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Kernphysik, Radioaktivität und Spezielle Relativitätstheorie

Aufbau der Atomkerne, Zerfallsarten und ihre Gesetzmäßigkeiten, Kernbindungsenergie sowie Spaltung und Fusion. Erweitert um die Spezielle Relativitätstheorie mit Zeitdilatation, Längenkontraktion und Masse-Energie-Äquivalenz — die in der Kernphysik experimentell sichtbar wird.

6 Abschnitte~10 Min Lesezeit4 KompetenzenNiveau Basis 2 · Standard 3 · Vertiefung 1Stand 05/2026

T·0999 / 10

Prüfungsprofil

S-9 · Kernprozesse und relativistische Effekte mit Erhaltungssätzen beschreibenE-10 · Halbwertszeit-Messungen und Spektrenanalysen quantitativ auswertenK-6 · Risiken und Nutzen ionisierender Strahlung sachlich kommunizierenB-3 · Energiequellen Kernkraft/Fusion und ihre Folgen bewerten

Operatoren:beschreibenanalysierenberechnenerklärenbeurteilenerläuternbegründen

grundlegendes Niveau

gA: Zerfallsgesetz, Halbwertszeit, Alpha-/Beta-/Gamma-Zerfall, Aufbau der Atomkerne, qualitative Vorstellung von Spaltung/Fusion; Konstanz der Lichtgeschwindigkeit und einfache Anwendung der Zeitdilatation.

erhöhtes Niveau

eA: Aktivität, Zerfallsreihen, Q-Wert von Kernreaktionen, Massendefekt-Bindungsenergie-Diagramm; Herleitung Zeitdilatation/Längenkontraktion, Energie-Impuls-Beziehung, Bedeutung von $E=mc^{2}$ in Kernreaktionen.

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Kernphysik, Radioaktivität und Spezielle Relativitätstheorie

Atomkern, Nuklide und starke Wechselwirkung#

Basisphysik-kernphysik-und-radioaktivitaet

Kern besteht aus Protonen (

Z

) und Neutronen (

N

); Massenzahl

A = Z + N

Nuklid-Notation:

^{A}_{Z}\text{X}

. Isotope haben gleiches

Z

, verschiedenes

N

Kerne werden durch die starke Wechselwirkung zusammengehalten; ihre Reichweite beträgt nur etwa

1{,}5\,\text{fm}

Kernradius skaliert gemäß

r = r_0 A^{1/3}

mit

r_0 \approx 1{,}2\,\text{fm}

— Kerndichte ist nahezu konstant.

Coulomb-Abstossung der Protonen wirkt der starken Kraft entgegen; bei schweren Kernen werden zusätzliche Neutronen zur Stabilisierung benötigt (Z/N-Verhältnis).

Stabilitätstal im Z-N-Diagramm: leichte Kerne mit

N \approx Z

, schwere mit

N > Z

r = r_0\,A^{1/3}

Kernradius (r₀ ≈1,2 fm)

Typische Fehler

Massenzahl mit Ordnungszahl verwechselt.
Reichweite der starken WW als unbegrenzt angenommen.
Kernradius linear statt mit $A^{1/3}$ skaliert.
Isotop mit Isobar oder Isoton verwechselt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie das Tropfenmodell von Weizsäcker und die semiempirische Massenformel; identifizieren Sie Volumen-, Oberflächen-, Coulomb-, Asymmetrie- und Paarungsenergie als physikalisch interpretierbare Terme.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie den Kernradius und die Kerndichte für $^{56}_{26}\text{Fe}$ und vergleichen Sie sie mit der Dichte der Atomhülle. Erläutern Sie, warum die Kerndichte für alle Nuklide annähernd gleich ist.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Radioaktive Zerfallsarten und Strahlung#

Basisphysik-kernphysik-und-radioaktivitaet

Zerfallsreihe — Schematische Darstellung

Abb. 1Alpha-Zerfall reduziert Massen- und Ordnungszahl, Beta-minus-Zerfall erhöht Ordnungszahl um eins.

