B 5 - Differentialrechnung in Anwendungen — Angewandte Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Mittlere und momentane Änderungsrate#

BasisB-5.1

Die Differentialrechnung beantwortet die Frage „wie schnell ändert sich etwas?". Der Einstieg ist die mittlere Änderungsrate

\overline{f}(a,b)=\tfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

- die durchschnittliche Änderung über ein Intervall, geometrisch die Steigung der Sekante durch die beiden Randpunkte ().

Differentialquotient - Sekante wird Tangente

Abb. 1Bei

h \to 0

geht die mittlere Änderungsrate in die momentane über.

Lässt man die beiden Punkte zusammenrücken (Intervallbreite

h\to 0

), wird aus der Sekante die Tangente und aus der mittleren die momentane Änderungsrate

f'(x_0)

. Genau dieser Grenzübergang definiert die Ableitung als Differentialquotient

f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\tfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

.

Anschaulich ist die Ableitung also die Tangentensteigung im Punkt - der Wert, gegen den die Sekantensteigungen streben. Eine mittlere Rate beschreibt ein ganzes Intervall, eine momentane Rate genau einen Zeitpunkt; diese beiden klar zu trennen, ist die zentrale Hürde des Themas.

In der Physik ist das die Brücke von der mittleren Geschwindigkeit

\bar v=\tfrac{\Delta s}{\Delta t}

zur momentanen Geschwindigkeit

v(t)=s'(t)

- dem, was der Tacho anzeigt. So wird aus einer Weg-Zeit-Funktion durch Ableiten die Geschwindigkeit.

In der Wirtschaft heißt die Ableitung der Kostenfunktion Grenzkosten

K'(x)

- näherungsweise die Kosten der nächsten produzierten Einheit. Analog gibt es Grenzerlös und Grenzgewinn; diese Grenzgrößen sind das Fundament der Wirtschaftsmathematik (B 11).

Entscheidend für die volle Punktzahl ist die Einheit und Deutung: Die Ableitung trägt die Einheit von

f

pro Einheit von

x

- EUR/Stück, m/s, Tiere/Jahr. Eine Angabe wie

f'(5)=120

muss daher als „zum Zeitpunkt

5

wächst der Bestand momentan um

120

Einheiten pro Jahr" gedeutet werden.

\overline{f}(a,b)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

Mittlere Änderungsrate

f'(x_{0})=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}

Differentialquotient (Ableitung an der Stelle x₀)

Musterbeispiel

Momentangeschwindigkeit aus Weg-Zeit-Funktion

Der Weg eines beschleunigten Fahrzeugs ist $s(t)=2t^{2}+5t$ (in m, $t$ in s). Bestimme die momentane Geschwindigkeit bei $t=3\,\mathrm{s}$ .

Ableitung bilden
$v(t)=s'(t)=4t+5$ .
Einsetzen
$v(3)=4\cdot 3+5=17\,\mathrm{m/s}$ .

Ergebnis: Momentane Geschwindigkeit bei $t=3\,\mathrm{s}$ : $v=17\,\mathrm{m/s}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten.
Differentialquotient - Sekante wird Tangente
Abb.Bei $h \to 0$ geht die mittlere Änderungsrate in die momentane über.
2
Wenn der Abstand $h$ gegen Null geht, wird die Sekante zur Tangente und ergibt die momentane Änderungsrate.
3
Im Sachkontext verbinde immer die Einheit von Output durch Input mit einer kurzen Interpretation.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Die Funktion

f

beschreibt den Bestand einer Population. Erkläre die Bedeutung von

f'(5)=120

im Kontext, wenn

f(t)

die Population zur Zeit

t

(in Jahren) angibt. (HUM)

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Typische Fehler

Mittlere und momentane Rate werden nicht klar getrennt.
Einheit der Ableitung wird vergessen oder falsch angegeben.
Tangentenpunkt mit Punkt der durchschnittlichen Steigung verwechselt.

