Het toetsen van hypothesen

Een fabrikant beweert dat $90\%$ van zijn leveringen op tijd aankomt. Een grote klant heeft de indruk dat het minder is en gaat $40$ recente leveringen na. Formuleer $H_0$ en $H_1$, geef beargumenteerd aan of je eenzijdig of tweezijdig toetst, en leg het significantieniveau vast op $5\%$.

1. 01Parameter en H0

   De parameter is $p$, de kans dat een levering op tijd is. De claim „$90\%$ op tijd” legt $H_0$ vast als de gelijkheid $p=0{,}90$.

2. 02H1 en richting

   De klant vermoedt dat het percentage lãger is, dus $H_1:\ p<0{,}90$. Dat is een gerichte bewering, dus je toetst eenzijdig (linkszijdig): het hele kritieke gebied van $5\%$ ligt in de linkerstaart (weinig leveringen op tijd).

3. 03Significantieniveau

   Kies vooraf $\alpha=0{,}05$. Straks verwerp je $H_0$ alleen als het aantal op-tijd-leveringen zó laag is dat de kans daarop onder $H_0$ kleiner is dan $0{,}05$.

Resultaat: $H_0:\ p=0{,}90$ tegen $H_1:\ p<0{,}90$, een eenzijdige (linkszijdige) toets op $\alpha=0{,}05$. In de volgende paragraaf reken je met de waargenomen aantallen de p-waarde uit.

Een leerling beweert te kunnen proeven of er suikervrije of gewone cola in een glas zit. Bij puur gokken zou ze kans $p=0{,}5$ hebben. Ze doet $15$ onafhankelijke proeven en heeft er $12$ goed. Toets op $\alpha=0{,}05$ of ze het echt beter kan dan gokken. Gebruik $H_0:\ p=0{,}5$ tegen $H_1:\ p>0{,}5$.

1. 01Verdeling onder H0

   Als $H_0$ waar is (puur gokken, $p=0{,}5$) is het aantal goede proeven $X$ binomiaal verdeeld met verwachting $np=7{,}5$.

   $$X\sim\text{Bin}(15;\,0{,}5),\quad E(X)=15\cdot 0{,}5=7{,}5$$
2. 02p-waarde berekenen

   Haar waarneming is $12$ goed; „extremer” in de richting van $H_1$ betekent $12$ of méér. De p-waarde is de rechterstaartkans $P(X\ge 12)=1-\text{binomcdf}(15;\,0{,}5;\,11)$.

   $$p\text{-waarde}=P(X\ge 12)=1-\text{binomcdf}(15;\,0{,}5;\,11)\approx 0{,}0176$$
3. 03Vergelijken met α

   De p-waarde $0{,}0176$ is kleiner dan het significantieniveau $0{,}05$, dus je verwerpt $H_0$.

   $$0{,}0176 < 0{,}05 \;\Rightarrow\; \text{verwerp } H_0$$
4. 04Conclusie in context

   Op significantieniveau $5\%$ is er voldoende bewijs dat de leerling het beter kan dan gokken ($p>0{,}5$). Let op: dit zegt niet hóé goed ze proeft — alleen dat $12$-of-meer goed bij puur gokken te onwaarschijnlijk is om aan toeval toe te schrijven.

Resultaat: De p-waarde is $P(X\ge 12)\approx 0{,}0176<0{,}05$, dus $H_0$ wordt verworpen. Conclusie: op $5\%$-niveau is er voldoende bewijs dat de leerling suikervrije van gewone cola kan proeven.

Een standaardbehandeling werkt bij $80\%$ van de patiënten. Een arts vermoedt dat een goedkoper alternatief mínder vaak werkt en probeert het bij $20$ patiënten. Zij $X$ het aantal patiënten bij wie het alternatief werkt; onder $H_0$ geldt $p=0{,}80$, tegen $H_1:\ p<0{,}80$. (a) Bepaal bij $\alpha=0{,}05$ het kritieke gebied. (b) Bij $11$ patiënten werkt de behandeling. Wat is de conclusie?