Alpha-Zerfall: emittiert

^{4}_{2}\text{He}

-Kern;

A

sinkt um 4,

Z

um 2. Geringe Reichweite (Papier), hohe Ionisationsdichte.

Beta-minus-Zerfall: Neutron wandelt sich in Proton + Elektron + Antineutrino;

Z

steigt um 1,

A

konstant.

Beta-plus-Zerfall: Proton wird zu Neutron + Positron + Neutrino;

Z

sinkt um 1.

Gamma-Zerfall: angeregter Kern gibt hochenergetisches Photon ab;

A

und

Z

bleiben unverändert.

Reichweiten/Ionisation:

\alpha

wenige cm in Luft (stark ionisierend),

\beta

einige m (mittel),

\gamma

stark durchdringend (Bleiabschirmung).

Erhaltungssätze bei Zerfällen: Massenzahl, Ladung, Energie, Impuls, Leptonen-/Baryonenzahl.

^{A}_{Z}\text{X} \to {}^{A-4}_{Z-2}\text{Y} + {}^{4}_{2}\text{He}

Alpha-Zerfall

^{A}_{Z}\text{X} \to {}^{A}_{Z+1}\text{Y} + e^{-} + \bar\nu_e

Beta-minus-Zerfall

Typische Fehler

Beta-Spektrum als Linienspektrum statt kontinuierlich gezeichnet.
Antineutrino beim Beta-Zerfall vergessen — Energieerhaltung scheinbar verletzt.
Reichweite und biologische Wirksamkeit verwechselt ( $\alpha$ aussen harmlos, intern gefährlich).
Gamma-Strahlung als „Teilchen mit Ruhemasse" beschrieben.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Erläutern Sie das Pauli-Postulat des Neutrinos historisch — warum war es 1930 notwendig, ein „undetektierbares" Teilchen zu fordern?

Aktive Wiederholung

Vervollständigen Sie die Zerfallsreihe von $^{238}_{92}\text{U}$ über drei Stufen ( $\alpha, \beta^{-}, \alpha$ ) und benennen Sie die entstehenden Nuklide. Beurteilen Sie die Strahlenschutzmassnahmen für jede der drei Strahlungsarten.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Zerfallsgesetz, Halbwertszeit und Aktivität#

Standardphysik-kernphysik-und-radioaktivitaet

Zerfallsreihe — Schematische Darstellung

Abb. 2Alpha-Zerfall reduziert Massen- und Ordnungszahl, Beta-minus-Zerfall erhöht Ordnungszahl um eins.

Differenzialgleichung des Zerfalls:

dN/dt = -\lambda N

— die Zerfallsrate ist proportional zur Anzahl der noch nicht zerfallenen Kerne.

Lösung:

N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}

mit Zerfallskonstante

\lambda

\text{s}^{-1}

Halbwertszeit

T_{1/2} = \ln 2/\lambda

— Zeit, in der die Hälfte der Kerne zerfallen ist.

Aktivität

A(t) = \lambda N(t)

in Becquerel (

1\,\text{Bq} = 1\,\text{Zerfall/s}

Mittlere Lebensdauer

\tau = 1/\lambda = T_{1/2}/\ln 2

Beispiele:

^{14}\text{C}

(

T_{1/2} = 5\,730\,\text{a}

, Altersbestimmung),

^{131}\text{I}

(

T_{1/2} = 8{,}02\,\text{d}

, Medizin),

^{238}\text{U}

(

T_{1/2} = 4{,}47\cdot 10^{9}\,\text{a}

, Geologie).

N(t) = N_{0}\,e^{-\lambda\,t},\quad T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}

Radioaktives Zerfallsgesetz und Halbwertszeit

A(t) = \lambda\,N(t) = A_{0}\,e^{-\lambda\,t}

Aktivität (Einheit: 1 Bq = 1 s⁻¹)

Exponentieller Zerfall N(t) = N₀ e⁻λt

Abb. 3Halbwertszeit T₁/₂ = \ln 2 / λ. Nach drei Halbwertszeiten verbleiben 12,5\% der Ausgangskerne.

