Fiches · MathématiquesFR · Bac

Limites des fonctions

Étudier le comportement d'une fonction lorsque la variable tend vers l'infini ou vers un réel, repérer les asymptotes horizontales et verticales, calculer les limites par opérations, comparaison et croissances comparées. Ce thème fonde toute l'analyse de terminale : étude de fonctions, intégrales et continuité s'appuient sur la maîtrise des limites et la levée des formes indéterminées.

5 sections~18 min de lecture4 compétencesNiveau Base 1 · Standard 2 · Approfondissement 2Vérifié · 06/2026

T·0222 / 12

Profil d’examen

Déterminer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini par lecture graphique, par opérations ou par comparaisonLever une forme indéterminée par factorisation, terme prépondérant, quantité conjuguée ou croissances comparéesInterpréter graphiquement une limite en termes d'asymptote horizontale ou verticaleÉtudier la limite d'une fonction composée et utiliser les croissances comparées exponentielle / puissances / logarithme

Opérateurs :déterminercalculerdémontrerinterpréterjustifierétudierencadrer

niveau de base

Hors spécialité (mathématiques complémentaires), on retient surtout la lecture graphique des limites et des asymptotes ainsi que les croissances comparées usuelles, sans toujours rédiger les démonstrations formelles.

niveau approfondi

En spécialité, on attend une rédaction rigoureuse : justification du type de forme indéterminée, choix explicite de la méthode (factorisation, conjuguée, croissances comparées), et encadrement complet pour appliquer le théorème des gendarmes.

Profondeur

Texte

Sommaire · 5 sections

Limites des fonctions

Limites en l'infini et asymptotes horizontales#

BaseBO-2019-spe-maths-terminale-§Limites-de-fonctions

Courbe et asymptote horizontale y = L

Fig. 1À l'infini, la courbe se « colle » à la droite horizontale y = L : c'est l'asymptote horizontale.

Limite finie en +∞ : on écrit

\lim_{x \to +\infty} f(x) = L

lorsque

f(x)

devient aussi proche que l'on veut de

L

dès que

x

est assez grand. On définit de même la limite en

-\infty

. Interprétation : la courbe « se colle » à la droite horizontale d'équation

y = L

Limite infinie en +∞ :

\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

signifie que

f(x)

dépasse tout réel

M

fixé dès que

x

est assez grand ; la fonction « explose » vers le haut. On a de même

\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty

Limites de référence en +∞ :

\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty

pour tout entier

n \geqslant 1

\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty

\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0

\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty

\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty

. En

-\infty

\lim_{x \to -\infty} e^x = 0

\lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty

n

est pair,

-\infty

n

est impair.

Asymptote horizontale : si

\lim_{x \to +\infty} f(x) = L

(ou en

-\infty

), la droite d'équation

y = L

est asymptote horizontale à la courbe représentative de

f

au voisinage de

+\infty

(resp.

-\infty

). Une même courbe peut admettre deux asymptotes horizontales différentes, une en

+\infty

et une en

-\infty

Pour un polynôme, la limite en

\pm\infty

est celle de son terme de plus haut degré (le terme prépondérant) ; les autres termes sont négligeables devant lui à l'infini.

\lim_{x \to +\infty} f(x) = L \;\Longrightarrow\; \text{la droite } y = L \text{ est asymptote horizontale en } +\infty

Asymptote horizontale

Une limite finie $L$ à l'infini se traduit graphiquement par une droite horizontale dont la courbe se rapproche indéfiniment.

\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0

Limites de référence

Limites usuelles à connaître par cœur : l'inverse d'une puissance tend vers 0, l'exponentielle tend vers $+\infty$ en $+\infty$ et vers 0 en $-\infty$ .

Exemple corrigé

Limite à l'infini d'une fonction rationnelle et asymptote horizontale

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{2x^2 + x - 5}{x^2 + 3}$ . Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ , puis en déduire l'asymptote horizontale de la courbe $\mathcal{C}_f$ .

