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Mechanik 2 — Erhaltungssätze und mechanische Schwingungen

Energie, Arbeit, Leistung sowie Impuls als Erhaltungsgrößen und ihre Anwendung auf Stoßprozesse, Achterbahnen, Federpendel und mathematisches Pendel. Übergang zum Schwingungs-/Wellenmodul.

6Abschnitteca. 10Min Lesezeit3Kompetenzen

S-2 · Erhaltungsgrößen Energie und Impuls als zentrale physikalische Prinzipien anwendenE-3 · Experimentelle Daten mit Modellen vergleichen und Abweichungen begründenB-1 · Energieerhaltung in technischen und alltäglichen Kontexten bewerten

Operatoren:berechnen · analysieren · beurteilen · begründen · erläutern

grundlegendes Niveau

gA: Energieformen identifizieren und Energieerhaltung in einfachen Beispielen anwenden; Periodendauer harmonischer Schwingungen.

erhöhtes Niveau

eA: Energie- und Impulsbilanz simultan bei Stoßprozessen; Differentialgleichung des harmonischen Oszillators mit Anfangsbedingungen.

Arbeit, Energie und Leistung#

Basismechanik

Kernpunkte

Arbeit $W = \int \vec F \cdot d\vec s$ ; bei konstanter Kraft längs der Bewegungsrichtung gilt $W = F s$ .
Energie ist Fähigkeit, Arbeit zu verrichten; SI-Einheit $1\,\text{J} = 1\,\text{N}\,\text{m}$ .
Kinetische Energie $E_{\text{kin}} = \tfrac{1}{2} m v^2$ ; potentielle Energie im Schwerefeld $E_{\text{pot}} = m g h$ ; Spannenergie der Feder $E_{\text{spann}} = \tfrac{1}{2} D s^2$ .
Leistung $P = dW/dt$ ; SI-Einheit $1\,\text{W} = 1\,\text{J/s}$ .
Wirkungsgrad $\eta = W_{\text{nutz}}/W_{\text{zu}}$ ist stets $\leq 1$ .
Energieerhaltung gilt in abgeschlossenen Systemen; mit Reibung wandelt sich mechanische Energie in Wärme um.

MECHANISCHE ARBEIT

W = \int_{s_1}^{s_2} \vec F\cdot d\vec s = F\,s\cos\alpha\;\text{(F konst.)}

MECHANISCHE ENERGIEFORMEN

E_{\text{kin}} = \tfrac{1}{2}m v^2,\quad E_{\text{pot}} = m g h,\quad E_{\text{spann}} = \tfrac{1}{2}D s^2

MECHANISCHE LEISTUNG

P = \dfrac{dW}{dt} = F\,v

Musterlösung

Aufzugleistung und Wirkungsgrad

Aufzug hebt $80\,\text{kg}$ um $9{,}0\,\text{m}$ in $4{,}5\,\text{s}$ ; Motorleistung $2{,}0\,\text{kW}$ .

Hubarbeit
$W = m g h = 80\cdot 9{,}81\cdot 9{,}0 \approx 7063\,\text{J}$ .
Nutzleistung
$P_{\text{nutz}} = W/t = 7063/4{,}5 \approx 1570\,\text{W}$ .
Wirkungsgrad
$\eta = P_{\text{nutz}}/P_{\text{zu}} = 1570/2000 \approx 0{,}79$ .
Interpretieren
$\eta \approx 79\%$ ist realistisch für moderne Seilaufzüge — Verluste in Motor, Getriebe und Reibung.

Ergebnis: Hubarbeit $\approx 7{,}1\,\text{kJ}$ , Wirkungsgrad $\approx 79\%$ .