Musterlösung

Restmenge nach drei Halbwertszeiten

Eine Probe enthält $N_0 = 8{,}0\cdot 10^{10}$ Atome eines Isotops mit Halbwertszeit $T_{1/2} = 5{,}0\,\text{a}$ . Berechne die Anzahl der Atome nach $t = 15\,\text{a}$ und die Aktivität zu diesem Zeitpunkt.

Schritt 1 — Zerfallskonstante
$\lambda = \ln 2 / T_{1/2} = 0{,}693/5{,}0\,\text{a} = 0{,}1386\,\text{a}^{-1} \approx 4{,}40\cdot 10^{-9}\,\text{s}^{-1}$ .
$\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$
Schritt 2 — Restmenge
Nach drei Halbwertszeiten: $N(15\,\text{a}) = N_0 \cdot (1/2)^{3} = N_0/8 = 1{,}0\cdot 10^{10}$ Atome.
$N = N_0\,(1/2)^{t/T_{1/2}}$
Schritt 3 — Aktivität
$A(15\,\text{a}) = \lambda N = 4{,}40\cdot 10^{-9} \cdot 1{,}0\cdot 10^{10} \approx 44\,\text{Bq}$ .
Schritt 4 — Interpretation
Nach drei Halbwertszeiten ( $12{,}5\%$ übrig) ist auch die Aktivität auf ein Achtel des Anfangswertes gefallen — Aktivität folgt demselben exponentiellen Gesetz wie die Atomzahl.

Ergebnis: $N \approx 1{,}0\cdot 10^{10}$ Atome, $A \approx 44\,\text{Bq}$ .

Typische Fehler

Halbwertszeiten falsch multipliziert (Restmenge nicht als Potenz $(1/2)^{n}$ behandelt).
Aktivität mit Zerfallskonstante verwechselt.
Zeit und Halbwertszeit in unterschiedlichen Einheiten eingesetzt.
Logarithmus zur falschen Basis genutzt — $\ln 2 \approx 0{,}693$ nicht $\log 2$ .

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie radioaktive Zerfallsreihen mit Mutter- und Tochternuklid mathematisch (Bateman-Gleichungen) im Grenzfall des säkularen Gleichgewichts ( $\lambda_M \ll \lambda_T$ ).

Aktive Wiederholung

Eine archäologische Holzprobe weist nur noch $25{,}0\%$ der atmosphärischen $^{14}\text{C}$ -Aktivität auf. Berechnen Sie das Alter der Probe ( $T_{1/2} = 5\,730\,\text{a}$ ) und beurteilen Sie die Methode kritisch.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Massendefekt, Bindungsenergie, Spaltung und Fusion#

Standardphysik-kernphysik-und-radioaktivitaet

Bindungsenergie pro Nukleon

Abb. 4Maximum bei Eisen (A ≈ 56); leichte Kerne fusionieren, schwere Kerne spalten Energie frei.

Massendefekt

\Delta m

= Differenz aus Summe der Nukleonenmassen und tatsächlicher Kernmasse.

Bindungsenergie

E_B = \Delta m\,c^{2}

ist die Energie, die freigesetzt wird, wenn ein Kern aus seinen Nukleonen aufgebaut wird.

Bindungsenergie pro Nukleon

E_B/A

hat Maximum bei Eisen (

A \approx 56

, ca.

8{,}8\,\text{MeV/Nukleon}

Kernspaltung: Schwere Kerne (

U, Pu

) zerfallen in mittelschwere Bruchstücke; freiwerdende Energie typisch

200\,\text{MeV}

pro Spaltung.

Kettenreaktion: pro Spaltung 2–3 Neutronen, die weitere Spaltungen auslösen können (

k = 1

: kritisch,

k > 1

: überkritisch).

Kernfusion: leichte Kerne (D, T) verschmelzen — Sonne (

pp

-Zyklus), Wasserstoffbombe, ITER. Energie pro Fusion

\sim 17{,}6\,\text{MeV}

bei D+T.

