Samenvattingen · Wiskunde DNL · VWO

Combinatoriek

Combinatoriek (domein B) is de kunst van het systematisch tellen. Met het som- en productprincipe, faculteiten, permutaties, variaties en de binomiaalcoëfficiënt C(n,k) bepaal je hoeveel mogelijkheden er zijn, en je kiest de juiste methode aan de hand van twee vragen: telt de volgorde, en mag je herhalen? De driehoek van Pascal en het binomium van Newton verbinden dit met de algebra. Wiskunde D kent geen centraal examen; deze stof wordt in het schoolexamen (SE) getoetst en vormt de basis voor de kansrekening.

4 Onderdelen~21 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·0222 / 19

Examenprofiel

Domein B — telproblemen systematisch aanpakken met het som- en het productprincipe (boomdiagram)Permutaties (n!, ook met herhaling) en variaties nPr = n!/(n−k)! berekenenCombinaties en de binomiaalcoëfficiënt C(n,k) = n!/(k!(n−k)!) berekenen; herkennen of de volgorde telt en of herhaling magDe driehoek van Pascal (C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k)) en het binomium van Newton gebruiken

Operatoren:berekenbepaaltoon aanleid afberedeneerverklaar

basisniveau

Combinatoriek (domein B) hoort tot de schoolexamen-stof (SE) van wiskunde D; er is geen centraal examen. Beheers minimaal: het som- en productprincipe, faculteit en permutaties, variaties nPr en combinaties C(n,k), en het kiezen van de juiste telmethode aan de hand van „telt de volgorde?” en „mag herhaling?”.

verhoogd niveau

Verdieping: permutaties met herhaling, de Pascal-relatie en de symmetrie van C(n,k) combinatorisch verklaren, en het binomium van Newton toepassen om (a+b)^n te ontwikkelen of een specifieke coëfficiënt te bepalen. Combinatoriek is bovendien de opstap naar de kansrekening en de binomiale verdeling.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Combinatoriek

Het telprincipe: som- en productregel#

Basisexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Combinatoriek begint met systematisch tellen: alle mogelijkheden in kaart brengen zonder er één over te slaan of dubbel te tellen. Het handigste hulpmiddel is het boomdiagram. Afb. 1 telt de routes van huis naar school via het station: er zijn 2 routes naar het station en vanaf het station 3 routes naar school. Elke volledige route is een tak van links naar rechts, en het aantal routes lees je af aan de eindpunten (de bladeren):

2 \cdot 3 = 6

. Zo maakt het boomdiagram zichtbaar hoe een keuze in stappen uiteenvalt.

Boomdiagram van het productprincipe

Afb. 1Afb. 1 — Van huis naar school via het station: 2 routes naar het station × 3 routes naar school = 6 routes. Elke tak is één deelkeuze; de zes bladeren zijn de 2 · 3 = 6 mogelijkheden. Zo maakt het productprincipe zichtbaar waarom je de aantallen vermenigvuldigt.

De rekenregel achter het boomdiagram is het productprincipe (of vermenigvuldigingsprincipe). Bestaat een keuze uit

k

opeenvolgende, onafhankelijke deelkeuzes met achtereenvolgens

n_1, n_2, \ldots, n_k

mogelijkheden, dan is het totale aantal mogelijkheden

n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k

. Je vermenigvuldigt omdat elke mogelijkheid van de eerste deelkeuze zich vertakt in álle mogelijkheden van de tweede: in Afb. 1 splitst elk van de 2 routes zich opnieuw in 3, samen

2 \cdot 3 = 6

. „Onafhankelijk” betekent hier dat het áántal mogelijkheden bij een deelkeuze niet verandert door de eerdere keuze (de concrete opties mogen wel verschillen).

Naast het productprincipe staat het somprincipe (of optelprincipe). Vermenigvuldigen hoort bij „en dan” — eerst dit, daarna dat, in één opbouwend proces. Optellen hoort bij „of” — het ene geval óf het andere, waarbij die gevallen elkaar uitsluiten. Kun je een teltaak splitsen in gevallen die niet samen kunnen optreden (bijvoorbeeld „de code begint met een letter” tegenover „de code begint met een cijfer”), dan tel je de aantallen van die gevallen op. Het onderscheid tussen vermenigvuldigen (binnen één opbouw) en optellen (over elkaar uitsluitende gevallen) voorkomt de meest gemaakte telfout.

