,}8^{\,n}=0$
a) Limite de la suite
Par opérations sur les limites, $5\times0{,}8^{\,n}\to0$ puis $u_n=5\times0{,}8^{\,n}+2\to0+2$ .
$\lim_{n\to+\infty}u_n=2$
b) Traduire la condition de seuil
On itère $u_n$ en partant de $u_0=5+2=7$ et on compte les rangs tant que $u_n\ge2{,}1$ : on cherche le premier rang où $u_n<2{,}1$ . En Python : n = 0 u = 7 while u >= 2.1: u = 5 0.8*(n+1) + 2 n = n + 1 print(n) (Variante : recalculer $u$ directement par $u=5*0.8**n+2$ dans la condition.)
b) Valeur attendue
On résout $5\times0{,}8^{\,n}<0{,}1$ , soit $0{,}8^{\,n}<0{,}02$ . Par essais (ou logarithme), $0{,}8^{17}\approx0{,}0225$ et $0{,}8^{18}\approx0{,}0180$ : le seuil est $n=18$ , ce que renvoie l'algorithme.
$0{,}8^{\,n}<0{,}02 \iff n>\frac{\ln(0{,}02)}{\ln(0{,}8)}\approx17{,}5 \;\Rightarrow\; n=18$

Résultat : a) $\lim u_n=2$ (la suite converge vers $2$ , sa partie géométrique s'éteignant) ; b) l'algorithme « while » renvoie le seuil $n=18$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung6 Schritte

1
But : montrer que la suite $u_0=2$ , $u_{n+1}=\tfrac{1}{2}u_n+3$ converge, puis calculer sa limite. On enchaîne encadrement, monotonie, théorème de la limite monotone et point fixe.
2
Étape 1 — borner la suite. On a démontré par récurrence (section 3) que $2\le u_n\le6$ pour tout $n$ : la suite est notamment majorée par $6$ .
$\forall n\in\mathbb{N},\quad 2\le u_n\le 6$
3
Étape 2 — étudier la monotonie. La différence $u_{n+1}-u_n=\tfrac{1}{2}u_n+3-u_n=3-\tfrac{1}{2}u_n=\tfrac{1}{2}(6-u_n)\ge0$ car $u_n\le6$ . La suite est donc croissante.
$u_{n+1}-u_n=\tfrac{1}{2}(6-u_n)\ge 0$
4
Étape 3 — conclure l'existence de la limite. Croissante ET majorée par $6$ : d'après le théorème de la limite monotone, la suite converge vers un réel $\ell\le6$ .
$(u_n)\ \text{croissante et majorée} \Rightarrow (u_n)\ \text{converge vers}\ \ell$
5
Étape 4 — calculer la limite par point fixe. La fonction $f(x)=\tfrac{1}{2}x+3$ est continue, donc $\ell$ vérifie $\ell=\tfrac{1}{2}\ell+3$ , soit $\tfrac{1}{2}\ell=3$ et $\ell=6$ .
$\ell=\tfrac{1}{2}\ell+3 \iff \ell=6$
6
Bilan : la suite croît de $2$ vers sa limite $\ell=6$ , qu'elle approche sans jamais l'atteindre. Le nuage de points le confirme visuellement.

Erreurs fréquentes

Croire qu'une suite croissante converge toujours : sans MAJORATION, une suite croissante peut tendre vers $+\infty$ . Le théorème exige la borne dans le bon sens (majorée pour une croissante, minorée pour une décroissante).
Pour le seuil en Python, décaler le compteur (« off-by-one ») : il faut incrémenter $n$ AVANT ou APRÈS la mise à jour de façon cohérente avec la condition, sinon le rang renvoyé est faux d'une unité.

Révision active

Soit $u_0=10$ et $u_{n+1}=0{,}5u_n+4$ . Montrer que $(u_n)$ est décroissante et minorée par $8$ , en déduire qu'elle converge, calculer sa limite, puis écrire un algorithme Python renvoyant le plus petit $n$ tel que $u_n<8{,}01$ .

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Références et sources

Sources

Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol

Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019)

Suites numériques

Points clés

Sens de variation par la fonction associée

Points clés

Modélisation géométrique et somme de termes

Points clés

Récurrence : encadrement d'une suite récurrente

Points clés

Lever une indétermination et encadrer

Points clés

Limite d'une suite géométrique et seuil en Python

Sources