Samenvattingen · Wiskunde DNL · VWO

Complexe getallen: basisoperaties (geconjugeerde, argument, absolute waarde, De Moivre, Euler)

Een complex getal $z=a+bi$ breidt de reële getallen uit met de imaginaire eenheid $i$ , waarvoor $i^2=-1$ . Je rekent ermee als met gewone getallen — optellen, aftrekken en vermenigvuldigen gaan term voor term — en delen doe je door teller en noemer met de geconjugeerde $\bar{z}=a-bi$ te vermenigvuldigen, want $z\bar{z}=a^2+b^2=|z|^2$ is reëel. In het complexe vlak (het Argand-diagram) teken je $z$ als het punt $(a,b)$ : zijn lengte is de modulus $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ en de hoek met de positieve reële as is het argument $\arg(z)$ . Zo ontstaan de polaire vorm $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ en de exponentiële vorm $z=re^{i\varphi}$ , waarmee de stelling van De Moivre ( $z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$ ) en de formule van Euler ( $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$ ) machten en draaiingen moeiteloos beschrijven. Wiskunde D kent geen centraal examen; deze stof (domein E) wordt in het schoolexamen (SE) getoetst.

4 Onderdelen~16 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·161616 / 19

Examenprofiel

Domein E — rekenen met het complexe getal z=a+bi (i²=-1): optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delenDe geconjugeerde \bar{z}=a-bi en het verband z\bar{z}=|z|²; delen via de geconjugeerdeHet complexe vlak (Argand-diagram): de modulus |z|=\sqrt{a²+b²} en het argument \arg(z) bepalenPolaire en exponentiële vorm z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=rei\varphi; de stelling van De Moivre en de formule van Euler

Operatoren:berekenbepaalschrijflos optoon aanleid afteken

basisniveau

Complexe getallen (domein E) horen tot de schoolexamen-stof (SE) van wiskunde D; er is geen centraal examen. Beheers minimaal: rekenen met $z=a+bi$ (met $i^2=-1$ ), de geconjugeerde en het delen, en het bepalen van de modulus en het argument in het complexe vlak.

verhoogd niveau

Verdieping: vlot wisselen tussen de vormen $a+bi$ , $r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ en $re^{i\varphi}$ , en machten berekenen met de stelling van De Moivre en de formule van Euler. Deze vormen zijn de opstap naar de profielverdieping (eenheidswortels, de hoofdstelling van de algebra en meetkundige transformaties).

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Complexe getallen: basisoperaties (geconjugeerde, argument, absolute waarde, De Moivre, Euler)

Complexe getallen: definitie en rekenregels#

Basisexamenblad-wiskunde-d-domein-E

De reële getallen schieten tekort zodra je de wortel uit een negatief getal wilt trekken: de vergelijking

x^2=-1

heeft geen reële oplossing. Daarom voert men de imaginaire eenheid

i

in, met als enige nieuwe rekenregel

i^2=-1

. Een complex getal is dan elke uitdrukking

z=a+bi

met

a

b

reëel;

a=\operatorname{Re}(z)

heet het reële deel en

b=\operatorname{Im}(z)

het imaginaire deel. Let op:

\operatorname{Im}(z)=b

is zélf een reëel getal, niet

bi

. Een getal met

b=0

is gewoon reëel, en een getal met

a=0

(zoals

3i

) heet zuiver imaginair. In Afb. 1 staat

z=3+2i

als het punt

(3,2)

in het complexe vlak, met reëel deel

3

en imaginair deel

2

Het complexe getal z = 3 + 2i in het complexe vlak

Afb. 1Afb. 1 — Het getal z = 3 + 2i als punt (en plaatsvector) in het complexe vlak: reëel deel Re(z) = 3 op de horizontale as, imaginair deel Im(z) = 2 op de verticale as.

Optellen en aftrekken gaan net als het combineren van gelijksoortige termen: je telt de reële delen bij elkaar op en de imaginaire delen apart. Dus

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

. Zo is

(3+2i)+(1-4i)=4-2i

, want reëel

3+1=4

en imaginair

2+(-4)=-2

. Meetkundig komt dit overeen met het kop-staart optellen van de bijbehorende plaatsvectoren in het complexe vlak — precies zoals je vectoren optelt (herhaling).

