Notizen · MathematikDE · Abitur

Folgen und Reihen

Zahlenfolgen, Konvergenz und Grenzwerte, arithmetische und geometrische Folgen mit Summenformeln, unendliche geometrische Reihen sowie auf eA-Niveau die vollständige Induktion als Beweistechnik. Folgen sind Grundlage diskreter Wachstumsmodelle und Brücke zur Differential- und Integralrechnung.

6 Abschnitte~11 Min Lesezeit3 KompetenzenNiveau Basis 1 · Standard 2 · Vertiefung 3Stand 05/2026

T·0777 / 10

Prüfungsprofil

L1 · Leitidee Algorithmus und ZahlL4 · Leitidee Funktionaler ZusammenhangK1 · Mathematisch argumentieren

Operatoren:untersuchenbeweisenberechnenbeschreiben

grundlegendes Niveau

gA: Erkennen arithmetischer und geometrischer Folgen, Berechnung von $a_{n}$ und Partialsummen, Konvergenz anschaulich.

erhöhtes Niveau

eA: ε-Definition der Konvergenz, vollständige Induktion (Schritte: Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung, Induktionsschluss), Grenzwertsätze und unendliche Reihen.

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Folgen und Reihen

Folgen und Konvergenz#

StandardL1

Konvergenz einer Folge gegen Grenzwert g

Abb. 1Ab einem Index N₀ liegen alle Folgenglieder im ε-Schlauch um g.

Eine Folge

(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}

ordnet jedem

n

eine reelle Zahl zu; explizite Darstellung

a_{n} = f(n)

oder rekursive Darstellung

a_{n+1} = g(a_{n})

Eine Folge konvergiert gegen den Grenzwert

g

, wenn ab einem

N_{0}

alle Folgenglieder im

\varepsilon

-Schlauch um

g

liegen.

Folgen, die nicht konvergieren, sind divergent — bestimmt divergent (

\pm\infty

) oder unbestimmt (alternierend, oszillierend).

Wichtige Standardfolgen:

\tfrac{1}{n}\to 0

\tfrac{1}{n^{k}}\to 0

q^{n}\to 0

für

|q| < 1

\left(1 + \tfrac{1}{n}\right)^{n}\to \mathrm{e}

Grenzwertsätze: Summe, Produkt, Quotient (bei Nichtnullnenner) von konvergenten Folgen sind konvergent.

Monotone und beschränkte Folgen sind nach dem Monotoniekriterium konvergent.

\lim_{n\to\infty} a_{n} = g \;\Leftrightarrow\; \forall \varepsilon > 0\; \exists N_{0}\in\mathbb{N}:\; n\geq N_{0} \Rightarrow |a_{n} - g| < \varepsilon

ε-Definition der Konvergenz

Typische Fehler

Konvergenz wird aus „immer kleiner werden" geschlossen — monoton fallend ist nicht ausreichend.
Grenzwert wird mit dem ersten Folgenglied verwechselt.
Divergenz wird mit Oszillation gleichgesetzt.
Bei rekursiven Folgen wird ohne Konvergenzprüfung der Fixpunkt als Grenzwert genannt.

LK-Vertiefung

eA: Zeigen Sie mit der $\varepsilon$ -Definition, dass die Folge $a_{n} = \tfrac{1}{n}$ gegen 0 konvergiert (Angabe eines $N_{0}(\varepsilon)$ ).

Aktive Wiederholung

Untersuchen Sie die Folge $a_{n} = \tfrac{2n+1}{n+3}$ auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Arithmetische und geometrische Folgen#

BasisL1

Arithmetische Folge: konstante Differenz

d

a_{n} = a_{1} + (n-1)d

Geometrische Folge: konstanter Quotient

q

a_{n} = a_{1}\cdot q^{n-1}

Partialsumme arithmetisch:

S_{n} = \tfrac{n}{2}(a_{1} + a_{n})

(Gauß-Formel).

