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Notizen/Angewandte Mathematik/B 4 - Funktionale Zusammenhänge in Anwendungssituationen
Notizen · Angewandte MathematikAT · Matura

B 4 - Funktionale Zusammenhänge in Anwendungssituationen

Lineare, polynome, Exponential-, Logarithmus- und Winkelfunktionen als Modelle für berufliche Situationen. Identifikation, Aufstellen, Auswerten und Interpretieren.

6 Abschnitte·~17 Min Lesezeit·4 Kompetenzen·Niveau Basis 1 · Standard 4 · Vertiefung 1·Stand 06/2026

T·0444 / 13
Prüfungsprofil
B-4.1 · Lineare und polynomiale Funktionen analysierenB-4.2 · Exponential- und Logarithmusfunktionen interpretierenB-4.3 · Winkel- und periodische Funktionen modellierenB-4.4 · Funktionen vergleichen und kombinieren
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Lesetiefe: Vertiefung

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Inhalt · 6 Abschnitte▾
  1. B 4 - Funktionale Zusammenhänge in Anwendungssituationen
    • 01Funktionsbegriff und Darstellungsformen○
    • 02Polynomfunktionen und Nullstellen◐
    • 03Exponential- und Logarithmusfunktionen◐
    • 04Winkel- und periodische Funktionen◐
    • 05Funktionen vergleichen und kombinieren◐
    • 06Gebrochen-rationale Funktionen und Asymptoten●
§ 01

Funktionsbegriff und Darstellungsformen#

●○○BasisLPB-4.1

Kernpunkte

Der Funktionsbegriff ist das Bindeglied zwischen zwei Größen, die voneinander abhängen - Höhe von der Zeit, Kosten von der Stückzahl, Umsatz vom Monat. Eine Funktion ordnet jedem Argument xxx genau einen Funktionswert f(x)f(x)f(x) zu; diese Eindeutigkeit ist das definierende Merkmal (). Zu jedem ttt gehört genau eine Höhe, nie zwei.

Funktion als eindeutige Zuordnung

Funktion als eindeutige ZuordnungSchaubild von f, Nullstellen bei x = 0, Hochpunkt bei (7.083, 6.021), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von 0 bis 1224681012123456f(3) ≈ 4f(0)ff(t)t
Abb. 1Jeder Zeit ttt wird genau ein Funktionswert f(t)f(t)f(t) zugeordnet - hier liest man zur Stelle t=3t=3t=3 den Wert f(3)≈4f(3)\approx 4f(3)≈4 ab.
Dieselbe Funktion lässt sich auf vier Weisen darstellen: als Wertetabelle, als Graph, als Formel und als verbale Beschreibung. In der Matura wird ständig zwischen diesen Formen gewechselt - aus einer Tabelle den Term bestimmen, aus dem Graphen Eigenschaften ablesen, einen Sachverhalt in Worte fassen. Jede Form betont eine andere Facette.
Definitionsmenge DDD und Wertemenge WWW legen fest, welche Eingaben und Ausgaben überhaupt zugelassen sind. Im Sachkontext müssen sie sinnvoll eingeschränkt werden: Zeit t≥0t\geq 0t≥0, Stückzahlen ganzzahlig, eine Höhe nicht negativ. Eine mathematisch definierte Funktion gilt also oft nur auf einem realitätsgerechten Ausschnitt.
Bestimmte Stellen tragen in Anwendungen feste Bedeutungen: Der Funktionswert f(0)f(0)f(0) ist der Anfangs- oder Startwert (Achsenabschnitt), die Nullstellen f(x)=0f(x)=0f(x)=0 markieren Schwellen - den Zeitpunkt, zu dem ein Vorrat aufgebraucht oder der Boden erreicht ist. Diese Stellen liest man gezielt aus Graph oder Term ab.
Monotonie und Symmetrie helfen, eine Funktion einzuordnen: streng monoton steigend bedeutet durchgehende Zunahme, streng monoton fallend durchgehende Abnahme; gerade Funktionen sind achsensymmetrisch, ungerade punktsymmetrisch. Solche Eigenschaften erlauben Aussagen über das Verhalten, noch bevor man einzelne Werte berechnet.
In der Matura zählt schließlich die Verknüpfung von Symbol und Bedeutung: Variablen werden mit Einheit und Kontext eingeführt („ttt in Jahren ab 2020"), und Ausdrücke wie f(3)=4f(3)=4f(3)=4 oder f−1(0)f^{-1}(0)f−1(0) werden in Worten gedeutet - „nach 333 Sekunden beträgt die Höhe 4 m4\,\mathrm{m}4m". Das Vertauschen von Argument und Funktionswert ist hier der klassische Fehler.
f(x)=k x+d,k=ΔyΔx,d=f(0)f(x)=k\,x+d,\quad k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x},\quad d=f(0)f(x)=kx+d,k=ΔxΔy​,d=f(0)

Lineare Funktion: Steigung k, Achsenabschnitt d

Musterbeispiel

Lineare Funktion aus zwei Punkten

Lineare Funktion fff mit f(1)=2,5f(1)=2{,}5f(1)=2,5 und f(4)=10f(4)=10f(4)=10.

  1. 01Steigung

    k=10−2,54−1=2,5k=\tfrac{10-2{,}5}{4-1}=2{,}5k=4−110−2,5​=2,5.

  2. 02Achsenabschnitt

    d=2,5−k⋅1=0d=2{,}5-k\cdot 1=0d=2,5−k⋅1=0.

