Samenvattingen · Wiskunde DNL · VWO

Toepassingen en ICT in de meetkunde

Dit onderwerp (domein D) past de ruimtemeetkunde toe. Je berekent afstanden — van een punt tot een vlak met $d=\dfrac{|aq_1+bq_2+cq_3-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ , van een punt tot een lijn met het uitproduct, en tussen kruisende lijnen — en hoeken tussen twee lijnen, tussen een lijn en een vlak ( $\sin\alpha=\dfrac{|\vec{n}\cdot\vec{r}|}{|\vec{n}||\vec{r}|}$ ) en tussen twee vlakken. Je construeert en berekent doorsneden van kubus, balk en piramide, en je zet ICT (3D-tekensoftware, parametervoorstellingen, CAS) doelgericht in om te tekenen en te controleren. Wiskunde D kent geen centraal examen; deze stof wordt in het schoolexamen (SE) getoetst.

4 Onderdelen~19 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 1 · Verdieping 3

T·151515 / 19

Examenprofiel

Domein D — afstanden in de ruimte berekenen: punt tot vlak, punt tot lijn en tussen kruisende lijnenHoeken bepalen tussen twee lijnen, tussen een lijn en een vlak (\sinα=\dfrac{|\vec{n}·\vec{r}|}{|\vec{n}||\vec{r}|}) en tussen twee vlakkenDoorsneden van kubus, balk en piramide construeren en doorrekenen (lengtes, oppervlakte, hoeken)ICT (3D-tekensoftware, parametervoorstellingen, CAS) inzetten om ruimtefiguren te tekenen en berekeningen te controleren

Operatoren:berekenbepaalconstrueertoon aancontroleerleid af

basisniveau

Toepassingen van de ruimtemeetkunde horen bij domein D. Wiskunde D kent geen centraal examen; deze stof wordt in het schoolexamen (SE) getoetst. Beheers minimaal: de afstand van een punt tot een vlak met $\dfrac{|aq_1+bq_2+cq_3-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ , de hoek tussen een lijn en een vlak, en het construeren van een eenvoudige doorsnede van een kubus of balk.

verhoogd niveau

Verdieping: de afstand van een punt tot een lijn en tussen kruisende lijnen met het uitproduct, hoeken tussen twee vlakken, doorsneden doorrekenen (oppervlakte en hoeken), en het doelgericht gebruiken van ICT (3D-software, CAS, parametervoorstellingen) om te tekenen en te controleren. Dit onderwerp bouwt voort op „De ruimte” (coördinaten, in- en uitproduct, lijnen en vlakken).

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Toepassingen en ICT in de meetkunde

Afstanden in de ruimte#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-D

De afstand van een punt

Q

tot een vlak

V

is de kortste afstand — de lengte van de loodlijn van

Q

V

. Ligt het vlak vast als

ax+by+cz=d

met normaalvector

\vec{n}=(a,b,c)

, dan is die afstand

d(Q,V)=\dfrac{|a q_1+b q_2+c q_3-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

. Je vult dus de coördinaten van

Q

in de linkerkant van de vlakvergelijking in, trekt

d

eraf, neemt de absolute waarde, en deelt door de lengte van de normaalvector. Afb. 1 toont deze loodlijn

QF

van het punt

Q

op het vlak

V

;

F

is de loodrechte projectie (het „voetpunt”) van

Q

V

Afstand van een punt tot een vlak

Afb. 1Afb. 1 — De afstand van een punt Q tot een vlak V is de lengte d van de loodlijn QF. Het voetpunt F is de loodrechte projectie van Q op V; bij F staat de loodlijn recht op het vlak.