Partialsumme geometrisch:

S_{n} = a_{1}\cdot \tfrac{1 - q^{n}}{1 - q}

für

q \neq 1

Unendliche geometrische Reihe konvergiert für

|q| < 1

gegen

\tfrac{a_{1}}{1-q}

Anwendungen: Rentenrechnung, Tilgungspläne, exponentieller Zerfall in diskreter Form.

a_{n} = a_{1} + (n-1)d\;\;|\;\;a_{n} = a_{1}\cdot q^{n-1}\;\;|\;\;S_{n}^{\text{arith}} = \tfrac{n}{2}(a_{1}+a_{n})\;\;|\;\;S_{n}^{\text{geom}} = a_{1}\cdot \tfrac{1-q^{n}}{1-q}

Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen

Musterlösung

Geometrische Reihe mit unendlich vielen Gliedern

Berechnen Sie den Wert der unendlichen geometrischen Reihe $\sum_{n=0}^{\infty} \tfrac{1}{2^{n}}$ .

Schritt 1 — Konvergenzbedingung
Quotient $q = \tfrac{1}{2}$ mit $|q| < 1$ , also konvergent.
Schritt 2 — Formel anwenden
Grenzwert: $S = \tfrac{a_{0}}{1-q} = \tfrac{1}{1-1/2} = 2$ .
$S = \dfrac{1}{1-q} = 2$

Ergebnis: Reihenwert $S = 2$ — Standardbeispiel für konvergente geometrische Reihe.

Typische Fehler

Arithmetisch mit geometrisch verwechselt.
Partialsumme mit $a_{1} + a_{n}$ statt der korrekten Summenformel.
Unendliche Reihe ohne Konvergenzprüfung berechnet.
Index-Verschiebung: $n$ -tes Glied vs. $(n-1)$ -te Differenz.

LK-Vertiefung

eA: Beweisen Sie mit vollständiger Induktion die Gauß-Formel $\sum_{k=1}^{n} k = \tfrac{n(n+1)}{2}$ .

Aktive Wiederholung

Eine geometrische Folge hat $a_{1} = 3$ und $q = 0{,}8$ . Berechnen Sie $a_{10}$ und die Partialsumme $S_{10}$ .

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Vollständige Induktion#

VertiefungL1K1

Vollständige Induktion ist Standardbeweistechnik für Aussagen über

\mathbb{N}

Drei Schritte: Induktionsanfang (Basisfall

n = 1

oder

n_{0}

), Induktionsvoraussetzung (Aussage gilt für

n

), Induktionsschluss (

n \to n+1

Induktionsschluss nutzt die Voraussetzung und algebraische Umformung, um die Aussage für

n+1

zu erhalten.

Häufige Anwendungen: Summenformeln, Teilbarkeitsaussagen, Ungleichungen (z. B. Bernoulli).

Strukturelle Klarheit ist zentral: jeden der drei Schritte explizit beschriften.

Verschiedene Varianten: starke Induktion, transfinite Induktion (für LK selten relevant).

Musterlösung

Vollständige Induktion — Summe ungerader Zahlen

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}$ für alle $n\in\mathbb{N}^{*}$ gilt.

Schritt 1 — Induktionsanfang
Für $n=1$ : linke Seite $=2\cdot 1-1=1$ , rechte Seite $=1^{2}=1$ . Die Aussage gilt für $n=1$ .
Schritt 2 — Induktionsvoraussetzung
Es gelte für ein $n\in\mathbb{N}^{*}$ : $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}$ .
Schritt 3 — Induktionsschritt
Addiere das nächste ungerade Glied $2(n+1)-1=2n+1$ und nutze die Voraussetzung.
$\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1) = n^{2} + (2n+1) = (n+1)^{2}$
Schritt 4 — Schluss
Die Aussage gilt auch für $n+1$ , nach dem Induktionsprinzip also für alle $n\in\mathbb{N}^{*}$ .

Ergebnis: Die Summe der ersten $n$ ungeraden Zahlen ist stets $n^{2}$ — vollständig bewiesen.

Typische Fehler

Induktionsanfang vergessen oder „trivial" abgetan.
Induktionsschluss ohne Verwendung der Voraussetzung — Beweis ist dann ungültig.
Algebraische Umformung im Induktionsschluss enthält Fehler.
Gültigkeitsbereich (ab welchem $n_{0}$ ?) nicht angegeben.

LK-Vertiefung

eA: Beweisen Sie die Bernoulli-Ungleichung $(1+x)^{n} \geq 1 + nx$ für $x > -1$ und $n \in \mathbb{N}$ mittels vollständiger Induktion.

Aktive Wiederholung

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: $\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^{2}$ für alle $n \in \mathbb{N}^{*}$ .