Typische Fehler

Arbeit als Kraft mal Weg ohne Berücksichtigung des Winkels berechnet.
Reibungsarbeit nicht als negative Arbeit oder Energiedissipation berücksichtigt.
Leistung mit Energie verwechselt — z. B. $\text{kWh}$ als Einheit der Leistung statt der Energie behandelt.
Wirkungsgrad $> 1$ als Ergebnis akzeptiert ohne Plausibilitätscheck.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie aus $P = dW/dt$ und $W = F s$ die Form $P = F v$ für $F = \text{const.}$ her; analysieren Sie ergänzend $P(v)$ bei einem PKW mit Luftwiderstand $F_R \propto v^2$ .

Energieerhaltungssatz#

Basismechanik

Kernpunkte

Im konservativen Kraftfeld (Schwerkraft, Federkraft) ist die Gesamtenergie $E = E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}}$ erhalten.
Reibungskräfte sind nicht konservativ: die mechanische Energie nimmt zu Gunsten thermischer Energie ab.
Im Zustand maximaler Auslenkung ist $v = 0$ , in der Ruhelage ist $v$ maximal — Energie verteilt sich um.
Bei Achterbahnen, Pendeln, freiem Fall und Loopings ist Energieerhaltung Grundwerkzeug.
Die Energie eines geschlossenen Systems ist im Rahmen der klassischen Physik strikt erhalten (Nöther-Theorem: Folge der Zeitinvarianz).

MECHANISCHER ENERGIEERHALTUNGSSATZ

E_{\text{ges}} = E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}} = \text{const.}

Musterlösung

Achterbahnloop — Mindesthöhe

Ein Wagen rollt reibungsfrei aus der Höhe $h$ in einen Looping mit Radius $r = 12\,\text{m}$ . Berechnen Sie die Mindesthöhe $h$ , damit der Wagen am höchsten Punkt nicht vom Gleis fällt.

Schritt 1 — Bedingung am höchsten Loop-Punkt
Im Grenzfall liefert die Schwerkraft die gesamte Zentripetalkraft: $m g = m v_{\text{oben}}^2 / r$ , also $v_{\text{oben}}^2 = g r$ .
Schritt 2 — Energieerhaltung
Vom Startpunkt zum höchsten Loop-Punkt (Höhe $2r$ ): $m g h = m g (2 r) + \tfrac{1}{2} m v_{\text{oben}}^2$ .
$h = 2 r + \dfrac{v_{\text{oben}}^2}{2 g}$
Schritt 3 — Einsetzen
$h = 2 r + g r/(2 g) = 2 r + r/2 = 2{,}5\,r$ .
Schritt 4 — Zahlenwert
$h = 2{,}5 \cdot 12 = 30\,\text{m}$ .
Schritt 5 — Interpretieren
Die berühmte „ $\tfrac{5}{2}r$ -Regel". Reibung würde die nötige Höhe weiter erhöhen; Sicherheitszuschläge sind in der Praxis Pflicht.

Ergebnis: Mindesthöhe $h = 30\,\text{m}$ (Grenzfall ohne Reibung).

Typische Fehler

Energieerhaltung bei Reibung pauschal angewendet, ohne Reibungsarbeit zu subtrahieren.
Höhenbezug $h$ unklar (Boden, Ausgangspunkt, Tiefster Punkt).
Federspannenergie mit $\tfrac{1}{2} D s$ statt $\tfrac{1}{2} D s^2$ .
Wurzelziehen ohne Vorzeichendiskussion bei symmetrischer Bewegung.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie das Nöther-Theorem qualitativ — welcher Symmetrie entspricht die Energieerhaltung und welche andere Erhaltungsgröße ist Folge der Translationsinvarianz?

Impuls als Erhaltungsgröße im Detail#

Standardmechanik

Kernpunkte

Impuls $\vec p = m\vec v$ ist im abgeschlossenen System erhalten; Folge der Translationsinvarianz (Nöther).
Elastischer Stoß: $E_{\text{kin}}$ und $\vec p$ erhalten — geeignete Modellsituationen sind Gasteilchen, Billardkugeln in erster Näherung.
Vollkommen inelastischer Stoß: nur $\vec p$ erhalten, $E_{\text{kin}}$ verringert sich um Verformungs- und Wärmeenergie.
Standardformeln zentral-elastisch: $v_1' = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \dfrac{2 m_2}{m_1 + m_2} v_2$ usw.
Kraftstoß $\vec J = \int \vec F\,dt = \Delta \vec p$ — Stoßdauer und mittlere Kraft.

