Notizen · MathematikDE · Abitur

Hypothesentests und Konfidenzintervalle

Schließende Statistik: Nullhypothese und Gegenhypothese, einseitige und zweiseitige Tests, Signifikanzniveau und kritischer Wert, Fehler 1. und 2. Art sowie Konfidenzintervalle für unbekannte Wahrscheinlichkeiten. Auf eA-Niveau Fehleranalyse und Gütefunktion.

6 Abschnitte~11 Min Lesezeit4 KompetenzenNiveau Standard 3 · Vertiefung 3Stand 05/2026

T·0999 / 10

Prüfungsprofil

L5 · Leitidee Daten und ZufallK1 · Mathematisch argumentierenK3 · Mathematisch modellierenK5 · Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen umgehen

Operatoren:testenbeurteilenberechneninterpretieren

grundlegendes Niveau

gA: Einseitiger Test mit Binomialverteilung, Bestimmung des Ablehnungsbereichs mit GTR, Interpretation des Ergebnisses in Sachkontext.

erhöhtes Niveau

eA: Fehler 1. und 2. Art quantifizieren, Gütefunktion, zweiseitige Tests, asymptotische Approximation durch Normalverteilung, Konfidenzintervalle.

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Hypothesentests und Konfidenzintervalle

Hypothesen, Signifikanzniveau und Fehlerarten#

StandardL5

Nullhypothese

H_{0}

(Status quo, „nichts ändert sich") gegen Gegenhypothese

H_{1}

Signifikanzniveau

\alpha

: maximal zulässige Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (Ablehnung von

H_{0}

, obwohl wahr).

Fehler 1. Art:

H_{0}

wird abgelehnt, obwohl wahr — Wahrscheinlichkeit

\alpha

Fehler 2. Art:

H_{0}

wird nicht abgelehnt, obwohl falsch — Wahrscheinlichkeit

\beta

, abhängig vom tatsächlichen Parameter.

Einseitiger Test:

H_{1}

ist „kleiner als" oder „größer als" — Ablehnungsbereich an einer Seite.

Zweiseitiger Test:

H_{1}

ist „ungleich" — Ablehnungsbereich an beiden Rändern.

Typische Fehler

$H_{0}$ mit $H_{1}$ vertauscht (Behauptung als Nullhypothese formuliert).
Fehler 2. Art wird ignoriert.
Signifikanzniveau überschritten ohne Kommentar.
Entscheidung als „ $H_{0}$ ist wahr" formuliert statt „Nullhypothese kann nicht verworfen werden".

LK-Vertiefung

eA: Berechnen Sie für einen einseitigen Test mit $n = 50$ , $p_{0} = 0{,}5$ und Ablehnungsbereich $X \geq 31$ die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art, wenn tatsächlich $p = 0{,}65$ .

Aktive Wiederholung

Formulieren Sie für die Behauptung „der durchschnittliche IQ einer Gruppe ist höher als 100" geeignete Hypothesen und nennen Sie Fehler 1. und 2. Art im Sachkontext.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Durchführung eines Binomialtests#

StandardL5

Hypothesentest — Annahme- und Ablehnungsbereich

Abb. 1Linksseitiger Test mit Signifikanzniveau α: Ablehnungsbereich links des kritischen Werts k.

Schritt 1: Hypothesen

H_{0}

und

H_{1}

formulieren.

Schritt 2: Testverteilung unter

H_{0}

(in der Regel Binomial

B(n, p_{0})

Schritt 3: Kritischen Wert

k

bestimmen, sodass

P(X \leq k\mid H_{0}) \leq \alpha

bzw.

P(X \geq k\mid H_{0}) \leq \alpha

Schritt 4: Stichprobenergebnis mit Ablehnungsbereich vergleichen.

Schritt 5: Entscheidung und Interpretation im Sachkontext.

Bei großem

n

: Approximation durch Normalverteilung mit Stetigkeitskorrektur.

\text{Linksseitig: } P(X \leq k\mid H_{0}) \leq \alpha,\quad \text{Rechtsseitig: } P(X \geq k\mid H_{0}) \leq \alpha

Kritische Werte beim einseitigen Hypothesentest

Musterlösung

Einseitiger Hypothesentest

Ein Hersteller behauptet, dass mindestens 80 % seiner Produkte fehlerfrei sind. In einer Stichprobe von 100 Produkten finden sich 72 fehlerfrei. Testen Sie auf dem Niveau $\alpha = 0{,}05$ linksseitig.