De formule volgt uit het inproduct met de normaalvector. Neem een punt

P

op het vlak; dan is de afstand de lengte van de projectie van

\vec{PQ}

op de normaalrichting:

d=\dfrac{|\vec{n}\cdot(\vec{q}-\vec{p})|}{|\vec{n}|}

. Omdat

\vec{n}\cdot\vec{p}=d

voor een punt op het vlak, wordt de teller

|\vec{n}\cdot\vec{q}-d|=|aq_1+bq_2+cq_3-d|

. De absolute waarde is er omdat een afstand niet-negatief is; het teken zónder absolute waarde vertelt overigens aan wélke kant van het vlak

Q

ligt. Zo is de afstandsformule niets anders dan „projecteer

\vec{PQ}

op de normaal”.

Reken bijvoorbeeld de afstand van

Q(4,3,5)

tot het vlak

V:\;2x-y+2z=6

uit. De normaalvector is

\vec{n}=(2,-1,2)

met

|\vec{n}|=\sqrt{4+1+4}=3

. Vul

Q

in de teller in:

|2\cdot4-3+2\cdot5-6|=|8-3+10-6|=9

. De afstand is dan

\dfrac{9}{3}=3

. Merk op hoe alle stappen leunen op wat je in „De ruimte” leerde: de normaalvector uit de vlakvergelijking, zijn lengte, en een inproduct-achtige invulling.

Voor de afstand van een punt

Q

tot een lijn

\ell:\;\vec{x}=\vec{p}+t\,\vec{r}

gebruik je het uitproduct:

d(Q,\ell)=\dfrac{|\vec{PQ}\times\vec{r}|}{|\vec{r}|}

, want

|\vec{PQ}\times\vec{r}|

is de oppervlakte van het parallellogram met zijden

\vec{PQ}

\vec{r}

, en die oppervlakte gedeeld door de basis

|\vec{r}|

is de hoogte — precies de afstand. Voor de afstand tussen twee kruisende (niet-snijdende, niet-evenwijdige) lijnen met richtingen

\vec{r_1}

\vec{r_2}

projecteer je de verbindingsvector

\vec{P_1P_2}

op de gemeenschappelijke normaal

\vec{r_1}\times\vec{r_2}

d=\dfrac{|(\vec{r_1}\times\vec{r_2})\cdot\vec{P_1P_2}|}{|\vec{r_1}\times\vec{r_2}|}

. Zo leveren in- en uitproduct samen alle afstanden.

Naast deze formules kun je een afstand ook via het voetpunt bepalen: stel de loodlijn op (de lijn door

Q

met de normaalvector als richting), snijd die met het vlak om het voetpunt

F

te vinden, en bereken

|QF|

. Dat is meer werk maar geeft óók het voetpunt zelf, wat soms gevraagd wordt (bijvoorbeeld voor het spiegelbeeld van

Q

in het vlak). Kies op het examen bewust: voor alleen de afstand is de formule het snelst, voor het voetpunt loop je via de loodlijn. Reken je met de formule, controleer dan of je de vlakvergelijking op de vorm

ax+by+cz=d

hebt gebracht — anders klopt de teller niet.

d(Q,V)=\frac{|a q_1+b q_2+c q_3-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Afstand punt tot vlak

Vul Q in de linkerkant van ax + by + cz = d in, trek d af, neem de absolute waarde, deel door |n|.

d(Q,\ell)=\frac{|\vec{PQ}\times\vec{r}|}{|\vec{r}|}

Afstand punt tot lijn

P is een punt op de lijn, r de richtingsvector; de teller is de oppervlakte van het parallellogram PQ × r.

d=\frac{\left|(\vec{r_1}\times\vec{r_2})\cdot\vec{P_1P_2}\right|}{|\vec{r_1}\times\vec{r_2}|}

Afstand tussen kruisende lijnen

Projecteer de verbindingsvector op de gemeenschappelijke normaal r₁ × r₂.

Uitgewerkt voorbeeld

Afstand tot een vlak en tot een lijn

(a) Bereken de afstand van $Q(4,3,5)$ tot het vlak $V:\;2x-y+2z=6$ . (b) Bereken de afstand van $Q(0,3,4)$ tot de lijn $\ell:\;\vec{x}=(0,0,0)+t(1,0,0)$ (de $x$ -as).