Ergebnis: f(x)=2,5 xf(x)=2{,}5\,xf(x)=2,5x.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Eine Funktion ordnet jedem Eingangswert genau einen Ausgangswert zu.

  2. 2

    Du kannst sie tabellarisch, grafisch oder als Formel ausdrücken - wähle die geeignete Form.

  3. 3

    In Anwendungen ist der Kontext entscheidend - Variable mit Bedeutung verknüpfen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Zuordnung gibt für jeden Tag des Jahres die mittlere Temperatur in Wien an. Begründe, warum es sich um eine Funktion handelt. (Alle Cluster)

Maturafokus

  • Typ-1-Aufgaben: Funktionsterm aus Tabelle oder Graph identifizieren.
  • In Kontextaufgaben Variable und Einheit klar mit Bedeutung verknüpfen ("ttt in Jahren ab 2020").
  • Beachte: Funktionen müssen oft auf das physikalisch oder ökonomisch Sinnvolle eingeschränkt werden.

Typische Fehler

  • Funktionswert und Argument vertauscht.
  • Definitionsbereich passt nicht zum Kontext.
  • Verbalisierung des Sachverhalts vergessen.

Aktive Wiederholung

Eine Funktion fff mit D=[0; 12]D=[0;\,12]D=[0;12] beschreibt die Höhe in Metern als Funktion der Zeit in Sekunden. Beschreibe, was f(3)=4f(3)=4f(3)=4 und f−1(0)f^{-1}(0)f−1(0) konkret bedeuten.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: BMBWF BHS-Lehrplan Angewandte Mathematik (HTL) (BMBWF) · Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF)

§ 02

Polynomfunktionen und Nullstellen#

●●○StandardLPB-4.1

Kernpunkte

Polynomfunktionen sind die flexibelsten „glatten" Modellfunktionen: Mit wenigen Koeffizienten bilden sie Produktions-, Verkehrs- oder Wachstumsverläufe nach, die steigen, fallen und Extremstellen haben. Ein Polynom f(x)=anxn+⋯+a0f(x)=a_{n}x^{n}+\dots+a_{0}f(x)=an​xn+⋯+a0​ vom Grad nnn hat höchstens nnn reelle Nullstellen und maximal n−1n-1n−1 lokale Extrempunkte.
Das Lösen läuft über die Nullstellen: Rationale Nullstellen lassen sich oft erraten (sie stecken unter den Teilern von a0an\tfrac{a_0}{a_n}an​a0​​) und dann per Polynomdivision abspalten. So zerfällt etwa x3−6x2+11x−6x^{3}-6x^{2}+11x-6x3−6x2+11x−6 über die Probe f(1)=0f(1)=0f(1)=0 schrittweise in (x−1)(x−2)(x−3)(x-1)(x-2)(x-3)(x−1)(x−2)(x−3) - die drei Nullstellen werden unmittelbar sichtbar ().

Kubische Funktion mit drei Nullstellen

Kubische Funktion mit drei NullstellenSchaubild von f, Nullstellen bei x = 1, 2, 3, Hochpunkt bei (1.423, 0.385), Tiefpunkt bei (2.577, -0.385), im Bereich x von 0.3 bis 3.70.511.522.533.5−1−0.50.51x₁ = 1x₂ = 2x₃ = 3ff(x)x
Abb. 2Die faktorisierte Form f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)f(x)=(x−1)(x−2)(x−3) macht die drei Nullstellen sichtbar; dazwischen liegen ein Hoch- und ein Tiefpunkt.
Die faktorisierte Form ist das eigentliche Ziel: Steht das Polynom als Produkt von Linearfaktoren da, liest man jede Nullstelle direkt ab. Eine doppelte Nullstelle bedeutet, dass der Graph die Achse dort nur berührt, statt sie zu schneiden.
Das Verhalten im Unendlichen bestimmen Grad und Leitkoeffizient allein: Bei geradem nnn und an>0a_n>0an​>0 steigt fff auf beiden Seiten gegen +∞+\infty+∞ (parabelartig), bei ungeradem nnn läuft es von −∞-\infty−∞ nach +∞+\infty+∞. Eine Parabel (Grad 2) hat einen Scheitel, ein kubisches Polynom (Grad 3) höchstens ein lokales Maximum und ein lokales Minimum.
In Anwendungen ist die Gültigkeitsgrenze entscheidend: Ein Polynommodell beschreibt einen Vorgang nur in einem begrenzten Bereich. Eine Produktionsfunktion wie −16t3+…-\tfrac{1}{6}t^{3}+\dots−61​t3+… liefert für große ttt negative Werte und wird damit unrealistisch - der dominante höchste Term bestimmt das Langzeitverhalten.
In der Matura wird daher beides geprüft: die rechnerische Nullstellenbestimmung (raten, dividieren, faktorisieren) und das Beurteilen des Modells im Kontext - bis zu welchem Zeitpunkt die Funktion sinnvolle Werte liefert und ab wann eine Extrapolation unzulässig wird.
f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}f(x)=an​xn+an−1​xn−1+⋯+a1​x+a0​

Polynom n-ten Grades

Musterbeispiel

Nullstellen eines kubischen Polynoms

Bestimme die Nullstellen von f(x)=x3−6x2+11x−6f(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6f(x)=x3−6x2+11x−6.

