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Notizen/Mathematik/Analysis — Differentialrechnung
Notizen · MathematikDE · Abitur

Analysis — Differentialrechnung

Ableitungsbegriff als Grenzwert, Ableitungsregeln (Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotienten-, Kettenregel), Ableitungen elementarer Funktionen, Tangenten und Normalen, Monotonie- und Krümmungsverhalten, lokale und globale Extrema, Wendepunkte sowie vollständige Kurvendiskussion und Optimierungsaufgaben.

6 Abschnitte·~9 Min Lesezeit·3 Kompetenzen·Niveau Basis 1 · Standard 4 · Vertiefung 1·Stand 05/2026

T·0333 / 10
Prüfungsprofil
L4 · Leitidee Funktionaler ZusammenhangK2 · Probleme mathematisch lösenK5 · Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen umgehen
Operatoren:untersuchenbestimmenberechnenbegründeninterpretieren

grundlegendes Niveau

gA: Ableitungen mit Produkt-, Quotienten- und Kettenregel bei einfachen Verkettungen; Standard-Kurvendiskussion und Tangentenprobleme; einfache Optimierung mit eindimensionaler Zielfunktion.

erhöhtes Niveau

eA: Grenzwertbeweise zur Ableitung, Untersuchung von Funktionenscharen ftf_{t}ft​, Wendetangenten und Krümmungsanalyse, mehrdimensionale Optimierungsaufgaben mit Nebenbedingung und Variablentausch.

Tiefe

Lesetiefe: Vertiefung

Schrift

Schriftgröße: Standard

Inhalt · 6 Abschnitte▾
  1. Analysis — Differentialrechnung
    • 01Grenzwerte, Stetigkeit und Asymptoten◐
    • 02Ableitungsbegriff und Differenzenquotient○
    • 03Ableitungsregeln und Standardableitungen◐
    • 04Kurvendiskussion — Extrema und Wendepunkte◐
    • 05Tangenten, Normalen und lineare Approximation◐
    • 06Extremwert- und Optimierungsaufgaben●
§ 01

Grenzwerte, Stetigkeit und Asymptoten#

●●○StandardLPL4LPL1

Stetigkeit, behebbare Lücke und Sprungstelle

stetig behebbare Lücke Sprungstelle
Abb. 1Links eine stetige Kurve, in der Mitte eine behebbare Lücke (Grenzwert existiert), rechts eine Sprungstelle (links- und rechtsseitiger Grenzwert verschieden).

Kernpunkte

Der Grenzwert lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a} f(x)limx→a​f(x) beschreibt das Verhalten der Funktionswerte, wenn xxx sich aaa nähert; er existiert nur, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.
Eine Funktion ist an x0x_{0}x0​ stetig, wenn lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_{0}} f(x)=f(x_{0})limx→x0​​f(x)=f(x0​) gilt; ganzrationale, exponentielle und trigonometrische Funktionen sind auf ihrem Definitionsbereich überall stetig.
Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen sind behebbar (Grenzwert existiert, Term kürzbar) oder Polstellen (Grenzwert ±∞\pm\infty±∞).
Verhalten im Unendlichen: Der Gradvergleich von Zähler- und Nennerpolynom liefert waagrechte Asymptote (n=mn=mn=m), Annäherung an 000 (n<mn<mn<m) oder schiefe Asymptote (n=m+1n=m+1n=m+1).
Senkrechte Asymptoten liegen an Polstellen; das Vorzeichenverhalten links und rechts entscheidet über +∞+\infty+∞ oder −∞-\infty−∞.
Stetigkeit ist notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit: jede differenzierbare Funktion ist stetig, aber nicht umgekehrt.
lim⁡x→a(f(x)±g(x))=lim⁡x→af(x)±lim⁡x→ag(x),lim⁡x→±∞anxn+…bmxm+…={±∞n>manbmn=m0n<m\lim_{x\to a}\bigl(f(x)\pm g(x)\bigr)=\lim_{x\to a} f(x)\pm \lim_{x\to a} g(x),\qquad \lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_{n}x^{n}+\dots}{b_{m}x^{m}+\dots}=\begin{cases}\pm\infty & n>m\\[2pt]\tfrac{a_{n}}{b_{m}} & n=m\\[2pt]0 & n<m\end{cases}x→alim​(f(x)±g(x))=x→alim​f(x)±x→alim​g(x),x→±∞lim​bm​xm+…an​xn+…​=⎩⎨⎧​±∞bm​an​​0​n>mn=mn<m​