(a) Normaalvector en lengte
Lees $\vec{n}$ af uit de vlakvergelijking en bereken $|\vec{n}|$ .
$\vec{n}=(2,-1,2),\qquad |\vec{n}|=\sqrt{4+1+4}=3$
(a) Invullen in de formule
Vul $Q$ in de teller in en deel door $|\vec{n}|$ .
$d=\frac{|2\cdot4-3+2\cdot5-6|}{3}=\frac{|8-3+10-6|}{3}=\frac{9}{3}=3$
(b) Uitproduct
Neem $P=O$ , $\vec{PQ}=(0,3,4)$ en $\vec{r}=(1,0,0)$ .
$\vec{PQ}\times\vec{r}=\begin{pmatrix} 3\cdot0-4\cdot0 \\ 4\cdot1-0\cdot0 \\ 0\cdot0-3\cdot1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$
(b) Afstand
Deel de lengte door $|\vec{r}|=1$ .
$d=\frac{\sqrt{0^2+4^2+(-3)^2}}{1}=\frac{5}{1}=5$

Resultaat: (a) de afstand van $Q$ tot $V$ is $3$ ; (b) de afstand van $Q$ tot de $x$ -as is $5$ .

Veelgemaakte fouten

De vlakvergelijking niet op de vorm $ax+by+cz=d$ hebben en zo de verkeerde teller of $|\vec{n}|$ gebruiken.
De absolute waarde in de teller vergeten, waardoor een negatieve „afstand” ontstaat.
Delen door $a^2+b^2+c^2$ in plaats van door de wortel $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ .
Bij punt-tot-lijn het inproduct gebruiken; hier heb je juist het uitproduct $\vec{PQ}\times\vec{r}$ nodig.

Actieve herhaling

Bereken de afstand van $Q(4,4,4)$ tot het vlak $2x-y+2z=3$ . Bepaal ook de afstand van $O(0,0,0)$ tot de lijn $\vec{x}=(1,0,0)+t(0,1,1)$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Hoeken tussen lijnen en vlakken#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-D

Hoek tussen een lijn en een vlak

Afb. 2Afb. 1 — De hoek α tussen een lijn ℓ en een vlak V is de hoek tussen ℓ en zijn loodrechte projectie op V. De gestreepte lijn is de loodlijn van een punt van ℓ op het vlak.

Hoeken in de ruimte bereken je steeds met inproducten, maar je moet goed kiezen wélke vectoren je neemt. De hoek tussen twee lijnen is de hoek tussen hun richtingsvectoren

\vec{r_1}

\vec{r_2}

\cos\varphi=\dfrac{|\vec{r_1}\cdot\vec{r_2}|}{|\vec{r_1}||\vec{r_2}|}

. De absolute waarde in de teller zorgt dat je de scherpe hoek krijgt (tussen

0^\circ

90^\circ

), want twee lijnen maken geen stompe hoek — de richting waarin je een richtingsvector kiest is immers willekeurig. Kruisen de lijnen elkaar niet, dan meet deze formule nog steeds de hoek tussen hun richtingen.

De hoek

\alpha

tussen een lijn en een vlak vraagt om een omweg via de normaalvector. Je berekent eerst de hoek tussen de richtingsvector

\vec{r}

van de lijn en de normaalvector

\vec{n}

van het vlak; die hoek is het complement van de gevraagde hoek met het vlak. Daarom staat er een sinus:

\sin\alpha=\dfrac{|\vec{n}\cdot\vec{r}|}{|\vec{n}||\vec{r}|}

. Afb. 1 maakt dit zichtbaar: de lijn

\ell

prikt in het punt

S

door het vlak, en

\alpha

is de hoek tussen

\ell

en zijn loodrechte projectie op het vlak (de „schaduw” van de lijn). Wie hier per ongeluk

\cos

gebruikt, berekent de hoek met de normaal in plaats van met het vlak.