Vermenigvuldigen doe je door de haakjes uit te werken en telkens

i^2=-1

te gebruiken. Uit

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2

volgt, met

i^2=-1

, de regel

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

. Die formule hoef je niet uit je hoofd te leren; het uitvermenigvuldigen mét de vervanging

i^2=-1

leidt er altijd toe. Bijvoorbeeld

(3+2i)(1-4i)=3-12i+2i-8i^2=3-12i+2i+8=11-10i

: de term

-8i^2

wordt

+8

en telt bij het reële deel op.

De machten van

i

herhalen zich in een cyclus van vier:

i^1=i

i^2=-1

i^3=i^2\cdot i=-i

i^4=(i^2)^2=1

; daarna begint het weer van voren af aan. Een hoge macht van

i

reken je daarom uit via de rest bij deling door

4

: omdat

2026=4\cdot506+2

i^{2026}=i^2=-1

. Deze cyclus is de kiem van alles wat volgt — hij is de reden dat vermenigvuldigen in het complexe vlak straks neerkomt op draaien.

Met deze drie bewerkingen vormen de complexe getallen een getallenstelsel waarin je onbeperkt kunt optellen, aftrekken en vermenigvuldigen, net als bij de reële getallen: de gebruikelijke rekenwetten (commutatief, associatief, distributief) blijven onverkort gelden. Wat er nieuw bijkomt is uitsluitend

i^2=-1

, en juist dat maakt dat élke veelterm straks nulpunten heeft (de hoofdstelling van de algebra in de profielverdieping). Delen vraagt nog één extra ingrediënt — de geconjugeerde — en dat is het onderwerp van de volgende paragraaf.

z = a + bi,\qquad i^2 = -1

Complex getal

Reëel deel Re(z) = a, imaginair deel Im(z) = b (een reëel getal). De enige nieuwe regel is i² = −1.

(a+bi)\pm(c+di) = (a\pm c) + (b\pm d)i

Optellen en aftrekken

Reële delen bij elkaar, imaginaire delen bij elkaar — net als gelijksoortige termen.

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Vermenigvuldigen

Volgt uit het uitwerken van de haakjes met i² = −1; niet uit het hoofd leren, maar afleiden.

Uitgewerkt voorbeeld

Rekenen met complexe getallen

Gegeven $z=3+2i$ en $w=1-4i$ . Bereken $z+w$ , $z-w$ en $z\cdot w$ , en geef van $z\cdot w$ het reële en imaginaire deel.

Optellen per deel
Tel de reële delen op en de imaginaire delen apart.
$z+w=(3+1)+(2-4)i=4-2i$
Aftrekken per deel
Let bij het imaginaire deel op het dubbele minteken: $2-(-4)=6$ .
$z-w=(3-1)+(2-(-4))i=2+6i$
Vermenigvuldigen met haakjes uitwerken
Werk uit en gebruik $i^2=-1$ , zodat $-8i^2=+8$ bij het reële deel komt.
$z\cdot w=(3+2i)(1-4i)=3-12i+2i-8i^2=11-10i$

Resultaat: $z+w=4-2i$ , $z-w=2+6i$ en $z\cdot w=11-10i$ ; dit laatste heeft reëel deel $11$ en imaginair deel $-10$ .

Veelgemaakte fouten

$i^2$ gelijkstellen aan $+1$ of aan $i$ ; er geldt $i^2=-1$ , dus $-8i^2=+8$ — een tekenfout die het hele antwoord kantelt.
Het imaginaire deel als $bi$ opgeven: $\operatorname{Im}(z)=b$ is een reëel getal (bij $z=3+2i$ is $\operatorname{Im}(z)=2$ , niet $2i$ ).
Bij vermenigvuldigen de kruistermen vergeten en losweg $(a+bi)(c+di)=ac+bdi$ schrijven.

Actieve herhaling

Gegeven $z=2-3i$ en $w=-1+5i$ . Bereken $z+w$ , $2z-w$ en $z\cdot w$ . Bepaal daarnaast $i^{15}$ met behulp van de machtencyclus van $i$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

De geconjugeerde en delen#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-E

Een getal en zijn geconjugeerde, gespiegeld in de reële as

Afb. 2Afb. 1 — De geconjugeerde z̄ = 3 − 2i is de spiegeling van z = 3 + 2i in de reële as: het reële deel blijft gelijk, het imaginaire deel wisselt van teken.