Grenzwertsätze und Verhalten gebrochenrationaler Funktionen im Unendlichen

Für x→±∞x\to\pm\inftyx→±∞ entscheidet der Gradvergleich von Zähler und Nenner über waagrechte oder schiefe Asymptoten.

Musterlösung

Grenzwert und Stetigkeit an einer Definitionslücke

Untersuchen Sie f(x)=x2−4x−2f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}f(x)=x−2x2−4​ an der Stelle x0=2x_{0}=2x0​=2 auf Grenzwert und stetige Fortsetzbarkeit.

  1. 01Schritt 1 — Definitionslücke erkennen

    Der Nenner verschwindet bei x=2x=2x=2; dort ist fff zunächst nicht definiert (Definitionslücke).

  2. 02Schritt 2 — Term kürzen

    Faktorisieren: x2−4=(x−2)(x+2)x^{2}-4=(x-2)(x+2)x2−4=(x−2)(x+2), also f(x)=(x−2)(x+2)x−2=x+2f(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2f(x)=x−2(x−2)(x+2)​=x+2 für x≠2x\neq 2x=2.

    f(x)=(x−2)(x+2)x−2=x+2  (x≠2)f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\;(x\neq 2)f(x)=x−2(x−2)(x+2)​=x+2(x=2)
  3. 03Schritt 3 — Grenzwert bilden

    Der Grenzwert existiert: lim⁡x→2f(x)=lim⁡x→2(x+2)=4\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}(x+2)=4limx→2​f(x)=limx→2​(x+2)=4 (links- und rechtsseitig gleich).

  4. 04Schritt 4 — Stetig fortsetzen

    Da der Grenzwert endlich ist, liegt eine (behebbare) Lücke vor; mit f(2):=4f(2):=4f(2):=4 ist fff stetig fortsetzbar.

Ergebnis: Es liegt eine behebbare Definitionslücke vor: lim⁡x→2f(x)=4\lim_{x\to 2} f(x)=4limx→2​f(x)=4; mit f(2)=4f(2)=4f(2)=4 wird fff stetig.

Abiturfokus

  • KMK-Operator „untersuchen": Definitionslücken bestimmen und als behebbar oder als Polstelle klassifizieren.
  • KMK-Operator „bestimmen": Grenzwerte für x→±∞x\to\pm\inftyx→±∞ über den Gradvergleich und das Verhalten an Polstellen über einseitige Grenzwerte angeben.
  • KMK-Operator „begründen": Stetigkeit über die Grenzwertbedingung lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_{0}} f(x)=f(x_{0})limx→x0​​f(x)=f(x0​) nachweisen.
  • Asymptoten (waagrecht, senkrecht, schief) als Bestandteil der Kurvendiskussion ausweisen.

Typische Fehler

  • Behebbare Lücke und Polstelle werden verwechselt; der Term wird nicht zuerst gekürzt.
  • Beim Grenzwert für x→∞x\to\inftyx→∞ wird der Gradvergleich falsch ausgewertet (Verhältnis der Leitkoeffizienten vergessen).
  • Einseitige Grenzwerte an Polstellen werden nicht getrennt betrachtet, das Vorzeichen wird verfehlt.
  • Aus Stetigkeit wird voreilig auf Differenzierbarkeit geschlossen (Gegenbeispiel ∣x∣|x|∣x∣ bei 000).

LK-Vertiefung

eA: Bestimmen Sie die schiefe Asymptote von h(x)=x2+1xh(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}h(x)=xx2+1​ durch Polynomdivision und beschreiben Sie das Verhalten für x→±∞x\to\pm\inftyx→±∞.