Aktive Wiederholung

Die Kostenfunktion eines Betriebs lautet $K(x)=0{,}5x^{2}+20x+1000$ . Berechne die mittlere Änderungsrate zwischen $x=100$ und $x=200$ und interpretiere.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

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Ableitungsregeln#

StandardB-5.2

Statt jede Ableitung mühsam über den Grenzwert zu bestimmen, gibt es einen kompakten Satz von Regeln, mit dem sich praktisch jede in der Matura auftretende Funktion ableiten lässt. Der erste Schritt ist immer, die Struktur der Funktion zu erkennen - Polynom, Produkt, Quotient oder Verkettung -, denn sie bestimmt die anzuwendende Regel.

Die Grundregeln decken Polynome ab: die Potenzregel

(x^{n})'=n\,x^{n-1}

, die Konstantenregel

c'=0

(eine additive Konstante verschwindet) und die Summenregel (gliedweise ableiten). Ein konstanter Faktor bleibt erhalten -

(c\cdot f)'=c\cdot f'

-, was beim Ableiten leicht verloren geht.

Die Ableitungen der wichtigen Standardfunktionen muss man parat haben:

(\mathrm{e}^{x})'=\mathrm{e}^{x}

,

(\ln x)'=\tfrac{1}{x}

,

(\sin x)'=\cos x

und

(\cos x)'=-\sin x

. Sie sind die Bausteine, die mit den Verknüpfungsregeln kombiniert werden.

Für zusammengesetzte Terme dienen Produktregel

(uv)'=u'v+uv'

und Quotientenregel

\big(\tfrac{u}{v}\big)'=\tfrac{u'v-uv'}{v^{2}}

. Bei der Quotientenregel ist die Reihenfolge im Zähler entscheidend - ein vertauschtes Vorzeichen ist ein klassischer Fehler.

Die Kettenregel

(u(v(x)))'=u'(v(x))\cdot v'(x)

ist die wichtigste für angewandte Modelle: Bei

\mathrm{e}^{-0{,}3t}

liefert sie den inneren Faktor

-0{,}3

, also

(\mathrm{e}^{-0{,}3t})'=-0{,}3\,\mathrm{e}^{-0{,}3t}

. Genau diesen inneren Faktor zu vergessen, ist der häufigste Fehler bei Wachstums- und Zerfallsfunktionen.

Zwar liefert das CAS die Ableitung auf Knopfdruck - in der Matura muss aber die zugrunde liegende Regel erkennbar dargestellt werden. Ein kurzer Hinweis auf die verwendete Regel („mit Produkt- und Kettenregel") sichert die Nachvollziehbarkeit und damit die Punkte.

(x^{n})'=n\,x^{n-1},\quad (\mathrm{e}^{kx})'=k\,\mathrm{e}^{kx},\quad (\ln x)'=\tfrac{1}{x}

Wichtige Ableitungsregeln

(u\cdot v)'=u'v+uv',\quad (u\circ v)'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)

Produktregel und Kettenregel

Musterbeispiel

Kettenregel bei Exponentialfunktion

Leite $f(t)=100\cdot \mathrm{e}^{-0{,}3t}$ ab.

Aussere Funktion
$u(z)=100\mathrm{e}^{z}$ mit $u'(z)=100\mathrm{e}^{z}$ .
Innere Funktion
$v(t)=-0{,}3t$ mit $v'(t)=-0{,}3$ .
Kettenregel
$f'(t)=u'(v)\cdot v'(t)=100\mathrm{e}^{-0{,}3t}\cdot(-0{,}3)=-30\mathrm{e}^{-0{,}3t}$ .