De hoek tussen twee vlakken is de hoek tussen hun normaalvectoren:

\cos\varphi=\dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}

. Ook hier neem je de absolute waarde voor de scherpe hoek. Dit is meetkundig logisch: kantel je één vlak ten opzichte van het andere, dan kantelen hun normalen precies evenveel mee. Zo is de hoek tussen de vlakken

x=0

(normaal

(1,0,0)

) en

x+y=0

(normaal

(1,1,0)

) gelijk aan

\cos\varphi=\dfrac{|1|}{1\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

, dus

\varphi=45^\circ

. Deze „hoek tussen de normalen”-regel is de eenvoudigste van de drie en komt bij doorsneden vaak van pas.

Het loont om de drie gevallen naast elkaar te zetten, want de valkuil is telkens de verkeerde vectoren of de verkeerde goniometrische functie kiezen. Lijn–lijn:

\cos

van de hoek tussen de twee richtingsvectoren. Vlak–vlak:

\cos

van de hoek tussen de twee normaalvectoren. Lijn–vlak:

\sin

van de hoek tussen richtingsvector en normaalvector. Alleen bij lijn–vlak verschijnt de sinus, en dat komt puur doordat je de normaal als hulpmiddel gebruikt terwijl je de hoek met het vlak zelf wilt. In alle drie de gevallen staat er een absolute waarde in de teller, zodat je altijd de scherpe hoek

[0^\circ,90^\circ]

rapporteert.

In de praktijk bereken je zo'n hoek met een paar inproducten en lengtes, gevolgd door een boogsinus of boogcosinus op de rekenmachine. Let op de eenheid (graden of radialen) en rond netjes af, meestal op één decimaal. Voor de lijn uit Afb. 1 met richting

(2,1,2)

en een grondvlak met normaal

(0,0,1)

\sin\alpha=\dfrac{|0+0+2|}{3\cdot1}=\dfrac{2}{3}

, dus

\alpha=\arcsin\!\big(\tfrac{2}{3}\big)\approx 41{,}8^\circ

— de hoek waaronder de lijn het grondvlak in prikt. Hoeken tussen lijnen en vlakken zijn de opstap naar het meten in doorsneden, het volgende onderdeel.

\cos\varphi=\frac{|\vec{r_1}\cdot\vec{r_2}|}{|\vec{r_1}|\,|\vec{r_2}|}

Hoek tussen twee lijnen

De hoek tussen de richtingsvectoren; de absolute waarde geeft de scherpe hoek.

\sin\alpha=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{r}|}{|\vec{n}|\,|\vec{r}|}

Hoek tussen lijn en vlak

Via de normaalvector; de sinus omdat de gevraagde hoek het complement is van de hoek met de normaal.

\cos\varphi=\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\,|\vec{n_2}|}

Hoek tussen twee vlakken

De hoek tussen de normaalvectoren van de twee vlakken.

Uitgewerkt voorbeeld

Hoek lijn–vlak en hoek vlak–vlak

Gegeven de lijn $\ell:\;\vec{x}=(1,0,0)+t(2,-1,2)$ en het vlak $V:\;x+2y+2z=4$ . Bereken de hoek tussen $\ell$ en $V$ . Bereken ook de hoek tussen $V$ en het vlak $W:\;x=0$ .

Vectoren voor lijn–vlak
Neem $\vec{n}=(1,2,2)$ (uit $V$ ) en $\vec{r}=(2,-1,2)$ (richting van $\ell$ ).
$\vec{n}\cdot\vec{r}=1\cdot2+2\cdot(-1)+2\cdot2=2-2+4=4$
Hoek lijn–vlak
Vul in de sinus-formule in; $|\vec{n}|=|\vec{r}|=3$ .
$\sin\alpha=\frac{|4|}{3\cdot3}=\frac{4}{9}\approx 0{,}444\;\Rightarrow\;\alpha\approx 26{,}4^\circ$
Hoek vlak–vlak
Neem $\vec{n_1}=(1,2,2)$ en $\vec{n_2}=(1,0,0)$ (uit $W:\;x=0$ ).
$\cos\varphi=\frac{|1\cdot1+2\cdot0+2\cdot0|}{3\cdot1}=\frac{1}{3}\approx 0{,}333\;\Rightarrow\;\varphi\approx 70{,}5^\circ$

Resultaat: De hoek tussen $\ell$ en $V$ is ongeveer $26{,}4^\circ$ ; de hoek tussen $V$ en $W$ is ongeveer $70{,}5^\circ$ .

