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Mechanik 1 — Kinematik und Newtonsche Dynamik

Quantitative Beschreibung von Bewegungen mit Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung sowie ihre Ursachen durch Kräfte. Grundlage für sämtliche weitere mechanische und elektromagnetische Themen.

6Abschnitteca. 11Min Lesezeit3Kompetenzen

S-1 · Mechanische Modelle und Begriffe strukturiert wiedergebenE-2 · Bewegungsdiagramme messen, auswerten und interpretierenK-1 · Physikalische Zusammenhänge mit Fachvokabular kommunizieren

Operatoren:beschreiben · analysieren · berechnen · erläutern · begründen

grundlegendes Niveau

gA: Kinematik und Newton 1–3 sicher auf Geradlinige Bewegungen und einfache Würfe anwenden; Diagrammlesen, Einheiten- und Plausibilitätscheck.

erhöhtes Niveau

eA: Mehrkomponenten-Vektoren, Reibung und Luftwiderstand im Modell berücksichtigen; Wechsel zwischen kartesischer und tangentialer Darstellung, Ableitungs- und Integralrechnung im Kontext.

Kinematik — Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung#

Basismechanik

Kernpunkte

Mittlere Geschwindigkeit $\bar v = \Delta s / \Delta t$ , momentane Geschwindigkeit $v(t) = ds/dt$ .
Beschleunigung $a(t) = dv/dt = d^2 s/dt^2$ — bei konstantem $a$ gilt $v = v_0 + a t$ und $s = s_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2}a t^2$ .
Vorzeichen unterscheiden Bewegungsrichtung; negatives $a$ bedeutet Bremsung, nicht zwingend Bewegung in negative Richtung.
Im v-t-Diagramm entspricht die Steigung der Beschleunigung, die Fläche unter dem Graphen dem Weg.
Konsistente SI-Einheiten ( $\text{m}, \text{m/s}, \text{m/s}^2$ ) sind verpflichtend; Einheitenkontrolle vor Endergebnis.
Im s-t-Diagramm zeigt die Steigung die Momentangeschwindigkeit; nichtlineare Verläufe verlangen Ableitung oder grafische Tangente.

KINEMATISCHE GRUNDBEZIEHUNGEN

v(t)=\dfrac{ds}{dt},\quad a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^{2}s}{dt^{2}}

GLEICHMÄSSIG BESCHLEUNIGTE BEWEGUNG

s(t)=s_{0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2}a t^{2},\quad v(t)=v_{0}+a t

V-T-DIAGRAMM — GLEICHMÄSSIG BESCHLEUNIGTE BEWEGUNG

Welche drei Beschriftungen in "v-t-Diagramm — gleichmäßig beschleunigte Bewegung" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Steigung entspricht der Beschleunigung

a

, die Fläche unter dem Graphen dem zurückgelegten Weg

s

V-T-GRAPH FÜR A = 2 M/S²

Linearer Verlauf; Anfangsgeschwindigkeit v₀ = 0.

Musterlösung

Fallzeit aus einer Höhe von 45 m

Berechne die Fallzeit und Auftreffgeschwindigkeit eines Steins, der reibungsfrei aus einer Höhe von $h = 45\,\text{m}$ fallengelassen wird ( $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ ).

Schritt 1 — Bewegungsgleichung aufstellen
Aus $h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$ folgt $t = \sqrt{2h/g}$ .
$t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$
Schritt 2 — Zahlenwerte einsetzen
$t = \sqrt{2\cdot 45 / 9{,}81} = \sqrt{9{,}174}\,\text{s} \approx 3{,}03\,\text{s}$ .
Schritt 3 — Auftreffgeschwindigkeit
Aus $v = g t$ folgt $v = 9{,}81 \cdot 3{,}03 \approx 29{,}7\,\text{m/s}$ .
$v=g\,t$
Schritt 4 — Interpretieren
$29{,}7\,\text{m/s} \approx 107\,\text{km/h}$ — etwa Autobahnrichtgeschwindigkeit. Luftwiderstand würde den Wert deutlich reduzieren.

