Samenvattingen · Wiskunde DNL · VWO

Kegelsneden: synthetisch en in coördinaten

Een kegelsnede ontstaat als je een (dubbele) kegel doorsnijdt met een plat vlak. Afhankelijk van de snijhoek krijg je een cirkel, een ellips, een parabool of een hyperbool. Elk van deze krommen heeft ook een brandpuntsdefinitie — de ellips als $|PF_1|+|PF_2|=2a$ , de parabool als „even ver van het brandpunt als van de richtlijn”, en de hyperbool als $\big||PF_1|-|PF_2|\big|=2a$ — én een standaardvergelijking met eigen parameters. Deze samenvatting koppelt de meetkundige definitie telkens aan de vergelijking in coördinaten en behandelt de raaklijnen en reflectie-eigenschappen (schotelantenne, fluistergalerij). Wiskunde D heeft geen centraal examen; dit hoort tot de schoolexamen-stof (SE) van domein D.

4 Onderdelen~19 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·131313 / 19

Examenprofiel

Domein D — de vier kegelsneden herkennen als doorsnede van een (dubbele) kegel: cirkel, ellips, parabool, hyperboolDe brandpuntsdefinitie van ellips (|PF₁|+|PF₂|=2a), parabool en hyperbool (\big||PF₁|-|PF₂|\big|=2a)De standaardvergelijkingen en hun parameters a, b, c, p en de asymptoten bepalenRaaklijnen aan en de reflectie-eigenschap van kegelsneden toepassen (schotelantenne, fluistergalerij)

Operatoren:bepaalberekentoon aanleid afherkenstel op

basisniveau

Wiskunde D heeft geen centraal examen: kegelsneden (domein D) worden in het schoolexamen (SE) getoetst. Beheers minimaal de vier kegelsneden als doorsnede van een kegel, de standaardvergelijkingen van ellips, parabool en hyperbool, en het bepalen van brandpunten, toppen en asymptoten.

verhoogd niveau

Verdieping zit in het afleiden van een standaardvergelijking uit de brandpuntsdefinitie, in het opstellen van raaklijnen, en in het toepassen van de reflectie-eigenschap (parabolische schotel, ellips-fluistergalerij).

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Kegelsneden: synthetisch en in coördinaten

Kegelsneden als doorsnede van een kegel#

Basisexamenblad-wiskunde-d-domein-D

Een kegelsnede is de kromme die ontstaat als je een kegel doorsnijdt met een plat vlak. Werk je met een dubbele kegel — twee kegels die met hun top tegen elkaar staan — dan bepaalt de snijhoek welke van vier krommen je krijgt: de cirkel, de ellips, de parabool of de hyperbool. In Afb. 1 staat de dubbele kegel van opzij getekend, met de as (de symmetrieas) als gestreepte lijn en drie snijvlakken die je hier als lijnstukken ziet. De grondgedachte is dus één en dezelfde: alle vier de krommen komen uit dezelfde kegel, alleen de hoek van het mes verschilt.

De vier kegelsneden uit één dubbele kegel

Afb. 1Afb. 1 — Dubbele kegel van opzij. Loodrecht op de as: cirkel; schuiner dan de as maar minder steil dan de ribbe: ellips; evenwijdig aan een ribbe: parabool (grensgeval); steiler, door beide helften: hyperbool.

Snijd je loodrecht op de as, dan is de doorsnede een cirkel: elk randpunt ligt even ver van de as. Kantel je het snijvlak een beetje — maar minder steil dan de beschrijvende lijnen (de schuine ribben) van de kegel — dan wordt de cirkel uitgerekt tot een ellips, een gesloten ovale kromme. In Afb. 1 zie je zowel de horizontale cirkelsnede als de schuine ellipssnede op de bovenste kegelhelft. Hoe schuiner je snijdt, hoe langgerekter de ellips wordt.

Kantel je het snijvlak precies evenwijdig aan één beschrijvende lijn van de kegel, dan sluit de kromme zich niet meer: je krijgt een parabool, een open kromme met één tak. De parabool is het grensgeval tussen de ellips (vlak minder steil dan de ribbe) en de hyperbool (vlak steiler dan de ribbe). Daardoor is ze bijzonder gevoelig: een minieme verandering van de snijhoek verandert een parabool in een ellips of in een hyperbool.