Identifier la forme indéterminée
Le numérateur tend vers $+\infty$ et le dénominateur aussi en $+\infty$ : on obtient la forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ . On factorise donc par le terme de plus haut degré.
$\frac{2x^2 + x - 5}{x^2 + 3} \;:\; \text{forme } \tfrac{\infty}{\infty}$
Factoriser par x²
On met $x^2$ en facteur au numérateur et au dénominateur, puis on simplifie.
$f(x) = \frac{x^2\left(2 + \frac{1}{x} - \frac{5}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \frac{3}{x^2}\right)} = \frac{2 + \frac{1}{x} - \frac{5}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}}$
Passer à la limite
Quand $x \to +\infty$ , chaque terme en $\frac{1}{x}$ ou $\frac{1}{x^2}$ tend vers 0. Le même calcul vaut en $-\infty$ .
$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \frac{2 + 0 - 0}{1 + 0} = 2$
Conclure sur l'asymptote
Les deux limites valent 2 : la droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .
$y = 2 \text{ est asymptote horizontale en } +\infty \text{ et } -\infty$

Résultat : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ ; la droite $y = 2$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ et en $-\infty$ .

Erreurs fréquentes

Confondre « la courbe a une asymptote $y = L$ » et « la courbe ne coupe jamais $y = L$ » : une courbe peut traverser son asymptote horizontale plusieurs fois ; l'asymptote décrit seulement le comportement à l'infini.
Annoncer une asymptote horizontale alors que la limite est infinie : si $\lim f = +\infty$ , il n'y a PAS d'asymptote horizontale (mais éventuellement une branche infinie).

Révision active

Soit $f(x) = \dfrac{3x^2 - 1}{x^2 + 2}$ . Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ , puis en déduire l'existence et l'équation d'une asymptote horizontale.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Limites en un réel, limites à gauche et à droite, asymptotes verticales#

StandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Limites-de-fonctions

Asymptote verticale x = a avec limites latérales distinctes

Fig. 2Pour f(x) = (x + 2)/(x − 1), près de x = 1 le dénominateur s'annule : la limite à droite vaut +∞, la limite à gauche vaut −∞. La droite x = 1 est asymptote verticale ; y = 1 est asymptote horizontale.

Limite finie en un réel

a

\lim_{x \to a} f(x) = L

signifie que

f(x)

se rapproche de

L

lorsque

x

se rapproche de

a

. Si

f

est continue en

a

, alors

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

: c'est le cas usuel sans difficulté.

Limite infinie en un réel

a

\lim_{x \to a} f(x) = +\infty

(ou

-\infty

) lorsque

f(x)

devient arbitrairement grand au voisinage de

a

. Cela se produit typiquement quand le dénominateur d'un quotient s'annule en

a

sans que le numérateur s'annule.

Limites à gauche et à droite : on note

\lim_{x \to a^-} f(x)

(valeurs

x < a

) et

\lim_{x \to a^+} f(x)

(valeurs

x > a

). La limite

\lim_{x \to a} f(x)

existe si et seulement si les deux limites latérales existent et sont égales. Lorsqu'un dénominateur change de signe en traversant

a

, les deux limites latérales sont souvent

+\infty

-\infty

Asymptote verticale : si

\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty

(limite à gauche, à droite, ou les deux), la droite d'équation

x = a

est asymptote verticale à la courbe représentative de

f

. La valeur

a

est en général une valeur interdite (zéro du dénominateur, borne du domaine).

Étude du signe du dénominateur près de

a

: pour trouver le signe de l'infini, on étudie le signe du quotient à gauche et à droite de

a

à l'aide d'un tableau de signes ; le signe du numérateur (non nul en

a

) et celui du dénominateur déterminent

+\infty

-\infty

\lim_{x \to a} f(x) = +\infty \;\text{ ou }\; -\infty \;\Longrightarrow\; \text{la droite } x = a \text{ est asymptote verticale}

Asymptote verticale

Une limite infinie en un réel $a$ donne une asymptote verticale d'équation $x = a$ : la courbe « monte » ou « descend » sans fin de part et d'autre de $a$ .

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

Limite et limites latérales

La limite en $a$ existe si et seulement si les deux limites latérales existent et coïncident.

Exemple corrigé

Limites latérales en une valeur interdite et asymptote verticale

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $f(x) = \dfrac{3}{x - 2}$ . Déterminer $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ , puis interpréter graphiquement.