Twee vragen bepalen bij elk telprobleem de aanpak, en ze lopen als een rode draad door dit hele hoofdstuk. De eerste is: mag een object opnieuw gebruikt worden? Mag dat wél (met terugleggen, herhaling toegestaan), dan blijft het aantal mogelijkheden per positie gelijk en krijg je bij

k

posities uit

n

opties

n^k

mogelijkheden — een pincode van 4 cijfers geeft

10^4 = 10\,000

codes. Mag het niet (zonder terugleggen), dan daalt het aantal per positie telkens met 1. De tweede vraag — telt de volgorde? — behandelen we in de volgende paragrafen; samen kiezen die twee vragen de telmethode.

Bij telproblemen met beperkingen — een positie ligt vast, een teken mag niet, iets moet vooraan — begin je met de meest beperkte positie en werk je van daaruit verder. Systematisch tellen is bovendien de basis van de kansrekening: volgens de regel van Laplace is een kans

\dfrac{\text{aantal gunstige uitkomsten}}{\text{aantal mogelijke uitkomsten}}

, en beide aantallen bepaal je met combinatoriek. Wie netjes leert tellen, legt daarmee het fundament voor het hele domein B.

\text{aantal} = n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k

Productprincipe

Bij k opeenvolgende, onafhankelijke deelkeuzes met n₁, n₂, …, nₖ mogelijkheden is het totale aantal het product van die aantallen („en dan”).

\text{aantal} = a + b \quad (\text{elkaar uitsluitende gevallen})

Somprincipe

Splitst een teltaak in gevallen die niet samen kunnen optreden, dan tel je de aantallen op („of”).

n^{k}

k posities uit n opties, met terugleggen

Mag herhaling en telt de volgorde, dan heeft elk van de k posities telkens n keuzes.

Uitgewerkt voorbeeld

Routes tellen met het productprincipe

Van huis naar het station lopen 2 routes; van het station naar school lopen er 3. Hoeveel verschillende routes van huis naar school zijn er? Licht je antwoord toe met het boomdiagram.

Benoem de deelkeuzes
Er zijn twee opeenvolgende keuzes: eerst de route naar het station, daarna de route van het station naar school.
Tel de mogelijkheden per deelkeuze
Naar het station: 2 routes. Van het station naar school: 3 routes.
Pas het productprincipe toe
De keuzes zijn opeenvolgend en onafhankelijk, dus vermenigvuldig de aantallen.
$2 \cdot 3 = 6$
Controleer met het boomdiagram
Het boomdiagram in Afb. 1 heeft 6 bladeren, en elk blad is precies één volledige route. Dat bevestigt de uitkomst.

Resultaat: Er zijn 6 verschillende routes van huis naar school.

Uitgewerkt voorbeeld

Somprincipe én productprincipe in één probleem

Een lunch bestaat uit één voorgerecht en één hoofdgerecht. Er zijn 2 voorgerechten. Bij de hoofdgerechten kun je kiezen uit 3 vegetarische gerechten óf 4 gerechten met vlees. (a) Hoeveel hoofdgerechten zijn er? (b) Hoeveel verschillende lunches zijn er?

(a) Somprincipe voor het hoofdgerecht
Een hoofdgerecht is vegetarisch óf met vlees; die gevallen sluiten elkaar uit, dus tel je de aantallen op.
$3 + 4 = 7$
(b) Productprincipe voor de lunch
Een lunch is een voorgerecht én een hoofdgerecht: twee opeenvolgende keuzes, dus vermenigvuldig.
$2 \cdot 7 = 14$
Let op het onderscheid
„Vegetarisch of vlees” is optellen (som), „voorgerecht en hoofdgerecht” is vermenigvuldigen (product). Verwar de twee niet.

Resultaat: (a) 7 hoofdgerechten; (b) 14 verschillende lunches.