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Monotonie, Beschränktheit und Monotoniekriterium#

StandardL1

Eine Folge heißt (streng) monoton wachsend, wenn

a_{n+1}\geq a_{n}

(bzw.

a_{n+1}>a_{n}

) für alle

n

gilt; analog monoton fallend.

Nachweis über die Differenz

a_{n+1}-a_{n}

(Vorzeichen) oder bei positiven Gliedern über den Quotienten

a_{n+1}/a_{n}

im Vergleich zu

1

Eine Folge ist nach oben beschränkt, wenn es eine obere Schranke

S

mit

a_{n}\leq S

gibt; nach unten analog mit unterer Schranke.

Monotoniekriterium: Eine monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge konvergiert; der Grenzwert ist die kleinste obere Schranke (Supremum).

Beschränktheit allein garantiert keine Konvergenz (z. B.

a_{n}=(-1)^{n}

ist beschränkt, aber divergent); erst zusammen mit Monotonie folgt Konvergenz.

Die Schranke gibt eine Vorab-Plausibilität für den Grenzwert: bei

a_{n}=3-\tfrac{6}{n+2}

ist die obere Schranke

3

zugleich der Grenzwert.

a_{n+1} - a_{n} > 0\;\;(\text{streng monoton wachsend}),\qquad \frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1\;\;(\text{monoton fallend, } a_{n}>0)

Monotoniekriterien über Differenz bzw. Quotient

Das Differenzkriterium eignet sich für additiv aufgebaute Folgen, das Quotientenkriterium für multiplikativ aufgebaute (Potenzen, Fakultäten).

Musterlösung

Monotonie und Beschränktheit nachweisen

Untersuchen Sie die Folge $a_{n}=\dfrac{3n}{n+2}$ auf Monotonie und Beschränktheit und begründen Sie damit die Konvergenz.

Schritt 1 — Differenz bilden
Bestimme $a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{3(n+1)}{n+3}-\dfrac{3n}{n+2}$ . Auf den Hauptnenner $(n+3)(n+2)$ gebracht ergibt der Zähler $3(n+1)(n+2)-3n(n+3)=3\,[\,(n^{2}+3n+2)-(n^{2}+3n)\,]=6$ .
$a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{6}{(n+3)(n+2)}>0$
Schritt 2 — Monotonie folgern
Der Zähler 6 ist positiv und der Nenner für alle $n\in\mathbb{N}$ positiv, also $a_{n+1}-a_{n}>0$ : die Folge ist streng monoton wachsend.
Schritt 3 — Schranke bestimmen
Wegen $a_{n}=\dfrac{3n}{n+2}=3-\dfrac{6}{n+2}<3$ ist die Folge nach oben durch $3$ beschränkt; sie ist nach unten durch $a_{1}=1$ beschränkt.
Schritt 4 — Konvergenz schließen
Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge konvergiert (Monotoniekriterium); der Grenzwert ist die kleinste obere Schranke $g=3$ .

Ergebnis: Die Folge ist streng monoton wachsend und durch $3$ beschränkt; nach dem Monotoniekriterium konvergiert sie gegen $g=3$ .

Typische Fehler

Monotonie wird aus wenigen Anfangsgliedern „abgelesen“ statt allgemein über $a_{n+1}-a_{n}$ bewiesen.
Beschränktheit nach oben mit Konvergenz gleichgesetzt — die Monotonie wird vergessen.
Beim Quotientenkriterium wird das Vorzeichen der Glieder nicht beachtet (gilt nur für $a_{n}>0$ ).
Die kleinste obere Schranke wird mit einer beliebigen oberen Schranke verwechselt; der Grenzwert ist das Supremum.

LK-Vertiefung

eA: Zeigen Sie, dass die Folge $a_{n}=\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^{n}$ streng monoton wachsend und durch $3$ nach oben beschränkt ist, und schließen Sie auf die Existenz des Grenzwerts $\mathrm{e}$ .

Aktive Wiederholung

Untersuchen Sie die Folge $a_{n}=\dfrac{2n-1}{n+1}$ auf Monotonie und Beschränktheit und begründen Sie mit dem Monotoniekriterium die Konvergenz samt Grenzwert.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Rekursive Folgen und Fixpunkte#

VertiefungL1L4

Spinnwebdiagramm — rekursive Folge nähert sich dem Fixpunkt

Abb. 2Treppen- bzw. Spinnwebzug zwischen der Rekursionskurve

y=g(x)

und der Winkelhalbierenden

y=x

; der Schnittpunkt ist der Fixpunkt.