  1. 01Rationale Nullstelle raten

    Teiler von −6-6−6: ±1,±2,±3,±6\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6±1,±2,±3,±6. Probe f(1)=1−6+11−6=0f(1)=1-6+11-6=0f(1)=1−6+11−6=0, also x1=1x_{1}=1x1​=1.

  2. 02Polynomdivision

    x3−6x2+11x−6=(x−1)(x2−5x+6)x^{3}-6x^{2}+11x-6=(x-1)(x^{2}-5x+6)x3−6x2+11x−6=(x−1)(x2−5x+6).

  3. 03Restpolynom faktorisieren

    x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)x2−5x+6=(x−2)(x−3).

Ergebnis: Nullstellen x1=1x_{1}=1x1​=1, x2=2x_{2}=2x2​=2, x3=3x_{3}=3x3​=3.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Prüfe zuerst, ob das Polynom in einfache Faktoren zerlegt werden kann.

  2. 2

    Versuche rationale Nullstellen durch Probieren der Teiler des konstanten Glieds.

  3. 3

    Beurteile das Modell im Kontext - extrapoliere nicht über den sinnvollen Bereich.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Die Tagesproduktion (in Stück) eines Werks wird durch P(t)=−16t3+32t2−2t+10P(t)=-\tfrac{1}{6}t^{3}+\tfrac{3}{2}t^{2}-2t+10P(t)=−61​t3+23​t2−2t+10 (ttt in Stunden seit Schichtbeginn) modelliert. Bestimme den Wert nach 444 Stunden und beurteile, ob das Modell langfristig realistisch ist. (HTL/HUM)

Maturafokus

  • Erkennen, ob das Polynom durch Probieren faktorisierbar ist.
  • Verhalten am Rand des Definitionsbereichs in Wort fassen.
  • In HTL-Aufgaben oft kubische Polynome als Approximation.

Typische Fehler

  • Polynomdivision wird mit falscher Vorzeichen-Verteilung ausgeführt.
  • Nullstellen werden übersehen, weil nicht systematisch geraten wird.
  • Anwendung des Polynoms ausserhalb des Definitionsbereichs.

Aktive Wiederholung

Bestimme alle Nullstellen von f(x)=x3−7x+6f(x)=x^{3}-7x+6f(x)=x3−7x+6 und gib das Monotonieverhalten an.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: BMBWF BHS-Lehrplan Angewandte Mathematik (HTL) (BMBWF) · Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF)

§ 03

Exponential- und Logarithmusfunktionen#

●●○StandardLPB-4.2

Kernpunkte

Exponentielles Wachstum ist der Motor hinter Zinsen, Populationen und radioaktivem Zerfall: Nicht ein fester Betrag, sondern ein fester Prozentsatz kommt pro Zeitschritt hinzu oder fällt weg. Die Exponentialfunktion f(x)=a⋅bxf(x)=a\cdot b^{x}f(x)=a⋅bx mit b>0b>0b>0, b≠1b\neq 1b=1 beschreibt das - Wachstum für b>1b>1b>1, Zerfall für 0<b<10<b<10<b<1 ().

Exponentielles Wachstum vs. Zerfall

Exponentielles Wachstum vs. ZerfallSchaubild von N(t) = N₀·a^t, a > 1, y-Achsenabschnitt bei y = 1, steigend, im Bereich x von 0 bis 8, Schaubild von a < 1 (Zerfall), y-Achsenabschnitt bei y = 1, fallend, im Bereich x von 0 bis 8, waagerechte Asymptote bei y = 012345678510152025N₀N → 0N(t) = N₀·at, a> 1a < 1 (Zerfall)Nt
Abb. 3Wachstumsfaktor a>1a > 1a>1 liefert J-Kurve, a<1a < 1a<1 asymptotischen Zerfall.
Der Unterschied zum linearen Modell ist der Kern dieses Themas: Lineares Wachstum addiert in gleichen Schritten denselben Betrag (konstante Differenzen), exponentielles multipliziert mit demselben Faktor (konstante Quotienten). Anfangs wirkt das exponentielle Modell harmlos, überholt das lineare aber unweigerlich (, ).

Lineares Wachstum (jährliche Werte)

Lineares Wachstum L(t) = 100 + 50tSchaubild von L(t), y-Achsenabschnitt bei y = 100, steigend, im Bereich x von 0 bis 2051015202004006008001000L(t)Wertt (Jahre)
Abb. 4Lineares Modell L(t)=100+50tL(t)=100+50tL(t)=100+50t: gleichbleibende Zunahme von 505050 pro Jahr (zum exponentiellen Vergleich siehe nebenstehenden Graphen E(t)=100⋅1,10tE(t)=100\cdot 1{,}10^{t}E(t)=100⋅1,10t).