De geconjugeerde (of toegevoegd complexe) van

z=a+bi

\bar{z}=a-bi

: je keert het teken van het imaginaire deel om. In het complexe vlak is

\bar{z}

de spiegeling van

z

in de reële as, zoals Afb. 1 laat zien voor

z=3+2i

\bar{z}=3-2i

. Spiegel je twee keer, dan ben je terug bij af:

\overline{\bar{z}}=z

. Een getal valt samen met zijn geconjugeerde precies als het reëel is (dan is

b=0

De geconjugeerde is nuttig omdat het product

z\bar{z}

altijd een niet-negatief reëel getal is:

z\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2

. Dat is precies het kwadraat van de modulus, dus

z\bar{z}=|z|^2

(de modulus

|z|=\sqrt{a^2+b^2}

komt in de volgende paragraaf uitgebreid aan bod). De imaginaire delen vallen weg doordat de kruistermen

-abi

+abi

elkaar opheffen — dit is het complexe analogon van het merkwaardige product

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Op deze eigenschap berust het delen. Een quotiënt

\dfrac{z}{w}

maak je reëel in de noemer door teller én noemer met de geconjugeerde

\bar{w}

van de noemer te vermenigvuldigen:

\dfrac{z}{w}=\dfrac{z\bar{w}}{w\bar{w}}=\dfrac{z\bar{w}}{|w|^2}

. De noemer

|w|^2

is nu een gewoon reëel getal, zodat je het resultaat meteen in de vorm

a+bi

kunt schrijven. Dit is dezelfde gedachte als het „wegwerken van een wortel uit de noemer” bij reële breuken.

Neem als voorbeeld

\dfrac{4+2i}{1+i}

. Vermenigvuldig boven en onder met

\bar{w}=1-i

: de teller wordt

(4+2i)(1-i)=6-2i

en de noemer

(1+i)(1-i)=1^2+1^2=2

, dus

\dfrac{4+2i}{1+i}=\dfrac{6-2i}{2}=3-i

. Een handig speciaal geval is

\dfrac{1}{i}

: vermenigvuldigen met

\bar{i}=-i

geeft

\dfrac{1}{i}=\dfrac{-i}{i\cdot(-i)}=\dfrac{-i}{1}=-i

. Zo is delen door

i

hetzelfde als vermenigvuldigen met

-i

De geconjugeerde gedraagt zich netjes onder de bewerkingen:

\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}

\overline{z\cdot w}=\bar{z}\cdot\bar{w}

— conjugeren en optellen of vermenigvuldigen mag je verwisselen. Bovendien geldt

z+\bar{z}=2\operatorname{Re}(z)

z-\bar{z}=2i\operatorname{Im}(z)

, waarmee je het reële en imaginaire deel puur met conjugatie kunt uitdrukken. Deze regels zijn de sleutel tot de verdieping: bij een veelterm met reële coëfficiënten zorgen ze ervoor dat niet-reële nulpunten altijd in toegevoegd-complexe paren optreden.

\bar{z} = a - bi

Geconjugeerde

Keer het teken van het imaginaire deel om; meetkundig een spiegeling in de reële as.

z\bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2

Product met de geconjugeerde

Altijd een niet-negatief reëel getal — dit maakt het delen mogelijk.

\frac{z}{w} = \frac{z\bar{w}}{w\bar{w}} = \frac{z\bar{w}}{|w|^2}

Delen door de geconjugeerde

Vermenigvuldig teller en noemer met de geconjugeerde van de noemer; de noemer wordt reëel.

Uitgewerkt voorbeeld

Een quotiënt in de vorm a + bi schrijven

Schrijf $\dfrac{4+2i}{1+i}$ in de vorm $a+bi$ .

Vermenigvuldig met de geconjugeerde van de noemer
De geconjugeerde van $1+i$ is $1-i$ ; vermenigvuldig teller én noemer ermee.
$\frac{4+2i}{1+i}=\frac{(4+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}$
Werk de teller uit
Gebruik $i^2=-1$ , dus $-2i^2=+2$ .
$(4+2i)(1-i)=4-4i+2i-2i^2=6-2i$
Werk de noemer uit
Het merkwaardige product $(1+i)(1-i)=1^2+1^2$ .
$(1+i)(1-i)=1-i^2=2$
Deel elk deel door 2
Splits de reële breuk.
$\frac{6-2i}{2}=3-i$

Resultaat: $\dfrac{4+2i}{1+i}=3-i$ . Controle door terug te vermenigvuldigen: $(3-i)(1+i)=3+3i-i-i^2=4+2i$ , wat klopt.