IMPULS

\vec p = m\vec v

KRAFTSTOSS-THEOREM

\vec J = \int \vec F\,dt = \Delta \vec p

ZENTRALER STOSS — IMPULSERHALTUNG

Welche drei Beschriftungen in "Zentraler Stoß — Impulserhaltung" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Vor und nach dem Stoß bleibt die Vektorsumme der Impulse erhalten:

m_1\vec v_1 + m_2 \vec v_2 = m_1\vec v_1' + m_2 \vec v_2'

Musterlösung

Mittlere Stoßkraft beim Airbag

Insasse $m = 70\,\text{kg}$ , $v_0 = 14\,\text{m/s}$ , Bremsdauer $\Delta t = 0{,}080\,\text{s}$ .

Impulsänderung
$\Delta p = m\,\Delta v = 70 \cdot 14 = 980\,\text{kg}\,\text{m/s}$ .
Mittlere Kraft
$\bar F = \Delta p/\Delta t = 980/0{,}080 = 12\,250\,\text{N}$ .
Vergleich Gurt allein
Mit $\Delta t = 0{,}020\,\text{s}$ : $\bar F = 980/0{,}020 = 49\,000\,\text{N}$ — viermal so groß.
Interpretieren
Airbag verlängert Stoßdauer und reduziert Spitzenkräfte um Faktor 4 — entscheidend für Überlebensrate.

Ergebnis: Mit Airbag $\bar F \approx 12{,}3\,\text{kN}$ , ohne Airbag $\approx 49\,\text{kN}$ — Risiko massiver Verletzungen.

Typische Fehler

Energiebilanz bei inelastischem Stoß angewandt.
Vorzeichen bei entgegengesetzt bewegten Körpern vergessen.
Stoßformeln pauschal verwendet, obwohl $v_2 \neq 0$ .
Kraftstoß als Mittelwert über die Zeit interpretiert, ohne Integration zu prüfen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Lösen Sie das Stoßproblem zweier Kugeln in 2D vollständig aus Impuls- und Energieerhaltung — bestimmen Sie Winkel und Geschwindigkeiten nach dem Stoß bei elastischem Treffer.

Harmonische Schwingungen — Modellbildung#

Standardmechanikschwingungen-und-wellen

Kernpunkte

Harmonische Schwingung: lineare Rückstellkraft $F = -D x$ führt zu $\ddot x = -\omega_0^2 x$ mit $\omega_0 = \sqrt{D/m}$ .
Lösung $x(t) = A\sin(\omega_0 t + \varphi_0)$ mit Amplitude $A$ , Phasenkonstante $\varphi_0$ .
Federpendel: $T = 2\pi\sqrt{m/D}$ ; mathematisches Pendel für kleine Auslenkungen: $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ .
Energieausgleich: kinetische und potenzielle Energie wandeln sich periodisch ineinander, Gesamtenergie $E = \tfrac{1}{2} D A^2$ .
Phasenraumdiagramm $(x, v)$ liefert eine Ellipse für ungedämpfte Bewegung.
Bei gedämpften Schwingungen $\ddot x + 2\gamma\dot x + \omega_0^2 x = 0$ : Amplitude fällt exponentiell ab.

PERIODENDAUER HARMONISCHER SCHWINGUNGEN

T_{\text{Feder}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}},\quad T_{\text{Pendel}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}

PENDEL — PHASENDIAGRAMM

Welche drei Beschriftungen in "Pendel — Phasendiagramm" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Im Auslenkungs-Geschwindigkeits-Diagramm beschreibt das ungedämpfte Pendel eine Ellipse; gedämpft entsteht eine Spirale.

HARMONISCHE SCHWINGUNG Y(T) = A\SIN(ΩT)

Periodendauer T, Amplitude A = 1. Phasenverlauf einer ungedämpften Schwingung.