Ergebnis: Fallzeit $t \approx 3{,}03\,\text{s}$ , Auftreffgeschwindigkeit $v \approx 29{,}7\,\text{m/s}$ .

Typische Fehler

Mittlere Geschwindigkeit als arithmetisches Mittel der Endgeschwindigkeiten statt $\Delta s/\Delta t$ .
Beschleunigung mit Geschwindigkeit verwechselt; $a = 0$ heißt nicht $v = 0$ .
Vorzeichen beim Bremsen vergessen, sodass $s(t)$ über das Stillstandsende hinaus berechnet wird.
Im s-t-Diagramm Steigung als Beschleunigung statt als Geschwindigkeit gedeutet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Differenzieren und integrieren Sie eine vorgegebene Bewegungsgleichung $s(t) = c_0 + c_1 t + c_2 t^2 + c_3 t^3$ und bestimmen Sie analytisch die Zeitpunkte maximaler Geschwindigkeit und Beschleunigung.

Die drei Newtonschen Gesetze#

Basismechanik

Kernpunkte

1. Newton (Trägheitsgesetz): Ohne resultierende Kraft bleibt jeder Körper in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung.
2. Newton (Aktionsgesetz): $\vec F_{\text{res}} = m \vec a$ — die resultierende Kraft erzeugt eine zur Masse proportionale Beschleunigung in Kraftrichtung.
3. Newton (Reaktionsgesetz): Wechselwirkende Körper üben gleich große, entgegengesetzte Kräfte aufeinander aus — die Kräfte greifen an verschiedenen Körpern an.
SI-Einheit der Kraft: $1\,\text{N} = 1\,\text{kg}\,\text{m/s}^2$ ; Gewichtskraft $F_g = m g$ mit $g \approx 9{,}81\,\text{m/s}^2$ .
Im Freikörperbild werden alle an einem Körper angreifenden Kräfte als Vektorpfeile eingezeichnet — Vektorsumme ergibt $\vec F_{\text{res}}$ .
Bezugssysteme: Newton-Gesetze gelten in Inertialsystemen; in beschleunigten Systemen treten Scheinkräfte auf.

2. NEWTONSCHES GESETZ

\vec F_{\text{res}} = m\,\vec a

Die Beschleunigung eines Körpers ist proportional zur resultierenden Kraft und zeigt in dieselbe Richtung wie diese (parallel zur Kraft); Einheit der Kraft ist $1\,\text{N}=1\,\text{kg}\,\text{m/s}^2$ .

GEWICHTSKRAFT

F_g = m\,g

SCHIEFE EBENE — KRAFTZERLEGUNG

Welche drei Beschriftungen in "Schiefe Ebene — Kraftzerlegung" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Die Gewichtskraft

F_g

wird in Hangabtriebs- (

F_H

) und Normalkomponente (

F_N

) zerlegt. Reibung

F_R

wirkt entgegen der Bewegungsrichtung.

Musterlösung

Block auf schiefer Ebene mit Reibung

Bestimme die Beschleunigung eines Blocks der Masse $m = 5\,\text{kg}$ auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel $\alpha = 25^\circ$ und Gleitreibungskoeffizient $\mu = 0{,}20$ .

Schritt 1 — Kräfte zerlegen
Hangabtrieb $F_H = m g \sin\alpha$ , Normalkraft $F_N = m g \cos\alpha$ , Reibung $F_R = \mu F_N = \mu m g \cos\alpha$ .
Schritt 2 — Newton 2 anwenden
$m a = F_H - F_R = m g (\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$ .
$a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$
Schritt 3 — Zahlenwerte einsetzen
$a = 9{,}81\,(\sin 25^\circ - 0{,}20\cdot\cos 25^\circ) = 9{,}81\,(0{,}4226 - 0{,}1813) \approx 2{,}37\,\text{m/s}^2$ .
Schritt 4 — Interpretieren
Der Block rutscht beschleunigt nach unten ( $a > 0$ ). Ohne Reibung wäre $a = g\sin\alpha \approx 4{,}15\,\text{m/s}^2$ ; die Reibung verringert die Beschleunigung um rund $43\,\%$ (auf etwas mehr als die Hälfte).