Aktive Wiederholung

Untersuchen Sie f(x)=x2−1x−1f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}f(x)=x−1x2−1​ und g(x)=1x−3g(x)=\dfrac{1}{x-3}g(x)=x−31​ auf Definitionslücken, klassifizieren Sie diese und geben Sie alle Asymptoten an.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

§ 02

Ableitungsbegriff und Differenzenquotient#

●○○BasisLPL4LPK5

Kernpunkte

Die mittlere Änderungsrate einer Funktion auf [a,b][a, b][a,b] ist f(b)−f(a)b−a\tfrac{f(b)-f(a)}{b-a}b−af(b)−f(a)​ (Sekantensteigung).
Die lokale Änderungsrate (momentane Steigung) bei x0x_{0}x0​ ist der Grenzwert f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_{0}) = \lim_{h\to 0} \tfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}f′(x0​)=limh→0​hf(x0​+h)−f(x0​)​.
Geometrisch ist f′(x0)f'(x_{0})f′(x0​) die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt (x0,f(x0))(x_{0}, f(x_{0}))(x0​,f(x0​)) (siehe ).

Differentialquotient — Grenzwert der Sekantensteigung

Differentialquotient — Grenzwert der SekantensteigungSchaubild von f(x) = x², Tiefpunkt bei (0, 0), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von -0.5 bis 3−0.50.511.522.53246810P(x₀, f(x₀))Q(x₀+h, f(x₀+h))TangenteSekantef(x) = x²yx
Abb. 2Sekante durch P(x₀|f(x₀)) und Q(x₀+h|f(x₀+h)) konvergiert für h → 0 gegen die Tangente.
Eine Funktion ist differenzierbar bei x0x_{0}x0​, wenn der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existieren und übereinstimmen; an Knick- und Sprungstellen scheitert die Differenzierbarkeit.
Physikalisch beschreibt die Ableitung Geschwindigkeit (Ort nach Zeit), Beschleunigung (Geschwindigkeit nach Zeit) oder Wachstumsrate.
f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_{0}) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x_{0}+h) - f(x_{0})}{h}f′(x0​)=h→0lim​hf(x0​+h)−f(x0​)​

Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten

Abiturfokus

  • KMK-Operator „bestimmen": Differenzenquotient sauber aufstellen, Grenzübergang dokumentieren.
  • Tangentenproblem: t(x)=f′(x0)⋅(x−x0)+f(x0)t(x) = f'(x_{0})\cdot(x - x_{0}) + f(x_{0})t(x)=f′(x0​)⋅(x−x0​)+f(x0​) explizit notieren.
  • Bei eA-Aufgaben Ableitung über h-Methode aus Definition durchführen.
  • Geometrische Interpretation (Tangentensteigung, momentane Änderungsrate) immer mitformulieren.

Typische Fehler

  • Mittlere und lokale Änderungsrate verwechselt — Frageinterpretation lesen.
  • h-Methode wird ohne Grenzübergang abgebrochen; das Ergebnis ist dann nur die Sekantensteigung.
  • Vorzeichenfehler bei (f(x0+h)−f(x0))(f(x_{0}+h)-f(x_{0}))(f(x0​+h)−f(x0​)) in der Klammer.
  • Differenzierbarkeit wird durch Stetigkeit ersetzt (jeder Knick ist stetig, aber nicht differenzierbar).

LK-Vertiefung

eA: Untersuchen Sie, ob f(x)=∣x∣f(x) = |x|f(x)=∣x∣ an der Stelle x0=0x_{0} = 0x0​=0 differenzierbar ist, indem Sie links- und rechtsseitigen Grenzwert separat bestimmen.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie die Ableitung von f(x)=x2f(x) = x^{2}f(x)=x2 an der Stelle x0=3x_{0} = 3x0​=3 mittels h-Methode (Grenzwertberechnung von Hand).