Schritt 1 — Hypothesen
$H_{0}: p \geq 0{,}8$ (Herstellerbehauptung); $H_{1}: p < 0{,}8$ .
Schritt 2 — Testverteilung
Unter $H_{0}$ : $X \sim B(100; 0{,}8)$ mit $E(X) = 80$ , $\sigma = \sqrt{16} = 4$ .
Schritt 3 — Kritischer Wert
Suche das größte $k$ mit $P(X \leq k\mid p = 0{,}8) \leq 0{,}05$ . Per Tabelle/GTR: $k = 72$ liefert $P(X \leq 72) \approx 0{,}034 \leq 0{,}05$ .
Schritt 4 — Entscheidung
Beobachtet: $X = 72 \leq 72$ , also $H_{0}$ wird abgelehnt — Behauptung ist auf 5 %-Niveau widerlegt.
$X_{\text{beob}} = 72 \in [0; 72] = \text{Ablehnungsbereich}$

Ergebnis: Auf Signifikanzniveau $\alpha = 0{,}05$ ist die Herstellerbehauptung statistisch nicht haltbar.

Typische Fehler

Kritischer Wert mit Wahrscheinlichkeit verwechselt.
Ablehnungsbereich an falscher Seite (z. B. rechtsseitig statt linksseitig).
Stetigkeitskorrektur bei Approximation vergessen.
Entscheidung ohne Vergleich mit Ablehnungsbereich.

LK-Vertiefung

eA: Approximieren Sie obiges Testproblem mit der Normalverteilung und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem exakten Binomialtest.

Aktive Wiederholung

Ein Würfel soll daraufhin getestet werden, ob er gezinkt ist (Sechs fällt zu oft). In 200 Würfen erscheint 45 Mal die Sechs. Testen Sie auf $\alpha = 0{,}05$ rechtsseitig.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Konfidenzintervalle für unbekannte Wahrscheinlichkeiten#

VertiefungL5

Konfidenzintervalle — mehrere Stichproben

Abb. 2Zehn 95%-KI: rund neun von zehn enthalten den wahren Parameter p; die Methode liegt, nicht jedes Einzel-KI.

Ein

(1-\alpha)

-Konfidenzintervall für

p

enthält den wahren Parameter mit Wahrscheinlichkeit

1-\alpha

(Methode, nicht einzelnes Intervall).

Approximatives KI:

\hat{p} \pm z_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}

mit

\hat{p} = X/n

Standardwerte für

z

z_{0{,}975} \approx 1{,}96

(95 %-KI),

z_{0{,}995} \approx 2{,}58

(99 %-KI).

Voraussetzung:

n\hat{p}(1-\hat{p}) > 9

(Normalverteilungs-Approximation).

Stichprobengröße für gewünschte Genauigkeit:

n \geq \tfrac{z^{2}\hat{p}(1-\hat{p})}{d^{2}}

mit halber Intervallbreite

d

Häufige Anwendung: Wahlumfragen, Qualitätskontrolle, medizinische Studien.

KI_{1-\alpha}(p) = \hat{p} \pm z_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Approximatives (1-α)-Konfidenzintervall für p

Musterlösung

Konfidenzintervall für einen Anteil bestimmen

In einer Umfrage stimmen 360 von 600 Befragten einer These zu. Berechnen Sie ein 95 %-Konfidenzintervall für den wahren Anteil $p$ und interpretieren Sie das Ergebnis.

Schritt 1 — Punktschätzer
Relative Häufigkeit $\hat{p}=\tfrac{360}{600}=0{,}6$ .
Schritt 2 — Standardfehler
$\sqrt{\tfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\tfrac{0{,}6\cdot 0{,}4}{600}}=\sqrt{0{,}0004}=0{,}02$ .
$\sigma_{\hat{p}}=\sqrt{\dfrac{0{,}6\cdot 0{,}4}{600}}=0{,}02$
Schritt 3 — Intervall
Mit $z_{0{,}975}\approx 1{,}96$ : $0{,}6\pm 1{,}96\cdot 0{,}02 = 0{,}6\pm 0{,}0392$ .
$KI_{0{,}95}=[0{,}561;\,0{,}639]$
Schritt 4 — Interpretieren
Die Schätzmethode liefert in 95 % der Stichproben ein Intervall, das den wahren Anteil enthält; hier liegt $p$ vermutlich zwischen rund 56 % und 64 %.

Ergebnis: Das 95 %-Konfidenzintervall ist etwa $[0{,}561;\,0{,}639]$ — der wahre Zustimmungsanteil liegt mit hoher Sicherheit zwischen 56 % und 64 %.