Veelgemaakte fouten

De aantallen optellen in plaats van vermenigvuldigen bij opeenvolgende deelkeuzes („en dan” is vermenigvuldigen; alleen elkaar uitsluitende gevallen tel je op).
Met terugleggen rekenen terwijl herhaling verboden is (of omgekeerd), waardoor je nᵏ en de variatie verwisselt.
Een beperking negeren, bijvoorbeeld doorrekenen met 10 mogelijkheden terwijl het eerste cijfer geen 0 mag zijn.

Actieve herhaling

Een kluiscode bestaat uit 2 letters (A–Z) gevolgd door 3 cijfers (0–9). (a) Hoeveel codes zijn er als herhaling is toegestaan? (b) Hoeveel als bovendien het eerste cijfer geen 0 mag zijn? (c) Op de kaart staan 3 thee- en 5 koffiesoorten; op hoeveel manieren kies je één warme drank (somprincipe)?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Permutaties en variaties#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Een permutatie is een rangschikking van objecten in een bepaalde volgorde. Het aantal manieren om

n

verschillende objecten in een rij te zetten is de faculteit

n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1

. De reden volgt uit het productprincipe: voor de eerste plaats zijn er

n

keuzes, voor de tweede nog

n-1

(er is er al één gebruikt, dus zonder terugleggen), daarna

n-2

, tot de laatste plaats met 1 keuze. Zo kun je 6 vrienden op

6! = 720

manieren op een bankje zetten.

De faculteit groeit razendsnel — sneller dan elke machtsfunctie. Per afspraak geldt

0! = 1

: er is precies één manier om niets te rangschikken (de lege rij), en die afspraak zorgt bovendien dat de formules voor variaties en combinaties blijven kloppen. Op de grafische rekenmachine vind je de faculteit onder MATH → PRB → ! (typ eerst het getal, dan de toets). Reken

n!

bij grotere

n

dus niet met de hand uit maar met de GR.

Een variatie is het aantal manieren om

k

objecten te kiezen uit

n

verschillende objecten, in een bepaalde volgorde en zonder terugleggen. Het aantal is

\dfrac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)

: precies

k

dalende factoren vanaf

n

. Op de GR staat dit onder MATH → PRB → nPr. Afb. 2 toont de variaties van

k

uit 6 voor

k = 1

t/m 6:

6, 30, 120, 360, 720, 720

. Opvallend is de laatste stap:

V(6,5) = V(6,6) = 720 = 6!

. Dat is geen toeval — een permutatie is niets anders dan de variatie waarbij je álle objecten kiest (

k = n

Variaties V(6,k) groeien en stabiliseren bij n!

Afb. 2Afb. 2 — Het aantal variaties V(6,k) = 6!/(6−k)! voor k = 1 t/m 6: 6, 30, 120, 360, 720, 720. De laatste stap plateaut: V(6,5) = V(6,6) = 720 = 6!, want een permutatie is de variatie met k = n.

Dat verband zie je ook in de formule: bij

k = n

\dfrac{n!}{(n-n)!} = \dfrac{n!}{0!} = \dfrac{n!}{1} = n!

, precies de permutatieformule. Hier blijkt waarom

0! = 1

zo handig is afgesproken: zonder die afspraak zou de variatieformule bij

k = n

niet kloppen. Variaties zijn dus „gedeeltelijke permutaties”. Let op het onderscheid met tellen mét terugleggen: als herhaling wél mag en de volgorde telt, is het aantal

n^k

in plaats van de variatie

\dfrac{n!}{(n-k)!}

Zijn niet alle objecten verschillend, dan telt

n!

te veel: het verwisselen van twee identieke objecten geeft dezelfde rij. Bij een permutatie met herhaling deel je daarom

n!

door de faculteiten van de groepen gelijke objecten:

\dfrac{n!}{n_1!\, n_2! \cdots n_r!}

, met

n_1, n_2, \ldots, n_r

de groottes van die groepen (

n_1 + n_2 + \cdots + n_r = n

). Je deelt omdat elke groep van

n_i

gelijke objecten onderling op

n_i!

manieren te verwisselen is zonder dat de rij verandert; die dubbeltellingen haal je zo weg.

n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1

Faculteit

Het product van alle gehele getallen van 1 tot en met n; het aantal permutaties van n verschillende objecten. Per afspraak 0! = 1.

\frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)

Variatie (geordend, zonder terugleggen)

Het aantal manieren om k uit n verschillende objecten te kiezen als de volgorde telt: k dalende factoren vanaf n (GR: nPr).

\frac{n!}{n_1!\, n_2! \cdots n_r!}

Permutaties met herhaling

Het aantal verschillende rangschikkingen van n objecten waarvan groepen van n₁, n₂, …, nᵣ identiek zijn.

Uitgewerkt voorbeeld

Vrienden op een bankje (permutatie)

Op hoeveel manieren kun je 6 verschillende vrienden naast elkaar op een bankje zetten?

Herken het type
Je rangschikt álle 6 vrienden in een volgorde: dat is een permutatie van 6 verschillende objecten (zonder herhaling).
Tel plaats voor plaats
Plaats 1: 6 keuzes; plaats 2: nog 5; dan 4, 3, 2, 1. Vermenigvuldig die aantallen (productprincipe).
Bereken de faculteit
Het product is per definitie 6-faculteit.
$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$

Resultaat: Er zijn 6! = 720 manieren.

Uitgewerkt voorbeeld

Erepodium invullen (variatie)

Bij een wedstrijd met 6 deelnemers worden goud, zilver en brons uitgereikt. Op hoeveel manieren kan het erepodium (plaats 1, 2 en 3) worden ingevuld?

Stel de twee vragen
Plaats 1, 2 en 3 zijn verschillend, dus de volgorde telt. Niemand krijgt twee medailles, dus zonder terugleggen. Dat is een variatie.
Kies k = 3 uit n = 6, geordend
Drie dalende factoren vanaf 6.
$\frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \cdot 5 \cdot 4$
Reken uit
Vermenigvuldig de drie factoren.
$6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$

Resultaat: Er zijn 120 mogelijke erepodia (op de GR: 6 nPr 3 = 120; zie ook de staaf bij k = 3 in Afb. 2).

Uitgewerkt voorbeeld

Getallen met herhaalde cijfers (permutatie met herhaling)

Hoeveel verschillende getallen van 5 cijfers kun je maken door de cijfers 1, 1, 2, 3, 3 te herschikken?

Tel de cijfers
Er zijn 5 cijfers: 2×1, 1×2 en 2×3. De twee enen zijn onderling niet te onderscheiden, net als de twee drieën.
Deel de dubbeltellingen weg
Zonder herhaling zouden er 5! rijen zijn, maar deel door 2! (voor de enen) en 2! (voor de drieën).
$\frac{5!}{2!\, 2!} = \frac{120}{2 \cdot 2}$
Reken uit
5! = 120 en 2! · 2! = 4.
$\frac{120}{4} = 30$

Resultaat: Er zijn 30 verschillende getallen.

Veelgemaakte fouten

Denken dat 0! = 0; per afspraak is 0! = 1.
Een variatie verwarren met tellen mét terugleggen: geordend zonder terugleggen is n!/(n−k)!, geordend mét terugleggen is nᵏ.
Bij een permutatie met herhaling vergeten te delen door de faculteiten van de herhaalde objecten (dan tel je elke rij meerdere keren).

Actieve herhaling

(a) Op hoeveel manieren kun je 7 verschillende boeken op een plank zetten? (b) Uit 10 deelnemers worden de eerste vier plaatsen van een wedstrijd bepaald; hoeveel mogelijke uitslagen zijn er? (c) Hoeveel verschillende letterrijen kun je maken met alle letters van het woord TETTEREN?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Combinaties en de binomiaalcoëfficiënt#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Een combinatie is het aantal manieren om

k

objecten te kiezen uit

n

verschillende objecten, ongeordend (de volgorde telt niet) en zonder terugleggen. Dit aantal is de binomiaalcoëfficiënt

\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}

, uitgesproken als „

n

boven

k

”. Op de grafische rekenmachine staat deze onder MATH → PRB → nCr. Afb. 3 toont de combinaties

\binom{5}{k}

voor

k = 0

t/m 5:

1, 5, 10, 10, 5, 1

— precies de vijfde rij van de driehoek van Pascal.