Veelgemaakte fouten

Alleen de teller (en niet ook de noemer) met de geconjugeerde vermenigvuldigen — dan verander je de waarde van de breuk.
Bij $w\bar{w}$ opnieuw $i^2$ laten staan: $(1+i)(1-i)=1-i^2=2$ , niet $1+i^2=0$ .
Het teken van het réele deel omkeren in plaats van het imaginaire deel; de geconjugeerde is $\bar{z}=a-bi$ .

Actieve herhaling

Schrijf $\dfrac{5-i}{2+3i}$ in de vorm $a+bi$ . Bepaal daarnaast $z\bar{z}$ voor $z=2+3i$ en ga na dat dit gelijk is aan $|z|^2$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Het complexe vlak: modulus en argument#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-E

Modulus en argument van z = 3 + 4i

Afb. 3Afb. 1 — De modulus |z| = √(3² + 4²) = 5 is de lengte van de vector; het argument arg z is de hoek met de positieve reële as (hier arctan(4/3) ≈ 53,1°).

Elk complex getal

z=a+bi

hoort bij precies één punt

(a,b)

in het vlak: de reële delen zet je op de horizontale as (de reële as), de imaginaire delen op de verticale as (de imaginaire as). Dit vlak heet het complexe vlak of Argand-diagram. Je mag

z

ook als de plaatsvector van

O

naar

(a,b)

zien; dat verbindt het rekenen met complexe getallen naadloos met de vectormeetkunde. In Afb. 1 staat

z=3+4i

getekend, met horizontale component

3

en verticale component

4

De modulus (of absolute waarde)

|z|

is de afstand van

z

tot de oorsprong, dus de lengte van de bijbehorende vector. Met de stelling van Pythagoras op de rechthoekige driehoek met rechthoekszijden

a

b

krijg je

|z|=\sqrt{a^2+b^2}

. Voor

z=3+4i

|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5

— de vertrouwde

3

–

4

–

5

-driehoek uit Afb. 1. De modulus is altijd

\ge 0

en is

0

alleen voor

z=0

; verder geldt

|z|^2=z\bar{z}

(herhaling uit de vorige paragraaf).

Het argument

\arg(z)

is de hoek

\varphi

die de vector

Oz

maakt met de positieve reële as, tegen de klok in gemeten (bij voorkeur in radialen). Uit de rechthoekige driehoek volgt

\tan\varphi=\dfrac{b}{a}

, maar je moet altijd kijken naar het kwadrant waarin

z

ligt om de juiste hoek te kiezen — de

\arctan

-toets van je rekenmachine geeft alleen een hoek tussen

-\tfrac{\pi}{2}

\tfrac{\pi}{2}

. Voor

z=3+4i

(eerste kwadrant) is

\arg(z)=\arctan\tfrac{4}{3}\approx 0{,}93

rad

\approx 53{,}1^\circ

Ligt

z

links van de imaginaire as, dan schiet

\arctan\tfrac{b}{a}

tekort. Bij

z=-1+i\sqrt{3}

(tweede kwadrant) geeft de referentiehoek

\arctan\tfrac{\sqrt{3}}{1}=\tfrac{\pi}{3}

, maar het echte argument is

\pi-\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{3}

(oftewel

120^\circ

). Een goede gewoonte is dan ook: teken

z

altijd eerst grof en gebruik die schets om te bepalen of je bij de referentiehoek nog

\pi

moet optellen of aftrekken. Het argument is bovendien maar op een veelvoud van

2\pi

na bepaald; meestal kiest men de hoofdwaarde in

(-\pi,\pi]

Modulus en argument zijn samen de „poolcoördinaten” van een complex getal: ze leggen

z

volledig vast, want

z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)

met

r=|z|

\varphi=\arg(z)

. Deze manier van kijken maakt vermenigvuldigen, machtsverheffen en worteltrekken opeens eenvoudig — dat werken we in de volgende paragraaf uit met De Moivre en Euler. Waar de vorm

a+bi

ideaal is voor optellen, is de modulus-argumentvorm ideaal voor vermenigvuldigen.

|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\bar{z}}

Modulus (absolute waarde)

De afstand van z tot O; Pythagoras op het reële en imaginaire deel.