Exponentielles Wachstum E(t)=100·1,10t

Exponentielles Wachstum E(t) = 100·1,10ᵗSchaubild von E(t), y-Achsenabschnitt bei y = 100, steigend, im Bereich x von 0 bis 205101520100200300400500600700T₂ ≈ 7,3E(t)E(t)t (Jahre)
Abb. 510 % jährliches Wachstum, Verdopplungszeit ca. 7,3 Jahre.
Die alternative Schreibweise f(x)=a⋅ekxf(x)=a\cdot \mathrm{e}^{kx}f(x)=a⋅ekx trennt Anfangswert aaa und stetige Wachstumsrate kkk sauber: k>0k>0k>0 bedeutet Wachstum, k<0k<0k<0 Zerfall. Der Zusammenhang zur prozentualen Änderung ist b=1+r=ekb=1+r=\mathrm{e}^{k}b=1+r=ek - ein Wachstumsfaktor b=1,07b=1{,}07b=1,07 entspricht also 7 %7\,\%7% Zunahme pro Schritt.
Zwei charakteristische Zeiten beschreiben das Tempo unabhängig vom Anfangswert: die Verdopplungszeit T2=ln⁡2kT_{2}=\tfrac{\ln 2}{k}T2​=kln2​ und die Halbwertszeit T1/2=−ln⁡2kT_{1/2}=-\tfrac{\ln 2}{k}T1/2​=−kln2​. Beim Zerfall ist k<0k<0k<0, sodass T1/2T_{1/2}T1/2​ positiv herauskommt - die Halbwertszeit als positive Zahl trotz negativen Exponenten anzugeben, ist hier die Standard-Stolperfalle.
Die Logarithmusfunktion g(x)=log⁡a(x)g(x)=\log_{a}(x)g(x)=loga​(x) ist die Umkehrfunktion von f(x)=axf(x)=a^{x}f(x)=ax und damit das Werkzeug, um die Zeit aus dem Exponenten zu holen. Sie hat die Nullstelle g(1)=0g(1)=0g(1)=0 und keinen yyy-Achsenabschnitt, da g(0)g(0)g(0) nicht definiert ist - der Graph schmiegt sich für x→0+x\to 0^{+}x→0+ an die negative yyy-Achse.
In Anwendungen wird genau diese Umkehrung gebraucht: „Nach wie vielen Jahren?" führt auf eine Exponentialgleichung, die man logarithmiert. Die Antwort ist eine Verdopplungs- oder Halbwertszeit, die man im Kontext deutet - und bei „ganzen Jahren" je nach Frage aufrundet.
f(x)=a⋅bx  oder  f(x)=a⋅ekxf(x)=a\cdot b^{x}\;\text{oder}\;f(x)=a\cdot \mathrm{e}^{kx}f(x)=a⋅bxoderf(x)=a⋅ekx

Exponentialfunktion (Wachstum/Zerfall)

T2=ln⁡2k,T1/2=−ln⁡2kT_{2}=\dfrac{\ln 2}{k},\quad T_{1/2}=-\dfrac{\ln 2}{k}T2​=kln2​,T1/2​=−kln2​

Verdopplungs- und Halbwertszeit

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Musterbeispiel

Exponentieller Zerfall - Halbwertszeit

Eine radioaktive Substanz hat eine Halbwertszeit von T1/2=8,1T_{1/2}=8{,}1T1/2​=8,1 Tagen. Welcher Anteil ist nach 303030 Tagen noch vorhanden?

  1. 01Modell

    N(t)=N0⋅(12)t/T1/2N(t)=N_{0}\cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}N(t)=N0​⋅(21​)t/T1/2​.

  2. 02Einsetzen

    N(30)N0=(12)30/8,1=0,53,704≈0,0768\tfrac{N(30)}{N_{0}}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{30/8{,}1}=0{,}5^{3{,}704}\approx 0{,}0768N0​N(30)​=(21​)30/8,1=0,53,704≈0,0768.

  3. 03Interpretation

    Nach 303030 Tagen sind noch ca. 7,7 %7{,}7\,\%7,7% der ursprünglichen Menge vorhanden.

Ergebnis: Restmenge ≈7,7 %\approx 7{,}7\,\%≈7,7%.

Musterbeispiel

Verdopplungszeit beim Sparkonto

Ein Sparbuch wird mit 3 %3\,\%3% pro Jahr verzinst. Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital verdoppelt?

  1. 01Wachstumsgleichung

    Kn=K0⋅1,03n=2K0K_{n}=K_{0}\cdot 1{,}03^{n}=2K_{0}Kn​=K0​⋅1,03n=2K0​.

  2. 02Durch K₀ teilen

    1,03n=21{,}03^{n}=21,03n=2.

  3. 03Logarithmieren

    n=ln⁡2ln⁡1,03≈0,69310,02956≈23,45n=\tfrac{\ln 2}{\ln 1{,}03}\approx \tfrac{0{,}6931}{0{,}02956}\approx 23{,}45n=ln1,03ln2​≈0,029560,6931​≈23,45.

  4. 04Aufrunden

    Erstmals nach 242424 vollen Jahren ist das Kapital verdoppelt.

Ergebnis: Nach rund 24 Jahren ist die Verdopplung erreicht.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Erkenne das Modell - prozentuale Änderungen pro Periode bedeuten exponentiell.

    Exponentielles Wachstum vs. Zerfall

    Exponentielles Wachstum vs. ZerfallSchaubild von N(t) = N₀·a^t, a > 1, y-Achsenabschnitt bei y = 1, steigend, im Bereich x von 0 bis 8, Schaubild von a < 1 (Zerfall), y-Achsenabschnitt bei y = 1, fallend, im Bereich x von 0 bis 8, waagerechte Asymptote bei y = 012345678510152025N₀N → 0N(t) = N₀·at, a> 1a < 1 (Zerfall)Nt
    Abb.Wachstumsfaktor a>1a > 1a>1 liefert J-Kurve, a<1a < 1a<1 asymptotischen Zerfall.
  2. 2

    Verdopplungs- und Halbwertszeit ergeben sich direkt aus ln⁡2\ln 2ln2 geteilt durch den Wachstumsfaktor.