Eine rekursive Folge ist durch Startwert(e) und eine Rekursionsvorschrift

a_{n+1}=g(a_{n})

definiert; jedes Glied entsteht aus dem vorigen.

Konvergiert

(a_{n})

gegen

g

und ist

g

stetig, so erfüllt der Grenzwert die Fixpunktgleichung

g=g(g)

— Lösen dieser Gleichung liefert Kandidaten für den Grenzwert.

Die Fixpunktgleichung liefert den Grenzwert nur unter vorausgesetzter Konvergenz; Konvergenz selbst ist separat (z. B. über Monotonie + Beschränktheit) zu zeigen.

Das Spinnwebdiagramm zwischen

y=g(x)

und

y=x

veranschaulicht den Iterationsverlauf; der Schnittpunkt ist der Fixpunkt.

Lineare Rekursionen

a_{n+1}=q\,a_{n}+b

besitzen den Fixpunkt

g=\tfrac{b}{1-q}

und konvergieren für

|q|<1

Anwendungen: Heron-Verfahren zur Wurzelberechnung, diskrete logistische Modelle, Tilgungs- und Verzinsungsfolgen.

a_{n+1}=q\,a_{n}+b\;\Rightarrow\;\text{Fixpunkt } g=\dfrac{b}{1-q}\;(|q|<1)

Fixpunkt einer linearen Rekursion

Musterlösung

Rekursive Folge — Grenzwert über Fixpunkt

Die Folge sei rekursiv durch $a_{1}=2$ und $a_{n+1}=\tfrac{1}{2}\bigl(a_{n}+\tfrac{2}{a_{n}}\bigr)$ (Heron-Verfahren für $\sqrt{2}$ ) definiert. Bestimmen Sie den Grenzwert unter der Annahme der Konvergenz.

Schritt 1 — Erste Glieder berechnen
$a_{2}=\tfrac{1}{2}(2+1)=1{,}5$ ; $a_{3}=\tfrac{1}{2}(1{,}5+\tfrac{2}{1{,}5})\approx 1{,}4167$ ; die Glieder nähern sich rasch einem Wert.
Schritt 2 — Fixpunktgleichung ansetzen
Konvergiert $(a_{n})$ gegen $g>0$ , so gilt im Grenzwert $g=\tfrac{1}{2}\bigl(g+\tfrac{2}{g}\bigr)$ , da $a_{n}$ und $a_{n+1}$ denselben Grenzwert haben.
$g=\tfrac{1}{2}\Bigl(g+\tfrac{2}{g}\Bigr)$
Schritt 3 — Gleichung lösen
Multiplikation mit $2g$ : $2g^{2}=g^{2}+2$ , also $g^{2}=2$ und damit $g=\sqrt{2}$ (negative Lösung entfällt wegen $a_{n}>0$ ).
Schritt 4 — Plausibilität prüfen
$\sqrt{2}\approx 1{,}41421$ stimmt mit dem Trend der berechneten Glieder überein; das Verfahren konvergiert quadratisch.

Ergebnis: Der Grenzwert der rekursiven Folge ist $g=\sqrt{2}$ ; die Fixpunktgleichung $g=g(g)$ liefert den Wert nur unter vorausgesetzter Konvergenz.

Typische Fehler

Der Fixpunkt wird ohne Konvergenznachweis als Grenzwert ausgegeben.
Bei der Fixpunktgleichung wird eine Lösung (z. B. die negative Wurzel) nicht durch den Definitionsbereich der Folge ausgeschlossen.
Rekursive und explizite Darstellung werden verwechselt; $a_{n+1}=g(a_{n})$ liefert nicht direkt einen Funktionsterm $a_{n}=f(n)$ .
Beim Heron-Verfahren wird der Faktor $\tfrac{1}{2}$ vergessen, sodass die Iteration nicht gegen $\sqrt{2}$ strebt.

LK-Vertiefung

eA: Untersuchen Sie die rekursive Folge $a_{1}=1$ , $a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}$ auf Monotonie und Beschränktheit und bestimmen Sie den Grenzwert über die Fixpunktgleichung.

