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Thermodynamik — Hauptsätze und Wärmekraftmaschinen

Modelle idealer Gase, erster und zweiter Hauptsatz, Entropie und Wirkungsgrade von Carnot- und realen Kreisprozessen. Landesspezifische Vertiefung (BY, NI, RP).

6 Abschnitte~8 Min Lesezeit3 KompetenzenNiveau Basis 1 · Standard 3 · Vertiefung 2Stand 05/2026

T·101010 / 10

Prüfungsprofil

S-8 · Hauptsätze der Thermodynamik als Erhaltungs- und Richtungsprinzipien anwendenE-9 · Kalorimetrie und Mischungsversuche planen und auswertenB-4 · Energieeffizienz technischer Anlagen kritisch bewerten

Operatoren:analysierenberechnenbeurteilenerläuternbegründenherleitenvergleichen

grundlegendes Niveau

gA: Ideales Gasgesetz, Wärmemenge, einfache Mischungsaufgaben, qualitative Hauptsätze.

erhöhtes Niveau

eA: Quantitative Kreisprozesse (Carnot, Otto, Diesel), Entropie und ihre Bedeutung für Irreversibilität.

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Thermodynamik — Hauptsätze und Wärmekraftmaschinen

Temperatur, Wärme und ideales Gasgesetz#

Basisphysik-thermodynamik

Temperatur ist Mass der mittleren Translationsenergie der Teilchen:

\bar E_{\text{kin}} = \tfrac{3}{2} k_B T

Absolute Skala Kelvin; Umrechnung

T/\text{K} = T/^\circ\text{C} + 273{,}15

Ideales Gas: keine Teilchen-Wechselwirkung; Zustandsgleichung

p V = n R T = N k_B T

Spezifische Wärmekapazität

c

\text{J/(kg K)}

; Wärmemenge

Q = m c \Delta T

Wasser besitzt sehr hohe

c

(

\approx 4{,}18\,\text{kJ/(kg K)}

) — wichtig für Klimasystem.

Phasenübergänge erfordern latente Wärme bei konstanter Temperatur (

Q = m\,L

p\,V = n\,R\,T

Zustandsgleichung idealer Gase

$R = 8{,}314\,\text{J/(mol K)}$ , $T$ in Kelvin.

Q = m\,c\,\Delta T

Wärmeenergie und spezifische Wärmekapazität

Musterlösung

Mischtemperatur (Richmannsche Mischungsregel)

Berechnen Sie die Mischtemperatur, wenn $200\,\text{g}$ Wasser bei $80^\circ\text{C}$ mit $300\,\text{g}$ Wasser bei $20^\circ\text{C}$ gemischt werden (Wärmeverluste vernachlässigt).

Schritt 1 — Energieerhaltung
Heisses Wasser gibt Wärme ab, kaltes nimmt auf: $m_1 c (T_1 - T_M) = m_2 c (T_M - T_2)$ .
Schritt 2 — Auflösen
$T_M = (m_1 T_1 + m_2 T_2)/(m_1 + m_2)$ .
$T_M = \dfrac{m_1\,T_1 + m_2\,T_2}{m_1 + m_2}$
Schritt 3 — Einsetzen
$T_M = (0{,}200\cdot 80 + 0{,}300\cdot 20)/0{,}500 = (16 + 6)/0{,}500 = 44^\circ\text{C}$ .
Schritt 4 — Interpretieren
Mischtemperatur liegt zwischen beiden Ausgangstemperaturen — näher an der Temperatur der größeren Masse.

Ergebnis: Mischtemperatur $T_M = 44^\circ\text{C}$ .

Typische Fehler

Temperaturen in Celsius eingesetzt — Gasgesetz erfordert Kelvin.
Latente Wärme ohne Phasenübergang angesetzt.
Mit allgemeiner Konstante $R$ und spezifischer $R_s$ vermischt.
Wärmekapazität als Energie selbst statt als Quotient interpretiert.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie das van-der-Waals-Modell als Korrektur zum idealen Gasgesetz — physikalische Bedeutung der Parameter $a$ und $b$ .

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie die Endtemperatur, wenn $500\,\text{g}$ Eis bei $-10^\circ\text{C}$ in $2{,}0\,\text{kg}$ Wasser bei $40^\circ\text{C}$ geworfen werden ( $c_{\text{Eis}} = 2{,}09\,\text{kJ/(kg K)}$ , $L_{\text{Schmelz}} = 334\,\text{kJ/kg}$ ).