  3. 3

    Vergleiche immer Werte am Anfang und nach einer charakteristischen Zeit - das prüft die Plausibilität.

    Exponentielles Wachstum E(t)=100·1,10t

    Exponentielles Wachstum E(t) = 100·1,10ᵗSchaubild von E(t), y-Achsenabschnitt bei y = 100, steigend, im Bereich x von 0 bis 205101520100200300400500600700T₂ ≈ 7,3E(t)E(t)t (Jahre)
    Abb.10 % jährliches Wachstum, Verdopplungszeit ca. 7,3 Jahre.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Die Anzahl einer Tierpopulation lässt sich durch N(t)=350⋅1,04tN(t)=350\cdot 1{,}04^{t}N(t)=350⋅1,04t (ttt in Jahren) beschreiben. Bestimme die Verdopplungszeit und interpretiere sie. (HUM/HTL)

Maturafokus

  • Erkennen, ob lineares oder exponentielles Modell besser passt (gleiche Differenzen vs. gleiche Quotienten).
  • Wachstum vs. Zerfall über Vorzeichen von kkk unterscheiden.
  • Bei Anwendungen Verdopplungs-/Halbwertszeit explizit ausrechnen können.

Typische Fehler

  • Verwechslung lineares und exponentielles Wachstum.
  • Halbwertszeit als positive Zahl angeben, obwohl der Exponent negativ ist.
  • Wachstumsrate mit Wachstumsfaktor verwechselt.

Aktive Wiederholung

Eine Bakterienkultur wachst mit 7 %7\,\%7% pro Stunde. Wie lange dauert es, bis sich die Anzahl verdoppelt hat?

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 04

Winkel- und periodische Funktionen#

●●○StandardLPB-4.3

Kernpunkte

Viele technische und natürliche Vorgänge wiederholen sich periodisch - Wechselspannung, Schallwellen, Gezeiten, saisonale Umsätze. Solche Schwingungen modelliert man mit Sinus- und Kosinusfunktion, den periodischen Grundbausteinen mit Periode 2π2\pi2π und Wertebereich [−1, 1][-1,\,1][−1,1].
Die allgemeine Schwingung f(t)=A⋅sin⁡(ωt+φ)+df(t)=A\cdot \sin(\omega t+\varphi)+df(t)=A⋅sin(ωt+φ)+d entsteht aus dem reinen Sinus durch vier Parameter mit klarer Bedeutung: AAA ist die Amplitude (halbe Schwingungsweite), ddd die Mittellage (Verschiebung nach oben), ω\omegaω die Kreisfrequenz und φ\varphiφ die Phasenverschiebung (). Die Funktion schwingt damit zwischen d−Ad-Ad−A und d+Ad+Ad+A.

Allgemeine Sinusschwingung

Sinusschwingung A·sin(ωt)+dSchaubild von f, Hochpunkt bei (3.142, 14), Tiefpunkt bei (9.425, 6), y-Achsenabschnitt bei y = 10, im Bereich x von 0 bis 14246810121446810121416d = 10ff(t)t
Abb. 6Schwingung f(t)=4sin⁡(0,5 t)+10f(t)=4\sin(0{,}5\,t)+10f(t)=4sin(0,5t)+10: Mittellage d=10d=10d=10, Amplitude A=4A=4A=4 (Werte zwischen 666 und 141414), Periode T=2π0,5≈12,6T=\tfrac{2\pi}{0{,}5}\approx 12{,}6T=0,52π​≈12,6.
Die Kreisfrequenz hängt über ω=2πT\omega=\tfrac{2\pi}{T}ω=T2π​ mit der Periodendauer TTT zusammen, der Zeit für eine volle Schwingung. Die Frequenz f=1Tf=\tfrac{1}{T}f=T1​ zählt die Schwingungen pro Sekunde und wird in Hertz angegeben - bei Netzwechselspannung etwa 50 Hz50\,\mathrm{Hz}50Hz.
Hier ist sauber zu trennen: Frequenz fff (Schwingungen pro Sekunde) und Kreisfrequenz ω=2πf\omega=2\pi fω=2πf (Bogenmaß pro Sekunde) unterscheiden sich um den Faktor 2π2\pi2π. Ebenso ist die Phasenverschiebung φ\varphiφ (waagrechte Verschiebung) nicht die Mittellage ddd (senkrechte Verschiebung) - beide zu verwechseln, ist die häufigste Fehlerquelle.
Da das Argument ωt+φ\omega t+\varphiωt+φ ein Winkel ist, rechnet man im Bogenmass (360∘=2π360^{\circ}=2\pi360∘=2π, 90∘=π290^{\circ}=\tfrac{\pi}{2}90∘=2π​), und der Rechnermodus muss auf RAD stehen. Aus einem gegebenen Graphen liest man die Parameter umgekehrt ab: Mittellage und Amplitude aus Hoch- und Tiefpunkt, die Periode aus dem Abstand zweier Hochpunkte.
In Anwendungen folgt die Interpretation der Parameter: Bei der Wechselspannung U(t)=U0sin⁡(ωt)U(t)=U_0\sin(\omega t)U(t)=U0​sin(ωt) ist U0U_0U0​ die Spitzenspannung und Ueff=U02U_{\text{eff}}=\tfrac{U_0}{\sqrt 2}Ueff​=2​U0​​ der Effektivwert (230 V230\,\mathrm{V}230V im Netz), bei Gezeiten gibt ddd den mittleren Wasserstand und AAA den Tidenhub an.
f(t)=Asin⁡(ωt+φ)+d,ω=2πTf(t)=A\sin(\omega t+\varphi)+d,\quad \omega=\dfrac{2\pi}{T}f(t)=Asin(ωt+φ)+d,ω=T2π​

Allgemeine Sinusschwingung

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Musterbeispiel

Wechselspannung analysieren

U(t)=2302⋅sin⁡(2π⋅50⋅t)U(t)=230\sqrt{2}\cdot \sin(2\pi\cdot 50\cdot t)U(t)=2302​⋅sin(2π⋅50⋅t) V; bestimme Amplitude und Effektivwert.