Snijd je nóg steiler — steiler dan de beschrijvende lijnen — dan raakt het vlak beide helften van de dubbele kegel, en ontstaat een hyperbool met twéé takken, één in elke kegelhelft. Juist hiervoor heb je de dubbele kegel nodig; met één enkele kegel krijg je nooit twee takken. In Afb. 1 is de steile hyperboolsnede gestreept getekend: ze snijdt zowel de bovenste als de onderste kegelhelft aan.

Naast deze meetkundige oorsprong heeft elke kegelsnede een brandpuntsdefinitie: ze is óók de meetkundige plaats van punten met een vaste afstandseigenschap ten opzichte van één of twee brandpunten. Dat verbindt de kegelsneden met de meetkundige plaatsen uit de vorige samenvatting. In coördinaten krijgt elke kegelsnede een standaardvergelijking — de ellips

\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1

, de parabool

y=\tfrac{x^2}{4p}

en de hyperbool

\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}=1

— die je herkent aan de plus, de min of de lineaire term. De excentriciteit

e

vat het onderscheid samen:

e=0

(cirkel),

e<1

(ellips),

e=1

(parabool) en

e>1

(hyperbool). De volgende paragrafen behandelen ellips, parabool en hyperbool elk apart.

\text{ellips: } \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \qquad \text{hyperbool: } \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

Standaardvergelijkingen (ellips en hyperbool)

Beide hebben twee gekwadrateerde variabelen; de ellips heeft een plus, de hyperbool een min tussen de kwadraten.

\text{parabool: } y=\frac{x^2}{4p}

Standaardvergelijking (parabool)

Bij de parabool is één variabele lineair en de andere gekwadrateerd; dat onderscheidt haar van ellips en hyperbool.

e=0\ (\text{cirkel}),\quad e<1\ (\text{ellips}),\quad e=1\ (\text{parabool}),\quad e>1\ (\text{hyperbool})

Excentriciteit onderscheidt de kegelsneden

De excentriciteit e meet hoe sterk de kegelsnede van een cirkel afwijkt; ze loopt op van cirkel naar hyperbool.

Uitgewerkt voorbeeld

Welke kegelsnede hoort bij welke vergelijking?

Van welke kegelsnede is elk van de volgende vergelijkingen de standaardvorm? (a) $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ , (b) $y=\frac{x^2}{8}$ , (c) $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ . Geef bij elk de reden.

(a) Som van twee kwadraten = 1
Beide variabelen zijn gekwadrateerd en er staat een plus tussen; gedeeld door verschillende noemers en gelijk aan 1. Dat is een ellips met a = 4 en b = 3.
(b) Eén variabele lineair
y komt lineair voor, x gekwadrateerd. Dat is een parabool; uit 4p = 8 volgt p = 2, dus F(0; 2) en richtlijn y = −2.
(c) Verschil van twee kwadraten = 1
Beide gekwadrateerd, maar met een min ertussen. Dat is een hyperbool met a = 4 en b = 3 en asymptoten y = ±¾x.

Resultaat: (a) ellips, (b) parabool, (c) hyperbool — te herkennen aan de plus of min tussen de kwadraten en aan het al dan niet lineair voorkomen van een variabele.

Veelgemaakte fouten

Ellips en hyperbool verwarren: bij de ellips staat er een plus tussen de kwadraten, bij de hyperbool een min.
Denken dat een parabool twee brandpunten heeft; een parabool heeft één brandpunt en een richtlijn.
Vergeten dat je voor een hyperbool (twee takken) de dubbele kegel — beide helften — nodig hebt.

Actieve herhaling

Leg voor elk uit welk snijvlak door een dubbele kegel je nodig hebt om een cirkel, een ellips, een parabool en een hyperbool te krijgen. Bepaal daarna van $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{4}=1$ en van $y=\frac{x^2}{12}$ om welke kegelsnede het gaat.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

De ellips: brandpunten en vergelijking#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-D

Brandpuntsdefinitie: de som van de afstanden is 2a

Afb. 3Afb. 2 — Voor elk punt P op de ellips geldt |PF₁| + |PF₂| = 2a. Hier is 7,4 + 2,6 = 10 = 2·5, terwijl de brandpunten 2c = 8 uit elkaar liggen.

