Samenvattingen · Wiskunde DNL · VWO

De ruimte (coördinaten, vectoren, in- en uitproduct, normaalvectoren)

In de ruimtemeetkunde (domein D) beschrijf je punten met drie coördinaten $P(x,y,z)$ en reken je met vectoren in $\mathbb{R}^3$ . De lengte is $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ ; het inproduct $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi$ levert hoeken en de loodrecht-toets $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ ; het uitproduct $\vec{a}\times\vec{b}$ geeft een normaalvector en, via $|\vec{a}\times\vec{b}|$ , oppervlakte en inhoud. Daarmee stel je vergelijkingen op van lijnen ( $\vec{x}=\vec{p}+t\,\vec{r}$ ) en vlakken ( $ax+by+cz=d$ ) en bereken je snijpunten en hoeken. Wiskunde D kent geen centraal examen; deze stof wordt in het schoolexamen (SE) getoetst.

4 Onderdelen~18 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 1 · Verdieping 3

T·141414 / 19

Examenprofiel

Domein D — rekenen met coördinaten en vectoren in R³: optellen, scalair vermenigvuldigen, lengte |\vec{a}|=\sqrt{a₁²+a₂²+a₃²} en afstandHet inproduct \vec{a}·\vec{b}=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi gebruiken voor hoeken en loodrechte stand (\vec{a}·\vec{b}=0)Het uitproduct \vec{a}×\vec{b} berekenen als normaalvector en voor oppervlakte en inhoudVergelijkingen van lijnen (\vec{x}=\vec{p}+t \vec{r}) en vlakken (\vec{n}·(\vec{x}-\vec{p})=0) opstellen, snijden en hoeken bepalen

Operatoren:berekenbepaaltoon aanlos opleid afstel op

basisniveau

De ruimtemeetkunde met coördinaten, vectoren, het inproduct en het opstellen van vlakvergelijkingen hoort bij domein D. Wiskunde D kent geen centraal examen; deze stof wordt in het schoolexamen (SE) getoetst. Beheers minimaal: rekenen met vectoren in $\mathbb{R}^3$ , de lengte $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ , het inproduct en de loodrecht-toets $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ , en de vergelijking $ax+by+cz=d$ van een vlak uit een normaalvector en een punt.

verhoogd niveau

Verdieping: het uitproduct $\vec{a}\times\vec{b}$ als normaalvector en voor oppervlakte en inhoud (spatproduct), het snijden van lijnen en vlakken, en het berekenen van hoeken tussen vectoren, lijnen en vlakken. Dit vormt samen met het onderwerp „Toepassingen en ICT in de meetkunde” (afstanden, hoeken en doorsneden) de kern van de ruimtemeetkunde in wiskunde D.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

De ruimte (coördinaten, vectoren, in- en uitproduct, normaalvectoren)

Coördinaten en vectoren in de ruimte#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-D

In de ruimtemeetkunde beschrijf je posities met drie coördinaten. Een punt

P

in de ruimte

\mathbb{R}^3

leg je vast met een geordend drietal

P(x,y,z)

, waarin

x

y

z

de verplaatsingen langs drie onderling loodrechte assen zijn — de

x

-as, de

y

-as en de

z

-as, die samen een rechtshandig assenstelsel vormen. Afb. 1 toont een balk met ribben

4

3

2

langs de assen, met de oorsprong

O(0,0,0)

in één hoekpunt en het tegenoverliggende hoekpunt

P(4,3,2)

. Waar je in het platte vlak met twee getallen werkt, komt er in de ruimte dus één coördinaat bij; alle vertrouwde begrippen — afstand, vector, midden — breiden op een natuurlijke manier uit naar dit derde getal.

Punt en plaatsvector in de ruimte

Afb. 1Afb. 1 — Een balk 4 × 3 × 2 met de oorsprong O en het hoekpunt P(4, 3, 2). De ruimtediagonaal OP heeft lengte |OP| = √(4² + 3² + 2²) = √29 ≈ 5,39.