Veelgemaakte fouten

Bij lijn–vlak $\cos$ in plaats van $\sin$ gebruiken; je rekent via de normaal, dus de gevraagde hoek is het complement.
De absolute waarde vergeten, waardoor je een stompe hoek als antwoord krijgt in plaats van de scherpe.
Voor de hoek tussen twee vlakken de richtingsvectoren nemen; neem de normaalvectoren.
De boogsinus/boogcosinus vergeten en $\sin\alpha$ of $\cos\varphi$ als hoek opschrijven.

Actieve herhaling

Bereken de hoek tussen de lijnen met richtingen $(1,1,0)$ en $(1,0,1)$ . Bepaal de hoek tussen de lijn $\vec{x}=(0,0,0)+t(1,2,2)$ en het vlak $2x+2y+z=6$ , en de hoek tussen de vlakken $z=0$ en $x+z=0$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Doorsneden van ruimtefiguren#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-D

Doorsnede van een kubus (driehoek ACD)

Afb. 3Afb. 1 — Een kubus met ribbe 4 en een hoekpunt in O. Het vlak door A(4,0,0), C(0,4,0) en D(0,0,4) — de vergelijking x + y + z = 4 — snijdt de gelijkzijdige driehoek ACD (zijde 4√2) uit.

Een doorsnede van een ruimtefiguur is de vlakke figuur die ontstaat als je het lichaam met een plat vlak (het snijvlak) doorsnijdt. Snijd je een kubus of balk, dan is de doorsnede een veelhoek waarvan de hoekpunten op de ribben van het lichaam liggen en de zijden in de zijvlakken. Het construeren van zo'n doorsnede is deels meetkundig redeneren — welke ribben worden geraakt? — en deels rekenen met coördinaten. Afb. 1 toont een kubus met ribbe

4

waarin het vlak door de hoekpunten

A

C

D

een driehoekige doorsnede

ACD

uitsnijdt.

Bij het tekenen van een doorsnede gelden twee vuistregels. Ten eerste: het snijvlak snijdt elk zijvlak in een recht lijnstuk, dus twee snijpunten op de ribben van hetzelfde zijvlak verbind je met een rechte lijn. Ten tweede: waar het snijvlak twee evenwijdige zijvlakken snijdt, zijn de twee snijlijnstukken evenwijdig (twee evenwijdige vlakken snijden een derde vlak in evenwijdige lijnen). Met deze regels breid je een begonnen doorsnede stap voor stap uit: vind snijpunten van het vlak met de ribben, verbind coplanaire punten, en gebruik evenwijdigheid om de figuur te sluiten. Zo krijg je zeker de juiste veelhoek en sla je geen ribbe over.

Met coördinaten reken je de doorsnede exact door. Leg de kubus in een assenstelsel (bijvoorbeeld een hoekpunt in

O

en de ribben langs de assen), bepaal de vergelijking van het snijvlak, en snijd die met elke ribbe door de ribbe als lijnstuk te parametriseren en te kijken of het snijpunt binnen de ribbe valt. In Afb. 1 gaat het vlak door

A(4,0,0)

C(0,4,0)

D(0,0,4)

; zijn normaalvector is

\vec{AC}\times\vec{AD}

, evenredig met

(1,1,1)

, dus het snijvlak is

x+y+z=4

. Omdat de drie hoekpunten elk even ver van

O

liggen, zijn de drie zijden even lang en is de doorsnede een gelijkzijdige driehoek.