1. 01Verdeling en richting

   Onder $H_0$ geldt $X\sim\text{Bin}(20;\,0{,}80)$ met $\mu=np_0=16$. Omdat $H_1:\ p<0{,}80$ linkszijdig is, ligt het kritieke gebied in de linkerstaart (weinig successen).

2. 02(a) Zoek de kritieke waarde

   Zoek de grootste $g$ met $P(X\le g)\le 0{,}05$. De GR geeft $\text{binomcdf}(20;\,0{,}80;\,12)\approx 0{,}0321$ ($\le 0{,}05$) en $\text{binomcdf}(20;\,0{,}80;\,13)\approx 0{,}0867$ ($>0{,}05$). Dus de kritieke waarde is $g=12$ en het kritieke gebied is $\{0,1,\dots,12\}$.

   $$\text{binomcdf}(20;0{,}80;12)\approx 0{,}0321\le 0{,}05<0{,}0867\approx\text{binomcdf}(20;0{,}80;13)$$
3. 03(b) Beslis

   De waarneming is $11$. Omdat $11$ in het kritieke gebied $\{0,\dots,12\}$ valt, verwerp je $H_0$. Controle met de p-waarde: $P(X\le 11)=\text{binomcdf}(20;\,0{,}80;\,11)\approx 0{,}0100<0{,}05$ — dezelfde conclusie.

4. 04Conclusie in context

   Op significantieniveau $5\%$ is er voldoende bewijs dat het alternatief bij mínder dan $80\%$ van de patiënten werkt.

Resultaat: Het kritieke gebied is $\{0,1,\dots,12\}$ met kritieke waarde $12$. De waarneming $11$ valt erin, dus $H_0$ wordt verworpen: op $5\%$-niveau werkt het alternatief significant minder vaak dan de standaardbehandeling.

Bij de linkszijdige toets uit de vorige paragraaf ($H_0:\ p=0{,}80$, $H_1:\ p<0{,}80$, $n=20$, $\alpha=0{,}05$) is het kritieke gebied $\{0,1,\dots,12\}$. (a) Bereken de kans op een fout van de eerste soort. (b) Stel dat in werkelijkheid $p=0{,}60$. Bereken de kans $\beta$ op een fout van de tweede soort en interpreteer die.

1. 01(a) Fout van de eerste soort

   Die treedt op als je $H_0$ verwerpt terwijl $H_0$ ($p=0{,}80$) waar is, dus als $X$ tóch in $\{0,\dots,12\}$ valt: $\alpha=P(X\le 12\mid p=0{,}80)=\text{binomcdf}(20;\,0{,}80;\,12)\approx 0{,}0321$.

   $$\alpha=P(X\le 12\mid p=0{,}80)\approx 0{,}0321$$
2. 02(b) Verdeling onder het alternatief

   Neem aan dat $p=0{,}60$ echt waar is; dan is $X\sim\text{Bin}(20;\,0{,}60)$ met $\mu=12$. Een fout van de tweede soort is: $H_0$ behouden (waarneming búíten het kritieke gebied, dus $X\ge 13$) terwijl $H_1$ waar is.

3. 03(b) Bereken β

   $\beta=P(X\ge 13\mid p=0{,}60)=1-\text{binomcdf}(20;\,0{,}60;\,12)\approx 0{,}42$.

   $$\beta=P(X\ge 13\mid p=0{,}60)=1-\text{binomcdf}(20;\,0{,}60;\,12)\approx 0{,}42$$
4. 04Interpreteer

   Zelfs als het alternatief echt maar bij $60\%$ werkt, is er ongeveer $42\%$ kans dat deze toets met $n=20$ dat níet oppikt. Het onderscheidingsvermogen is dan $1-\beta\approx 0{,}58$. Een grotere steekproef zou $\beta$ verkleinen.

Resultaat: (a) $\alpha\approx 0{,}0321$; (b) bij werkelijke $p=0{,}60$ is $\beta\approx 0{,}42$. De toets mist het effect dus in bijna de helft van de gevallen — het onderscheidingsvermogen $1-\beta\approx 0{,}58$ is bescheiden, wat pleit voor een grotere $n$.