Typische Fehler

KI wird als „95 % der Werte" interpretiert statt als „Methode, die in 95 % der Fälle den wahren Wert enthält".
$z$ -Wert für falsches Konfidenzniveau verwendet.
Wurzel im Standardfehler vergessen.
Konfidenzintervall ohne Plausibilitätsprüfung (Werte unter 0 oder über 1).

LK-Vertiefung

eA: Berechnen Sie die erforderliche Stichprobengröße, um den Anteil $p$ einer Bevölkerung mit 95 %-KI und maximaler Breite $\pm 2\,\%$ -Punkte zu schätzen, wenn vorab keine Schätzung von $p$ vorliegt (Annahme $\hat{p} = 0{,}5$ ).

Aktive Wiederholung

In einer Umfrage stimmen 360 von 600 Befragten einer These zu. Bestimmen Sie ein 95 %-Konfidenzintervall für den wahren Anteil $p$ .

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Fehler 2. Art und Gütefunktion#

VertiefungL5K1

Der Fehler 2. Art (

\beta

) tritt auf, wenn

H_{0}

nicht abgelehnt wird, obwohl

H_{0}

falsch ist; er hängt vom tatsächlichen Parameter

p_{1}

ab.

Berechnung:

\beta(p_{1}) = P_{p_{1}}(X\in \overline{A})

— die Wahrscheinlichkeit, mit der die wahre Verteilung Werte im Annahmebereich

\overline{A}

von

H_{0}

erzeugt.

Die Gütefunktion (Trennschärfe) ist

g(p_{1}) = 1-\beta(p_{1})

: die Wahrscheinlichkeit, eine falsche Nullhypothese korrekt zu verwerfen.

Trade-off: Senkt man

\alpha

(kleinerer Ablehnungsbereich), steigt

\beta

— beide Fehler lassen sich bei festem

n

nicht gleichzeitig minimieren.

Größere Stichprobe

n

verkleinert bei festem

\alpha

den Fehler 2. Art und erhöht die Trennschärfe.

Die Gütefunktion ist umso steiler, je weiter

p_{1}

von

p_{0}

entfernt liegt: große Abweichungen werden zuverlässiger erkannt.

\beta(p_{1}) = P_{p_{1}}(X \in \overline{A})\quad\text{(Annahme von } H_{0}\text{ trotz wahrem } p_{1}),\qquad \text{Güte } = 1-\beta(p_{1})

Fehler 2. Art und Gütefunktion

Der Fehler 2. Art hängt vom tatsächlichen Parameter $p_{1}$ ab; die Gütefunktion $1-\beta$ misst die Wahrscheinlichkeit, eine falsche Nullhypothese korrekt abzulehnen.

Musterlösung

Fehler 2. Art quantifizieren

Ein rechtsseitiger Test mit $n=50$ , $p_{0}=0{,}5$ lehnt $H_{0}$ ab, falls $X\geq 32$ . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art, wenn in Wahrheit $p_{1}=0{,}7$ gilt.

Schritt 1 — Annahmebereich festlegen
Der Annahmebereich von $H_{0}$ ist $\overline{A}=\{0,1,\dots,31\}$ , also $X\leq 31$ .
Schritt 2 — Fehler 2. Art definieren
Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn $H_{0}$ angenommen wird ( $X\leq 31$ ), obwohl tatsächlich $p_{1}=0{,}7$ gilt: $\beta=P_{p_{1}}(X\leq 31)$ .
Schritt 3 — Verteilung unter p₁
Unter $p_{1}=0{,}7$ ist $X\sim B(50;0{,}7)$ mit $E(X)=35$ . Per GTR/Tabelle: $P(X\leq 31)\approx 0{,}141$ .
$\beta = P_{0{,}7}(X\leq 31)\approx 0{,}141$
Schritt 4 — Güte berechnen
Die Güte (Trennschärfe) ist $1-\beta\approx 0{,}859$ : der Test erkennt die Abweichung $p=0{,}7$ mit rund 86 % Wahrscheinlichkeit.

Ergebnis: Fehler 2. Art $\beta\approx 14{,}1\,\%$ ; die Gütefunktion liefert hier eine Trennschärfe von rund 86 %.

Typische Fehler

$\beta$ wird unter $H_{0}$ statt unter dem wahren Parameter $p_{1}$ berechnet.
Annahme- und Ablehnungsbereich werden vertauscht.
Güte $1-\beta$ mit dem Signifikanzniveau $\alpha$ verwechselt.
Es wird angenommen, $\alpha$ und $\beta$ ließen sich bei festem $n$ gemeinsam beliebig verkleinern.

