Correlatie en regressie

Van zes leerlingen is het aantal uren sport per week ($x$) en de rusthartslag in slagen per minuut ($y$) genoteerd: (1; 78), (2; 74), (3; 72), (5; 66), (6; 64), (7; 60). Bepaal het zwaartepunt $(\bar{x}, \bar{y})$ en beschrijf de richting, sterkte en vorm van de samenhang.

1. 01Bereken de gemiddelden

   $\bar{x} = \frac{1+2+3+5+6+7}{6} = \frac{24}{6} = 4$ uur en $\bar{y} = \frac{78+74+72+66+64+60}{6} = \frac{414}{6} = 69$ slagen per minuut. Het zwaartepunt is dus $(4;\,69)$.

   $$\bar{x}=\frac{24}{6}=4, \qquad \bar{y}=\frac{414}{6}=69$$
2. 02Bepaal de richting

   Zet de punten uit. Naarmate $x$ (sporturen) toeneemt, daalt $y$ (rusthartslag) systematisch van 78 naar 60. De wolk loopt van linksboven naar rechtsonder: een negatief verband.

3. 03Beoordeel de sterkte en de vorm

   De punten liggen bijna precies op één dalende rechte lijn — er is nauwelijks spreiding om die lijn. De samenhang is dus sterk en de vorm is lineair. (Reken je $r$ uit, dan vind je $r \approx -1$, wat dit bevestigt.)

Resultaat: Het zwaartepunt is $(4;\,69)$. Er is een sterk, negatief en nagenoeg lineair verband: meer sporturen gaan samen met een lagere rusthartslag. Let op: dit beschrijft samenhang, nog geen oorzaak-gevolg.

Voor vijf leerlingen zijn het aantal uren studeren ($x$) en het aantal goed beantwoorde vragen ($y$) genoteerd: (1; 3), (2; 5), (3; 4), (4; 6), (5; 7). Bereken de correlatiecoëfficiënt $r$ en de determinatiecoëfficiënt $r^2$ en interpreteer beide.

1. 01Bereken de gemiddelden

   $\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$ en $\bar{y} = \frac{3+5+4+6+7}{5} = \frac{25}{5} = 5$.

   $$\bar{x}=3, \qquad \bar{y}=5$$
2. 02Maak de afwijkingen en hun producten

   $(x_i-\bar{x})$: $-2, -1, 0, 1, 2$. $(y_i-\bar{y})$: $-2, 0, -1, 1, 2$. Producten $(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$: $4,\ 0,\ 0,\ 1,\ 4$, met som $\sum = 9$.

3. 03Bereken de kwadraatsommen

   $\sum (x_i-\bar{x})^2 = 4+1+0+1+4 = 10$ en $\sum (y_i-\bar{y})^2 = 4+0+1+1+4 = 10$.

   $$\sum (x_i-\bar{x})^2 = 10, \qquad \sum (y_i-\bar{y})^2 = 10$$
4. 04Vul de formule voor r in

   $r = \frac{9}{\sqrt{10 \cdot 10}} = \frac{9}{10} = 0{,}90$. De waarde is positief en dicht bij 1: een sterk positief lineair verband.

   $$r=\frac{9}{\sqrt{10 \cdot 10}}=\frac{9}{10}=0{,}90$$
5. 05Bereken en interpreteer r²

   $r^2 = 0{,}90^2 = 0{,}81$. Ongeveer 81% van de verschillen in het aantal goede vragen hangt samen met de verschillen in studietijd; de overige 19% komt door andere factoren en toeval.

Resultaat: $r = 0{,}90$ (sterk positief lineair verband) en $r^2 = 0{,}81$: ongeveer 81% van de variatie in $y$ wordt verklaard door de lineaire samenhang met $x$.

Voor zes leerlingen zijn de studeeruren per week ($x$) en het cijfer ($y$) genoteerd: (2; 4,5), (3; 4,0), (5; 6,5), (6; 5,5), (8; 7,0), (9; 8,5). Bepaal met de formules de kleinste-kwadratenlijn $y = ax + b$ en interpreteer $a$.