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

§ 03

Ableitungsregeln und Standardableitungen#

●●○StandardLPL4

Kernpunkte

Faktor- und Summenregel: (c⋅f)′=c⋅f′(c\cdot f)' = c\cdot f'(c⋅f)′=c⋅f′, (f+g)′=f′+g′(f+g)' = f'+g'(f+g)′=f′+g′.
Produktregel: (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg'(fg)′=f′g+fg′ — der Term mit der „abgeleiteten Funktion zuerst" ist Standard.
Quotientenregel: (f/g)′=(f′g−fg′)/g2(f/g)' = (f'g - fg')/g^{2}(f/g)′=(f′g−fg′)/g2; Vorzeichen im Zähler beachten.
Kettenregel: (f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x) — „äußere Ableitung mal innere Ableitung".
Standardableitungen: (xn)′=n xn−1(x^{n})' = n\,x^{n-1}(xn)′=nxn−1, (ex)′=ex(\mathrm{e}^{x})' = \mathrm{e}^{x}(ex)′=ex, (ln⁡x)′=1/x(\ln x)' = 1/x(lnx)′=1/x, (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x(sinx)′=cosx, (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x(cosx)′=−sinx.
Bei Verkettungen mit drei Schichten (z. B. esin⁡(x2)\mathrm{e}^{\sin(x^{2})}esin(x2)) Kettenregel zweimal verschachtelt anwenden.
(c f)′=c f′,(f+g)′=f′+g′,(f g)′=f′g+fg′,(fg)′=f′g−fg′g2,(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(c\,f)' = c\,f',\quad (f+g)' = f' + g',\quad (f\,g)' = f'g + fg',\quad \left(\tfrac{f}{g}\right)' = \tfrac{f'g - fg'}{g^{2}},\quad (f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)(cf)′=cf′,(f+g)′=f′+g′,(fg)′=f′g+fg′,(gf​)′=g2f′g−fg′​,(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)

Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

(xn)′=n xn−1,(ex)′=ex,(ln⁡x)′=1x,(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x(x^{n})' = n\,x^{n-1},\quad (\mathrm{e}^{x})' = \mathrm{e}^{x},\quad (\ln x)' = \tfrac{1}{x},\quad (\sin x)' = \cos x,\quad (\cos x)' = -\sin x(xn)′=nxn−1,(ex)′=ex,(lnx)′=x1​,(sinx)′=cosx,(cosx)′=−sinx

Ableitungen elementarer Funktionen

Abiturfokus

  • KMK-Operator „berechnen": Regel benennen (Produkt-, Quotienten-, Kettenregel) und Schritte transparent dokumentieren.
  • Bei Verkettungen die innere Funktion identifizieren und ausschreiben.
  • Vereinfachen nach Anwendung der Ableitungsregeln — der Term in der Lösung muss kompakt sein.
  • Standardableitungen aus der Formelsammlung müssen ohne Nachschlagen sitzen.

Typische Fehler

  • Produktregel als (fg)′=f′⋅g′(fg)' = f'\cdot g'(fg)′=f′⋅g′ geschrieben (Multiplikation statt Summe).
  • Quotientenregel mit vertauschten Vorzeichen oder Termen.
  • Kettenregel ohne innere Ableitung: (e3x)′=e3x(\mathrm{e}^{3x})' = \mathrm{e}^{3x}(e3x)′=e3x statt 3e3x3\mathrm{e}^{3x}3e3x.
  • (ln⁡x)′(\ln x)'(lnx)′ wird mit ln⁡(x−1)\ln(x^{-1})ln(x−1) verwechselt.