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Erster Hauptsatz und Zustandsänderungen#

Standardphysik-thermodynamik

1. Hauptsatz:

dU = \delta Q + \delta W

— Energieerhaltung inklusive Wärme und Volumenarbeit.

Isochor (

V = \text{const.}

W = 0

Q = \Delta U

Isobar (

p = \text{const.}

W = -p\Delta V

Q = n c_p \Delta T

Isotherm (

T = \text{const.}

\Delta U = 0

Q = -W = n R T\ln(V_2/V_1)

Adiabat (

Q = 0

p V^\kappa = \text{const.}

mit Adiabatenexponent

\kappa = c_p/c_v

Innere Energie idealen Gases hängt nur von

T

ab.

dU = \delta Q + \delta W

1. Hauptsatz der Thermodynamik

W_{\text{iso}} = -n R T\,\ln\dfrac{V_2}{V_1}

Isotherme Arbeit

Typische Fehler

Volumenarbeit ohne Vorzeichen — Konvention $W = -p\Delta V$ verletzt.
Isotherm und Adiabat in p-V-Diagrammen verwechselt.
Bei isothermem Prozess $Q$ und $W$ mit $\Delta U$ vermengt.
Adiabatenexponent $\kappa$ konstant für alle Gase angenommen — er ist gasspezifisch.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie die Beziehung $T V^{\kappa - 1} = \text{const.}$ für adiabate Prozesse aus 1. Hauptsatz und idealem Gasgesetz her.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die Volumenarbeit für eine isobare Erwärmung von $2{,}0\,\text{mol}$ idealen Gases von $300\,\text{K}$ auf $400\,\text{K}$ bei $p = 1{,}0\cdot 10^5\,\text{Pa}$ .

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Zweiter Hauptsatz und Entropie#

Standardphysik-thermodynamik

Zweiter Hauptsatz: in einem abgeschlossenen System nimmt die Entropie

S

zu oder bleibt konstant.

Entropieänderung:

dS = \delta Q_{\text{rev}}/T

Carnot-Wirkungsgrad

\eta_C = 1 - T_k/T_h

ist obere Schranke aller Wärmekraftmaschinen.

Es gibt kein Perpetuum mobile zweiter Art (Clausius-Formulierung).

Statistische Deutung: Entropie als Mass für mikroskopische Unordnung

S = k_B \ln \Omega

(Boltzmann).

Lebende Systeme reduzieren lokal Entropie auf Kosten der Umgebung — kein Verstoss.

dS = \dfrac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}

Entropie (reversibel)

S = k_B\,\ln \Omega

Boltzmann-Entropie

Typische Fehler

Entropie als „Energieverlust" statt als Mass für Verteilung interpretiert.
2. Hauptsatz auf nicht-abgeschlossene Systeme angewandt, ohne Umgebung.
Carnot-Wirkungsgrad mit Celsius statt Kelvin berechnet.
Entropieänderung bei irreversiblen Prozessen mit $\delta Q_{\text{irrev}}/T$ statt $\delta Q_{\text{rev}}/T$ berechnet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie qualitativ die Boltzmann-Statistik und zeigen Sie an einem Beispiel (z. B. zwei Behälter mit insgesamt vier Molekülen), warum höhere Mikrozustandszahl der Wahrscheinlichkeit folgt.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die Entropieänderung beim Schmelzen von $1{,}0\,\text{kg}$ Eis bei $0^\circ\text{C}$ ( $L_{\text{Schmelz}} = 334\,\text{kJ/kg}$ ) und beurteilen Sie das Vorzeichen.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Carnot-Kreisprozess#

Standardphysik-thermodynamik

p-V-Diagramm — Carnot-Kreisprozess

Abb. 1Zwei Isothermen und zwei Adiabaten bilden den idealen Kreisprozess; eingeschlossene Fläche ist verrichtete Arbeit.

Carnot-Prozess: vier Schritte — isotherme Expansion, adiabate Expansion, isotherme Kompression, adiabate Kompression.

In p-V-Diagramm: eingeschlossene Fläche entspricht der pro Zyklus geleisteten Arbeit.

Wirkungsgrad

\eta_C = 1 - T_k/T_h

hängt nur von Reservoirtemperaturen ab.