Ergebnis: $f'(t)=-30\,\mathrm{e}^{-0{,}3t}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Identifiziere zuerst die Struktur der Funktion - Polynom, Produkt, Komposition?
2
Wähle dann die geeignete Regel und arbeite sauber Schritt für Schritt.
3
Prüfe das Ergebnis durch Einsetzen einer einfachen Stelle.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Bilde die Ableitung der Funktion

f(x)=3x^{4}-2x^{2}+5

. (Alle Cluster)

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Typische Fehler

Faktor $k$ in Kettenregel bei $(\mathrm{e}^{kx})'$ vergessen.
Quotientenregel mit umgekehrtem Vorzeichen.
Konstante Faktoren beim Ableiten verloren.

Aktive Wiederholung

Leite die Funktion $f(x)=(2x^{2}+1)\cdot \mathrm{e}^{-0{,}5x}$ ab.

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Kurvendiskussion: Monotonie, Extrema, Wendepunkte#

VertiefungB-5.3

Die Kurvendiskussion liest aus den Ableitungen das vollständige Verhalten einer Funktion ab - Steigen und Fallen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte. Sie ist das Standardwerkzeug, um technische und wirtschaftliche Modelle zu analysieren, etwa eine Gewinnfunktion auf ihr Maximum zu untersuchen ().

Kurvendiskussion: Hoch-, Tief- und Wendepunkt

Abb. 2Für

f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x

: Hochpunkt

(1\,|\,4)

, Tiefpunkt

(3\,|\,0)

und dazwischen der Wendepunkt

(2\,|\,2)

, an dem die Krümmung wechselt.

Die erste Ableitung steuert die Monotonie:

f'(x)>0

bedeutet streng steigend,

f'(x)<0

streng fallend,

f'(x)=0

eine stationäre Stelle. Wo

f'

das Vorzeichen wechselt, liegt ein lokales Extremum - das ist auch an der Ableitungskurve gut zu sehen ().

f(x)=x³-3x²+1 und Ableitung f'(x)

Abb. 3Hochpunkt bei

x=0

, Tiefpunkt bei

x=2

- Ableitung wechselt dort das Vorzeichen.

Für ein lokales Extremum gilt als notwendige Bedingung

f'(x_0)=0

. Notwendig heißt: An jeder Extremstelle ist die Tangente waagrecht - aber nicht jede waagrechte Tangente gehört zu einem Extremum (ein Sattelpunkt erfüllt

f'=0

ebenfalls).

Die hinreichende Bedingung entscheidet über die Art und nutzt die zweite Ableitung:

f''(x_0)<0

ergibt ein Maximum (Kurve linksoben gewölbt),

f''(x_0)>0

ein Minimum,

f''(x_0)=0

ist unentschieden und verlangt weitere Prüfung. Diesen zweiten Schritt zu überspringen und jede Stelle mit

f'=0

als Extremum zu deklarieren, ist der häufigste Fehler.

Wendepunkte markieren den Wechsel des Krümmungsverhaltens:

f''(x_0)=0

und

f'''(x_0)\neq 0

. Dort ist die Steigung extremal (am steilsten oder flachsten). Das Krümmungsverhalten selbst zeigt

f''

an -

f''(x)>0

konvex (linksgekrümmt),

f''(x)<0

konkav (rechtsgekrümmt).

In wirtschaftlichen Anwendungen tragen diese Punkte Bedeutung: Der Hochpunkt einer Gewinnfunktion ist der maximale Gewinn, der Wendepunkt der Punkt mit dem stärksten (oder schwächsten) Zuwachs - der Übergang von progressivem zu degressivem Wachstum. In der Matura wird neben der Rechnung stets diese Deutung im Sachkontext verlangt.

f'(x_{0})=0,\;f''(x_{0})<0\Rightarrow\text{Maximum}

Hinreichende Bedingung Maximum

f''(x_{0})=0,\;f'''(x_{0})\neq 0\Rightarrow\text{Wendepunkt}

Hinreichende Bedingung Wendepunkt

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Vollständige Kurvendiskussion

$f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$ .