LK-Vertiefung

eA: Leiten Sie h(x)=sin⁡(ln⁡(x2+1))h(x) = \sin(\ln(x^{2}+1))h(x)=sin(ln(x2+1)) ab und identifizieren Sie alle Verkettungsebenen.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie f′(x)f'(x)f′(x) für f(x)=x2⋅e−xf(x) = x^{2}\cdot \mathrm{e}^{-x}f(x)=x2⋅e−x und vereinfachen Sie auf ein Produkt.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

§ 04

Kurvendiskussion — Extrema und Wendepunkte#

●●○StandardLPL4

Kernpunkte

Notwendige Bedingung für lokales Extremum bei x0x_{0}x0​: f′(x0)=0f'(x_{0}) = 0f′(x0​)=0 (kritische Stelle).
Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f′f'f′ oder f′′(x0)≠0f''(x_{0}) \neq 0f′′(x0​)=0 (Maximum bei f′′<0f'' < 0f′′<0, Minimum bei f′′>0f'' > 0f′′>0).
Wendepunkt: f′′(x0)=0f''(x_{0}) = 0f′′(x0​)=0 und f′′′(x0)≠0f'''(x_{0}) \neq 0f′′′(x0​)=0 (oder Vorzeichenwechsel von f′′f''f′′).
Monotonie: f′>0f' > 0f′>0 → streng monoton wachsend; f′<0f' < 0f′<0 → streng monoton fallend.
Krümmung: f′′>0f'' > 0f′′>0 → konvex (Linkskrümmung); f′′<0f'' < 0f′′<0 → konkav (Rechtskrümmung).
Globales Extremum: Werte an Randpunkten des Definitionsbereichs und an allen kritischen Stellen vergleichen.

Polynom dritten Grades f(x) = x³ − 3x

Abb. 3Punktsymmetrisch zum Ursprung; Extremstellen bei \pm 1; Wendepunkt im Ursprung.
Musterlösung

Vollständige Kurvendiskussion einer Polynomfunktion

Untersuchen Sie f(x)=x3−3x2f(x) = x^{3} - 3x^{2}f(x)=x3−3x2 auf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte und skizzieren Sie den Graphen.

  1. 01Schritt 1 — Ableitungen

    f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^{2} - 6x = 3x(x-2)f′(x)=3x2−6x=3x(x−2) und f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6f′′(x)=6x−6.

  2. 02Schritt 2 — Nullstellen

    f(x)=x2(x−3)=0f(x) = x^{2}(x-3) = 0f(x)=x2(x−3)=0 liefert x1=0x_{1} = 0x1​=0 (doppelt, Berührpunkt) und x2=3x_{2} = 3x2​=3.

  3. 03Schritt 3 — Extrema

    f′(x)=0⇒x=0∨x=2f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \vee x = 2f′(x)=0⇒x=0∨x=2. f′′(0)=−6<0f''(0) = -6 < 0f′′(0)=−6<0 → Hochpunkt H(0∣0)H(0\mid 0)H(0∣0). f′′(2)=6>0f''(2) = 6 > 0f′′(2)=6>0 → Tiefpunkt T(2∣−4)T(2\mid -4)T(2∣−4).

  4. 04Schritt 4 — Wendepunkt

    f′′(x)=0⇒x=1f''(x) = 0 \Rightarrow x = 1f′′(x)=0⇒x=1; f′′′(1)=6≠0f'''(1) = 6 \neq 0f′′′(1)=6=0, also Wendepunkt W(1∣−2)W(1\mid -2)W(1∣−2).

Ergebnis: Hochpunkt H(0∣0)H(0\mid 0)H(0∣0), Tiefpunkt T(2∣−4)T(2\mid -4)T(2∣−4), Wendepunkt W(1∣−2)W(1\mid -2)W(1∣−2); Nullstellen x=0x=0x=0 (doppelt) und x=3x=3x=3.

Abiturfokus

  • KMK-Operator „untersuchen": Bedingungen vollständig benennen und prüfen.
  • Tabelle mit Vorzeichen von f′f'f′ erleichtert Monotonieanalyse.
  • Bei mehrfachen Nullstellen von f′f'f′ Vorzeichenwechsel sauber prüfen.
  • Wendetangente bei eA: Tangente an den Wendepunkt mit Steigung f′(xW)f'(x_{W})f′(xW​).