Étudier le comportement du dénominateur à droite
Pour $x > 2$ , on a $x - 2 > 0$ et $x - 2 \to 0^+$ lorsque $x \to 2^+$ . Le numérateur 3 est positif constant.
$x \to 2^+ \;\Rightarrow\; x - 2 \to 0^+ \;\Rightarrow\; \frac{3}{x-2} \to +\infty$
Étudier le comportement du dénominateur à gauche
Pour $x < 2$ , on a $x - 2 < 0$ et $x - 2 \to 0^-$ lorsque $x \to 2^-$ . Le quotient d'un nombre positif par un nombre négatif proche de 0 tend vers $-\infty$ .
$x \to 2^- \;\Rightarrow\; x - 2 \to 0^- \;\Rightarrow\; \frac{3}{x-2} \to -\infty$
Comparer les limites latérales
Les deux limites latérales sont infinies de signes opposés : $\lim_{x \to 2} f(x)$ n'existe pas, mais la limite est infinie de chaque côté.
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \neq +\infty = \lim_{x \to 2^+} f(x)$
Interpréter graphiquement
Une limite infinie en $x = 2$ traduit une asymptote verticale d'équation $x = 2$ .
$x = 2 \text{ est asymptote verticale à } \mathcal{C}_f$

Résultat : $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ ; la droite d'équation $x = 2$ est asymptote verticale à la courbe.

Erreurs fréquentes

Oublier d'étudier séparément la limite à gauche et à droite : écrire « $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ » alors que le dénominateur change de signe, donnant en réalité $+\infty$ d'un côté et $-\infty$ de l'autre.
Conclure $\frac{1}{0} = \infty$ sans déterminer le SIGNE : il faut préciser le signe du dénominateur (qui tend vers $0^+$ ou $0^-$ ) pour conclure correctement à $+\infty$ ou $-\infty$ .

Révision active

Soit $f(x) = \dfrac{x + 2}{x - 1}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ . Déterminer $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ et $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ , puis donner l'équation de l'asymptote verticale.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Opérations sur les limites et levée des formes indéterminées#

StandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Limites-de-fonctions

Tableau récapitulatif des opérations sur les limites

Fig. 3Opérations sur les limites : cas calculables directement à gauche, formes indéterminées et méthode de levée à droite.

Opérations sur les limites : sous réserve qu'aucune forme indéterminée n'apparaisse, la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient s'obtient en combinant les limites des termes selon les règles usuelles (par exemple

L + M

L \times M

\frac{L}{M}

avec

M \neq 0

, et les règles avec l'infini : « fini

+ \infty = +\infty

», «

\frac{\text{fini} \neq 0}{0^+} = \pm\infty

»).

Les quatre formes indéterminées (F.I.) :

\infty - \infty

0 \times \infty

\dfrac{\infty}{\infty}

\dfrac{0}{0}

. Devant une F.I., les opérations ne suffisent pas : il faut transformer l'expression pour conclure.

Méthode du terme prépondérant (polynômes et quotients en

\pm\infty

) : on factorise par le monôme de plus haut degré. Pour un polynôme,

\lim_{\pm\infty} P(x) = \lim_{\pm\infty} a_n x^n

; pour un quotient de polynômes, le rapport des termes dominants donne la limite.

Méthode de la quantité conjuguée (F.I.

\infty - \infty

avec racines) : pour lever une indétermination du type

\sqrt{A} - \sqrt{B}

, on multiplie et divise par la quantité conjuguée

\sqrt{A} + \sqrt{B}

afin d'utiliser

(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B}) = A - B

Méthode de la factorisation (F.I.

\frac{0}{0}

en un réel) : on factorise numérateur et dénominateur par

(x - a)

(racine commune), puis on simplifie avant de passer à la limite.

\text{Formes indéterminées : } \quad \infty - \infty, \quad 0 \times \infty, \quad \frac{\infty}{\infty}, \quad \frac{0}{0}

Les quatre formes indéterminées

Ces quatre situations exigent une transformation de l'expression ; les autres combinaisons d'opérations se calculent directement.

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n + \dots + a_0}{b_p x^p + \dots + b_0} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n}{b_p x^p}

Terme prépondérant d'un quotient

À l'infini, seuls les termes de plus haut degré comptent : la limite d'un quotient de polynômes est celle du rapport des termes dominants.

\sqrt{A} - \sqrt{B} = \frac{(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} = \frac{A - B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}

Quantité conjuguée

Multiplier par la quantité conjuguée transforme une différence de racines (F.I. $\infty-\infty$ ) en un quotient calculable.

Exemple corrigé

Lever une forme indéterminée ∞ − ∞ par la quantité conjuguée

Déterminer $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x \right)$ .