Een vector in de ruimte is, net als in het platte vlak, een grootheid met een grootte én een richting, weergegeven door drie kentallen

\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)

(of als kolomvector). De vector van een punt

A(x_1,y_1,z_1)

naar een punt

B(x_2,y_2,z_2)

heeft als kentallen de verschillen van de coördinaten:

\vec{AB}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1)

. De plaatsvector

\vec{OP}

van een punt

P

heeft precies de coördinaten van

P

als kentallen. Zo vertaal je vlot tussen punten (posities) en vectoren (verplaatsingen), wat de basis is van alle berekeningen die volgen.

Met vectoren in

\mathbb{R}^3

reken je per kental, precies zoals in het vlak. Optellen telt de kentallen op,

\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,\;a_2+b_2,\;a_3+b_3)

, en scalair vermenigvuldigen schaalt elk kental:

k\vec{a}=(ka_1,\;ka_2,\;ka_3)

. Twee vectoren die elkaars scalair veelvoud zijn, wijzen dezelfde of tegengestelde kant op en heten evenwijdig — het criterium dat je bij lijnen gebruikt. Het midden

M

van een lijnstuk

AB

vind je met het gemiddelde van de coördinaten, oftewel

\vec{OM}=\tfrac12(\vec{OA}+\vec{OB})

De lengte (norm) van een vector volgt uit de ruimtelijke stelling van Pythagoras:

|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}

. Je past Pythagoras in feite twee keer toe — eerst in het grondvlak en dan omhoog langs de derde as — waardoor de drie kwadraten onder één wortel verschijnen. De afstand tussen twee punten is de lengte van de verbindingsvector:

|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}

. Zo is in Afb. 1 de ruimtediagonaal

|OP|=\sqrt{4^2+3^2+2^2}=\sqrt{29}\approx 5{,}39

. Reken de wortel altijd netjes uit of laat hem exact staan; deze lengteformule keert bij afstanden, hoeken en het inproduct steeds terug.

Coördinaten en vectoren maken de ruimtemeetkunde berekenbaar: in plaats van te construeren met passer en liniaal, druk je punten, lijnen en vlakken in getallen uit en reken je eraan. Het vlot omzetten tussen een punt en zijn plaatsvector, tussen twee punten en hun verbindingsvector, en het exact bepalen van lengtes en middens, is de gereedschapskist waarmee de rest van dit onderwerp — inproduct, uitproduct, lijnen en vlakken — wordt gebouwd. Alle formules hieronder zijn de natuurlijke uitbreiding naar drie kentallen van wat je in het platte vlak al kent.

\vec{AB}=\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \\ z_2-z_1 \end{pmatrix}

Vector tussen twee punten

De kentallen zijn de verschillen van de coördinaten ( $B-A$ ).

|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}

Lengte van een vector

De ruimtelijke stelling van Pythagoras op de drie kentallen.

|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}

Afstand tussen twee punten

De afstand is de lengte van de verbindingsvector $\vec{AB}$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Verbindingsvector, afstand en midden

Gegeven de punten $A(1,2,2)$ en $B(5,4,6)$ . Bereken $\vec{AB}$ , de afstand $|AB|$ en het midden $M$ van het lijnstuk $AB$ .

Verbindingsvector
Neem de verschillen van de coördinaten ( $B-A$ ).
$\vec{AB}=\begin{pmatrix} 5-1 \\ 4-2 \\ 6-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$
Afstand
De afstand is de lengte van $\vec{AB}$ .
$|AB|=\sqrt{4^2+2^2+4^2}=\sqrt{16+4+16}=\sqrt{36}=6$
Midden
Neem het gemiddelde van de coördinaten van $A$ en $B$ .
$M=\left(\tfrac{1+5}{2},\tfrac{2+4}{2},\tfrac{2+6}{2}\right)=(3,3,4)$

Resultaat: $\vec{AB}=(4,2,4)$ , $|AB|=6$ en $M(3,3,4)$ .

Veelgemaakte fouten

Bij $\vec{AB}$ de coördinaten optellen in plaats van aftrekken (het is $B-A$ ).
De wortel vergeten bij de lengte, of $|\vec{a}|$ gelijkstellen aan $a_1^2+a_2^2+a_3^2$ in plaats van de wortel daarvan.
Bij een negatief kental het kwadraat negatief maken; $(-4)^2=16$ , niet $-16$ .
In de ruimtelijke Pythagoras slechts twee kentallen kwadrateren en het derde vergeten.