Erste Ableitung
$f'(x)=3x^{2}-12x+9=3(x-1)(x-3)$ .
Kritische Stellen
$f'(x)=0 \Rightarrow x=1$ und $x=3$ .
Zweite Ableitung
$f''(x)=6x-12$ . $f''(1)=-6<0$ Maximum, $f''(3)=6>0$ Minimum.
Funktionswerte
$f(1)=1-6+9=4$ , $f(3)=27-54+27=0$ .
Wendepunkt
$f''(x)=0 \Rightarrow x=2$ , $f(2)=8-24+18=2$ .

Ergebnis: Maximum $(1\,|\,4)$ , Minimum $(3\,|\,0)$ , Wendepunkt $(2\,|\,2)$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Erste Ableitung gleich Null finden - das sind Kandidaten für Extrema.
2
Zweite Ableitung entscheidet über Art des Extremums.
3
Wendepunkte zeigen den Wechsel der Krümmung an.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Die Gewinnfunktion lautet

G(x)=-0{,}01x^{3}+0{,}9x^{2}-15x

(

x

Stück,

G

in Euro). Bestimme den Wendepunkt und interpretiere ihn im wirtschaftlichen Sinn. (HAK)

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Typische Fehler

Hinreichende Bedingung wird vergessen - jeder Punkt mit $f'=0$ wird als Extrem angesehen.
Wendepunkt wird mit Extrempunkt verwechselt.
Monotonie wird nur lokal geprüf, nicht über Intervalle.

Aktive Wiederholung

Analysiere $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+2$ auf Monotonie, Extrema und Wendepunkte.

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Extremwertaufgaben in Anwendungen#

VertiefungB-5.4

Extremwertaufgaben sind die wichtigste Anwendung der Differentialrechnung im Beruf: das Maximum eines Gewinns, das Minimum eines Materialeinsatzes, die optimale Abmessung einer Verpackung. Sie folgen stets demselben fünfschrittigen Schema - wer es beherrscht, löst jede dieser Aufgaben strukturiert ().

Extremwertaufgabe: maximale eingezäunte Fläche

Abb. 4Zielfunktion

A(x)=x(40-2x)=40x-2x^{2}

(Zaun an einer Hauswand): Die Fläche ist bei der Tiefe

x=10\,\mathrm{m}

maximal und beträgt

200\,\mathrm{m}^{2}

.

Schritt 1 ist die Modellierung: Zielgröße (was soll maximal/minimal werden?) und Nebenbedingung (welche Einschränkung gilt?) sauber trennen. Beim Zaun an der Hauswand etwa ist die Fläche die Zielgröße, die feste Zaunlänge die Nebenbedingung.

Schritt 2 reduziert die Zielfunktion auf eine einzige Variable, indem die Nebenbedingung eingesetzt wird. Aus der Bedingung

40=2x+y

wird

y=40-2x

, und die Fläche

A=x\cdot y

wird zur Funktion einer Variablen

A(x)=x(40-2x)

. Diesen Schritt zu überspringen und die falsche Variable zu optimieren, ist der häufigste Fehler.

Schritt 3 ist die eigentliche Optimierung:

A'(x)=0

liefert die kritische Stelle, die hinreichende Bedingung (

A''<0

für ein Maximum) sichert ihre Art ab. Für

A(x)=40x-2x^{2}

ergibt sich

x=10

mit

A''=-4<0

, also tatsächlich ein Maximum.

Schritt 4 prüft die Ränder des Definitionsbereichs: Das globale Optimum kann auch am Rand des sinnvollen Bereichs liegen, nicht nur an einer inneren Extremstelle. Ohne diese Randprüfung kann man das wahre Optimum verfehlen.