LK-Vertiefung

eA: Skizzieren Sie qualitativ die Gütefunktion $g(p_{1})=1-\beta(p_{1})$ für $p_{1}\in[0{,}5;\,1]$ des obigen Tests und erläutern Sie, wie sich eine Verdopplung des Stichprobenumfangs auf den Verlauf auswirkt.

Aktive Wiederholung

Ein rechtsseitiger Test mit $n=50$ , $p_{0}=0{,}5$ lehnt $H_{0}$ bei $X\geq 32$ ab. Berechnen Sie den Fehler 2. Art und die Güte, wenn tatsächlich $p_{1}=0{,}7$ gilt.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Zweiseitiger Signifikanztest#

StandardL5

Beim zweiseitigen Test lautet die Gegenhypothese

H_{1}: p\neq p_{0}

; geprüft wird auf Abweichung in beide Richtungen.

Das Signifikanzniveau

\alpha

wird auf beide Ränder aufgeteilt: je

\tfrac{\alpha}{2}

für den linken und rechten Ablehnungsbereich.

Die kritischen Grenzen erfüllen

P(X\leq k_{\text{links}})\leq \tfrac{\alpha}{2}

und

P(X\geq k_{\text{rechts}})\leq \tfrac{\alpha}{2}

Der Annahmebereich liegt symmetrisch um den Erwartungswert

E(X)=np_{0}

; bei der Binomialverteilung ist er wegen der Diskretheit nicht exakt symmetrisch.

Faustregel über die

1{,}96\sigma

-Umgebung liefert eine schnelle Näherung der Grenzen, die exakte Binomialrechnung ist aber genauer.

Zweiseitige Tests sind angebracht, wenn Abweichungen in beide Richtungen relevant sind (z. B. „Ist die Münze fair?“, „Hat sich der Anteil verändert?“).

Musterlösung

Zweiseitiger Test auf eine vorgegebene Wahrscheinlichkeit

Eine Münze wird $100$ -mal geworfen und zeigt $61$ -mal Kopf. Prüfen Sie zweiseitig auf $\alpha=0{,}05$ , ob die Münze fair ist ( $p_{0}=0{,}5$ ).

Schritt 1 — Hypothesen
$H_{0}: p=0{,}5$ (fair) gegen $H_{1}: p\neq 0{,}5$ . Der Ablehnungsbereich liegt an beiden Rändern mit je $\tfrac{\alpha}{2}=0{,}025$ .
Schritt 2 — Verteilung und Streuung
Unter $H_{0}$ : $X\sim B(100;0{,}5)$ , $E(X)=50$ , $\sigma=\sqrt{100\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}=5$ .
Schritt 3 — Kritische Grenzen (exakte Binomialverteilung)
Gesucht sind die Grenzen mit Randwahrscheinlichkeit je $\leq 0{,}025$ . Per Tabelle/GTR: $P(X\leq 39)\approx 0{,}018$ und $P(X\geq 61)\approx 0{,}018$ , während $P(X\leq 40)\approx 0{,}028>0{,}025$ . Annahmebereich ist also $[40;60]$ , Ablehnung bei $X\leq 39$ oder $X\geq 61$ .
$A_{\text{ann}} = [40;\,60],\quad X\leq 39 \;\lor\; X\geq 61 \Rightarrow \text{Ablehnung}$
Schritt 4 — Entscheidung
Beobachtet: $X=61\geq 61$ liegt im rechten Ablehnungsbereich; $H_{0}$ wird verworfen — die Münze gilt auf 5 %-Niveau als nicht fair. (Die $1{,}96\sigma$ -Faustregel $50\pm 9{,}8$ liefert eine gute, aber etwas engere Näherung.)

Ergebnis: Bei $X=61$ wird $H_{0}: p=0{,}5$ im zweiseitigen Test auf $\alpha=0{,}05$ abgelehnt; die Münze ist statistisch auffällig kopflastig.

Typische Fehler

Das volle $\alpha$ statt $\tfrac{\alpha}{2}$ wird auf einen Rand angewendet.
Nur ein Rand des Ablehnungsbereichs wird betrachtet (einseitige Logik).
Symmetrie des Annahmebereichs wird bei der diskreten Binomialverteilung überstrapaziert.
Ein zweiseitiger Test wird gewählt, obwohl die Fragestellung eine eindeutige Richtung vorgibt.