Reversibilität als Idealfall — reale Prozesse arbeiten irreversibel und mit geringerem

\eta

Kühlmaschine = umgekehrter Carnot-Prozess; Leistungszahl

\varepsilon = T_k/(T_h - T_k)

Anwendungen: Dampfturbinen, Verbrennungsmotoren (Otto, Diesel), Wärmepumpen.

\eta_C = 1 - \dfrac{T_k}{T_h}

Carnot-Wirkungsgrad

Carnot-Wirkungsgrad \eta_C = 1 - T_k/T_h

Abb. 2Mit T_k = 300 K. Maximale Effizienz steigt mit größerem T_h, bleibt aber immer kleiner als 1.

Musterlösung

Carnot-Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen $T_h = 800\,\text{K}$ und $T_k = 300\,\text{K}$ . Berechnen Sie maximalen Wirkungsgrad und mechanische Arbeit bei einer Wärmezufuhr von $Q_h = 1500\,\text{kJ}$ .

Schritt 1 — Carnot-Wirkungsgrad
$\eta_C = 1 - T_k/T_h = 1 - 300/800 = 1 - 0{,}375 = 0{,}625$ .
Schritt 2 — Mechanische Arbeit
$W = \eta_C\,Q_h = 0{,}625\cdot 1500\,\text{kJ} = 937{,}5\,\text{kJ}$ .
Schritt 3 — Abwärme
$Q_k = Q_h - W = 1500 - 937{,}5 = 562{,}5\,\text{kJ}$ .
Schritt 4 — Interpretieren
Reale Kraftwerke erreichen $\eta \approx 0{,}35\text{–}0{,}45$ ; Carnot-Wert ist obere Schranke. Bessere Wirkungsgrade nur durch höheres $T_h$ — Materialgrenzen limitieren das.

Ergebnis: $\eta_C = 62{,}5\%$ , mechanische Arbeit $W = 937{,}5\,\text{kJ}$ , Abwärme $Q_k = 562{,}5\,\text{kJ}$ .

Typische Fehler

Temperaturdifferenz statt -verhältnis bei $\eta_C$ verwendet.
Carnot-Prozess als realisierbar dargestellt.
Wärmepumpe und Kühlmaschine in Effizienzformel vertauscht.
Fläche unter Adiabaten als „Wärme" interpretiert.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Vergleichen Sie den Carnot-Prozess mit dem Otto- und Diesel-Prozess in einem $T$ - $S$ -Diagramm und benennen Sie die zentralen Unterschiede in den Zustandsänderungen.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie den Carnot-Wirkungsgrad eines Dampfkraftwerks mit Frischdampftemperatur $540^\circ\text{C}$ und Kondensatortemperatur $30^\circ\text{C}$ und vergleichen Sie mit einem realen Wirkungsgrad von $42\%$ .

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Reale Wärmekraftmaschinen#

Vertiefungphysik-thermodynamik

Otto-Motor: Vierteiliger Verbrennungsprozess mit zwei Adiabaten und zwei Isochoren.

Diesel-Motor: Verbrennung isobar; Wirkungsgrad

\eta = 1 - \dfrac{1}{r_v^{\kappa-1}}\cdot\dfrac{\varphi^{\kappa}-1}{\kappa(\varphi-1)}

(mit Einspritzverhältnis

\varphi

); bei gleichem

r_v

stets kleiner als der Otto-Wirkungsgrad.

Verdichtungsverhältnis

r_v

bestimmt Wirkungsgrad maßgeblich.

Brennwertkessel nutzt Kondensationswärme zusätzlich.

Wärmepumpe als „umgekehrte Kraftmaschine" mit Leistungszahl

\varepsilon = Q_h/W

Modernste Anlagen mit Kraft-Wärme-Kopplung erreichen Gesamteffizienz

> 80\%

\eta_{\text{Otto}} = 1 - r_v^{1-\kappa}

Otto-Wirkungsgrad

\varepsilon_{\text{Pumpe}} = \dfrac{Q_h}{W} = \dfrac{T_h}{T_h - T_k}

Carnot-Wärmepumpe

Typische Fehler

Verdichtungsverhältnis mit Druckverhältnis verwechselt.
Leistungszahl der Wärmepumpe als „Wirkungsgrad" missverstanden ( $\varepsilon > 1$ möglich).
Kraft-Wärme-Kopplung als Verletzung der Hauptsätze interpretiert.
Brennwert vs. Heizwert nicht unterschieden.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Skizzieren Sie den vollständigen Carnot-, Otto- und Diesel-Prozess in einem $T$ - $S$ -Diagramm und identifizieren Sie sichtbare Wirkungsgrad-Unterschiede an Flächeninhalten.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie den theoretischen Wirkungsgrad eines Ottomotors mit Verdichtungsverhältnis $r_v = 10$ ( $\kappa = 1{,}4$ ) und beurteilen Sie, weshalb reale Motoren deutlich unter diesem Wert bleiben.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Kinetische Gastheorie und statistische Deutung#