Schritt 5 ist die Interpretation mit Einheit: nicht nur „

x=10

", sondern „Tiefe

10\,\mathrm{m}

, Wandseite

20\,\mathrm{m}

, maximale Fläche

200\,\mathrm{m}^{2}

". Bei der Dosen-Optimierung führt dasselbe Schema auf das schöne Ergebnis

h=2r

- die materialsparendste Dose ist so hoch wie ihr Durchmesser.

f'(x)=0,\;f''(x)<0\;\Rightarrow\;\text{Maximum}

Hinreichende Bedingung Maximum

Musterbeispiel

Gewinnmaximum aus Gewinnfunktion

Eine Firma hat die Gewinnfunktion $G(x)=-0{,}02x^{2}+12x-800$ (in Euro, $x$ produzierte Stück). Welche Stückzahl maximiert den Gewinn?

Ableitung
$G'(x)=-0{,}04x+12$ .
Notwendige Bedingung
$G'(x)=0 \Rightarrow x=300$ Stück.
Hinreichende Bedingung
$G''(x)=-0{,}04<0$ , also Maximum.
Maximalgewinn
$G(300)=-0{,}02\cdot 90000+12\cdot 300-800=-1800+3600-800=1000$ Euro.

Ergebnis: Gewinnmaximum $1000\,\mathrm{Euro}$ bei $300$ Stück.

Musterbeispiel

Optimierung Verpackungsoberfläche

Eine zylindrische Konservendose soll Volumen $V=500\,\mathrm{cm}^{3}$ haben. Welche Höhe und welcher Radius minimieren die Oberfläche?

Nebenbedingung
$\pi r^{2}h=500 \Rightarrow h=\tfrac{500}{\pi r^{2}}$ .
Zielfunktion
$O(r)=2\pi r^{2}+2\pi r h=2\pi r^{2}+\tfrac{1000}{r}$ .
Ableiten
$O'(r)=4\pi r-\tfrac{1000}{r^{2}}=0 \Rightarrow r^{3}=\tfrac{250}{\pi}\approx 79{,}58$ , $r\approx 4{,}30\,\mathrm{cm}$ .
Höhe
$h=\tfrac{500}{\pi\cdot 4{,}30^{2}}\approx 8{,}60\,\mathrm{cm}$ .

Ergebnis: Optimale Dose: $r\approx 4{,}3\,\mathrm{cm}$ , $h\approx 8{,}6\,\mathrm{cm}$ (Verhältnis $h=2r$ ).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Trenne zuerst Zielgröße und Nebenbedingung sauber.
2
Reduziere die Zielfunktion auf eine einzige Variable.
3
Prüfe Randpunkte des Definitionsbereichs und interpretiere am Ende im Kontext.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Aus einem

40\,\mathrm{m}

langen Zaun soll ein rechteckiger Bereich an einer Hauswand abgegrenzt werden (eine Seite ist die Wand). Bestimme die Abmessungen, für die die Fläche maximal wird. (HTL)

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Typische Fehler

Nebenbedingung wird ignoriert - falsche Variable optimiert.
Randwerte werden nicht geprüft, dadurch falsches globales Optimum.
Interpretation fehlt komplett.

Aktive Wiederholung

Aus einem Rechteck der Fläche $200\,\mathrm{cm}^{2}$ soll der Umfang minimiert werden. Bestimme Seitenlängen und minimalen Umfang.

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Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen#

VertiefungB-5.1B-5.2

Die Exponential- und Logarithmusfunktionen verdienen eigene Aufmerksamkeit, weil sie alle Wachstums- und Zerfallsmodelle tragen und beim Ableiten eine bemerkenswerte Eigenschaft zeigen. Die natürliche Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung:

\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}

- ihre Steigung ist in jedem Punkt gleich ihrem Funktionswert.

Mit der Kettenregel wird daraus die in der Praxis gebrauchte Form

\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{e}^{kx}=k\,\mathrm{e}^{kx}

und allgemein

\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{e}^{g(x)}=g'(x)\,\mathrm{e}^{g(x)}

. Der innere Faktor

g'(x)

- bzw.

k

- darf nie fehlen; ihn zu vergessen ist hier der mit Abstand häufigste Fehler.