Binomiaalcoëfficiënten C(5,k) — rij 5 van Pascal

Afb. 3Afb. 3 — C(5,k) voor k = 0 t/m 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1. De rij is symmetrisch (C(5,k) = C(5,5−k)) en telt op tot 2⁵ = 32, het aantal deelverzamelingen van 5 objecten.

Het verband met de variatie maakt de formule begrijpelijk. Tel je eerst geordend (een variatie,

\dfrac{n!}{(n-k)!}

), dan heb je elke groep van

k

gekozen objecten

k!

keer geteld, want die

k

objecten kun je op

k!

volgordes zetten. Omdat de volgorde bij een combinatie niet meetelt, deel je door

k!

\binom{n}{k} = \dfrac{1}{k!} \cdot \dfrac{n!}{(n-k)!}

. Voor

\binom{5}{2}

geeft dat

\dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \dfrac{20}{2} = 10

De symmetrie

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

bespaart rekenwerk en heeft een mooie betekenis:

k

objecten kiezen om mee te doen is hetzelfde als

n-k

objecten kiezen om weg te laten. In Afb. 3 zie je die symmetrie als de spiegeling van de staven:

\binom{5}{0} = \binom{5}{5} = 1

\binom{5}{2} = \binom{5}{3} = 10

. Daardoor is bijvoorbeeld

\binom{20}{18} = \binom{20}{2} = 190

snel te bepalen.

Combinaties zijn het rekenhart van veel kansproblemen. Trek je in één greep meerdere voorwerpen (ongeordend, zonder terugleggen), dan bereken je een kans met de regel van Laplace als

\dfrac{\text{aantal gunstige combinaties}}{\text{aantal mogelijke combinaties}}

, waarbij teller en noemer allebei combinaties zijn (zie het uitgewerkte voorbeeld met de lampen). Zorg wel dat je teller en noemer op dezelfde manier telt: allebei ongeordend.

Ten slotte een handige eigenschap: tel je een hele rij van Pascal op, dan krijg je

2^n

. Voor rij 5 in Afb. 3 is dat

1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5

. Dat is logisch:

\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}

telt alle deelverzamelingen van een verzameling met

n

elementen (van de lege tot de volle), en dat zijn er

2^n

. Combinaties vormen zo de brug naar de kansrekening en, verderop in wiskunde D, naar de binomiale verdeling.

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Binomiaalcoëfficiënt (combinatie)

Het aantal manieren om k uit n objecten te kiezen als de volgorde niet telt en zonder terugleggen (GR: nCr).

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

Symmetrie

k objecten kiezen om mee te doen is hetzelfde als n−k objecten kiezen om weg te laten.

\binom{n}{k} = \frac{1}{k!} \cdot \frac{n!}{(n-k)!}

Verband combinatie–variatie

Deel de variatie door k!, omdat elke keuze van k objecten op k! volgordes is geteld.

Uitgewerkt voorbeeld

Een team kiezen (combinatie)

Uit 8 spelers wordt een team van 3 gekozen. De volgorde van kiezen doet er niet toe. Op hoeveel manieren kan dat?

Telt de volgorde?
Een team is een groep: de volgorde waarin je de 3 leden kiest maakt niet uit, en niemand zit er twee keer in. Dat is een combinatie (ongeordend, zonder terugleggen).
Pas de binomiaalcoëfficiënt toe
Kies k = 3 uit n = 8.
$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!\,5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1}$
Reken uit
Deel het product van de teller (336) door 3! = 6.
$\frac{336}{6} = 56$

Resultaat: Er zijn C(8,3) = 56 mogelijke teams (op de GR: 8 nCr 3 = 56).

Uitgewerkt voorbeeld

Kans berekenen met combinaties

In een doos zitten 5 goede en 3 defecte lampen (8 in totaal). Je pakt in één greep 2 lampen (ongeordend, zonder terugleggen). Bereken de kans op 2 goede lampen.