\tan\bigl(\arg(z)\bigr) = \frac{b}{a}\quad(\text{let op het kwadrant})

Argument

De hoek met de positieve reële as; bepaal via een schets in welk kwadrant z ligt.

z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi),\qquad r = |z|,\; \varphi = \arg(z)

Poolcoördinaten

Modulus en argument leggen z volledig vast (poolvorm).

Uitgewerkt voorbeeld

Modulus en argument bepalen (met kwadrant)

Bepaal de modulus en het argument van $z=-1+i\sqrt{3}$ , en schrijf $z$ in de vorm $r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ .

Bereken de modulus
Gebruik $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ met $a=-1$ en $b=\sqrt{3}$ .
$|z|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$
Bepaal het kwadrant
Omdat $\operatorname{Re}(z)=-1<0$ en $\operatorname{Im}(z)=\sqrt{3}>0$ ligt $z$ in het tweede kwadrant.
Corrigeer de referentiehoek
De referentiehoek is $\arctan\tfrac{\sqrt{3}}{1}=\tfrac{\pi}{3}$ ; in het tweede kwadrant is het argument $\pi$ min de referentiehoek.
$\arg(z)=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\;(120^\circ)$
Schrijf in poolvorm
Vul $r=2$ en $\varphi=\tfrac{2\pi}{3}$ in.
$z=2\left(\cos\tfrac{2\pi}{3}+i\sin\tfrac{2\pi}{3}\right)$

Resultaat: $|z|=2$ en $\arg(z)=\tfrac{2\pi}{3}$ ( $120^\circ$ ), dus $z=2\left(\cos\tfrac{2\pi}{3}+i\sin\tfrac{2\pi}{3}\right)$ . Controle: $2\left(-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1+i\sqrt{3}$ .

Veelgemaakte fouten

Klakkeloos $\arg(z)=\arctan\tfrac{b}{a}$ nemen zonder naar het kwadrant te kijken; bij $z$ links van de imaginaire as moet je $\pi$ optellen of aftrekken.
In $\tan\varphi=\tfrac{b}{a}$ het reële en imaginaire deel verwisselen (het is imaginair deel gedeeld door reëel deel, niet andersom).
De wortel bij de modulus vergeten en $|z|=a^2+b^2$ schrijven in plaats van $\sqrt{a^2+b^2}$ .

Actieve herhaling

Teken $z=-2-2i$ in het complexe vlak. Bepaal $|z|$ en $\arg(z)$ (let op het kwadrant) en schrijf $z$ in de vorm $r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Polaire en exponentiële vorm; De Moivre en Euler#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-E

Kwadrateren draait en schaalt: z = 1 + i en z² = 2i

Afb. 4Afb. 1 — Kwadrateren van z = 1 + i: de modulus gaat van √2 naar (√2)² = 2 en het argument van 45° naar 2 · 45° = 90°, dus z² = 2i. Dit is De Moivre met n = 2 in beeld.

In de vorige paragraaf zag je dat

z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)

met

r=|z|

\varphi=\arg(z)

; dit heet de polaire vorm. Het grote voordeel blijkt bij vermenigvuldigen. Voor

z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)

z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)

geeft het uitwerken met de gonio-somformules

z_1z_2=r_1r_2\bigl(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)\bigr)

. In woorden: de moduli vermenigvuldig je en de argumenten tel je op. Vermenigvuldigen met een complex getal is dus schalen (met

r

) én draaien (over

\varphi

De formule van Euler verbindt de exponentiële functie met de goniometrie:

e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi

. Daarmee wordt de polaire vorm heel compact de exponentiële vorm

z=re^{i\varphi}

. Dat dit een natuurlijke notatie is, zie je aan de machtsregel:

e^{i\varphi_1}\cdot e^{i\varphi_2}=e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}

zegt precies dat de argumenten optellen — dezelfde regel als hierboven, maar nu in de vertrouwde gedaante „exponenten optellen bij vermenigvuldigen”. Voor

\varphi=\tfrac{\pi}{2}

geeft Euler bijvoorbeeld

e^{i\pi/2}=\cos\tfrac{\pi}{2}+i\sin\tfrac{\pi}{2}=i

Pas je de vermenigvuldigingsregel

n

keer toe op hetzelfde getal, dan krijg je de stelling van De Moivre:

z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)

, oftewel

\bigl(re^{i\varphi}\bigr)^n=r^n e^{in\varphi}

. Machtsverheffen wordt zo kinderlijk eenvoudig: verhef de modulus tot de macht

n

en vermenigvuldig het argument met

n

. Waar

(1+i)^8

met haakjes uitwerken een crime is, geeft De Moivre het antwoord in twee regels — zie het uitgewerkte voorbeeld.