De ellips is de meetkundige plaats van alle punten

P

waarvan de som van de afstanden tot twee vaste punten — de brandpunten

F_1

F_2

— constant is:

|PF_1|+|PF_2|=2a

. Deze „touwtjesdefinitie” verklaart de bekende constructie met een lus touw om twee punaises: houd je het touw strak met een potlood, dan blijft de som van de afstanden gelijk en teken je een ellips. In Afb. 2 zie je een punt

P

met de twee afstandslijnstukken

PF_1

PF_2

; hun som is

2a

, de lengte van de lange as.

Ellips met a = 5, b = 3 en de brandpunten

Afb. 2Afb. 1 — De ellips x²/25 + y²/9 = 1 (a = 5, b = 3). Uit a² = b² + c² volgt c = 4, dus de brandpunten liggen in (−4; 0) en (4; 0).

Leg je de brandpunten symmetrisch op de

x

-as in

(\pm c,0)

, dan krijgt de ellips de standaardvergelijking

\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1

met

a>b>0

. Hierin is

a

de halve lange as en

b

de halve korte as. De brandpuntsafstand

c

volgt uit

a^2=b^2+c^2

, dus

c=\sqrt{a^2-b^2}

. In Afb. 1 staat de ellips met

a=5

b=3

; dan is

c=\sqrt{25-9}=4

, zodat de brandpunten in

(\pm4,0)

liggen.

De ellips snijdt de assen in vier toppen:

(\pm a,0)

op de lange as en

(0,\pm b)

op de korte as. De lange as heeft lengte

2a

, de korte as

2b

, en de brandpunten liggen altijd op de lange as, binnen de ellips, want

c<a

. Een mooie controle levert de top

(0,b)

: de afstanden daarvandaan tot de twee brandpunten zijn allebei

\sqrt{b^2+c^2}=\sqrt{a^2}=a

, samen dus

2a

. Zo sluit de brandpuntsdefinitie precies aan op de relatie

a^2=b^2+c^2

Ken je de vergelijking, dan lees je

a

b

af en bepaal je met

c=\sqrt{a^2-b^2}

de brandpunten. Andersom bouw je de vergelijking op uit gegevens: uit de brandpunten haal je

c

, en uit één gegeven punt van de ellips bereken je

2a

als de som van de afstanden tot de brandpunten, waarna

b^2=a^2-c^2

volgt. Zo horen de meetkundige definitie (afstanden en brandpunten) en de algebraïsche vergelijking (met

a

b

c

) onlosmakelijk bij elkaar — twee beschrijvingen van dezelfde kromme.

De ellips heeft een fraaie reflectie-eigenschap: een straal die vanuit het ene brandpunt vertrekt, weerkaatst tegen de ellips precies naar het andere brandpunt. Daarop berust de fluistergalerij — een ovale zaal waarin een fluistering bij het ene brandpunt scherp te horen is bij het andere — en de medische niersteenvergruizer, die schokgolven vanuit één brandpunt op een niersteen in het andere brandpunt bundelt. De reflectie-eigenschap maakt de brandpunten dus niet alleen wiskundig maar ook fysisch bijzonder.

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \qquad (a>b>0)

Standaardvergelijking van de ellips

Brandpunten op de x-as; a is de halve lange as, b de halve korte as.

a^2=b^2+c^2 \;\Rightarrow\; c=\sqrt{a^2-b^2}

Brandpuntsafstand van de ellips

De brandpunten liggen in (±c, 0); omdat c < a liggen ze binnen de ellips op de lange as.

|PF_1|+|PF_2|=2a

Brandpuntsdefinitie van de ellips

Voor elk punt P op de ellips is de som van de afstanden tot de twee brandpunten gelijk aan de lengte 2a van de lange as.

Uitgewerkt voorbeeld

Brandpunten en toppen van een ellips

Bepaal voor de ellips $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ de halve assen, de brandpunten en de toppen. Controleer de brandpuntsdefinitie voor het punt $P(3;\,2{,}4)$ .

Halve assen aflezen
a² = 25 geeft a = 5 (halve lange as); b² = 9 geeft b = 3 (halve korte as).
$a=5,\qquad b=3$
Brandpuntsafstand
Gebruik a² = b² + c².
$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
Brandpunten en toppen
Brandpunten op de lange as, toppen op beide assen.
$F(\pm4,0);\qquad \text{toppen } (\pm5,0)\ \text{en}\ (0,\pm3)$
Controle met P(3; 2,4)
Bereken de afstanden tot beide brandpunten en tel op.
$|PF_2|=\sqrt{(3-4)^2+2{,}4^2}=\sqrt{6{,}76}=2{,}6,\quad |PF_1|=\sqrt{(3+4)^2+2{,}4^2}=\sqrt{54{,}76}=7{,}4$

Resultaat: a = 5, b = 3, c = 4; brandpunten (±4; 0), toppen (±5; 0) en (0; ±3). Voor P geldt |PF₁| + |PF₂| = 7,4 + 2,6 = 10 = 2a.