Aantal mogelijke uitkomsten (noemer)
Het aantal manieren om 2 uit de 8 lampen te kiezen.
$\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$
Aantal gunstige uitkomsten (teller)
Kies 2 goede uit de 5 goede lampen.
$\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$
Kans = gunstig / mogelijk (Laplace)
Deel het aantal gunstige door het aantal mogelijke uitkomsten en vereenvoudig.
$P = \frac{10}{28} = \frac{5}{14} \approx 0{,}36$

Resultaat: De kans op 2 goede lampen is 10/28 = 5/14 ≈ 0,36 (ongeveer 36%).

Veelgemaakte fouten

Bij een combinatie toch op de volgorde letten; dan tel je elke groep k! keer te veel (je berekent een variatie in plaats van een combinatie).
Bij een kans de noemer verkeerd kiezen: bij gelijktijdig trekken zijn zowel teller als noemer combinaties, niet variaties.
De faculteiten in C(n,k) verkeerd wegdelen; vereenvoudig eerst n!/(n−k)! tot k dalende factoren en deel dan door k!.

Actieve herhaling

Uit een klas van 12 leerlingen wordt een werkgroep van 4 gekozen (volgorde telt niet). (a) Op hoeveel manieren kan dat? (b) In de klas zitten 7 meisjes en 5 jongens; op hoeveel manieren kies je een werkgroep met precies 2 meisjes en 2 jongens? (c) Bereken daarmee de kans op zo'n samenstelling bij een willekeurige keuze.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Driehoek van Pascal en het binomium van Newton#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-B

De driehoek van Pascal ontstaat door bovenaan een 1 te zetten en elke volgende rij op te bouwen: aan de randen staan enen, en elk getal binnenin is de som van de twee getallen er schuin boven. De getallen in rij

n

(te beginnen bij rij 0) zijn precies de binomiaalcoëfficiënten

\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}

. Zo is rij 4:

1, 4, 6, 4, 1

, oftewel

\binom{4}{0}

tot en met

\binom{4}{4}

. De driehoek is dus een handige tabel van alle combinaties tegelijk.

De opbouwregel heet de Pascal-relatie:

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

. Afb. 4 laat zien waaróm die klopt, met een combinatorisch argument. Wil je

k

objecten kiezen uit

n

, kijk dan naar één vast object. Óf dat object zit in je keuze („erin”) — dan kies je de resterende

k-1

uit de overige

n-1

\binom{n-1}{k-1}

— óf het zit er niet in („eruit”) — dan kies je alle

k

uit de overige

n-1

\binom{n-1}{k}

. Die twee gevallen sluiten elkaar uit, dus tel je op (het somprincipe). In Afb. 4 zie je zo

\binom{5}{2} = \binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 4 + 6 = 10

De Pascal-relatie C(5,2) = C(4,1) + C(4,2)

Afb. 4Afb. 4 — De Pascal-relatie combinatorisch: kies je 2 uit 5, kijk dan naar één vast object. Zit het „erin”, dan kies je nog 1 uit 4 (C(4,1) = 4); zit het „eruit”, dan kies je 2 uit 4 (C(4,2) = 6). Samen: C(5,2) = 4 + 6 = 10.

De binomiaalcoëfficiënten heten zo omdat ze de coëfficiënten zijn bij het ontwikkelen van een binomium (een tweeterm) tot een macht. Het binomium van Newton zegt:

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k} b^{\,k}

. Elke term

\binom{n}{k}\, a^{n-k} b^{k}

ontstaat doordat je bij het uitvermenigvuldigen van de

n

factoren

(a+b)

uit precies

k

ervan een

b

kiest (en uit de rest een

a

); dat kan op

\binom{n}{k}

manieren. In elke term tellen de macht van

a

en die van

b

samen op tot

n

Als voorbeeld heeft

(a+b)^4

als coëfficiënten rij 4 van Pascal, dus

(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4

. Wil je maar één coëfficiënt weten, dan hoef je niet alles uit te werken: gebruik de algemene term

\binom{n}{k}\, a^{n-k} b^{k}

en kies

k

zó dat de gewenste macht ontstaat. Vul je in het binomium

a = b = 1

in, dan volgt

\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n

— de somregel van de Pascal-rij uit de vorige paragraaf, nu als een direct gevolg van het binomium.