Aktive Wiederholung

Die Folge sei durch $a_{1}=4$ und $a_{n+1}=\tfrac{1}{2}a_{n}+3$ gegeben. Bestimmen Sie den Fixpunkt, begründen Sie die Konvergenz und geben Sie den Grenzwert an.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Reihen, Partialsummen und Konvergenzkriterien#

VertiefungL1K1

Eine Reihe

\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}

ist der Grenzwert der Partialsummenfolge

S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}

; sie konvergiert, wenn

(S_{n})

konvergiert.

Notwendiges Kriterium: Konvergiert

\sum a_{k}

, so ist

\lim_{k\to\infty} a_{k}=0

. Ist die Gliederfolge keine Nullfolge, divergiert die Reihe sicher.

Das notwendige Kriterium ist nicht hinreichend: die harmonische Reihe

\sum \tfrac{1}{k}

divergiert, obwohl

\tfrac{1}{k}\to 0

Geometrische Reihe als Referenz:

\sum_{k=0}^{\infty} q^{k}=\tfrac{1}{1-q}

für

|q|<1

, sonst Divergenz.

Vergleichskriterium: Ist

0\leq a_{k}\leq b_{k}

und

\sum b_{k}

konvergent (Majorante), so konvergiert auch

\sum a_{k}

; mit divergenter Minorante folgt umgekehrt Divergenz.

Bedeutung für die Analysis: Reihen sind die diskrete Vorstufe des Integrals und Grundlage von Potenzreihendarstellungen elementarer Funktionen (eA).

\sum_{k=0}^{\infty} q^{k}=\dfrac{1}{1-q}\;(|q|<1),\qquad \sum a_{k}\text{ konv.}\Rightarrow \lim_{k\to\infty} a_{k}=0

Geometrische Reihe und notwendiges Konvergenzkriterium

Musterlösung

Reihen auf Konvergenz prüfen — notwendiges Kriterium und harmonische Reihe

Begründen Sie, warum die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{n}{2n+1}$ divergiert, und ordnen Sie die harmonische Reihe $\sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{1}{n}$ ein.

Schritt 1 — Notwendiges Kriterium nennen
Eine Reihe $\sum a_{n}$ kann nur konvergieren, wenn die Gliederfolge eine Nullfolge ist: $\lim_{n\to\infty} a_{n}=0$ . Andernfalls liegt Divergenz vor.
Schritt 2 — Gliederfolge der ersten Reihe
Hier ist $a_{n}=\tfrac{n}{2n+1}\to \tfrac{1}{2}\neq 0$ für $n\to\infty$ .
$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}\neq 0$
Schritt 3 — Divergenz folgern
Da die Glieder nicht gegen $0$ streben, ist das notwendige Kriterium verletzt; die Reihe divergiert.
Schritt 4 — Harmonische Reihe abgrenzen
Bei $\tfrac{1}{n}$ gilt zwar $\tfrac{1}{n}\to 0$ , doch das notwendige Kriterium ist nicht hinreichend: die harmonische Reihe divergiert dennoch (langsam). Eine Nullfolge der Glieder garantiert also keine Konvergenz der Reihe.

Ergebnis: Die erste Reihe divergiert, weil $a_{n}\to\tfrac{1}{2}\neq 0$ . Die harmonische Reihe zeigt, dass $a_{n}\to 0$ nur notwendig, nicht hinreichend für Konvergenz ist.

Typische Fehler

Aus $a_{k}\to 0$ wird voreilig auf Konvergenz der Reihe geschlossen (Verwechslung notwendig/hinreichend).
Partialsummenfolge $S_{n}$ und Gliederfolge $a_{n}$ werden vertauscht.
Beim Vergleichskriterium fehlt die Voraussetzung nichtnegativer Glieder.
Konvergenzbedingung $|q|<1$ der geometrischen Reihe wird nicht geprüft.

LK-Vertiefung

eA: Zeigen Sie mit dem Vergleichskriterium, dass $\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{2}}$ konvergiert, indem Sie $\tfrac{1}{k^{2}}\leq \tfrac{1}{k(k-1)}$ für $k\geq 2$ nutzen und die Teleskopsumme $\sum \tfrac{1}{k(k-1)}$ auswerten.

Aktive Wiederholung

Begründen Sie, ob die Reihe $\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{2k+3}{5k+1}$ konvergiert oder divergiert, und nennen Sie das verwendete Kriterium.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.