Zodra je de hoekpunten van de doorsnede kent, reken je er de gewone dingen aan: lengtes van zijden met de afstandsformule, oppervlakte met een halve keer een uitproduct, en hoeken met het inproduct. In Afb. 1 is elke zijde een diagonaal van een zijvlak, bijvoorbeeld

|AC|=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}

, en de oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek is

\tfrac{\sqrt{3}}{4}\,(4\sqrt{2})^2=8\sqrt{3}\approx 13{,}9

. Deze koppeling — eerst de doorsnede construeren, dan er met vectoren aan rekenen — is precies waar de ruimtemeetkunde van wiskunde D om draait.

Afhankelijk van hoe het snijvlak ligt, krijg je verschillende doorsneden. Bij een kubus kan een vlak een driehoek, een (soms scheve) vierhoek, een vijfhoek of zelfs een regelmatige zeshoek uitsnijden — die laatste ontstaat door de middens van zes ribben te verbinden. Bij een piramide levert een snede evenwijdig aan het grondvlak een gelijkvormige, verkleinde kopie van dat grondvlak op, terwijl een schuine snede een andere veelhoek geeft. Steeds gelden dezelfde regels: snijpunten op de ribben, rechte verbindingslijnstukken binnen elk zijvlak, en evenwijdige lijnen in evenwijdige zijvlakken. Doorsneden combineren zo je meetkundig inzicht met het rekenwerk aan afstanden, oppervlakten en hoeken.

\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC},\qquad \vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{a})=0

Snijvlak uit drie punten

Twee richtingsvectoren van het snijvlak leveren via het uitproduct de normaalvector; daarmee stel je de vlakvergelijking op.

\text{zijvlaksdiagonaal kubus} = \sqrt{s^2+s^2}=s\sqrt{2}

Diagonaal van een zijvlak

Bij een kubus met ribbe s heeft de diagonaal van een (vierkant) zijvlak lengte s√2.

\text{opp. gelijkzijdige driehoek}=\frac{\sqrt{3}}{4}\,\ell^2

Oppervlakte gelijkzijdige driehoek

Met zijde ℓ; gebruik dit voor de driehoekige doorsnede door drie hoekpunten van een kubus.

Uitgewerkt voorbeeld

Driehoekige doorsnede van een kubus doorrekenen

Een kubus heeft ribbe $4$ met een hoekpunt in $O(0,0,0)$ en de ribben langs de assen. Het vlak door $A(4,0,0)$ , $C(0,4,0)$ en $D(0,0,4)$ snijdt de kubus. (a) Geef de vergelijking van het snijvlak. (b) Welke vorm heeft de doorsnede? (c) Bereken de oppervlakte.

(a) Normaalvector via uitproduct
Neem $\vec{AC}=(-4,4,0)$ en $\vec{AD}=(-4,0,4)$ ; bereken $\vec{AC}\times\vec{AD}$ .
$\vec{AC}\times\vec{AD}=\begin{pmatrix} 4\cdot4-0\cdot0 \\ 0\cdot(-4)-(-4)\cdot4 \\ (-4)\cdot0-4\cdot(-4) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 16 \\ 16 \\ 16 \end{pmatrix}$
(a) Vlakvergelijking
De normaal is evenredig met $(1,1,1)$ ; vul $A(4,0,0)$ in.
$x+y+z=4$
(b) Vorm
Elke zijde is een zijvlaksdiagonaal.
$|AC|=|AD|=|CD|=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\;\Rightarrow\;\text{gelijkzijdige driehoek}$
(c) Oppervlakte
Gebruik de formule voor de gelijkzijdige driehoek met $\ell=4\sqrt{2}$ .
$\text{opp.}=\frac{\sqrt{3}}{4}\,(4\sqrt{2})^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot32=8\sqrt{3}\approx 13{,}9$

Resultaat: (a) $x+y+z=4$ ; (b) een gelijkzijdige driehoek met zijde $4\sqrt{2}$ ; (c) oppervlakte $8\sqrt{3}\approx 13{,}9$ .