Ergebnis: Beschleunigung $a \approx 2{,}37\,\text{m/s}^2$ entlang der Ebene nach unten.

Typische Fehler

Aktion- und Reaktionskraft als Kräftepaar am gleichen Körper interpretiert.
Gewichtskraft und Normalkraft im Aufzugsbeispiel verwechselt.
Resultierende Kraft als Summe der Beträge statt als Vektorsumme berechnet.
In rotierenden Bezugssystemen Scheinkräfte vergessen oder als reale Kräfte addiert.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Führen Sie eine Variationsrechnung durch — wie ändert sich die Bremskraft, wenn die Aufprallzeit halbiert oder verdoppelt wird? Stellen Sie eine Tabelle mit drei Szenarien auf.

Wurfbewegungen und Superpositionsprinzip#

Standardmechanik

Kernpunkte

Der schiefe Wurf zerlegt sich in eine horizontale gleichförmige und eine vertikale gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
Komponenten: $v_x = v_0\cos\theta$ konstant; $v_y = v_0\sin\theta - g t$ .
Die Bahnkurve $y(x) = x\tan\theta - \dfrac{g x^2}{2 v_0^2\cos^2\theta}$ ist eine Parabel.
Maximale Wurfweite bei $\theta = 45^\circ$ , wenn Abwurf- und Auftreffhöhe gleich sind.
Steighöhe $h_{\max} = \dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$ ; Flugzeit $t_{\text{ges}} = \dfrac{2 v_0\sin\theta}{g}$ .
Luftwiderstand reduziert Wurfweite und macht die Bahn asymmetrisch (steiler abfallender Ast); im Modell ohne Luftwiderstand bleibt sie symmetrisch.

WURFWEITE UND STEIGHÖHE (GLEICHE ABWURF-/AUFTREFFHÖHE)

W=\dfrac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g},\quad h_{\max}=\dfrac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}

SCHIEFER WURF — BAHNKURVE

Welche drei Beschriftungen in "Schiefer Wurf — Bahnkurve" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Parabelförmige Bahn beim schiefen Wurf; Wurfweite

W

und Steighöhe

h_{max}

hängen von

v_0

und Winkel

\theta

ab.

Musterlösung

Schiefer Wurf — Wurfweite und Steighöhe

Ein Ball wird vom Boden mit $v_0 = 20\,\text{m/s}$ unter $\theta = 35^\circ$ abgeschossen. Bestimme die maximale Wurfhöhe, die Flugzeit und die Wurfweite (Luftwiderstand vernachlässigt; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ ).

Schritt 1 — Geschwindigkeitskomponenten
$v_{0x} = v_0\cos\theta = 20 \cdot \cos 35^\circ \approx 16{,}38\,\text{m/s}$ ; $v_{0y} = v_0\sin\theta = 20 \cdot \sin 35^\circ \approx 11{,}47\,\text{m/s}$ .
Schritt 2 — Maximale Steighöhe
$h_{\max} = v_{0y}^{2}/(2g) = (11{,}47)^{2}/19{,}62 \approx 6{,}71\,\text{m}$ .
$h_{\max}=\dfrac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}$
Schritt 3 — Flugzeit
$t_{\text{ges}} = 2 v_{0y}/g = 2 \cdot 11{,}47/9{,}81 \approx 2{,}34\,\text{s}$ .
Schritt 4 — Wurfweite
$W = v_{0x} \cdot t_{\text{ges}} \approx 16{,}38 \cdot 2{,}34 \approx 38{,}3\,\text{m}$ .
$W=\dfrac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}$
Schritt 5 — Interpretieren
Bei $\theta = 45^\circ$ wäre die Weite maximal ( $W_{\max} = v_0^2/g \approx 40{,}8\,\text{m}$ ); 35° liegen knapp darunter — geringer Verlust.

Ergebnis: $h_{\max} \approx 6{,}71\,\text{m}$ , Flugzeit $\approx 2{,}34\,\text{s}$ , Wurfweite $\approx 38{,}3\,\text{m}$ .