Veelgemaakte fouten

De brandpuntsrelatie van de ellips (a² = b² + c²) verwarren met die van de hyperbool (c² = a² + b²).
a en b omwisselen: de grootste noemer hoort bij de lange as, en de brandpunten liggen op de lange as.
c berekenen als a + b of als √(a² + b²) in plaats van als √(a² − b²).

Actieve herhaling

Een ellips heeft brandpunten $(\pm3,0)$ en gaat door het punt $(0,4)$ . Bepaal $a$ , $b$ en de standaardvergelijking. (Tip: bereken eerst $2a$ als de som van de afstanden van $(0,4)$ tot de twee brandpunten.)

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

De parabool: brandpunt, richtlijn en reflectie#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-D

Parabool met brandpunt en richtlijn

Afb. 4Afb. 1 — De parabool y = x²/4 (dus 4p = 4, p = 1) met brandpunt F(0; 1) en richtlijn y = −1. Elk punt ligt even ver van F als van de richtlijn.

De parabool is de meetkundige plaats van alle punten

P

die even ver van een vast punt — het brandpunt

F

— als van een vaste lijn — de richtlijn — liggen:

|PF|=\text{afstand}(P,\text{richtlijn})

. Anders dan de ellips en de hyperbool heeft de parabool dus één brandpunt en een richtlijn, geen twee brandpunten. In Afb. 1 zie je de parabool

y=\tfrac{x^2}{4}

met brandpunt

F(0,1)

en de horizontale richtlijn

y=-1

; elk punt van de kromme houdt gelijke tred tussen het brandpunt en de richtlijn.

In de standaardstand — top in de oorsprong, opening naar boven — is de parabool

y=\dfrac{x^2}{4p}

, met brandpunt

F(0,p)

en richtlijn

y=-p

. De parameter

p

is de afstand van de top tot het brandpunt, en tegelijk van de top tot de richtlijn. Hoe groter

p

, hoe wijder de parabool opengaat; hoe kleiner

p

, hoe smaller. Let op de factor

4

: de noemer is

4p

, dus

p

is een kwart van de noemer — een klassieke valkuil.

De vergelijking volgt rechtstreeks uit de definitie. Neem een punt

P(x,y)

; de afstand tot

F(0,p)

\sqrt{x^2+(y-p)^2}

en de afstand tot de richtlijn

y=-p

|y+p|

. Stel je die gelijk en kwadrateer je, dan valt na uitwerken zowel

y^2

als

p^2

weg en houd je

x^2=4py

over, oftewel

y=\tfrac{x^2}{4p}

. Voor

p=1

geeft dat de parabool

y=\tfrac{x^2}{4}

uit Afb. 1, met brandpunt

(0,1)

en richtlijn

y=-1

De reflectie-eigenschap van de parabool is de reden dat ze overal in de techniek opduikt. Alle stralen die evenwijdig aan de as invallen, weerkaatsen tegen de parabool naar het brandpunt toe; omgekeerd wordt een bron in het brandpunt tot een strakke, evenwijdige bundel. Daarop berusten de schotelantenne en de spiegeltelescoop (die zwakke evenwijdige signalen in het brandpunt bundelen) en de koplamp of zaklamp (die het licht van een lampje in het brandpunt tot een bundel maken). Aan die bundeling dankt het brandpunt zijn naam.

Je herkent een parabool eraan dat één variabele lineair en de andere gekwadrateerd voorkomt — in tegenstelling tot de ellips en de hyperbool, waar beide gekwadrateerd zijn. Staat de top niet in de oorsprong of opent de parabool opzij, dan verschuift of verwisselt de standaardvorm, maar het principe blijft: brandpunt en richtlijn liggen symmetrisch om de top, op afstand

p

. Bij een gegeven parabool bepaal je

p

uit de noemer

4p

, en daarmee meteen het brandpunt en de richtlijn.

y=\frac{x^2}{4p}

Standaardvergelijking van de parabool (top in O, opent naar boven)

De parameter p is de afstand van de top tot het brandpunt; de noemer is 4p, dus p is een kwart van de noemer.