\Delta m = Z\,m_p + N\,m_n - m_{\text{Kern}},\quad E_B = \Delta m\,c^{2}

Massendefekt und Kernbindungsenergie

^{235}_{92}\text{U} + n \to {}^{141}_{56}\text{Ba} + {}^{92}_{36}\text{Kr} + 3 n + Q

Beispiel-Spaltung (Q ≈200 MeV)

Musterlösung

Bindungsenergie pro Nukleon von $^{56}_{26}\text{Fe}$

Berechne den Massendefekt, die gesamte Bindungsenergie und die Bindungsenergie pro Nukleon von $^{56}_{26}\text{Fe}$ (Kernmasse $m_{\text{Kern}} = 55{,}9207\,\text{u}$ , $m_p = 1{,}00728\,\text{u}$ , $m_n = 1{,}00867\,\text{u}$ , $1\,\text{u} \hat{=} 931{,}5\,\text{MeV}/c^{2}$ ) und vergleiche mit $^{4}_{2}\text{He}$ ( $E_B/A \approx 7{,}07\,\text{MeV}$ ).

Schritt 1 — Nukleonenzahlen
$^{56}_{26}\text{Fe}$ besitzt $Z = 26$ Protonen und $N = A - Z = 56 - 26 = 30$ Neutronen.
Schritt 2 — Summe der freien Nukleonenmassen
$Z\,m_p + N\,m_n = 26\cdot 1{,}00728 + 30\cdot 1{,}00867 = 26{,}18928 + 30{,}26010 = 56{,}44938\,\text{u}$ .
Schritt 3 — Massendefekt
$\Delta m = (Z\,m_p + N\,m_n) - m_{\text{Kern}} = 56{,}44938 - 55{,}9207 = 0{,}52868\,\text{u}$ .
$\Delta m = Z\,m_p + N\,m_n - m_{\text{Kern}}$
Schritt 4 — Bindungsenergie
$E_B = \Delta m\,c^{2} = 0{,}52868\cdot 931{,}5\,\text{MeV} \approx 492{,}5\,\text{MeV}$ .
$E_B = \Delta m\,c^{2}$
Schritt 5 — Bindungsenergie pro Nukleon
$E_B/A = 492{,}5\,\text{MeV}/56 \approx 8{,}79\,\text{MeV/Nukleon}$ .
Schritt 6 — Interpretieren
Mit $\approx 8{,}8\,\text{MeV/Nukleon}$ liegt Eisen nahe am Maximum der $E_B/A$ -Kurve und ist deutlich stärker gebunden als $^{4}_{2}\text{He}$ ( $7{,}07\,\text{MeV/Nukleon}$ ). Daher gewinnt man Energie sowohl durch Fusion leichterer als auch durch Spaltung schwererer Kerne hin zu Massenzahlen um $A \approx 56$ .

Ergebnis: $\Delta m \approx 0{,}529\,\text{u}$ , $E_B \approx 492{,}5\,\text{MeV}$ , $E_B/A \approx 8{,}8\,\text{MeV/Nukleon}$ — nahe dem Maximum der Bindungsenergiekurve.

Typische Fehler

$E_B$ als Energie der Spaltung (statt des Aufbaus) interpretiert — Vorzeichen.
$E_B/A$ und Gesamtbindungsenergie verwechselt — Eisen hat maximales $E_B/A$ , Uran höchste Gesamt- $E_B$ .
Fusion und Spaltung als „dasselbe in zwei Richtungen" beschrieben, ohne die $E_B/A$ -Kurve zu nennen.
Kritikalität $k$ falsch interpretiert (z. B. $k > 1$ als „stabil").

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Erläutern Sie quantitativ die Voraussetzungen für Lawson-Kriterium ( $n\tau T \geq 5\cdot 10^{21}\,\text{keV}\,\text{s/m}^{3}$ ) und warum die kontrollierte Fusion bislang nicht netto Energie liefert.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die Bindungsenergie pro Nukleon für $^{56}_{26}\text{Fe}$ (Kernmasse $55{,}9207\,\text{u}$ , $m_p = 1{,}00728\,\text{u}$ , $m_n = 1{,}00867\,\text{u}$ ) und beurteilen Sie das Ergebnis im Vergleich zu $^{4}_{2}\text{He}$ ( $E_B/A \approx 7{,}07\,\text{MeV}$ ).