Vertiefungphysik-thermodynamik

Der Gasdruck entsteht durch Stöße der Teilchen auf die Gefäßwand; die kinetische Gastheorie liefert

p V = \tfrac{1}{3} N m \overline{v^2}

Vergleich mit dem idealen Gasgesetz ergibt

\tfrac{1}{2} m \overline{v^2} = \tfrac{3}{2} k_B T

— die mittlere Translationsenergie hängt nur von

T

ab.

Mittlere quadratische Geschwindigkeit

v_{\text{rms}} = \sqrt{3 k_B T/m}

; leichtere Teilchen sind bei gleicher Temperatur schneller.

Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung: asymmetrische Verteilung mit ausgeprägtem Schwanz hoher Geschwindigkeiten, breiter bei höherem

T

Gleichverteilungssatz: jeder Freiheitsgrad trägt im Mittel

\tfrac{1}{2} k_B T

bei; einatomig

f = 3

, zweiatomig

f = 5

(bei mittlerer Temperatur).

Daraus folgen die molaren Wärmekapazitäten

c_v = \tfrac{f}{2} R

und

c_p = c_v + R

sowie der Adiabatenexponent

\kappa = c_p/c_v = (f+2)/f

\tfrac{1}{2} m \overline{v^2} = \tfrac{3}{2} k_B T

Mittlere Translationsenergie

v_{\text{rms}} = \sqrt{\dfrac{3 k_B T}{m}}

Mittlere quadratische Geschwindigkeit

Musterlösung

Mittlere Geschwindigkeit von Stickstoffmolekülen

$\text{N}_2$ mit $m = 4{,}65\cdot 10^{-26}\,\text{kg}$ bei $T = 300\,\text{K}$ ( $k_B = 1{,}38\cdot 10^{-23}\,\text{J/K}$ ).

Formel
$v_{\text{rms}} = \sqrt{3 k_B T/m}$ .
Einsetzen
$v_{\text{rms}} = \sqrt{3 \cdot 1{,}38\cdot 10^{-23} \cdot 300 / 4{,}65\cdot 10^{-26}}$ .
Auswerten
$v_{\text{rms}} = \sqrt{2{,}67\cdot 10^{5}} \approx 517\,\text{m/s}$ .
Vergleich Wasserstoff
$\text{H}_2$ ist rund 14-mal leichter, daher $v_{\text{rms}}$ um $\sqrt{14} \approx 3{,}7$ größer ( $\approx 1920\,\text{m/s}$ ) — deshalb entweicht Wasserstoff aus der Erdatmosphäre.

Ergebnis: Stickstoff $v_{\text{rms}} \approx 517\,\text{m/s}$ , Wasserstoff $\approx 1920\,\text{m/s}$ .

Typische Fehler

Mittlere Geschwindigkeit mit der wahrscheinlichsten oder mit $v_{\text{rms}}$ gleichgesetzt — sie unterscheiden sich um konstante Faktoren.
Temperatur in Celsius statt Kelvin in $v_{\text{rms}}$ eingesetzt.
Freiheitsgrade falsch gezählt (Rotation/Schwingung je nach Temperatur).
Druck als Kraft statt als Folge des Impulsübertrags pro Fläche und Zeit gedeutet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Erläutern Sie, warum die molare Wärmekapazität zweiatomiger Gase mit steigender Temperatur stufenweise von $\tfrac{5}{2}R$ auf $\tfrac{7}{2}R$ ansteigt (Anregung der Schwingungsfreiheitsgrade).

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die mittlere quadratische Geschwindigkeit $v_{\text{rms}}$ von Stickstoffmolekülen ( $m = 4{,}65\cdot 10^{-26}\,\text{kg}$ ) bei $T = 300\,\text{K}$ und vergleichen Sie sie mit der von Wasserstoffmolekülen.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.