Actieve herhaling

Gegeven $A(2,-1,3)$ en $B(4,3,-1)$ . Bereken $\vec{AB}$ , de afstand $|AB|$ en het midden $M$ van $AB$ . Bepaal ook $2\vec{OA}-\vec{OB}$ en ga na of $\vec{AB}$ evenwijdig is met $(2,2,-2)$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Het inproduct: lengte, hoek en loodrechte stand#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-D

Hoek tussen twee vectoren in de ruimte

Afb. 2Afb. 1 — De vectoren a = (2, 1, 2) en b = (1, -2, 2) vanuit O met de hoek φ. Inproduct a·b = 4, |a| = |b| = 3, dus cos φ = 4⁄9 en φ ≈ 63,6°.

Het inproduct (scalair product) van twee ruimtevectoren

\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)

\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)

is het getal

\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3

: vermenigvuldig de bijbehorende kentallen en tel de drie producten op. De uitkomst is een scalair — een getal, geen vector. Dit is de rechtstreekse uitbreiding van het platte-vlak-inproduct met een derde term. Het inproduct is het gereedschap waarmee je in de ruimte hoeken meet en loodrechte stand toetst, want het verbindt de kentallen met de hoek tussen de vectoren.

Naast deze kentaldefinitie heeft het inproduct een meetkundige gedaante:

\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi

, waarin

\varphi

de hoek tussen de twee vectoren is (met

0^\circ\le\varphi\le180^\circ

). Door de twee uitdrukkingen voor hetzelfde inproduct aan elkaar gelijk te stellen, los je de hoek op:

\cos\varphi=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

. In Afb. 1 staan de vectoren

\vec{a}=(2,1,2)

\vec{b}=(1,-2,2)

vanuit

O

met de hoek

\varphi

ertussen. Deze werkwijze — het inproduct delen door het product van de lengtes — geeft de hoek tussen élk paar vectoren in de ruimte.

Zo bereken je een ruimtehoek in drie stappen: bereken het inproduct, bereken de twee lengtes, en vul in. Voor de vectoren uit Afb. 1 is

\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot1+1\cdot(-2)+2\cdot2=4

, en

|\vec{a}|=\sqrt{4+1+4}=3

|\vec{b}|=\sqrt{1+4+4}=3

. Daaruit volgt

\cos\varphi=\dfrac{4}{3\cdot3}=\dfrac{4}{9}\approx 0{,}444

, dus

\varphi=\arccos\!\big(\tfrac{4}{9}\big)\approx 63{,}6^\circ

. Vergeet de boogcosinus niet: de opgave vraagt de hoek

\varphi

, niet

\cos\varphi

Het teken van het inproduct verklapt de aard van de hoek zonder verder te rekenen. Is

\vec{a}\cdot\vec{b}>0

dan is de hoek scherp, is hij

<0

dan stomp, en is hij precies

0

dan staan de vectoren loodrecht op elkaar:

\vec{a}\perp\vec{b}\iff\vec{a}\cdot\vec{b}=0

. Dat volgt direct uit de meetkundige vorm, want bij

\varphi=90^\circ

\cos 90^\circ=0

. Zo controleer je met één berekening of

(2,1,2)

(1,2,-2)

loodrecht staan:

2\cdot1+1\cdot2+2\cdot(-2)=2+2-4=0

— ja. Deze loodrecht-toets is in de ruimtemeetkunde onmisbaar bij normaalvectoren, raaklijnen en vlakken.

Het inproduct rekent met nette eigenschappen: het is commutatief (

\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}

) en distributief over de optelling, en het inproduct van een vector met zichzelf is het kwadraat van zijn lengte:

\vec{a}\cdot\vec{a}=a_1^2+a_2^2+a_3^2=|\vec{a}|^2

(want dan is

\varphi=0

\cos 0=1

). Die laatste eigenschap verbindt inproduct en lengte en wordt gebruikt om

|\vec{a}+\vec{b}|

te berekenen via

|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2

. Het inproduct brengt zo lengtes en hoeken samen in één berekening — de reden dat het in de meetkunde met coördinaten centraal staat.