LK-Vertiefung

eA: Bestimmen Sie für einen zweiseitigen Test mit $n=200$ , $p_{0}=0{,}5$ und $\alpha=0{,}01$ die kritischen Grenzen über die Normalapproximation und vergleichen Sie mit der exakten Binomiallösung.

Aktive Wiederholung

Eine Münze zeigt bei $100$ Würfen $61$ -mal Kopf. Prüfen Sie zweiseitig auf $\alpha=0{,}05$ , ob die Münze fair ist, und geben Sie Annahme- und Ablehnungsbereich an.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Signifikanztest mit Normalapproximation#

VertiefungL5K5

Für große

n

mit

np_{0}(1-p_{0})>9

darf die Binomialtestgröße durch die Normalverteilung approximiert werden (Satz von de Moivre–Laplace).

Standardisierte Testgröße:

Z=\dfrac{X-np_{0}}{\sqrt{np_{0}(1-p_{0})}}

ist näherungsweise standardnormalverteilt.

Kritische Werte aus den Quantilen der Standardnormalverteilung:

z_{0{,}95}=1{,}645

(einseitig,

\alpha=0{,}05

z_{0{,}975}=1{,}96

(zweiseitig,

\alpha=0{,}05

Stetigkeitskorrektur (

\pm 0{,}5

) verbessert die Approximation, da eine diskrete durch eine stetige Verteilung ersetzt wird.

Vorgehen: Approximationsbedingung prüfen, standardisieren, mit kritischem

z

-Wert vergleichen, entscheiden, interpretieren.

Die Approximation ist Rechenerleichterung bei großem

n

; ist die Bedingung verletzt, bleibt die exakte Binomialrechnung verbindlich.

Z = \dfrac{X - n p_{0}}{\sqrt{n p_{0}(1-p_{0})}}\;\;\approx\;\; N(0\,;\,1),\qquad z_{1-\alpha} = 1{,}645\;(\alpha=0{,}05)

Normalapproximation der Testgröße (z-Standardisierung)

Für $n p_{0}(1-p_{0})>9$ wird die Binomialtestgröße standardisiert; der kritische Wert ergibt sich aus dem Quantil der Standardnormalverteilung.

Musterlösung

Hypothesentest mit Normalapproximation

In $400$ Stichproben tritt ein Merkmal $176$ -mal auf. Testen Sie rechtsseitig auf $\alpha=0{,}05$ die Hypothese $H_{0}: p\leq 0{,}4$ mithilfe der Normalapproximation.

Schritt 1 — Approximationsbedingung prüfen
$n p_{0}(1-p_{0})=400\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6=96>9$ — die Normalapproximation ist zulässig.
Schritt 2 — Erwartungswert und Streuung
Unter $H_{0}$ am Rand $p_{0}=0{,}4$ : $E(X)=160$ , $\sigma=\sqrt{96}\approx 9{,}80$ .
Schritt 3 — Standardisieren
Testgröße $z=\dfrac{176-160}{9{,}80}\approx 1{,}63$ . Kritischer Wert beim rechtsseitigen Test: $z_{0{,}95}=1{,}645$ .
$z=\dfrac{176-160}{\sqrt{96}}\approx 1{,}63 < 1{,}645$
Schritt 4 — Entscheidung
Da $z\approx 1{,}63 < 1{,}645$ liegt der Wert knapp im Annahmebereich; $H_{0}$ kann auf 5 %-Niveau nicht verworfen werden.

Ergebnis: Mit $z\approx 1{,}63<1{,}645$ wird $H_{0}: p\leq 0{,}4$ nicht abgelehnt — der beobachtete Anteil von 44 % reicht knapp nicht für Signifikanz.

Typische Fehler

Approximation wird ohne Prüfung der Bedingung $np_{0}(1-p_{0})>9$ verwendet.
Standardisierung mit der Varianz statt der Standardabweichung (Wurzel vergessen).
Falsches Quantil: einseitiges $1{,}645$ vs. zweiseitiges $1{,}96$ verwechselt.
Stetigkeitskorrektur weggelassen, obwohl sie die Entscheidung an der Grenze ändern kann.

LK-Vertiefung

eA: Wiederholen Sie obigen Test mit Stetigkeitskorrektur ( $X-0{,}5$ ) und beurteilen Sie, ob sich die Testentscheidung dadurch ändert.

Aktive Wiederholung

In $400$ Stichproben tritt ein Merkmal $176$ -mal auf. Testen Sie rechtsseitig auf $\alpha=0{,}05$ die Hypothese $H_{0}: p\leq 0{,}4$ mithilfe der Normalapproximation.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.