Reconnaître la forme indéterminée
Quand $x \to +\infty$ , $\sqrt{x^2 + 3x} \to +\infty$ et $x \to +\infty$ : on a la forme indéterminée $\infty - \infty$ .
$\sqrt{x^2 + 3x} - x \;:\; \text{forme } \infty - \infty$
Multiplier par la quantité conjuguée
On multiplie et divise par $\sqrt{x^2 + 3x} + x$ ; au numérateur, $(\sqrt{x^2+3x})^2 - x^2 = 3x$ .
$\sqrt{x^2+3x} - x = \frac{(x^2 + 3x) - x^2}{\sqrt{x^2+3x} + x} = \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x} + x}$
Factoriser par x au dénominateur
Comme $x > 0$ , $\sqrt{x^2 + 3x} = x\sqrt{1 + \frac{3}{x}}$ . On factorise alors par $x$ haut et bas.
$\frac{3x}{x\sqrt{1+\frac{3}{x}} + x} = \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}} + 1}$
Passer à la limite
Quand $x \to +\infty$ , $\frac{3}{x} \to 0$ donc $\sqrt{1 + \frac{3}{x}} \to 1$ .
$\lim_{x \to +\infty} \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1} = \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2}$

Résultat : $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x \right) = \dfrac{3}{2}$ .

Erreurs fréquentes

Écrire $\infty - \infty = 0$ ou $\frac{\infty}{\infty} = 1$ : ce sont des formes INDÉTERMINÉES, il faut transformer l'expression avant de conclure.
Simplifier abusivement un quotient $\frac{0}{0}$ en remplaçant directement $x$ par $a$ sans avoir factorisé : on perd la valeur de la limite ou on écrit une expression non définie.

Révision active

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right)$ en utilisant la quantité conjuguée.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Limites et comparaison : théorème des gendarmes et croissances comparées#

ApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Limites-de-fonctions

Croissances comparées : ln(x), x et e^x superposées

Fig. 4À l'infini, ln(x) croît plus lentement que x, qui croît plus lentement que e^x : ln(x) ≪ x ≪ e^x.

Théorèmes de comparaison : si

f(x) \geqslant g(x)

au voisinage de

+\infty

\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty

, alors

\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

. De même, si

f(x) \leqslant g(x)

\lim g = -\infty

, alors

\lim f = -\infty

. On minore (resp. majore) par une fonction de limite connue.

Théorème des gendarmes (encadrement) : si, au voisinage de

a

(ou de

\pm\infty

), on a

u(x) \leqslant f(x) \leqslant v(x)

avec

\lim u = \lim v = L

(limite finie commune), alors

\lim f(x) = L

. L'encadrement « prend en étau » la fonction et lui impose la limite commune.

Croissances comparées — à l'infini :

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty

\lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = 0

pour tout entier

n

(l'exponentielle l'emporte sur toute puissance) ;

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0

(la puissance l'emporte sur le logarithme).

Croissances comparées — en 0 :

\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0

(la puissance l'emporte sur le logarithme aussi près de 0, en levant la F.I.

0 \times \infty

). Plus généralement

\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0

Démonstration exigible (croissance comparée de

e^x

sur les puissances) : le programme demande de savoir démontrer

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty

, puis

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty

. On pose

\varphi(x) = e^x - \dfrac{x^2}{2}

: alors

\varphi'(x) = e^x - x

\varphi''(x) = e^x - 1 > 0

sur

]0\,; +\infty[

, donc

\varphi'

croît ; comme

\varphi'(0) = 1 > 0

, on a

\varphi'(x) > 0

puis

\varphi

croissante avec

\varphi(0) = 1 > 0

, d'où

e^x > \dfrac{x^2}{2}

pour

x > 0

. On en déduit

\dfrac{e^x}{x} > \dfrac{x}{2} \to +\infty

, donc par comparaison

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty

. Le cas

\dfrac{e^x}{x^n}

s'obtient en écrivant

\dfrac{e^x}{x^n} = \dfrac{1}{n^n}\left(\dfrac{e^{x/n}}{x/n}\right)^n

, produit de termes tendant vers

+\infty

Hiérarchie à retenir : au voisinage de

+\infty

\ln(x) \ll x^n \ll e^x

: le logarithme croît plus lentement que toute puissance, qui croît elle-même plus lentement que l'exponentielle.

u(x) \leqslant f(x) \leqslant v(x) \;\text{ et }\; \lim u(x) = \lim v(x) = L \;\Longrightarrow\; \lim f(x) = L

Théorème des gendarmes

Encadrer $f$ par deux fonctions de même limite $L$ force la limite de $f$ à valoir $L$ .

\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0

Croissances comparées à l'infini

L'exponentielle domine toute puissance ; toute puissance domine le logarithme. Résultats au cœur de la levée des indéterminations.