Meetkundig maakt Afb. 1 dit zichtbaar voor het kwadrateren. Het getal

z=1+i

heeft modulus

\sqrt{2}

en argument

\tfrac{\pi}{4}

(

45^\circ

). Volgens De Moivre met

n=2

heeft

z^2

dan modulus

(\sqrt{2})^2=2

en argument

2\cdot\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{2}

(

90^\circ

); inderdaad is

z^2=(1+i)^2=2i

. Kwadrateren heeft de vector dus over

45^\circ

gedraaid én van lengte

\sqrt{2}

naar

2

geschaald — precies wat „modulus kwadrateren, argument verdubbelen” betekent.

Kies je vorm bij de bewerking: optellen en aftrekken gaan het handigst in de vorm

a+bi

, terwijl vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en worteltrekken het handigst gaan in de vorm

re^{i\varphi}

. Wisselen tussen de vormen is routine: van

a+bi

naar

re^{i\varphi}

via

r=\sqrt{a^2+b^2}

\varphi=\arg(z)

, en terug via

a=r\cos\varphi

b=r\sin\varphi

. Deze twee formules — De Moivre en Euler — zijn het fundament onder de profielverdieping: de eenheidswortels, de hoofdstelling van de algebra en de meetkundige transformaties bouwen er rechtstreeks op voort.

z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = re^{i\varphi}

Polaire en exponentiële vorm

Twee schrijfwijzen voor hetzelfde getal met modulus r en argument φ.

e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi

Formule van Euler

Verbindt de e-macht met cosinus en sinus; e^{iφ} ligt op de eenheidscirkel.

z_1 z_2 = r_1 r_2\, e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}

Vermenigvuldigen: moduli maal, argumenten plus

Bij een product vermenigvuldigen de moduli en tellen de argumenten op (draaien + schalen).

z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi) = r^n e^{in\varphi}

Stelling van De Moivre

Verhef de modulus tot de macht n en vermenigvuldig het argument met n.

Uitgewerkt voorbeeld

Een hoge macht met De Moivre

Bereken $(1+i)^8$ met de stelling van De Moivre.

Schrijf 1 + i in exponentiële vorm
Modulus $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ , argument $\tfrac{\pi}{4}$ .
$1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$
Pas De Moivre toe (n = 8)
Verhef de modulus tot de 8e macht en vermenigvuldig het argument met 8.
$(1+i)^8=(\sqrt{2})^8\,e^{i\cdot 8\cdot \pi/4}=(\sqrt{2})^8\,e^{i\cdot 2\pi}$
Reken de onderdelen uit
$(\sqrt{2})^8=2^4=16$ en $e^{i\cdot 2\pi}=\cos 2\pi+i\sin 2\pi=1$ .
$(1+i)^8=16\cdot 1=16$

Resultaat: $(1+i)^8=16$ . Controle via herhaald kwadrateren: $(1+i)^2=2i$ , $(1+i)^4=(2i)^2=-4$ , $(1+i)^8=(-4)^2=16$ .

Veelgemaakte fouten

Bij De Moivre alleen het argument met $n$ vermenigvuldigen en de modulus vergeten te verheffen (of andersom): bewerk in $z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$ allebei.
$(\sqrt{2})^8$ verkeerd uitrekenen; er geldt $(\sqrt{2})^8=2^{8/2}=2^4=16$ .
De argumenten vermenigvuldigen in plaats van optellen bij een product $z_1 z_2$ (daar optellen), of ze optellen bij een macht $z^n$ (daar met $n$ vermenigvuldigen).

Actieve herhaling

Schrijf $z=1+i\sqrt{3}$ in de exponentiële vorm $re^{i\varphi}$ en bereken daarmee $z^6$ . Geef het antwoord in de vorm $a+bi$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO)

Complexe getallen: basisoperaties (geconjugeerde, argument, absolute waarde, De Moivre, Euler)

Kernpunten

Rekenen met complexe getallen

Kernpunten

Een quotiënt in de vorm a + bi schrijven

Kernpunten

Modulus en argument bepalen (met kwadrant)

Kernpunten

Een hoge macht met De Moivre

Bronnen