F=(0,\,p) \qquad \text{richtlijn: } y=-p

Brandpunt en richtlijn

Brandpunt en richtlijn liggen symmetrisch om de top, allebei op afstand p.

|PF|=\text{afstand}(P,\text{richtlijn})

Brandpuntsdefinitie van de parabool

Elk punt van de parabool ligt even ver van het brandpunt als van de richtlijn.

Uitgewerkt voorbeeld

De vergelijking van een parabool afleiden uit de definitie

Leid de vergelijking af van de parabool waarvan elk punt $P(x,y)$ even ver van het brandpunt $F(0,1)$ als van de richtlijn $y=-1$ ligt.

Beide afstanden opschrijven
De afstand tot F(0; 1) volgt uit de afstandsformule; de afstand tot de horizontale richtlijn y = −1 is het verticale verschil.
$\sqrt{x^2+(y-1)^2}=|y+1|$
Kwadrateren
Kwadrateer beide kanten om de wortel en de absolute waarde weg te werken.
$x^2+(y-1)^2=(y+1)^2$
Haakjes uitwerken
Werk beide kwadraten uit; y² en 1 vallen tegen elkaar weg.
$x^2+y^2-2y+1=y^2+2y+1 \;\Rightarrow\; x^2-2y=2y$
Oplossen naar y
Breng de y-termen samen: x² = 4y.
$x^2=4y \;\Rightarrow\; y=\frac{x^2}{4}$

Resultaat: De vergelijking is y = x²/4; hier is 4p = 4, dus p = 1, met brandpunt (0; 1) en richtlijn y = −1 — precies de gegevens.

Veelgemaakte fouten

p en 4p verwarren: bij y = x²/(4p) is de noemer 4p, dus p is een kwart van de noemer.
Het brandpunt op de richtlijn leggen, of het teken van de richtlijn (y = −p) verkeerd nemen.
Denken dat een parabool asymptoten of twee brandpunten heeft; ze heeft één brandpunt en een richtlijn.

Actieve herhaling

Bepaal het brandpunt en de richtlijn van $y=\frac{x^2}{8}$ . Controleer je antwoord met de brandpuntsdefinitie voor het punt $(4,2)$ op de parabool (bereken de afstand tot het brandpunt en tot de richtlijn en vergelijk).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

De hyperbool: brandpunten en asymptoten#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-D

Hyperbool met twee takken en asymptoten

Afb. 5Afb. 1 — De hyperbool x²/9 − y²/16 = 1 (a = 3, b = 4). De asymptoten zijn y = ±⁴⁄₃x; uit c² = a² + b² volgt c = 5, dus de brandpunten liggen in (±5; 0), buiten de toppen (±3; 0).

De hyperbool is de meetkundige plaats van alle punten

P

waarvan het verschil van de afstanden tot twee brandpunten

F_1

F_2

constant is (in absolute waarde):

\big||PF_1|-|PF_2|\big|=2a

. Waar de ellips met de sóm van de afstanden werkt, werkt de hyperbool met het verschil. Dat verschil-constant-zijn levert twee losse takken op: op de ene tak ligt

P

dichter bij

F_1

, op de andere dichter bij

F_2

. In Afb. 1 zie je beide takken met de brandpunten in

(\pm5,0)

In de standaardstand is de hyperbool

\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1

; het minteken tussen de kwadraten onderscheidt haar van de ellips. De toppen liggen in

(\pm a,0)

en de brandpunten in

(\pm c,0)

, met

c^2=a^2+b^2

. Let op het verschil met de ellips: hier tel je

a^2

b^2

óp om

c^2

te vinden, zodat

c>a

en de brandpunten búiten de toppen liggen. In Afb. 1 is

a=3

b=4

, dus

c=\sqrt{9+16}=5

Naarmate je verder van de oorsprong komt, kruipen de takken van de hyperbool steeds dichter naar twee rechte lijnen door de oorsprong: de asymptoten

y=\pm\dfrac{b}{a}x

. Ze raken de kromme nooit, maar geven haar richting op grote afstand. In Afb. 1 zijn de asymptoten

y=\pm\tfrac{4}{3}x

gestreept getekend, met de takken er netjes tussen. Samen met de toppen vormen de asymptoten het skelet waarmee je een hyperbool snel schetst: teken de asymptoten, zet de toppen op

(\pm a,0)

, en laat de takken naar de asymptoten toe buigen.