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

SRT-Postulate, Zeitdilatation und Längenkontraktion#

Standardphysik-spezielle-relativitaetstheorie

Minkowski-Diagramm — Zeitdilatation

Abb. 5Im bewegten Bezugssystem verlaufen Raum- und Zeitachsen schräg; gleiche Zeit-Striche werden gestreckt.

Einsteins SRT-Postulate (1905): (1) Relativitätsprinzip — physikalische Gesetze identisch in allen Inertialsystemen; (2) Konstanz der Lichtgeschwindigkeit

c

in allen Inertialsystemen.

Lorentz-Faktor

\gamma = (1 - v^{2}/c^{2})^{-1/2}

bestimmt alle relativistischen Effekte;

\gamma \to \infty

für

v \to c

Zeitdilatation: bewegte Uhren gehen langsamer;

\Delta t = \gamma \Delta t_0

(

\Delta t_0

= Eigenzeit im Ruhesystem).

Längenkontraktion: bewegte Längen erscheinen verkürzt;

L = L_0/\gamma

(in Bewegungsrichtung).

Lorentz-Transformation ersetzt Galilei-Transformation:

x' = \gamma(x - v t)

t' = \gamma(t - v x/c^{2})

Klassisches Beispiel: Atmosphärische Myonen erreichen den Boden, obwohl ihre Halbwertszeit klassisch nicht ausreicht — quantitative Bestätigung der Zeitdilatation.

\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}

Lorentz-Faktor

\Delta t = \gamma\,\Delta t_{0},\quad L = \dfrac{L_{0}}{\gamma}

Zeitdilatation und Längenkontraktion

Musterlösung

Myonenzerfall in der Atmosphäre

Myonen ( $T_{1/2} = 1{,}52\,\mu\text{s}$ ) entstehen in $h \approx 15\,\text{km}$ Höhe und bewegen sich mit $v = 0{,}994\,c$ . Bestimme, welcher Anteil der Myonen die Erdoberfläche erreicht, einmal klassisch und einmal mit relativistischer Zeitdilatation.

Schritt 1 — Flugzeit im Erdsystem
$t = h/v = 15\,000/(0{,}994 \cdot 3{,}00\cdot 10^{8}) \approx 5{,}03\cdot 10^{-5}\,\text{s} = 50{,}3\,\mu\text{s}$ .
Schritt 2 — Klassische Erwartung
Halbwertszeiten während des Fluges: $n = t/T_{1/2} \approx 33$ . Restanteil $(1/2)^{33} \approx 10^{-10}$ — praktisch keine Myonen sollten ankommen.
Schritt 3 — Lorentz-Faktor
$\gamma = 1/\sqrt{1 - 0{,}994^{2}} \approx 9{,}14$ .
$\gamma = (1 - v^{2}/c^{2})^{-1/2}$
Schritt 4 — Relativistisch verlängerte Halbwertszeit
Im Erdsystem zerfällt das Myon mit $T_{1/2}^{*} = \gamma T_{1/2} \approx 13{,}9\,\mu\text{s}$ . Anzahl Halbwertszeiten während Flug: $n = 50{,}3/13{,}9 \approx 3{,}6$ . Restanteil $(1/2)^{3{,}6} \approx 8{,}3\%$ .
Schritt 5 — Interpretation
Klassisch wären Myonen unsichtbar; tatsächlich messbarer Anteil (etwa 8 Prozent) bestätigt die Zeitdilatation der Speziellen Relativitätstheorie quantitativ.

Ergebnis: Klassisch $\sim 10^{-10}$ , relativistisch $\sim 8\%$ — Bestätigung der SRT durch Myonenzerfall.