  1. 01Amplitude

    U0=2302≈325,3 VU_{0}=230\sqrt{2}\approx 325{,}3\,\mathrm{V}U0​=2302​≈325,3V.

  2. 02Effektivwert

    Ueff=U02=230 VU_{\text{eff}}=\tfrac{U_{0}}{\sqrt{2}}=230\,\mathrm{V}Ueff​=2​U0​​=230V.

  3. 03Periodendauer

    T=150=0,02 s=20 msT=\tfrac{1}{50}=0{,}02\,\mathrm{s}=20\,\mathrm{ms}T=501​=0,02s=20ms.

Ergebnis: Amplitude ≈325,3\approx 325{,}3≈325,3 V, Effektivwert 230230230 V, Periode 202020 ms.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Sinus- und Kosinusfunktion sind die Grundbausteine aller Schwingungen.

  2. 2

    Erkenne die Parameter Amplitude, Periode und Verschiebung sofort am Graph.

  3. 3

    Achte bei Anwendungen auf den Modus deines Taschenrechners.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Funktion f(t)=4sin⁡(0,5⋅t)+10f(t)=4\sin(0{,}5\cdot t)+10f(t)=4sin(0,5⋅t)+10 beschreibt die Wassertiefe in einem Hafen. Bestimme Periodendauer, Maximalwert und Minimalwert. (HUM)

Maturafokus

  • HTL: Wechselspannung U(t)=U0sin⁡(ωt)U(t)=U_{0}\sin(\omega t)U(t)=U0​sin(ωt), Berechnung von Frequenz und Amplitude.
  • Tourismus/HUM: saisonale Schwankungen, Periode meist 12 Monate.
  • Parameter aus Graph ablesen: Hochpunkt, Tiefpunkt, Periodendauer.

Typische Fehler

  • Frequenz und Kreisfrequenz verwechselt.
  • Phasenverschiebung mit Verschiebung nach oben verwechselt.
  • Taschenrechnermodus DEG/RAD nicht angepasst.

Aktive Wiederholung

Eine Wechselspannung wird durch U(t)=325⋅sin⁡(2π⋅50⋅t)U(t)=325\cdot \sin(2\pi\cdot 50\cdot t)U(t)=325⋅sin(2π⋅50⋅t) (in Volt, ttt in Sekunden) beschrieben. Bestimme Amplitude, Periodendauer und Frequenz.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 05

Funktionen vergleichen und kombinieren#

●●○StandardLPB-4.4

Kernpunkte

Selten steht eine Funktion allein - meist will man zwei Modelle gegenüberstellen (Tarif A gegen B, Kosten gegen Erlös) oder aus einfachen Funktionen eine zusammengesetzte bauen. Beim Vergleich gehören Schnittpunkte, Definitionsbereich und Werteverlauf zusammen betrachtet.
Die Schnittstellen sind der Kern jedes Vergleichs: Man setzt f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x) und löst. An den Lösungen sind beide Funktionen gleich; dazwischen liegt jeweils die eine über der anderen. Für f(x)=2x2−4f(x)=2x^{2}-4f(x)=2x2−4 und g(x)=x2+5g(x)=x^{2}+5g(x)=x2+5 etwa schneiden sich die Kurven bei x=±3x=\pm 3x=±3, und im Bereich ∣x∣<3|x|<3∣x∣<3 verläuft fff unterhalb von ggg ().