Uit de standaardvergelijking lees je alles af:

a

is de wortel van de noemer onder

x^2

b

die onder

y^2

, de brandpunten volgen uit

c=\sqrt{a^2+b^2}

, en de asymptoten uit de verhouding

\tfrac{b}{a}

. Andersom bepaal je de vergelijking uit gegevens over toppen, brandpunten of asymptoten. Een snelle controle met de brandpuntsdefinitie doe je in een top: in

(a,0)

zijn de afstanden tot de brandpunten

c-a

c+a

, en hun verschil is

(c+a)-(c-a)=2a

— precies zoals het hoort.

De hyperbool sluit de familie van kegelsneden af. Ze verschijnt in de natuurkunde — de baan van een object dat met te hoge snelheid langs een ster scheert is een hyperbool — en in plaatsbepaling: bij hyperbolische navigatie zoals het vroegere LORAN-systeem bepaalt het tijdsverschil tussen twee zendsignalen een constant afstandsverschil, en dus een hyperbool waarop de ontvanger ligt. Samen met de cirkel, de ellips en de parabool laat de hyperbool zien hoe één idee — snijd een kegel, of houd een afstandseigenschap vast — vier verwante krommen voortbrengt.

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

Standaardvergelijking van de hyperbool

Het minteken tussen de kwadraten onderscheidt de hyperbool van de ellips; toppen in (±a, 0).

c^2=a^2+b^2 \;\Rightarrow\; c=\sqrt{a^2+b^2}

Brandpuntsafstand van de hyperbool (let op: plus!)

Anders dan bij de ellips tel je hier a² en b² op; daardoor is c > a en liggen de brandpunten buiten de toppen.

y=\pm\frac{b}{a}\,x

Asymptoten van de hyperbool

Twee lijnen door de oorsprong die de takken op grote afstand benaderen maar nooit raken.

\big|\,|PF_1|-|PF_2|\,\big|=2a

Brandpuntsdefinitie van de hyperbool

Voor elk punt op de hyperbool is het (absolute) verschil van de afstanden tot de brandpunten gelijk aan 2a.

Uitgewerkt voorbeeld

Toppen, brandpunten en asymptoten van een hyperbool

Bepaal voor de hyperbool $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ de toppen, de brandpunten en de asymptoten. Controleer de brandpuntsdefinitie in de top $(3,0)$ .

a en b aflezen
a² = 9 geeft a = 3 (de toppen liggen in (±3; 0)); b² = 16 geeft b = 4.
$a=3,\qquad b=4$
Brandpuntsafstand
Bij de hyperbool geldt c² = a² + b² (met een plus).
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
Brandpunten en asymptoten
Brandpunten in (±c; 0), asymptoten met richtingscoëfficiënt ±b/a.
$F(\pm5,0);\qquad y=\pm\tfrac{4}{3}x$
Controle in de top (3; 0)
Afstanden tot de brandpunten (5; 0) en (−5; 0) zijn 2 en 8; neem het verschil.
$\big||PF_1|-|PF_2|\big|=|8-2|=6=2a$

Resultaat: Toppen (±3; 0), brandpunten (±5; 0), asymptoten y = ±⁴⁄₃x; de brandpuntsdefinitie klopt: |8 − 2| = 6 = 2a.

Veelgemaakte fouten

De brandpuntsrelatie verwarren: bij de hyperbool is c² = a² + b² (plus), bij de ellips a² = b² + c².
De asymptoten omdraaien tot y = ±(a/b)x in plaats van y = ±(b/a)x.
Denken dat de brandpunten tussen de toppen liggen; bij de hyperbool liggen ze juist buiten de toppen, want c > a.

Actieve herhaling

Bepaal de toppen, brandpunten en asymptoten van $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ . Onderzoek daarna of het punt $\left(5,\tfrac{9}{4}\right)$ op deze hyperbool ligt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO)

Kegelsneden: synthetisch en in coördinaten

Kernpunten

Welke kegelsnede hoort bij welke vergelijking?

Kernpunten

Brandpunten en toppen van een ellips

Kernpunten

De vergelijking van een parabool afleiden uit de definitie

Kernpunten

Toppen, brandpunten en asymptoten van een hyperbool

Bronnen