Typische Fehler

Annahme, $g$ wirke auch horizontal — dann wäre die Bahn keine Parabel mehr.
Verwechslung von Wurfweite und maximaler Wurfhöhe.
Maximalweite bei $\theta = 45^\circ$ pauschal angewendet, obwohl Abwurfhöhe abweicht.
Sinus und Cosinus vertauscht; $v_x$ enthält $\cos$ , $v_y$ enthält $\sin$ .

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie qualitativ und mit Skizze den Einfluss linearen ( $F_R \propto v$ ) und quadratischen Luftwiderstands ( $F_R \propto v^2$ ) auf die Bahnkurve eines Tennisballs.

Gleichförmige Kreisbewegung#

Standardmechanik

Kernpunkte

Winkelgeschwindigkeit $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$ ; Bahngeschwindigkeit $v = \omega r$ .
Zentripetalbeschleunigung $a_z = v^2/r = \omega^2 r$ zeigt zum Mittelpunkt.
Zentripetalkraft $F_z = m v^2/r$ ist die resultierende Kraft auf den Körper; sie ist keine eigenständige Kraftart.
Beispiele für $F_z$ : Reibung in der Kurve, Seilkraft beim Kettenkarussell, Gravitation auf der Erdumlaufbahn.
Periode $T$ und Frequenz $f$ sind reziprok: $f = 1/T$ ; Drehzahl $n$ häufig in Umdrehungen pro Minute angegeben.
Die Zentrifugalkraft tritt nur in rotierenden Bezugssystemen auf — sie ist eine Scheinkraft.

ZENTRIPETALBESCHLEUNIGUNG

a_z = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 r

ZENTRIPETALKRAFT

F_z = \dfrac{m v^2}{r}

GLEICHFÖRMIGE KREISBEWEGUNG

Welche drei Beschriftungen in "Gleichförmige Kreisbewegung" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Zentripetalbeschleunigung

a_z

zeigt stets zum Mittelpunkt; Bahngeschwindigkeit

v

ist tangential.

Musterlösung

Mindestreibung in der Kurve

PKW mit $v = 72\,\text{km/h}$ , Kurvenradius $r = 80\,\text{m}$ ; bestimmen Sie $\mu_{\min}$ .

Geschwindigkeit umrechnen
$v = 72/3{,}6 = 20\,\text{m/s}$ .
Bedingung formulieren
Haftreibung muss Zentripetalkraft liefern: $\mu m g \geq m v^2/r$ .
Auflösen
$\mu \geq v^2/(r g) = 400/(80\cdot 9{,}81) \approx 0{,}51$ .
$\mu_{\min} = \dfrac{v^2}{r g}$
Interpretieren
Trockener Asphalt erreicht $\mu \approx 0{,}8$ , nasser etwa $0{,}5$ — der Wert liegt am Rand der Sicherheit.

Ergebnis: $\mu_{\min} \approx 0{,}51$ — auf nasser Fahrbahn ( $\mu \approx 0{,}5$ ) gerade nicht mehr sicher gewährleistet, also grenzwertig.

Typische Fehler

Zentrifugalkraft im Inertialsystem als reale Kraft mitgenommen.
Bahngeschwindigkeit $v$ mit Winkelgeschwindigkeit $\omega$ verwechselt.
Periodendauer in Minuten statt Sekunden in die Formel eingesetzt.
Bei Kurvenfahrt $\mu m g$ als Mindesthaftbedingung mit $m v^2/r$ ungleichgewichtig verglichen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie die Beziehung $a_z = v^2/r$ aus dem Grenzwert eines Vektor-Differenzenquotienten der gleichförmigen Kreisbewegung her und kommentieren Sie die geometrische Bedeutung.

Impuls und Stoßprozesse#

Standardmechanik

Kernpunkte

Impuls $\vec p = m \vec v$ ; Einheit $\text{kg}\,\text{m/s}$ .
2. Newton-Gesetz in Impulsform: $\vec F = d\vec p/dt$ — bei konstanter Masse äquivalent zu $\vec F = m\vec a$ . Bei veränderlicher Masse (z. B. Rakete) muss der Impuls der abgestoßenen Masse mitbilanziert werden (Raketengleichung).
In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls erhalten.
Elastischer Stoß: kinetische Energie und Impuls erhalten; inelastischer Stoß: nur Impuls erhalten.
Für zentralen elastischen Stoß zweier Körper: $v_1' = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \dfrac{2 m_2}{m_1 + m_2} v_2$ .
Vollkommen inelastischer Stoß: $v' = (m_1 v_1 + m_2 v_2)/(m_1 + m_2)$ .