Veelgemaakte fouten

Snijpunten op de ribben verbinden met lijnen die niet in één zijvlak liggen; verbind alleen coplanaire snijpunten.
Vergeten dat de snijlijnen in twee evenwijdige zijvlakken zelf evenwijdig zijn.
De doorsnede voetstoots een „vierkant” of „rechthoek” noemen zonder de zijden en hoeken te controleren.
Bij de oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek de formule $\tfrac{\sqrt{3}}{4}\ell^2$ verwarren met $\tfrac12\ell^2$ .

Actieve herhaling

Beschouw een kubus met ribbe $6$ en een hoekpunt in $O(0,0,0)$ , met de ribben langs de assen. Het vlak door $A(6,0,0)$ , $C(0,6,0)$ en $D(0,0,6)$ snijdt de kubus. Geef de vergelijking van het snijvlak, bepaal de vorm van de doorsnede en bereken de oppervlakte.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

ICT in de ruimtemeetkunde#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-D

Vlak door een punt met twee richtingsvectoren

Afb. 4Afb. 1 — Een vlak in parametervoorstelling x = p + s·u + t·v: vanuit het steunpunt P spannen de richtingsvectoren u en v het vlak op. De normaalvector is n = u × v.

ICT is in de ruimtemeetkunde geen luxe maar gereedschap: driedimensionale figuren zijn op papier lastig te overzien, en één rekenfout in een uitproduct plant zich voort in alle vervolgstappen. Met 3D-tekensoftware (zoals GeoGebra 3D) draai je een figuur rond, bekijk je een doorsnede van meerdere kanten, en zie je meteen of een berekend snijpunt echt op de ribbe ligt. Met de CAS- of rekenfunctie van je grafische rekenmachine controleer je inproducten, uitproducten, lengtes en het oplossen van de

t

-vergelijking bij een snijpunt. Het examenprogramma van wiskunde D vraagt expliciet om het doelgericht inzetten van ICT — niet in plaats van, maar naast het wiskundig redeneren.

Een krachtig, ICT-vriendelijk hulpmiddel is de parametervoorstelling van een vlak:

\vec{x}=\vec{p}+s\,\vec{u}+t\,\vec{v}

, met een steunpunt

\vec{p}

en twee niet-evenwijdige richtingsvectoren

\vec{u}

\vec{v}

die het vlak opspannen. Elk punt van het vlak hoort bij één paar parameters

(s,t)

. Afb. 1 toont zo'n vlak: vanuit

P

spannen

\vec{u}

\vec{v}

het vlak op. Software tekent een vlak vaak juist uit deze vorm, terwijl je voor berekeningen meestal de vergelijking

ax+by+cz=d

wilt — en tussen die twee vormen wissel je met het uitproduct.

Het omzetten tussen de twee vlakvoorstellingen is een kernvaardigheid. Van parametervorm naar vergelijking: bereken de normaalvector als

\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}

, en stel daarmee

ax+by+cz=d

op via het steunpunt. Andersom, van vergelijking naar parametervorm: kies een punt op het vlak als steunpunt en twee onafhankelijke richtingsvectoren die aan

\vec{n}\cdot\vec{u}=0

voldoen. Voor het vlak met parametervoorstelling

\vec{x}=(1,0,0)+s(1,1,0)+t(0,1,1)

\vec{n}=(1,1,0)\times(0,1,1)=(1,-1,1)

, zodat de vergelijking

x-y+z=1

wordt (invullen van

(1,0,0)

geeft

d=1

). ICT kan het uitproduct en de controle-invulling in seconden doen.

De echte winst van ICT zit in controleren. Heb je een snijpunt

S

van een lijn en een vlak berekend, vul het dan terug in de vlakvergelijking én in de lijn — beide moeten kloppen. Heb je een normaalvector

\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}

bepaald, controleer dan

\vec{a}\cdot\vec{n}=0

\vec{b}\cdot\vec{n}=0

. Heb je een afstand met de formule uitgerekend, vergelijk hem dan met de afstand via het voetpunt. Zulke onafhankelijke controles — met de hand of met de rekenmachine — vangen fouten die je in een lange ruimteberekening anders pas aan een onmogelijk eindantwoord zou merken. Een verstandige gewoonte is: reken exact, controleer numeriek.