Het binomium is krachtig om machten van tweetermen snel te ontwikkelen en om gerichte coëfficiënten te bepalen, ook als er getalfactoren in het spel zijn, zoals in

(2x+3)^5

(1+2x)^n

. De aanpak is altijd dezelfde: schrijf de algemene term

\binom{n}{k}\, a^{n-k} b^{k}

op, vul

n

a

b

in, en kies

k

zó dat de gewenste macht van

x

ontstaat. Zo verbindt combinatoriek (het tellen van keuzes) zich rechtstreeks met de algebra (het ontwikkelen van machten).

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

Pascal-relatie

Elk getal in de driehoek is de som van de twee getallen er schuin boven; combinatorisch: het vaste object zit er wel („erin”) of niet („eruit”) in.

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k} b^{\,k}

Binomium van Newton

De coëfficiënten zijn rij n van Pascal; in elke term tellen de exponenten van a en b samen op tot n.

\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n

Somregel van een Pascal-rij

Vul a = b = 1 in het binomium; de som van rij n is 2ⁿ, het aantal deelverzamelingen van n objecten.

Uitgewerkt voorbeeld

(a + b)⁴ ontwikkelen met het binomium van Newton

Ontwikkel $(a+b)^4$ met het binomium van Newton en de driehoek van Pascal.

Haal de coëfficiënten uit Pascal
Rij 4 van de driehoek van Pascal is 1, 4, 6, 4, 1; dat zijn C(4,0) t/m C(4,4).
Schrijf de termen op
Bij elke term daalt de macht van a van 4 naar 0 en stijgt die van b van 0 naar 4; de exponenten tellen steeds op tot 4.
$(a+b)^4 = \binom{4}{0}a^4 + \binom{4}{1}a^3b + \binom{4}{2}a^2b^2 + \binom{4}{3}ab^3 + \binom{4}{4}b^4$
Vul de coëfficiënten in
Vervang de binomiaalcoëfficiënten door 1, 4, 6, 4, 1.
$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

Resultaat: (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

Uitgewerkt voorbeeld

Eén coëfficiënt bepalen met de algemene term

Bepaal de coëfficiënt van $x^3$ in de ontwikkeling van $(1 + 2x)^5$ .

Schrijf de algemene term
Met a = 1 en b = 2x wordt de term met index k: C(5,k)·1^{5−k}·(2x)^k = C(5,k)·2^k·x^k.
$\binom{5}{k}\,(2x)^{k} = \binom{5}{k}\,2^{k}\,x^{k}$
Kies k voor x³
Je wilt de macht x³, dus k = 3.
Bereken de coëfficiënt
Vul k = 3 in: C(5,3) = 10 en 2³ = 8.
$\binom{5}{3}\,2^{3} = 10 \cdot 8 = 80$

Resultaat: De coëfficiënt van x³ in (1 + 2x)⁵ is 80.

Veelgemaakte fouten

In het binomium de machten van a en b verwisselen; bij de term met C(n,k) hoort a^{n−k}·b^k, en de exponenten tellen samen op tot n.
Bij (a+b)ⁿ de coëfficiënten vergeten en alleen a^{n−k}b^k opschrijven; de binomiaalcoëfficiënt C(n,k) hoort erbij.
Bij een macht als (2x+3)⁵ de getalfactoren (2 en 3) niet meenemen in de coëfficiënt; ook 2^k en 3^{n−k} horen erbij.

Actieve herhaling

(a) Schrijf rij 5 van de driehoek van Pascal op en gebruik die om (a+b)⁵ te ontwikkelen. (b) Bepaal met het binomium van Newton de coëfficiënt van x⁴ in (1+x)⁷. (c) Toon aan dat de som van de getallen in rij 6 van Pascal gelijk is aan 64.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO)

Combinatoriek

Kernpunten

Routes tellen met het productprincipe

Somprincipe én productprincipe in één probleem

Kernpunten

Vrienden op een bankje (permutatie)

Erepodium invullen (variatie)

Getallen met herhaalde cijfers (permutatie met herhaling)

Kernpunten

Een team kiezen (combinatie)

Kans berekenen met combinaties

Kernpunten

(a + b)⁴ ontwikkelen met het binomium van Newton

Eén coëfficiënt bepalen met de algemene term

Bronnen