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist

\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x=\tfrac{1}{x}

(für

x>0

). Bemerkenswert ist, dass diese einfache Bruchfunktion die Ableitung einer ganz anders aussehenden Funktion ist - der Definitionsbereich

x>0

ist dabei stets mitzudenken.

Für eine allgemeine Basis gilt

\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^{x}=a^{x}\ln a

. Der Faktor

\ln a

entsteht, weil man

a^{x}=\mathrm{e}^{x\ln a}

schreibt und die Kettenregel anwendet; für

a=\mathrm{e}

ist

\ln a=1

und der Faktor verschwindet. Auch dieser Faktor wird leicht übersehen.

Die Bedeutung in Anwendungen ist direkt: Die Ableitung einer Wachstumsfunktion ist deren momentane Wachstumsrate. Bei

N(t)=500\,\mathrm{e}^{0{,}04t}

ist

N'(t)=20\,\mathrm{e}^{0{,}04t}

, und die Tangente bei

t=0

hat die Steigung

N'(0)=20

Einheiten pro Zeiteinheit ().

Ableitung der Exponentialfunktion als Wachstumsrate

Abb. 5Bei

N(t)=500\,\mathrm{e}^{0{,}04t}

ist die Ableitung

N'(t)=20\,\mathrm{e}^{0{,}04t}

die momentane Wachstumsrate; die Tangente bei

t=0

hat die Steigung

N'(0)=20

.

Da die Ableitung proportional zum Funktionswert ist (

N'=k\cdot N

), beschreibt sie genau das Kennzeichen exponentiellen Wachstums: Die Änderungsrate ist proportional zum Bestand. Dieser Zusammenhang ist die Brücke zu den Differentialgleichungen der Modellierung (B 12).

(\mathrm{e}^{g(x)})'=g'(x)\,\mathrm{e}^{g(x)},\quad (\ln x)'=\tfrac{1}{x},\quad (a^{x})'=a^{x}\ln a

Ableitungen exponentieller Funktionen

Musterbeispiel

Ableitung einer Zerfallsfunktion

Leite $f(x)=3\mathrm{e}^{-0{,}2x}$ ab.

Schritt 1 - Kettenregel
Innere Funktion $g(x)=-0{,}2x$ , $g'(x)=-0{,}2$ .
Schritt 2 - Ableitung
$f'(x)=3\cdot(-0{,}2)\,\mathrm{e}^{-0{,}2x}=-0{,}6\,\mathrm{e}^{-0{,}2x}$ .
Schritt 3 - Deuten
$f'(x)<0$ für alle $x$ - die Größe nimmt ständig ab, und zwar proportional zum aktuellen Wert (typisch für Zerfall/Abkühlung).

Ergebnis: $f'(x)=-0{,}6\,\mathrm{e}^{-0{,}2x}$ , stets negativ (monotone Abnahme).

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Bestimme die Ableitung von

N(t)=500\mathrm{e}^{0{,}04t}

und gib die momentane Wachstumsrate bei

t=0

an. (HTL)

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Typische Fehler

Bei $\mathrm{e}^{kx}$ den inneren Faktor $k$ vergessen ( $\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{e}^{kx}\neq \mathrm{e}^{kx}$ ).
Bei $a^{x}$ den Faktor $\ln a$ ausgelassen.
Definitionsbereich von $\ln x$ ( $x>0$ ) missachtet.

Aktive Wiederholung

Leite die Funktion $f(x)=3\mathrm{e}^{-0{,}2x}$ ab und interpretiere $f'(x)$ im Kontext eines Abkühlvorgangs.

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Numerische Nullstellensuche (Newton-Verfahren)#

VertiefungB-5.1

Viele praktisch wichtige Gleichungen - etwa

x^{3}-2x-5=0

- lassen sich nicht mehr durch Umformen exakt lösen. Numerische Verfahren liefern stattdessen iterativ immer bessere Näherungen der Nullstelle. Das Newton-Verfahren ist das mit Abstand schnellste und nutzt die Ableitung, die hier ihre praktische Stärke ausspielt.