ICT neemt het rekenwerk en het visualiseren over, maar niet het redeneren. De software tekent een doorsnede, maar jíj moet nog steeds beargumenteren waaróm het een zeshoek is; de rekenmachine geeft een hoek van

26{,}4^\circ

, maar jíj kiest of er een sinus of een cosinus in de formule hoort. Op het schoolexamen wordt daarom vaak gevraagd je aanpak te verantwoorden, ook als je ICT gebruikt: welke vectoren, welke formule, welke controle. Zie ICT als een betrouwbare assistent die snel en foutloos rekent, terwijl jij de wiskundige keuzes maakt en het antwoord interpreteert. Zo sluit dit onderwerp de ruimtemeetkunde af: van coördinaten en vectoren, via in- en uitproduct, tot afstanden, hoeken en doorsneden — met ICT als gereedschap dat het geheel toegankelijk maakt.

\vec{x}=\vec{p}+t\,\vec{r}

Parametervoorstelling van een lijn

Eén parameter t: steunpunt plus een veelvoud van de richtingsvector.

\vec{x}=\vec{p}+s\,\vec{u}+t\,\vec{v}

Parametervoorstelling van een vlak

Twee parameters s en t: een steunpunt met twee niet-evenwijdige richtingsvectoren.

\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}\;\Rightarrow\;ax+by+cz=d

Van parametervorm naar vergelijking

De normaalvector is het uitproduct van de twee richtingsvectoren; d volgt uit het steunpunt.

Uitgewerkt voorbeeld

Parametervoorstelling omzetten naar een vergelijking

Een vlak is gegeven door de parametervoorstelling $\vec{x}=(1,0,0)+s(1,1,0)+t(0,1,1)$ . Bepaal een vergelijking $ax+by+cz=d$ van dit vlak en controleer je antwoord.

Normaalvector via uitproduct
Neem $\vec{u}=(1,1,0)$ en $\vec{v}=(0,1,1)$ ; bereken $\vec{u}\times\vec{v}$ .
$\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix} 1\cdot1-0\cdot1 \\ 0\cdot0-1\cdot1 \\ 1\cdot1-1\cdot0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$
Vergelijking opstellen
Gebruik $\vec{n}=(1,-1,1)$ en het steunpunt $(1,0,0)$ voor $d$ .
$x-y+z=d,\quad d=1-0+0=1\;\Rightarrow\;x-y+z=1$
Controle
Neem een tweede punt, bijvoorbeeld $s=1,\;t=1$ : $(1,0,0)+(1,1,0)+(0,1,1)=(2,2,1)$ , en vul in.
$2-2+1=1\;\checkmark$

Resultaat: De vergelijking van het vlak is $x-y+z=1$ ; het controlepunt $(2,2,1)$ voldoet.

Veelgemaakte fouten

De parametervoorstelling van een vlak (twee parameters) verwarren met die van een lijn (één parameter).
Bij het omzetten naar een vergelijking het uitproduct vergeten en de richtingsvectoren zelf als normaal gebruiken.
ICT-uitkomsten klakkeloos overnemen zonder te controleren of het antwoord in de context klopt (bijvoorbeeld een stompe hoek waar een scherpe hoort).
Het steunpunt niet invullen en zo de verkeerde $d$ in $ax+by+cz=d$ krijgen.

Actieve herhaling

Zet de parametervoorstelling $\vec{x}=(2,1,0)+s(1,0,1)+t(0,1,-1)$ om naar een vergelijking $ax+by+cz=d$ met behulp van het uitproduct, en controleer je antwoord door een tweede punt van het vlak in te vullen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO)

Toepassingen en ICT in de meetkunde

Kernpunten

Afstand tot een vlak en tot een lijn

Kernpunten

Hoek lijn–vlak en hoek vlak–vlak

Kernpunten

Driehoekige doorsnede van een kubus doorrekenen

Kernpunten

Parametervoorstelling omzetten naar een vergelijking

Bronnen