Musterlösung

Periodendauer und Maximalgeschwindigkeit eines Federpendels

An einer Feder mit $D = 80\,\text{N/m}$ hängt eine Masse von $0{,}40\,\text{kg}$ . Sie wird um $5{,}0\,\text{cm}$ ausgelenkt und losgelassen.

Schritt 1 — Periodendauer
$T = 2\pi\sqrt{m/D} = 2\pi\sqrt{0{,}40/80} = 2\pi\sqrt{0{,}005}\approx 0{,}444\,\text{s}$ .
Schritt 2 — Kreisfrequenz
$\omega = \sqrt{D/m} = \sqrt{200}\approx 14{,}14\,\text{rad/s}$ .
Schritt 3 — Maximalgeschwindigkeit
$v_{\max} = \omega A = 14{,}14 \cdot 0{,}05 \approx 0{,}71\,\text{m/s}$ .
$v_{\max} = \omega A$
Schritt 4 — Energiekontrolle
$E = \tfrac{1}{2} D A^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 80 \cdot 0{,}0025 = 0{,}10\,\text{J}$ ; passt zu $E = \tfrac{1}{2} m v_{\max}^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}40\cdot 0{,}50 \approx 0{,}10\,\text{J}$ .

Ergebnis: $T \approx 0{,}44\,\text{s}$ , $v_{\max} \approx 0{,}71\,\text{m/s}$ , $E \approx 0{,}10\,\text{J}$ .

Typische Fehler

Kreisfrequenz $\omega$ mit Frequenz $f$ verwechselt — $\omega = 2\pi f$ .
Pendel mit großem Auslenkwinkel als harmonisch behandelt.
Anfangsbedingungen für $\varphi_0$ ignoriert.
Periodendauer und Eigenfrequenz $f_0$ nicht klar getrennt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Lösen Sie die gedämpfte Schwingungsgleichung $\ddot x + 2\gamma\dot x + \omega_0^2 x = 0$ vollständig (schwach gedämpft) und zeigen Sie, dass die Amplitude wie $A_0 e^{-\gamma t}$ abklingt.

Gedämpfte und erzwungene Schwingungen#

Vertiefungschwingungen-und-wellen

Kernpunkte

Schwache Dämpfung: Amplitude klingt wie $A(t) = A_0 e^{-\gamma t}$ , Schwingfrequenz $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ .
Kritische Dämpfung $\gamma = \omega_0$ — schnellster aperiodischer Übergang.
Überdämpfte Schwingung: keine echte Periode, exponentielle Annäherung an Ruhelage.
Erzwungene Schwingung mit Anregung $F_0\cos(\Omega t)$ : Amplitude im stationären Zustand $A(\Omega) = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\gamma^2\Omega^2}}$ .
Resonanz bei $\Omega \approx \omega_0$ ; bei kleiner Dämpfung kann die Amplitude dramatisch wachsen (Tacoma Bridge).
Phasendifferenz zwischen Anregung und Schwingung wechselt durch Resonanz von $0$ über $\pi/2$ zu $\pi$ .

GEDÄMPFTE SCHWINGUNG

\ddot x + 2\gamma\dot x + \omega_0^2 x = 0

RESONANZKURVE

A(\Omega) = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\gamma^2\Omega^2}}

RESONANZKURVE — AMPLITUDE BEI ERZWUNGENER SCHWINGUNG

Welche drei Beschriftungen in "Resonanzkurve — Amplitude bei erzwungener Schwingung" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Stationäre Amplitude

A(\Omega)

über der Erregerfrequenz. Maximum nahe

\omega_0

; geringe Dämpfung

\gamma

ergibt schmale, hohe Spitze.