\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi

Het inproduct

De algebraïsche en de meetkundige uitdrukking voor het inproduct zijn gelijk; samen leveren ze de hoek.

\cos\varphi=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

Hoek tussen twee vectoren

Deel het inproduct door het product van de lengtes en neem de boogcosinus.

\vec{a}\perp\vec{b}\iff\vec{a}\cdot\vec{b}=0

Loodrechte stand

Twee vectoren staan loodrecht precies als hun inproduct nul is (want $\cos 90^\circ=0$ ).

Uitgewerkt voorbeeld

Hoek en loodrechte stand berekenen

Gegeven $\vec{a}=(2,1,2)$ , $\vec{b}=(1,-2,2)$ en $\vec{c}=(1,2,-2)$ . Bereken de hoek tussen $\vec{a}$ en $\vec{b}$ , en toon aan dat $\vec{a}$ en $\vec{c}$ loodrecht staan.

Inproduct van a en b
Vermenigvuldig de kentallen en tel op.
$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot1+1\cdot(-2)+2\cdot2=2-2+4=4$
Lengtes
Bereken $|\vec{a}|$ en $|\vec{b}|$ .
$|\vec{a}|=\sqrt{4+1+4}=3,\qquad |\vec{b}|=\sqrt{1+4+4}=3$
Cosinus en hoek
Vul in en neem de boogcosinus.
$\cos\varphi=\frac{4}{3\cdot3}=\frac{4}{9}\approx 0{,}444\;\Rightarrow\;\varphi\approx 63{,}6^\circ$
Loodrechte stand van a en c
Bereken $\vec{a}\cdot\vec{c}$ ; is die nul, dan loodrecht.
$\vec{a}\cdot\vec{c}=2\cdot1+1\cdot2+2\cdot(-2)=2+2-4=0$

Resultaat: De hoek tussen $\vec{a}$ en $\vec{b}$ is ongeveer $63{,}6^\circ$ ; omdat $\vec{a}\cdot\vec{c}=0$ staan $\vec{a}$ en $\vec{c}$ loodrecht op elkaar.

Veelgemaakte fouten

Bij de hoek vergeten door de lengtes te delen, of de lengtes optellen in plaats van vermenigvuldigen.
De boogcosinus overslaan en $\cos\varphi$ als antwoord geven in plaats van $\varphi$ .
Het inproduct als een vector opvatten; de uitkomst is een getal (scalair).
Bij het inproduct maar twee van de drie kentalproducten optellen.

Actieve herhaling

Bereken de hoek tussen $\vec{a}=(1,2,2)$ en $\vec{b}=(2,2,1)$ . Ga daarna na of $(3,0,4)$ en $(4,5,-3)$ loodrecht staan, en bepaal $t$ zó dat $(1,t,2)$ loodrecht staat op $(2,3,-1)$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Het uitproduct en de normaalvector#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-D

Uitproduct: normaalvector op het opgespannen vlak

Afb. 3Afb. 1 — a = (3, 0, 0) en b = (1, 2, 0) spannen een parallellogram in het grondvlak op; n = a × b = (0, 0, 6) staat er loodrecht op. De lengte |n| = 6 is de oppervlakte van het parallellogram.

Het uitproduct (kruisproduct)

\vec{a}\times\vec{b}

is — anders dan het inproduct — zélf een vector. Je berekent de drie kentallen kruislings:

\vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1)

. Een handige geheugensteun is dat elk kental een „kruisverschil” van de andere twee rijen is; let op dat het middelste kental de omgekeerde volgorde heeft (

a_3b_1-a_1b_3

). Het uitproduct bestaat alleen in de ruimte — het is hét gereedschap om in één klap een vector te vinden die loodrecht op twee gegeven vectoren staat.