IMPULS

\vec p = m\,\vec v

IMPULSERHALTUNG IM ABGESCHLOSSENEN SYSTEM

\sum \vec p_{\text{vor}} = \sum \vec p_{\text{nach}}

ZENTRALER STOSS — IMPULSERHALTUNG

Welche drei Beschriftungen in "Zentraler Stoß — Impulserhaltung" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Vor und nach dem Stoß bleibt die Vektorsumme der Impulse erhalten:

m_1\vec v_1 + m_2 \vec v_2 = m_1\vec v_1' + m_2 \vec v_2'

Musterlösung

Vollkommen inelastischer Stoß

Zwei Wagen ( $m_1 = 0{,}8\,\text{kg}$ mit $v_1 = 2{,}5\,\text{m/s}$ , $m_2 = 1{,}2\,\text{kg}$ ruhend) stoßen vollkommen inelastisch zusammen.

Impulserhaltung
$m_1 v_1 + m_2 \cdot 0 = (m_1 + m_2) v'$ .
Auflösen
$v' = m_1 v_1/(m_1+m_2) = 0{,}8\cdot 2{,}5/2{,}0 = 1{,}0\,\text{m/s}$ .
Energiebilanz
$E_{\text{vor}} = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}8\cdot 6{,}25 = 2{,}5\,\text{J}$ ; $E_{\text{nach}} = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot 1 = 1{,}0\,\text{J}$ .
Interpretieren
Energieverlust $\Delta E = 1{,}5\,\text{J}$ ( $60\%$ ) wird in Verformung und Wärme dissipiert; Impuls bleibt strikt erhalten.

Ergebnis: Gemeinsame Endgeschwindigkeit $1{,}0\,\text{m/s}$ , $60\%$ Energieverlust.

Typische Fehler

Energiebilanz beim inelastischen Stoß angewendet, obwohl kinetische Energie nicht erhalten ist.
Vorzeichen der Geschwindigkeit bei entgegengesetzten Bewegungen vergessen.
Stoßformel mechanisch übernommen, ohne $v_2 = 0$ zu prüfen.
Impuls als skalare Größe behandelt und Richtungen ignoriert.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie die elastischen Stoßformeln aus Impuls- und Energieerhaltung systematisch her und prüfen Sie die Grenzfälle $m_1 = m_2$ sowie $m_2 \gg m_1$ .

Bezugssysteme und Scheinkräfte#

Vertiefungmechanik

Kernpunkte

In Inertialsystemen gelten die Newtonschen Gesetze ohne Zusatzkräfte.
Beschleunigte Bezugssysteme erfordern Trägheitskräfte (Scheinkräfte), z. B. Zentrifugalkraft und Corioliskraft.
Galilei-Transformation: $x' = x - v t$ , $t' = t$ — Geschwindigkeiten addieren sich klassisch.
Coriolis-Effekt erklärt Ablenkung großräumiger Strömungen (Passatwinde, Meeresströmungen).
Auf der rotierenden Erde gilt im Laborsystem in guter Näherung Newton, weil Erdrotation langsam.

SCHEINKRAFT IM BESCHLEUNIGTEN SYSTEM

F_{\text{schein}} = -m\,\vec a_{\text{System}}

Typische Fehler

Zentrifugalkraft im Inertialsystem berücksichtigt — falsch.
Coriolis-Effekt als Effekt der Atmosphärendichte interpretiert.
Bezugssystem während der Rechnung gewechselt, ohne Transformation anzuwenden.
Mit Galilei-Transformation bei sehr großen Geschwindigkeiten gerechnet, obwohl Relativität greift.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Vergleichen Sie Galilei- und Lorentz-Transformation in einer Tabelle; benennen Sie die Geschwindigkeitsschwelle, ab der relativistische Korrekturen relevant werden ( $\geq 0{,}1 c$ ).