Typische Fehler

  • Notwendige Bedingung wird mit hinreichender verwechselt — eine Nullstelle von f′f'f′ ist nicht automatisch Extremum.
  • Vorzeichen von f′′f''f′′ falsch interpretiert (Maximum vs. Minimum).
  • Wendepunkt fehlt im Ergebnis, weil nur f′f'f′ untersucht wurde.
  • Globales Extremum wird übersehen, weil Randwerte nicht eingesetzt wurden.

LK-Vertiefung

eA: Bestimmen Sie die Ortskurve der Hochpunkte der Funktionenschar fa(x)=x3−3axf_{a}(x) = x^{3} - 3axfa​(x)=x3−3ax in Abhängigkeit vom Parameter a>0a > 0a>0.

Aktive Wiederholung

Untersuchen Sie f(x)=14x4−2x2f(x) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 2x^{2}f(x)=41​x4−2x2 auf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte und beschreiben Sie das Monotonieverhalten.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

§ 05

Tangenten, Normalen und lineare Approximation#

●●○StandardLPL4

Kernpunkte

Tangentengleichung an x0x_{0}x0​: t(x)=f′(x0)⋅(x−x0)+f(x0)t(x) = f'(x_{0})\cdot(x - x_{0}) + f(x_{0})t(x)=f′(x0​)⋅(x−x0​)+f(x0​).
Normalengleichung: n(x)=−1f′(x0)⋅(x−x0)+f(x0)n(x) = -\tfrac{1}{f'(x_{0})}\cdot(x - x_{0}) + f(x_{0})n(x)=−f′(x0​)1​⋅(x−x0​)+f(x0​) (für f′(x0)≠0f'(x_{0}) \neq 0f′(x0​)=0).
Lineare Approximation: f(x)≈f(x0)+f′(x0)⋅(x−x0)f(x) \approx f(x_{0}) + f'(x_{0})\cdot(x - x_{0})f(x)≈f(x0​)+f′(x0​)⋅(x−x0​) für xxx nahe x0x_{0}x0​.
Wendetangente: Tangente an den Wendepunkt — wechselt zwischen konvexem und konkavem Bereich.
Schnittwinkel zweier Kurven: Winkel zwischen den Tangenten an der Schnittstelle, tan⁡α=∣m1−m21+m1m2∣\tan\alpha = \left|\tfrac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1} m_{2}}\right|tanα=​1+m1​m2​m1​−m2​​​.
Musterlösung

Tangentengleichung an einer Stelle

Bestimmen Sie die Tangentengleichung an den Graphen von f(x)=exf(x) = \mathrm{e}^{x}f(x)=ex an der Stelle x0=1x_{0} = 1x0​=1.

  1. 01Schritt 1 — Funktionswert

    f(1)=e1=e≈2,718f(1) = \mathrm{e}^{1} = \mathrm{e} \approx 2{,}718f(1)=e1=e≈2,718.

  2. 02Schritt 2 — Steigung

    f′(x)=exf'(x) = \mathrm{e}^{x}f′(x)=ex, also m=f′(1)=em = f'(1) = \mathrm{e}m=f′(1)=e.

  3. 03Schritt 3 — Tangentengleichung

    t(x)=m(x−x0)+f(x0)=e(x−1)+e=e⋅xt(x) = m(x - x_{0}) + f(x_{0}) = \mathrm{e}(x - 1) + \mathrm{e} = \mathrm{e}\cdot xt(x)=m(x−x0​)+f(x0​)=e(x−1)+e=e⋅x.

    t(x)=e⋅xt(x) = \mathrm{e}\cdot xt(x)=e⋅x

Ergebnis: Tangente t(x)=e⋅xt(x) = \mathrm{e}\cdot xt(x)=e⋅x — verläuft durch den Ursprung mit Steigung e\mathrm{e}e.

Abiturfokus

  • KMK-Operator „bestimmen": Tangenten- bzw. Normalengleichung in Punkt-Steigungs-Form mit Steigung und Punkt explizit notieren.
  • Lineare Approximation: kleines Restglied diskutieren (gilt nur lokal).
  • Bei Schnittwinkel zwischen Kurven die Tangenten an der Schnittstelle ermitteln.
  • Wendetangente vom „Tangente an Extremstelle" unterscheiden (letztere ist horizontal).