De sleuteleigenschap is dat

\vec{a}\times\vec{b}

loodrecht staat op zowel

\vec{a}

als

\vec{b}

, en dus loodrecht op het hele vlak dat

\vec{a}

\vec{b}

opspannen. Afb. 1 laat dit zien:

\vec{a}

\vec{b}

liggen in het grondvlak en

\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}

wijst er loodrecht vanaf omhoog. Je controleert de loodrechte stand met het inproduct:

\vec{a}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=0

\vec{b}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=0

— een controle die je op het examen altijd even kunt uitvoeren. Verwissel je

\vec{a}

\vec{b}

, dan keert het uitproduct om:

\vec{b}\times\vec{a}=-(\vec{a}\times\vec{b})

De lengte van het uitproduct heeft een meetkundige betekenis:

|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\sin\varphi

, en dat is precies de oppervlakte van het parallellogram dat

\vec{a}

\vec{b}

opspannen. De oppervlakte van de driehoek met zijden

\vec{a}

\vec{b}

is daarvan de helft:

\tfrac12|\vec{a}\times\vec{b}|

. In Afb. 1 spannen

\vec{a}=(3,0,0)

\vec{b}=(1,2,0)

een parallellogram met oppervlakte

|\vec{a}\times\vec{b}|=|(0,0,6)|=6

op. Waar het inproduct met

\cos\varphi

werkt, werkt het uitproduct met

\sin\varphi

; samen leggen ze de hoek volledig vast.

Met drie vectoren

\vec{a}

\vec{b}

\vec{c}

bereken je de inhoud van het parallellepipedum (de „scheve balk”) dat ze opspannen met het spatproduct:

V=|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|

. Je neemt dus eerst het uitproduct van twee vectoren en daarna het inproduct met de derde; de absolute waarde zorgt voor een positieve inhoud. De inhoud van het viervlak (tetraëder) met deze drie ribben is een zesde daarvan,

\tfrac16|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|

. Is het spatproduct nul, dan liggen de drie vectoren in één vlak — een handige test voor „liggen deze punten in één vlak?”.

De belangrijkste toepassing van het uitproduct in dit hoofdstuk is het vinden van een normaalvector. Ken je drie punten

A

B

C

van een vlak, dan zijn

\vec{AB}

\vec{AC}

twee richtingsvectoren van dat vlak, en is

\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}

een normaalvector — precies wat je nodig hebt om de vlakvergelijking op te stellen (volgende paragraaf). Zo vertaalt het uitproduct „drie punten” rechtstreeks naar „een richting loodrecht op het vlak”. Het uitproduct is daarmee de brug tussen de vectormeetkunde en de vergelijkingen van vlakken, en het gereedschap voor oppervlakte en inhoud.

\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}

Het uitproduct (kruisproduct)

Kruislings rekenen; het middelste kental heeft de omgekeerde volgorde. De uitkomst is een vector.

|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\sin\varphi

Lengte = oppervlakte parallellogram

De lengte van het uitproduct is de oppervlakte van het door a en b opgespannen parallellogram; de driehoek is de helft.

V=\left|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}\right|

Spatproduct = inhoud

De inhoud van het parallellepipedum met ribben a, b, c; de tetraëder is een zesde deel.

Uitgewerkt voorbeeld

Uitproduct, loodrecht-controle en oppervlakte

Gegeven $\vec{a}=(1,2,2)$ en $\vec{b}=(2,2,1)$ . Bereken $\vec{a}\times\vec{b}$ , controleer dat het loodrecht op $\vec{a}$ staat, en bepaal de oppervlakte van het parallellogram dat $\vec{a}$ en $\vec{b}$ opspannen.

Uitproduct kruislings
Bereken de drie kentallen.
$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} 2\cdot1-2\cdot2 \\ 2\cdot2-1\cdot1 \\ 1\cdot2-2\cdot2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$
Loodrecht-controle
Het inproduct van $\vec{a}$ met het uitproduct moet nul zijn.
$\vec{a}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=1\cdot(-2)+2\cdot3+2\cdot(-2)=-2+6-4=0$
Oppervlakte
De oppervlakte van het parallellogram is $|\vec{a}\times\vec{b}|$ .
$|\vec{a}\times\vec{b}|=\sqrt{(-2)^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{4+9+4}=\sqrt{17}\approx 4{,}12$

Resultaat: $\vec{a}\times\vec{b}=(-2,3,-2)$ , staat loodrecht op $\vec{a}$ (inproduct $0$ ), en de oppervlakte van het parallellogram is $\sqrt{17}\approx 4{,}12$ .