Typische Fehler

Zeitdilatation als „Uhren-Defekt" interpretiert — es handelt sich um echte physikalische Zeit.
Asymmetrische Anwendung der Formeln (Verwechslung von Eigenzeit und Beobachterzeit).
Längenkontraktion senkrecht zur Bewegung berechnet — wirkt nur parallel zur Bewegungsrichtung.
Galilei-Transformation noch bei $v > 0{,}1 c$ verwendet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie das Zwillingsparadoxon und lösen Sie es konsistent auf, indem Sie betonen, dass nur der reisende Zwilling beschleunigt — die Symmetrie der SRT also nicht greift.

Aktive Wiederholung

Ein Raumschiff fliegt mit $v = 0{,}80 c$ relativ zur Erde. Im Raumschiff vergehen $5{,}0\,\text{a}$ . Berechnen Sie die im Erdsystem vergangene Zeit und die in Bewegungsrichtung kontrahierte Länge eines im Erdsystem $100\,\text{m}$ langen Raumschiffs.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Masse-Energie-Äquivalenz und relativistische Dynamik#

Vertiefungphysik-spezielle-relativitaetstheoriephysik-kernphysik-und-radioaktivitaet

Berühmte Beziehung:

E = m c^{2}

verknüpft Ruhmasse und Energie — gilt auch für Bindungsenergie in Atomkernen.

Relativistische Gesamtenergie:

E^{2} = (p c)^{2} + (m_0 c^{2})^{2}

— für Photonen (

m_0 = 0

) folgt

E = p c

Relativistischer Impuls:

p = \gamma m_0 v

— divergiert für

v \to c

, daher können massive Teilchen niemals

c

erreichen.

Kinetische Energie relativistisch:

E_{kin} = (\gamma - 1) m_0 c^{2}

; klassischer Grenzfall

\tfrac{1}{2}m v^{2}

nur für

v \ll c

Bindungsenergie in Kernen (

\sim 8\,\text{MeV/Nukleon}

) entspricht einem Massendefekt von etwa

1\%

— direkt experimentell überprüfbar (Massenspektrometer).

Teilchen-Antiteilchen-Paarbildung und -vernichtung:

\gamma + \gamma \leftrightarrow e^{+} + e^{-}

— Mindestphotonenergie

> 2 m_e c^{2} = 1{,}022\,\text{MeV}

E = m\,c^{2},\quad E_{\text{rel}}^{2} = (p\,c)^{2} + (m_{0}\,c^{2})^{2}

Masse-Energie-Äquivalenz und Energie-Impuls-Relation

Typische Fehler

Klassische Formel $E_{kin} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$ bei relativistischen Geschwindigkeiten verwendet.
$m$ in $E = m c^{2}$ als relativistische (geschwindigkeitsabhängige) Masse statt Ruhmasse interpretiert.
Paarbildung ohne Anwesenheit eines dritten Stosspartners postuliert — verletzt Impulserhaltung.
Massendefekt mit Massendifferenz vor und nach einer Reaktion verwechselt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie die relativistische Energie-Impuls-Beziehung $E^{2} = (p c)^{2} + (m_0 c^{2})^{2}$ aus $E = \gamma m_0 c^{2}$ und $p = \gamma m_0 v$ formal her und interpretieren Sie die beiden Grenzfälle $m_0 = 0$ und $v \ll c$ .

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die freiwerdende Energie bei der Spaltung eines $^{235}_{92}\text{U}$ -Kerns aus dem Massendefekt $\Delta m = 0{,}214\,\text{u}$ ( $1\,\text{u} = 931{,}5\,\text{MeV}/c^{2}$ ) und vergleichen Sie sie mit dem Energiegehalt von $1\,\text{kg}$ Steinkohle ( $\sim 30\,\text{MJ}$ ).

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Kernphysik, Radioaktivität und Spezielle Relativitätstheorie

Kernpunkte

Kernpunkte

Kernpunkte

Restmenge nach drei Halbwertszeiten

Kernpunkte

Bindungsenergie pro Nukleon von 2656Fe^{56}_{26}\text{Fe}2656​Fe

Kernpunkte

Myonenzerfall in der Atmosphäre

Kernpunkte

Bindungsenergie pro Nukleon von $^{56}_{26}\text{Fe}$