Typische Fehler

Resonanzfrequenz mit Eigenfrequenz gleichgesetzt — Dämpfung verschiebt geringfügig.
Im Resonanzfall Amplitude als unendlich behauptet.
Phasenverschiebung als Verzögerung in Sekunden statt in Grad/Radiant angegeben.
Energiebilanz vernachlässigt — bei stationärer erzwungener Schwingung ist Energiezufuhr gleich Dissipation.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zeigen Sie analytisch, dass die Halbwertsbreite einer Lorentz-Resonanzkurve $\Delta\Omega = 2\gamma$ beträgt und definieren Sie die Güte $Q = \omega_0/(2\gamma)$ .

Drehbewegung und Drehimpulserhaltung#

Vertiefungmechanik

Kernpunkte

Rotationskinematik: Winkelgeschwindigkeit $\omega = \dot\varphi$ , Winkelbeschleunigung $\alpha = \dot\omega$ — analog zur Translation.
Trägheitsmoment $J = \sum m_i r_i^2$ ist das Rotationsanalogon der Masse und hängt von der Massenverteilung relativ zur Drehachse ab.
Drehmoment $\vec M = \vec r \times \vec F$ ; das 2. Newton-Gesetz der Rotation lautet $\vec M = J\,\vec\alpha$ .
Drehimpuls $\vec L = J\,\vec\omega$ ; in einem System ohne äußeres Drehmoment ist $\vec L$ erhalten (Drehimpulserhaltung).
Rotationsenergie $E_{\text{rot}} = \tfrac{1}{2} J\,\omega^2$ ; ein rollender Körper trägt $E_{\text{kin}} + E_{\text{rot}}$ .
Anwendungen: Pirouette der Eiskunstläuferin ( $J$ klein $\Rightarrow \omega$ groß), Kreiselstabilisierung, 2. Kepler-Gesetz als Drehimpulserhaltung.

GRUNDGLEICHUNGEN DER ROTATION

\vec M = J\,\vec\alpha,\quad \vec L = J\,\vec\omega

ROTATIONSENERGIE

E_{\text{rot}} = \tfrac{1}{2}\,J\,\omega^2

Musterlösung

Rollender Vollzylinder auf der schiefen Ebene

Vollzylinder ( $J = \tfrac{1}{2}mR^2$ ) rollt ohne zu gleiten (reines Rollen, die statische Haftreibung verrichtet keine Arbeit) aus der Höhe $h = 1{,}5\,\text{m}$ hinab.

Energiebilanz
Lageenergie wird in Translations- und Rotationsenergie umgesetzt: $m g h = \tfrac{1}{2} m v^2 + \tfrac{1}{2} J \omega^2$ mit $\omega = v/R$ .
Trägheitsmoment einsetzen
$m g h = \tfrac{1}{2} m v^2 + \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}mR^2\cdot v^2/R^2 = \tfrac{3}{4} m v^2$ .
$m g h = \tfrac{3}{4} m v^2$
Nach v auflösen
$v = \sqrt{\tfrac{4}{3} g h} = \sqrt{\tfrac{4}{3}\cdot 9{,}81\cdot 1{,}5} \approx 4{,}43\,\text{m/s}$ .
Vergleich gleitender Klotz
Ohne Rotation: $v = \sqrt{2 g h} \approx 5{,}42\,\text{m/s}$ — der rollende Zylinder ist langsamer, da ein Teil der Energie in die Rotation fließt.

Ergebnis: Rollender Zylinder $v \approx 4{,}43\,\text{m/s}$ gegenüber $\approx 5{,}42\,\text{m/s}$ beim Gleiten.

Typische Fehler

Translationsformeln direkt auf die Rotation übertragen, ohne $m \to J$ und $F \to M$ zu ersetzen.
Trägheitsmoment als achsenunabhängige Konstante behandelt — es hängt von der Wahl der Drehachse ab.
Rotationsenergie eines rollenden Körpers vergessen — nur $\tfrac{1}{2}mv^2$ bilanziert.
Drehimpulserhaltung trotz wirkendem äußeren Drehmoment angewendet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie das Trägheitsmoment eines Vollzylinders um die Symmetrieachse durch Integration $J = \int r^2\,dm$ her und wenden Sie den Satz von Steiner für eine verschobene Drehachse an.