\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty

Limites usuelles à connaître

Près de 0, $x$ l'emporte sur $\ln(x)$ (F.I. $0 \times \infty$ ) ; en $+\infty$ , l'exponentielle domine la puissance — résultat à savoir démontrer (croissance comparée exigible).

Théorème des gendarmes : encadrement de (sin x)/x à l'infini

Fig. 5Encadrement −1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x : les deux « gendarmes » tendent vers 0, donc la fonction encadrée tend vers 0.

Exemple corrigé

Limite par encadrement (théorème des gendarmes)

Déterminer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin(x)}{x}$ en utilisant le théorème des gendarmes.

Encadrer le sinus
Pour tout réel $x$ , on a $-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$ .
$-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$
Diviser par x > 0
Pour $x > 0$ , on divise l'encadrement par $x$ (qui est positif, le sens des inégalités est conservé).
$-\frac{1}{x} \leqslant \frac{\sin(x)}{x} \leqslant \frac{1}{x}$
Limites des deux gendarmes
Les deux fonctions encadrantes ont la même limite 0 en $+\infty$ .
$\lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{x}\right) = 0 = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x}$
Conclure par le théorème des gendarmes
La fonction est encadrée par deux fonctions de limite commune 0 : sa limite est donc 0.
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0$

Résultat : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin(x)}{x} = 0$ .

Exemple corrigé

Croissance comparée exponentielle / puissance

Déterminer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x - x^3}{x^2}$ .

Reconnaître la forme indéterminée
Le numérateur est une F.I. $\infty - \infty$ ; le quotient est de la forme $\frac{\infty}{\infty}$ . On sépare en deux quotients.
$\frac{e^x - x^3}{x^2} = \frac{e^x}{x^2} - \frac{x^3}{x^2} = \frac{e^x}{x^2} - x$
Appliquer la croissance comparée
Par croissance comparée, l'exponentielle l'emporte sur la puissance $x^2$ .
$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = +\infty$
Comparer la croissance des deux termes
On factorise par $\frac{e^x}{x^2}$ , qui domine. On écrit $\frac{e^x}{x^2} - x = \frac{e^x}{x^2}\left(1 - \frac{x^3}{e^x}\right)$ ; or $\frac{x^3}{e^x} = x^3 e^{-x} \to 0$ .
$\frac{e^x}{x^2} - x = \frac{e^x}{x^2}\left(1 - \frac{x^3}{e^x}\right), \quad \frac{x^3}{e^x} \to 0$
Passer à la limite
Le facteur entre parenthèses tend vers 1 et $\frac{e^x}{x^2} \to +\infty$ , donc le produit tend vers $+\infty$ .
$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - x^3}{x^2} = +\infty$

Résultat : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x - x^3}{x^2} = +\infty$ : l'exponentielle l'emporte sur les puissances.

Schritt-für-Schritt Erklärung4 Schritte

1
On veut comprendre pourquoi sin(x)/x tend vers 0 à l'infini. L'idée clé : on ne calcule pas directement, on ENCADRE la fonction entre deux « gendarmes ».
$-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$
2
Comme le sinus reste toujours entre −1 et 1, en divisant par x positif on obtient un encadrement de sin(x)/x par −1/x et 1/x.
$-\frac{1}{x} \leqslant \frac{\sin(x)}{x} \leqslant \frac{1}{x}$
3
Les deux gendarmes, −1/x et 1/x, tendent tous deux vers 0 quand x tend vers l'infini. La fonction prise en étau entre eux n'a pas le choix.
Encadrement de sin(x)/x
4
Conclusion par le théorème des gendarmes : la limite commune des bornes étant 0, la limite de sin(x)/x est elle aussi 0.
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0$

Erreurs fréquentes

Appliquer le théorème des gendarmes avec des bornes de limites DIFFÉRENTES ( $\lim u \neq \lim v$ ) : l'encadrement ne conclut que si les deux gendarmes ont la MÊME limite finie.
Mémoriser les croissances comparées à l'envers (croire que la puissance l'emporte sur l'exponentielle) : c'est toujours $e^x$ qui domine $x^n$ , et $x^n$ qui domine $\ln(x)$ , à l'infini.

Révision active

Déterminer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\cos(x)}{x}$ à l'aide du théorème des gendarmes, puis $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2}$ par croissance comparée.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Limite d'une fonction composée et synthèse graphique#

ApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Limites-de-fonctions

Schéma de la composition des limites

Fig. 6Composition : on enchaîne x → a, puis g(x) → b, puis f → L. La fonction interne g agit d'abord, la fonction externe f ensuite.

