Mathematisches Modellieren und prozessbezogene Kompetenzen

Eine Bakterienkultur enthält zu Beginn 1000 Zellen und verdoppelt sich alle 4 Stunden. Stellen Sie ein Wachstumsmodell $N(t)$ auf, bestimmen Sie die Wachstumsrate $k$ und berechnen Sie $N(10)$.

1. 01Schritt 1 — Modellansatz

   Stetiges Wachstum: $N(t) = 1000\cdot \mathrm{e}^{kt}$.

2. 02Schritt 2 — Verdopplungsbedingung

   $N(4)=2000$ liefert $\mathrm{e}^{4k}=2$, also $k=\tfrac{\ln 2}{4}\approx 0{,}1733$.

   $$k = \tfrac{\ln 2}{4} \approx 0{,}1733$$
3. 03Schritt 3 — Auswertung bei t = 10

   $N(10) = 1000\cdot \mathrm{e}^{0{,}1733\cdot 10} = 1000\cdot \mathrm{e}^{1{,}733}\approx 1000\cdot 5{,}657 \approx 5657$.

4. 04Schritt 4 — Interpretieren

   Nach 10 Stunden liegen rund 5650 Zellen vor; das Modell setzt unbeschränkte Ressourcen voraus, was biologisch nur kurzzeitig gilt.

Ergebnis: Modell $N(t)=1000\cdot \mathrm{e}^{(\ln 2/4)\cdot t}$; $N(10)\approx 5657$ Zellen.

Eine Kerze brennt gleichmäßig ab; nach 2 h misst sie 18 cm, nach 5 h noch 12 cm. Stellen Sie ein lineares Modell auf, wechseln Sie zwischen tabellarischer, symbolischer und grafischer Darstellung und interpretieren Sie die Parameter.

1. 01Schritt 1 — Tabellarisch (K4)

   Wertepaare $(2\mid 18)$ und $(5\mid 12)$ liefern die Datengrundlage.

2. 02Schritt 2 — Symbolisch (K5)

   Steigung $m=\tfrac{12-18}{5-2}=-2$ (cm/h); Achsenabschnitt aus $18=-2\cdot 2+b\Rightarrow b=22$.

   $$h(t)=-2t+22$$
3. 03Schritt 3 — Grafisch (K4)

   Der Graph ist eine fallende Gerade durch $(0\mid 22)$ mit Nullstelle $t=11$ — die Kerze ist nach 11 h vollständig abgebrannt.

4. 04Schritt 4 — Interpretieren (K3/K6)

   Die Steigung $-2$ bedeutet eine Abbrennrate von 2 cm pro Stunde; der Achsenabschnitt 22 cm ist die Anfangslänge. Das Modell gilt nur für $0\le t\le 11$.

Ergebnis: Modell $h(t)=-2t+22$ (cm); Abbrennrate $2$ cm/h, Anfangslänge $22$ cm, Brenndauer $11$ h.

Ein Waldbestand umfasst anfangs 200 Bäume; die Fläche trägt höchstens $S = 1000$ Bäume. Ein Förster schlägt zwei Modelle vor: (a) exponentiell $f(t)=200\cdot 1{,}25^{t}$, (b) beschränkt $g(t)=1000-800\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}$. Vergleichen Sie die Modelle und beurteilen Sie, welches realitätsnaher ist.

1. 01Schritt 1 — Anfangswerte prüfen

   Beide liefern $f(0)=200$ und $g(0)=1000-800=200$ — die Startbedingung stimmt überein.

2. 02Schritt 2 — Langfristverhalten

   Für $t\to\infty$ wächst $f(t)$ unbeschränkt, während $g(t)\to 1000$ gegen die Kapazitätsgrenze strebt.

   $$\lim_{t\to\infty} g(t)=S=1000,\qquad \lim_{t\to\infty} f(t)=\infty$$
3. 03Schritt 3 — Wert nach 10 Jahren

   $f(10)=200\cdot 1{,}25^{10}\approx 1863$ überschreitet die Tragfähigkeit, $g(10)=1000-800\,\mathrm{e}^{-2}\approx 1000-108=892$ bleibt darunter.

4. 04Schritt 4 — Beurteilen

   Da die Fläche höchstens 1000 Bäume trägt, ist das exponentielle Modell ab etwa $t\approx 7$ unrealistisch; das beschränkte Modell respektiert die Ressourcengrenze und ist daher vorzuziehen.

Ergebnis: Das beschränkte Modell $g(t)=1000-800\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ bildet die begrenzte Tragfähigkeit korrekt ab; das exponentielle Modell ist nur kurzfristig gültig.

Beweisen Sie für alle $n\in\mathbb{N}^{*}$, dass $1+2+\dots+n=\tfrac{n(n+1)}{2}$ gilt.

1. 01Schritt 1 — Induktionsanfang

   Für $n=1$: linke Seite $=1$, rechte Seite $=\tfrac{1\cdot 2}{2}=1$. Die Aussage gilt für $n=1$.

2. 02Schritt 2 — Induktionsvoraussetzung

   Annahme: für ein festes $n$ gelte $\sum_{i=1}^{n} i=\tfrac{n(n+1)}{2}$.

3. 03Schritt 3 — Induktionsschritt

   Addiere $(n+1)$ auf beiden Seiten und nutze die Voraussetzung.

   $$\sum_{i=1}^{n+1} i = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$$
4. 04Schritt 4 — Schluss

   Die rechte Seite hat die Form $\tfrac{(n+1)((n+1)+1)}{2}$, also gilt die Aussage auch für $n+1$. Nach dem Induktionsprinzip gilt sie für alle $n\in\mathbb{N}^{*}$.

Ergebnis: Die Gaußsche Summenformel $\sum_{i=1}^{n} i=\tfrac{n(n+1)}{2}$ ist für alle $n\in\mathbb{N}^{*}$ bewiesen.