Typische Fehler

  • Steigung der Normalen wird als −f′(x0)-f'(x_{0})−f′(x0​) statt als negativer Kehrwert berechnet.
  • Punkt (x0,f(x0))(x_{0}, f(x_{0}))(x0​,f(x0​)) wird ausgelassen — Tangentengleichung fehlt der Achsenabschnitt.
  • Lineare Approximation wird auf große Intervalle ausgeweitet, was zu großem Fehler führt.
  • Wendetangente wird auf eine Extremstelle bezogen.

LK-Vertiefung

eA: Berechnen Sie den Schnittwinkel der Graphen von f(x)=x2f(x) = x^{2}f(x)=x2 und g(x)=xg(x) = \sqrt{x}g(x)=x​ im Punkt (1∣1)(1\mid 1)(1∣1) über die Tangentensteigungen.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie Tangente und Normale an den Graphen von f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln(x)f(x)=ln(x) im Punkt P(1∣0)P(1\mid 0)P(1∣0).

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

§ 06

Extremwert- und Optimierungsaufgaben#

●●●VertiefungLPL4LPK3

Kernpunkte

Schritt 1: Hauptbedingung (Zielgröße) und Nebenbedingung aus dem Sachkontext aufstellen.
Schritt 2: Nebenbedingung nach einer Variable auflösen und in die Hauptbedingung einsetzen — Zielfunktion mit einer Variablen.
Schritt 3: Definitionsbereich der Zielfunktion aus dem Sachkontext ableiten (z. B. positive Längen).
Schritt 4: Mit Differentialrechnung Extremstelle bestimmen (notwendige und hinreichende Bedingung).
Schritt 5: Randwerte des Definitionsbereichs zusätzlich prüfen — globales Optimum kann am Rand liegen.
Klassische Aufgabentypen: maximale Fläche bei festem Umfang, minimales Materialverbrauchsproblem, maximaler Gewinn.

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Abiturfokus

  • KMK-Operator „bestimmen" und „berechnen": Schritt 1–5 sauber dokumentieren.
  • Sachzusammenhang am Ende interpretieren — Zahlwert mit Einheit und Bedeutung benennen.
  • Modellkritik bei abstrakten Lösungen (z. B. „negative Länge wird ausgeschlossen").
  • Bei Aufgaben mit Hauptbedingung in Volumen oder Fläche: Skizze beifügen.

Typische Fehler

  • Nebenbedingung wird mit Hauptbedingung verwechselt.
  • Definitionsbereich wird nicht eingegrenzt, wodurch unmögliche Lösungen entstehen.
  • Randextrema werden vergessen.
  • Hinreichende Bedingung wird nicht geprüft — Sattelpunkt wird als Extremum gewertet.

LK-Vertiefung

eA: Aus einem 30 cm breiten Blech soll eine offene Rinne mit rechteckigem Querschnitt gebogen werden. Bestimmen Sie die Tiefe so, dass der Querschnitt maximal wird; diskutieren Sie die Modellgrenzen.

Aktive Wiederholung

Ein rechteckiges Beet mit Umfang 24 m soll maximale Fläche haben. Stellen Sie die Zielfunktion auf und bestimmen Sie die optimalen Seitenlängen sowie die maximale Fläche.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Inhalt

Abschnitt -- / 06

    • 01Grenzwerte, Stetigkeit und Asymptoten◐
    • 02Ableitungsbegriff und Differenzenquotient○
    • 03Ableitungsregeln und Standardableitungen◐
    • 04Kurvendiskussion — Extrema und Wendepunkte◐
    • 05Tangenten, Normalen und lineare Approximation◐
    • 06Extremwert- und Optimierungsaufgaben●

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Aus den Notizen ins Training

Analysis — Differentialrechnung

Festige dieses Thema an passenden Aufgaben aus der Fragenbank.

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