Théorème de composition des limites : soit

g

une fonction telle que

\lim_{x \to a} g(x) = b

, et

f

telle que

\lim_{X \to b} f(X) = L

. Alors, sous ces hypothèses,

\lim_{x \to a} f\bigl(g(x)\bigr) = L

. Ici

a

b

L

peuvent être finis ou infinis.

Mode d'emploi pratique (méthode du changement de variable) : on pose

X = g(x)

, on détermine vers quoi tend

X

quand

x \to a

(c'est

b

), puis on calcule la limite de

f(X)

quand

X \to b

. On « enchaîne » les deux limites.

Exemples typiques :

\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2}

(on pose

X = -x^2 \to -\infty

, puis

e^X \to 0

) ;

\lim_{x \to +\infty} \ln\!\left(1 + \tfrac{1}{x}\right)

(on pose

X = 1 + \tfrac{1}{x} \to 1

, puis

\ln(X) \to \ln 1 = 0

Synthèse graphique : déterminer les limites aux bornes du domaine permet de tracer le tableau de variations complet et de repérer toutes les asymptotes (horizontales en

\pm\infty

, verticales aux valeurs interdites) ; c'est l'étape finale d'une étude de fonction.

Lecture graphique : sur une courbe ou un tableau de variations fourni, on lit directement les limites aux bornes — une flèche vers

\pm\infty

ou vers une valeur finie — et on en déduit asymptotes et comportement de la fonction.

\lim_{x \to a} g(x) = b \;\text{ et }\; \lim_{X \to b} f(X) = L \;\Longrightarrow\; \lim_{x \to a} f\bigl(g(x)\bigr) = L

Limite d'une composée

On enchaîne la limite interne ( $g(x) \to b$ ) puis la limite externe ( $f(X) \to L$ ) ; les valeurs $a$ , $b$ , $L$ peuvent être finies ou infinies.

\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2} = 0 \quad \text{car} \quad X = -x^2 \to -\infty \;\text{ et }\; \lim_{X \to -\infty} e^X = 0

Exemple de composée

On pose $X = -x^2$ : la fonction interne tend vers $-\infty$ , et l'exponentielle de $X$ tend alors vers 0.

Exemple corrigé

Limite d'une fonction composée par changement de variable

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{-x^2 + 1}$ . Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .

Identifier la fonction interne
On pose $X = -x^2 + 1$ : c'est la fonction interne. On détermine sa limite quand $x \to +\infty$ .
$X = -x^2 + 1, \qquad \lim_{x \to +\infty} (-x^2 + 1) = -\infty$
Identifier la fonction externe
La fonction externe est l'exponentielle : $f(x) = e^{X}$ . On utilise la limite de l'exponentielle en $-\infty$ .
$\lim_{X \to -\infty} e^{X} = 0$
Composer les deux limites
Quand $x \to +\infty$ , $X \to -\infty$ , donc $e^X \to 0$ par le théorème de composition des limites.
$\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2 + 1} = 0$
Interpréter graphiquement
La limite étant finie et nulle, la droite $y = 0$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ (et par symétrie en $-\infty$ ).
$y = 0 \text{ est asymptote horizontale en } \pm\infty$

Résultat : $\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2 + 1} = 0$ ; la droite $y = 0$ est asymptote horizontale à la courbe.

Erreurs fréquentes

Composer les limites sans vérifier l'ordre : il faut d'abord la limite INTERNE $g(x) \to b$ , puis la limite de $f$ EN $b$ ; intervertir les deux conduit à une erreur.
Oublier que $b$ peut être infini : par exemple pour $e^{-x^2}$ , la limite interne $-x^2 \to -\infty$ , et il faut connaître $\lim_{X \to -\infty} e^X = 0$ , pas la valeur en un réel.

Révision active

Déterminer $\lim_{x \to +\infty} e^{\frac{1}{x} - 1}$ et $\lim_{x \to 0^+} \ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ en identifiant clairement la fonction interne et la fonction externe.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Références et sources

Sources

Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol

Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019)

Limites des fonctions

Points clés

Limite à l'infini d'une fonction rationnelle et asymptote horizontale

Points clés

Limites latérales en une valeur interdite et asymptote verticale

Points clés

Lever une forme indéterminée ∞ − ∞ par la quantité conjuguée

Points clés

Limite par encadrement (théorème des gendarmes)

Croissance comparée exponentielle / puissance

Points clés

Limite d'une fonction composée par changement de variable

Sources