Zwei Funktionen vergleichen

Schnittstellen zweier FunktionenSchaubild von f, Nullstellen bei x = -1.414, 1.414, Tiefpunkt bei (0, -4), y-Achsenabschnitt bei y = -4, im Bereich x von -4 bis 4, Schaubild von g, Tiefpunkt bei (0, 5), y-Achsenabschnitt bei y = 5, im Bereich x von -4 bis 4−4−3−2−1123451015202530S₁S₂fgyx
Abb. 7Die Parabeln f(x)=2x2−4f(x)=2x^{2}-4f(x)=2x2−4 und g(x)=x2+5g(x)=x^{2}+5g(x)=x2+5 schneiden sich bei x=±3x=\pm 3x=±3; dazwischen (∣x∣<3|x|<3∣x∣<3) verläuft fff unterhalb von ggg.
Die Verkettung (f∘g)(x)=f(g(x))(f\circ g)(x)=f(g(x))(f∘g)(x)=f(g(x)) schaltet zwei Funktionen hintereinander: Zuerst wirkt die innere Funktion ggg, dann die äußere fff. Sie ist nicht das Produkt f(x)⋅g(x)f(x)\cdot g(x)f(x)⋅g(x) - diese Verwechslung ist ein häufiger Fehler. Verkettungen modellieren mehrstufige Prozesse, etwa „Menge hängt vom Preis ab, Preis von der Zeit".
Die Umkehrfunktion f−1f^{-1}f−1 dreht die Zuordnung um und existiert nur, wenn fff umkehrbar (bijektiv) ist - in Anwendungen oft erst nach Einschränkung auf einen monotonen Teilbereich. Sie beantwortet die Rückwärtsfrage: nicht „welcher Wert bei dieser Zeit?", sondern „bei welcher Zeit dieser Wert?".
Vier Transformationen verändern einen Graphen vorhersehbar: f(x−a)f(x-a)f(x−a) verschiebt um aaa nach rechts, f(x)+cf(x)+cf(x)+c um ccc nach oben, c⋅f(x)c\cdot f(x)c⋅f(x) streckt vertikal und −f(x)-f(x)−f(x) spiegelt an der xxx-Achse. Besonders die waagrechte Verschiebung wirkt entgegen der Intuition - f(x−a)f(x-a)f(x−a) verschiebt nach rechts, nicht nach links.
In Anwendungen läuft der Vergleich oft auf die Frage „worauf reagiert das Modell stärker?" hinaus - dann vergleicht man Änderungsraten bzw. Steigungen. In der Matura sind Schnittstellen exakt zu berechnen und das Ergebnis im Sachkontext zu deuten (ab welcher Menge das eine Modell günstiger ist).
(f∘g)(x)=f(g(x))(f\circ g)(x)=f(g(x))(f∘g)(x)=f(g(x))

Verkettung

Musterbeispiel

Schnittstellen zweier Funktionen

Bestimme Schnittstellen von f(x)=2x2−4f(x)=2x^{2}-4f(x)=2x2−4 und g(x)=x2+5g(x)=x^{2}+5g(x)=x2+5.

  1. 01Gleichsetzen

    2x2−4=x2+5⇒x2=92x^{2}-4=x^{2}+5 \Rightarrow x^{2}=92x2−4=x2+5⇒x2=9.

  2. 02Lösungen

    x=±3x=\pm 3x=±3.

  3. 03Vergleich

    Für ∣x∣<3|x|<3∣x∣<3: f<gf<gf<g; für ∣x∣>3|x|>3∣x∣>3: f>gf>gf>g.

Ergebnis: Schnittstellen x=±3x=\pm 3x=±3, f<gf<gf<g auf (−3; 3)(-3;\,3)(−3;3).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Beim Vergleich zweier Funktionen sind Schnittstellen die Schlüsselinformation.

  2. 2

    In Anwendungen prüfe, in welchem Bereich welche Funktion dominiert.

  3. 3

    Verkettungen können komplexe Modelle aus einfachen Bausteinen aufbauen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Gegeben sind f(x)=3x+2f(x)=3x+2f(x)=3x+2 und g(x)=x2−2x+3g(x)=x^{2}-2x+3g(x)=x2−2x+3. Bestimme die Schnittstellen. (Alle Cluster)

Maturafokus

  • Schnittstellen exakt berechnen, dann gemeinsame Eigenschaften prüfen.
  • Inverse Funktionen vor allem bei Tarifumkehrungen.
  • Verkettungen bei zusammengesetzten Modellen.

Typische Fehler

  • Verkettung wird mit Produkt verwechselt.
  • Inverse Funktion ohne Domain-Einschränkung.
  • Translation in falscher Richtung.

Aktive Wiederholung

Vergleiche f(x)=2x2−4f(x)=2x^{2}-4f(x)=2x2−4 und g(x)=x2+5g(x)=x^{2}+5g(x)=x2+5. Bestimme Schnittstellen und Bereich, in dem f<gf<gf<g gilt.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 06

Gebrochen-rationale Funktionen und Asymptoten#

●●●VertiefungLPB-4.1LPB-4.4

Kernpunkte

Sobald eine Größe als Verhältnis modelliert wird - Durchschnittskosten pro Stück, Konzentration pro Volumen -, entstehen gebrochen-rationale Funktionen: Quotienten zweier Polynome f(x)=z(x)n(x)f(x)=\tfrac{z(x)}{n(x)}f(x)=n(x)z(x)​ mit n(x)≠0n(x)\neq 0n(x)=0. Ihr neues Merkmal sind Definitionslücken und das Verhalten an Asymptoten.
Der erste Schritt ist stets der Definitionsbereich: An den Nullstellen des Nenners ist die Funktion nicht definiert, sie werden ausgeschlossen (D=R∖{x∣n(x)=0}D=\mathbb{R}\setminus\{x\mid n(x)=0\}D=R∖{x∣n(x)=0}). Diese Stellen vorab zu bestimmen, verhindert den häufigsten Fehler - mit verbotenen Werten weiterzurechnen.
An einer Nennernullstelle entscheidet der Zähler über die Art der Lücke. Ist der Zähler dort ungleich null, liegt eine Polstelle vor: eine senkrechte Asymptote, an der der Graph gegen ±∞\pm\infty±∞ strebt (). Ist der Zähler dort ebenfalls null, ist die Lücke nach Kürzen behebbar - der Graph hat nur ein „Loch", keine Asymptote. Pol und behebbare Lücke zu verwechseln, kostet regelmäßig Punkte.