1. 01Bereken de gemiddelden

   $\bar{x} = \frac{2+3+5+6+8+9}{6} = \frac{33}{6} = 5{,}5$ en $\bar{y} = \frac{4{,}5+4{,}0+6{,}5+5{,}5+7{,}0+8{,}5}{6} = \frac{36}{6} = 6{,}0$.

   $$\bar{x}=5{,}5, \qquad \bar{y}=6{,}0$$
2. 02Bereken de sommen voor a

   $(x_i-\bar{x})$: $-3{,}5, -2{,}5, -0{,}5, 0{,}5, 2{,}5, 3{,}5$. De producten $(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ leveren $\sum = 21{,}0$, en $\sum (x_i-\bar{x})^2 = 12{,}25+6{,}25+0{,}25+0{,}25+6{,}25+12{,}25 = 37{,}5$.

   $$\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = 21{,}0, \qquad \sum (x_i-\bar{x})^2 = 37{,}5$$
3. 03Bereken a

   $a = \frac{21{,}0}{37{,}5} = 0{,}56$.

   $$a=\frac{21{,}0}{37{,}5}=0{,}56$$
4. 04Bereken b

   $b = \bar{y} - a\bar{x} = 6{,}0 - 0{,}56 \cdot 5{,}5 = 6{,}0 - 3{,}08 = 2{,}92$.

   $$b=6{,}0-0{,}56 \cdot 5{,}5 = 2{,}92$$
5. 05Interpreteer a

   De regressielijn is $y = 0{,}56x + 2{,}92$. De richtingscoëfficiënt $a = 0{,}56$ betekent: elk extra studeeruur gaat gemiddeld samen met $0{,}56$ punt hoger cijfer.

Resultaat: De kleinste-kwadratenlijn is $y = 0{,}56x + 2{,}92$. Per extra studeeruur stijgt het voorspelde cijfer met gemiddeld $0{,}56$ punt; bij $0$ uur voorspelt het model een cijfer van $2{,}92$.

Gebruik de regressielijn $y = 0{,}56x + 2{,}92$ uit de vorige paragraaf (studeeruren $x$, cijfer $y$, gemeten voor $x$ tussen 2 en 9 uur). a) Voorspel het cijfer bij 7 studeeruren. b) Voorspel het cijfer bij 20 studeeruren en beoordeel of die voorspelling zinvol is. c) Leg uit waarom een hoge correlatie tussen studeeruren en cijfer nog niet bewijst dat méér studeren een hoger cijfer veroorzaakt.

1. 01a) Voorspelling bij 7 uur

   Vul $x = 7$ in: $\hat{y} = 0{,}56 \cdot 7 + 2{,}92 = 3{,}92 + 2{,}92 = 6{,}84 \approx 6{,}8$. Omdat $7$ binnen het meetbereik $[2, 9]$ ligt, is dit interpolatie en dus betrouwbaar.

   $$\hat{y}=0{,}56 \cdot 7 + 2{,}92 = 6{,}84$$
2. 02b) Voorspelling bij 20 uur

   Vul $x = 20$ in: $\hat{y} = 0{,}56 \cdot 20 + 2{,}92 = 11{,}2 + 2{,}92 = 14{,}12$. Dat is groter dan 10 en dus een onmogelijk cijfer. Bovendien ligt $20$ ver buiten het meetbereik: dit is extrapolatie en de voorspelling is niet zinvol.

   $$\hat{y}=0{,}56 \cdot 20 + 2{,}92 = 14{,}12 \ (> 10)$$
3. 03c) Correlatie is geen causaliteit

   Een hoge $r$ toont samenhang, geen oorzaak. Een derde variabele — bijvoorbeeld motivatie of aanleg — kan zowel de studietijd als het cijfer verhogen. Ook is toeval bij zes leerlingen niet uit te sluiten. Om een oorzakelijk effect aan te tonen zou je een gecontroleerd experiment nodig hebben.

Resultaat: a) $\hat{y} \approx 6{,}8$ (betrouwbare interpolatie). b) $\hat{y} = 14{,}12$, een onmogelijk cijfer door extrapolatie — niet zinvol. c) De sterke correlatie kan door een derde variabele of toeval komen; alleen een experiment toont causaliteit aan.