Die Iterationsformel lautet

x_{n+1}=x_{n}-\tfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}

: Aus einem Startwert

x_0

entsteht eine bessere Näherung

x_1

, daraus

x_2

und so fort. Jeder Schritt braucht den Funktionswert und die Ableitung an der aktuellen Stelle - diese beiden zu vertauschen, ist der typische Fehler.

Geometrisch ist

x_{n+1}

die Nullstelle der Tangente an

f

im Punkt

(x_n\mid f(x_n))

(): Man ersetzt die Kurve lokal durch ihre Tangente und nimmt deren - leicht berechenbaren - Achsenschnitt als neue Näherung. Für

f(x)=x^{2}-5

und

x_0=2

liefert ein Schritt bereits

x_1=2{,}25

, sehr nahe an

\sqrt{5}\approx 2{,}236

.

Newton-Verfahren: Tangente trifft die x-Achse

Abb. 6Vom Startwert

x_{0}=2

liefert die Nullstelle der Tangente an

f(x)=x^{2}-5

die bessere Näherung

x_{1}=2{,}25

für

\sqrt{5}\approx 2{,}236

.

Bei einem guten Startwert konvergiert das Verfahren quadratisch - die Zahl der korrekten Stellen verdoppelt sich grob mit jedem Schritt. Deshalb genügen meist wenige Iterationen für hohe Genauigkeit.

Es gibt aber Fallstricke: Ist

f'(x_n)\approx 0

(waagrechte Tangente), wird durch fast null geteilt und das Verfahren springt weit weg oder versagt. Auch ein schlecht gewählter Startwert kann zu einer anderen oder zu keiner Nullstelle führen - ein grober Vorab-Überblick über die Lage der Nullstelle ist daher wichtig.

In der Praxis bricht man ab, wenn die Änderung

|x_{n+1}-x_n|

unter eine vorgegebene Schranke fällt; CAS-Rechner haben Newton bzw. solve eingebaut. In der Matura wird meist verlangt, ein bis zwei Schritte von Hand auszuführen oder das Konvergenzverhalten zu begründen.

x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}

Newton-Iteration

Musterbeispiel

Ein Newton-Schritt für eine Wurzel

Nähere $\sqrt{5}$ als Nullstelle von $f(x)=x^{2}-5$ , Startwert $x_{0}=2$ .

Schritt 1 - Funktion und Ableitung
$f(x_{0})=2^{2}-5=-1$ , $f'(x)=2x$ , also $f'(2)=4$ .
Schritt 2 - Newton-Schritt
$x_{1}=2-\tfrac{-1}{4}=2+0{,}25=2{,}25$ .
Schritt 3 - Prüfen
$2{,}25^{2}=5{,}0625$ - sehr nahe an $5$ ; ein weiterer Schritt verbessert die Näherung gegen $\sqrt{5}\approx 2{,}2361$ .

Ergebnis: Nach einem Newton-Schritt: $x_{1}=2{,}25$ als Näherung für $\sqrt{5}$ .

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Die Gleichung

x^{3}-2x-5=0

ist nicht elementar lösbar. Führe ausgehend von

x_{0}=2

einen Newton-Schritt durch. (HTL)

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Typische Fehler

Im Iterationsschritt $f(x_{n})$ und $f'(x_{n})$ vertauscht.
Mit $f'(x_{n})\approx 0$ weitergerechnet (Division nahe null, Sprung des Verfahrens).
Abbruchkriterium ignoriert oder zu früh abgebrochen.

Aktive Wiederholung

Bestimme mit einem Newton-Schritt eine Näherung für die Nullstelle von $f(x)=x^{2}-5$ ausgehend von $x_{0}=2$ .

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

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