Gebrochen-rationale Funktion mit Asymptoten

Polstelle und waagrechte AsymptoteSchaubild von f, Nullstellen bei x = -2, Hochpunkt bei (3, -9999994.615), y-Achsenabschnitt bei y = -1.333, im Bereich x von -6 bis 12, senkrechte Asymptote bei x = 3, waagerechte Asymptote bei y = 2−5510−10−551015x = 3y = 2ff(x)x
Abb. 8Die Funktion f(x)=2x+4x−3f(x)=\tfrac{2x+4}{x-3}f(x)=x−32x+4​ hat die senkrechte Asymptote (Polstelle) x=3x=3x=3 und die waagrechte Asymptote y=2y=2y=2.
Das Verhalten für x→±∞x\to\pm\inftyx→±∞ liefert die waagrechte oder schräge Asymptote über den Gradvergleich: Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, gilt y=0y=0y=0; sind die Grade gleich, ist die Asymptote der Quotient der Leitkoeffizienten (nicht y=0y=0y=0!); ist der Zählergrad um eins größer, entsteht eine schräge Asymptote.
Anschaulich ist eine Asymptote eine Linie, der sich der Graph beliebig nähert, ohne sie zu erreichen. Für f(x)=2x+4x−3f(x)=\tfrac{2x+4}{x-3}f(x)=x−32x+4​ etwa folgt aus gleichem Grad die waagrechte Asymptote y=21=2y=\tfrac{2}{1}=2y=12​=2, aus der Nennernullstelle die Polstelle x=3x=3x=3.
In wirtschaftlichen Anwendungen tragen diese Begriffe Bedeutung: Bei den Durchschnittskosten Kˉ(x)=K(x)x\bar K(x)=\tfrac{K(x)}{x}Kˉ(x)=xK(x)​ erklärt die schräge Asymptote die Fixkostendegression, und das Minimum von Kˉ\bar KKˉ ist das Betriebsoptimum. In der Matura prüfen die Operatoren „bestimmen" (Lücken, Asymptoten) und „untersuchen" (Verhalten an den Rändern) genau dieses Zusammenspiel.
f(x)=z(x)n(x),D=R∖{x∣n(x)=0}f(x)=\dfrac{z(x)}{n(x)},\quad D=\mathbb{R}\setminus\{x\mid n(x)=0\}f(x)=n(x)z(x)​,D=R∖{x∣n(x)=0}

Gebrochen-rationale Funktion

Musterbeispiel

Definitionsbereich, Polstelle und Asymptote

Untersuche f(x)=2x+4x−3f(x)=\tfrac{2x+4}{x-3}f(x)=x−32x+4​.

  1. 01Schritt 1 - Definitionsbereich

    Nenner null bei x=3x=3x=3, also D=R∖{3}D=\mathbb{R}\setminus\{3\}D=R∖{3}.

  2. 02Schritt 2 - Polstelle

    Bei x=3x=3x=3 ist der Zähler 2⋅3+4=10≠02\cdot 3+4=10\neq 02⋅3+4=10=0 - es liegt eine Polstelle (senkrechte Asymptote x=3x=3x=3) vor.

  3. 03Schritt 3 - Waagrechte Asymptote

    Gleicher Grad (1 und 1): y→21=2y\to \tfrac{2}{1}=2y→12​=2 für x→±∞x\to\pm\inftyx→±∞, also waagrechte Asymptote y=2y=2y=2.

Ergebnis: D=R∖{3}D=\mathbb{R}\setminus\{3\}D=R∖{3}, Polstelle bei x=3x=3x=3, waagrechte Asymptote y=2y=2y=2.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Durchschnittskostenfunktion lautet Kˉ(x)=0,5x2+200x\bar K(x)=\tfrac{0{,}5x^{2}+200}{x}Kˉ(x)=x0,5x2+200​. Bestimme den Definitionsbereich und untersuche das Verhalten für x→0+x\to 0^{+}x→0+ und x→∞x\to\inftyx→∞. (HAK)

Maturafokus

  • Operator "Bestimmen": Definitionsbereich und Polstellen über die Nennernullstellen ermitteln.
  • Operator "Untersuchen": Verhalten an Definitionslücken und im Unendlichen analysieren.
  • Polstelle und behebbare Lücke sauber unterscheiden.

Typische Fehler

  • Nennernullstellen nicht aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen.
  • Polstelle und behebbare Lücke verwechselt (Kürzen übersehen).
  • Waagrechte Asymptote bei gleichem Grad falsch (nicht y=0y=0y=0, sondern Quotient der Leitkoeffizienten).

Aktive Wiederholung

Untersuche f(x)=2x+4x−3f(x)=\dfrac{2x+4}{x-3}f(x)=x−32x+4​ auf Definitionsbereich, Polstelle und waagrechte Asymptote.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Inhalt

Abschnitt -- / 06

    • 01Funktionsbegriff und Darstellungsformen○
    • 02Polynomfunktionen und Nullstellen◐
    • 03Exponential- und Logarithmusfunktionen◐
    • 04Winkel- und periodische Funktionen◐
    • 05Funktionen vergleichen und kombinieren◐
    • 06Gebrochen-rationale Funktionen und Asymptoten●

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Aus den Notizen ins Training

B 4 - Funktionale Zusammenhänge in Anwendungssituationen

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Beispielfrage

Eine Zuordnung gibt für jeden Tag des Jahres die mittlere Temperatur in Wien an. Begründe, warum es sich um eine Funktion handelt. (Alle Cluster)

2 BE · 2023

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Belege & Quellen

Quellen

BMBWF

  • BMBWF BHS-Lehrplan Angewandte Mathematik (HTL)
  • Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS)

IQS / BMBWF

  • SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik

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