Veelgemaakte fouten

Het middelste kental met de verkeerde volgorde berekenen; het is $a_3b_1-a_1b_3$ , niet $a_1b_3-a_3b_1$ .
Het uitproduct verwarren met het inproduct (een getal) — het uitproduct is een vector.
Bij de oppervlakte van de driehoek de factor $\tfrac12$ vergeten.
De volgorde van $\vec{a}$ en $\vec{b}$ omdraaien en niet merken dat de normaalvector dan omkeert.

Actieve herhaling

Gegeven $\vec{a}=(2,-1,0)$ en $\vec{b}=(1,2,2)$ . Bereken $\vec{a}\times\vec{b}$ en de oppervlakte van het opgespannen parallellogram. Bepaal daarna een normaalvector van het vlak door $A(1,0,0)$ , $B(0,2,0)$ en $C(0,0,3)$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Lijnen en vlakken: vergelijkingen, snijden en hoeken#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-D

Snijpunt van een lijn en een vlak

Afb. 4Afb. 1 — Het vlak V: x + y + z = 3 (door de punten (3,0,0), (0,3,0), (0,0,3)) en de lijn ℓ door O met richting (1,1,1). Substitutie geeft 3t = 3, dus t = 1 en snijpunt S(1, 1, 1).

Een lijn in de ruimte leg je vast met een vectorvoorstelling (parametervoorstelling):

\vec{x}=\vec{p}+t\,\vec{r}

, waarin

\vec{p}

de plaatsvector van een vast punt op de lijn is (het steunpunt) en

\vec{r}

de richtingsvector. Voor elke waarde van de parameter

t

krijg je één punt van de lijn;

t=0

geeft het steunpunt, en

\vec{r}

bepaalt de richting waarin je loopt. In kentallen:

(x,y,z)=(p_1+t r_1,\;p_2+t r_2,\;p_3+t r_3)

. Anders dan in het platte vlak kun je een ruimtelijke lijn niet met één vergelijking

ax+by+cz=d

beschrijven — dat is namelijk een vlak; een lijn heeft de parametervorm nodig.

Een vlak leg je juist wél met één vergelijking vast, via een normaalvector. Staat

\vec{n}=(a,b,c)

loodrecht op het vlak en ligt het punt

P

op het vlak, dan geldt voor elk punt

X

van het vlak dat

\vec{PX}\perp\vec{n}

, oftewel

\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{p})=0

. Werk je dit uit, dan krijg je

ax+by+cz=d

met

d=\vec{n}\cdot\vec{p}=ap_1+bp_2+cp_3

. De coëfficiënten

a

b

c

in de vlakvergelijking zíjn dus de kentallen van een normaalvector — je leest de normaalrichting rechtstreeks uit de vergelijking af. Zo stel je met een normaalvector (vaak gevonden via het uitproduct) en één punt in twee regels de vlakvergelijking op.

Het snijpunt van een lijn en een vlak vind je door de parametervoorstelling van de lijn in de vlakvergelijking te substitueren. Je vervangt

x

y

z

door hun uitdrukkingen in

t

, lost de ontstane lineaire vergelijking in

t

op, en vult die

t

terug in de lijn om het snijpunt te krijgen. Afb. 1 toont het vlak

V:\;x+y+z=3

en de lijn

\ell

door

O

met richting

(1,1,1)

; substitutie geeft

t+t+t=3

, dus

t=1

en het snijpunt

S(1,1,1)

. Levert de vergelijking geen oplossing op, dan is de lijn evenwijdig aan het vlak; klopt hij voor élke

t

, dan ligt de lijn ín het vlak.

Hoeken tussen lijnen en vlakken bereken je met inproducten van richtings- en normaalvectoren. De hoek tussen twee vlakken is de hoek tussen hun normaalvectoren:

\cos\varphi=\dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}

. De hoek

\alpha

tussen een lijn en een vlak is subtieler: omdat je de normaalvector gebruikt, meet

\dfrac{\vec{n}\cdot\vec{r}}{|\vec{n}||\vec{r}|}

de hoek met de normaal, en de hoek met het vlak is het complement daarvan — vandaar

\sin\alpha=\dfrac{|\vec{n}\cdot\vec{r}|}{|\vec{n}||\vec{r}|}

(een sinus in plaats van een cosinus). De absolute waarde zorgt dat je altijd de scherpe hoek krijgt. Deze hoeken werk je in het volgende onderwerp verder uit.

Lijnen en vlakken hebben zo elk hun eigen taal: de lijn leeft in de parametervorm

\vec{x}=\vec{p}+t\,\vec{r}

(steunpunt plus richting), het vlak in de vergelijking

ax+by+cz=d

(normaalvector plus punt). Het uitproduct verbindt beide werelden — het maakt van twee richtingsvectoren een normaalvector, en dus van „drie punten” een vlakvergelijking. Wie deze twee voorstellingen vlot kan opstellen, omzetten en combineren (snijden, hoeken), beheerst de kern van de analytische ruimtemeetkunde; het is het fundament voor de afstanden, hoeken en doorsneden van het volgende onderwerp.

\vec{x}=\vec{p}+t\,\vec{r}

Vectorvoorstelling van een lijn

Steunpunt p plus een veelvoud van de richtingsvector r; t is de parameter.

\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{p})=0\;\iff\;ax+by+cz=d,\quad d=ap_1+bp_2+cp_3

Vergelijking van een vlak

Normaalvector (a, b, c) en een punt P op het vlak; d volgt door P in te vullen.

\sin\alpha=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{r}|}{|\vec{n}|\,|\vec{r}|}\qquad \cos\varphi=\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\,|\vec{n_2}|}

Hoek lijn–vlak en vlak–vlak

Lijn–vlak via de sinus (complement van de hoek met de normaal); vlak–vlak via de normaalvectoren.

Uitgewerkt voorbeeld

Snijpunt en hoek van een lijn met een vlak

Gegeven het vlak $V:\;x+2y+2z=7$ en de lijn $\ell:\;\vec{x}=(-1,1,2)+t(2,1,-1)$ . Bepaal het snijpunt van $\ell$ en $V$ en de hoek tussen $\ell$ en $V$ .

Lijn in kentallen
Schrijf $x$ , $y$ en $z$ als uitdrukking in $t$ .
$x=-1+2t,\quad y=1+t,\quad z=2-t$
Substitueren in het vlak
Vul in $x+2y+2z=7$ en los $t$ op.
$(-1+2t)+2(1+t)+2(2-t)=5+2t=7\;\Rightarrow\;t=1$
Snijpunt
Vul $t=1$ terug in de lijn.
$S=(-1+2,\;1+1,\;2-1)=(1,2,1)$
Hoek lijn–vlak
Gebruik $\vec{n}=(1,2,2)$ en $\vec{r}=(2,1,-1)$ in de sinus-formule.
$\sin\alpha=\frac{|1\cdot2+2\cdot1+2\cdot(-1)|}{3\cdot\sqrt{6}}=\frac{2}{3\sqrt{6}}\approx 0{,}272\;\Rightarrow\;\alpha\approx 15{,}8^\circ$

Resultaat: Het snijpunt is $S(1,2,1)$ en de hoek tussen $\ell$ en $V$ is ongeveer $15{,}8^\circ$ .

Veelgemaakte fouten

Een lijn in de ruimte met één vergelijking $ax+by+cz=d$ willen beschrijven; dat is een vlak, een lijn heeft de parametervorm nodig.
De normaalvector van $ax+by+cz=d$ verkeerd aflezen; die is $(a,b,c)$ .
Bij de hoek tussen lijn en vlak $\cos$ gebruiken in plaats van $\sin$ (je rekent via de normaal, dus neem het complement).
$d$ verkeerd bepalen; vul het gegeven punt in, $d=ap_1+bp_2+cp_3$ .

Actieve herhaling

Stel de vergelijking op van het vlak $V$ door $P(1,1,2)$ met normaalvector $(2,-1,2)$ . Ligt het punt $Q(3,3,1)$ op $V$ ? Bepaal de hoek tussen $V$ en de lijn $\vec{x}=(0,0,0)+t(2,2,1)$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO)

De ruimte (coördinaten, vectoren, in- en uitproduct, normaalvectoren)

Kernpunten

Verbindingsvector, afstand en midden

Kernpunten

Hoek en loodrechte stand berekenen

Kernpunten

Uitproduct, loodrecht-controle en oppervlakte

Kernpunten

Snijpunt en hoek van een lijn met een vlak

Bronnen