Vaardigheden (algemene, wiskundige en vakspecifieke vaardigheden, redeneren en bewijzen)

Weerleg de bewering: voor elk reëel getal $x$ geldt $x^2 \ge x$.

1. 01Wat moet je laten zien?

   De bewering is een „voor alle”-uitspraak. Om haar te weerleggen volstaat één reëel getal x waarvoor x² ≥ x niet geldt, dus waarvoor x² < x.

2. 02Kies een geschikt getal

   Tussen 0 en 1 is een getal groter dan zijn eigen kwadraat. Neem x = 1/2.

   $$x = \tfrac{1}{2}$$
3. 03Reken het tegenvoorbeeld na

   Bereken x² en vergelijk met x.

   $$x^2 = \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{4} < \tfrac{1}{2} = x$$
4. 04Conclusie

   Bij x = 1/2 geldt x² < x, dus de bewering „voor alle x geldt x² ≥ x” is onwaar (zie ook Afb. 1).

Resultaat: De bewering is onwaar; x = 1/2 is een tegenvoorbeeld, want (1/2)² = 1/4 < 1/2.

Gegeven: $n$ is een geheel getal. Toon met de contrapositie aan dat als $n^2$ even is, $n$ ook even is.

1. 01Formuleer de contrapositie

   De bewering „als n² even, dan n even” is gelijkwaardig aan haar contrapositie: „als n oneven, dan n² oneven”. Die bewijzen we.

   $$(n^2 \text{ even} \Rightarrow n \text{ even}) \iff (n \text{ oneven} \Rightarrow n^2 \text{ oneven})$$
2. 02Neem n oneven

   Een oneven getal schrijf je als n = 2k + 1 met k geheel.

   $$n = 2k+1,\quad k \in \mathbb{Z}$$
3. 03Bereken n²

   Werk het kwadraat uit en haal een factor 2 buiten haakjes.

   $$n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$$
4. 04Conclusie

   n² heeft de vorm 2m + 1, dus n² is oneven. Daarmee is de contrapositie bewezen, en dus ook de oorspronkelijke bewering.

Resultaat: Omdat de contrapositie „n oneven ⇒ n² oneven” klopt, geldt ook „n² even ⇒ n even”.

Toon met een direct bewijs aan dat het product van twee opeenvolgende gehele getallen even is.

1. 01Noteer de twee getallen

   Twee opeenvolgende gehele getallen zijn n en n + 1, met n geheel.

2. 02Onderscheid de pariteit

   Van twee opeenvolgende getallen is er precies één even. Is n even, dan n = 2k; is n oneven, dan is n + 1 even, dus n + 1 = 2k.

3. 03Reken het product uit (geval n even)

   Met n = 2k is het product 2k(2k + 1) = 2 · (k(2k + 1)), een veelvoud van 2.

   $$n(n+1) = 2k(2k+1) = 2\bigl(k(2k+1)\bigr)$$
4. 04Conclusie

   In beide gevallen is het product een veelvoud van 2, dus even. (Is n oneven, dan haal je de factor 2 uit n + 1 = 2k.)

Resultaat: Het product van twee opeenvolgende gehele getallen is altijd even.

Bewijs dat $\sqrt{2}$ niet als breuk van gehele getallen te schrijven is.

1. 01Neem de ontkenning aan

   Stel dat √2 wél een breuk is: √2 = a/b met a, b geheel en de breuk vereenvoudigd, dus ggd(a, b) = 1.

   $$\sqrt{2} = \frac{a}{b},\quad \gcd(a,b)=1$$
2. 02Kwadrateer

   Kwadrateren en kruislings vermenigvuldigen geeft een verband tussen a² en b².

   $$2 = \frac{a^2}{b^2} \ \Rightarrow\ a^2 = 2b^2$$
3. 03a is even

   a² is even (het is 2b²), dus a is even. Schrijf a = 2c en vul in.

   $$a = 2c \ \Rightarrow\ 4c^2 = 2b^2 \ \Rightarrow\ b^2 = 2c^2$$
4. 04b is even — tegenspraak

   Ook b² is even, dus b is even. Nu zijn a en b beide even, dus allebei deelbaar door 2 — in tegenspraak met ggd(a, b) = 1.

5. 05Conclusie

   De aanname leidt tot een tegenspraak en is dus onhoudbaar. Er bestaat geen zulke breuk: √2 is irrationaal.

Resultaat: √2 is irrationaal: de aanname √2 = a/b (vereenvoudigd) leidt tot „a en b beide even”, een tegenspraak.

Bewijs met volledige inductie dat voor alle gehele $n \ge 1$ geldt: $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2$.

1. 01Basisstap (n = 1)

   Voor n = 1 is de linkerkant het eerste oneven getal, 1, en de rechterkant 1² = 1. Beide zijn gelijk, dus A(1) klopt.

   $$1 = 1^2$$
2. 02Inductiehypothese

   Neem aan dat de bewering waar is voor een zekere k ≥ 1.

   $$1 + 3 + \cdots + (2k-1) = k^2$$
3. 03Inductiestap: naar k + 1

   Tel bij beide kanten het volgende oneven getal 2(k + 1) − 1 = 2k + 1 op en gebruik de hypothese.

   $$1 + 3 + \cdots + (2k-1) + (2k+1) = k^2 + (2k+1)$$
4. 04Herken het kwadraat

   De rechterkant is een merkwaardig product.

   $$k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$$
5. 05Conclusie

   A(k) ⇒ A(k + 1), en A(1) klopt, dus de identiteit geldt voor alle n ≥ 1.

Resultaat: Voor alle n ≥ 1 geldt 1 + 3 + ⋯ + (2n − 1) = n².

Bewijs met volledige inductie dat voor alle gehele $n \ge 1$ geldt: $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \tfrac{n(n+1)}{2}$.

1. 01Basisstap (n = 1)

   Links 1, rechts 1 · 2 / 2 = 1. Gelijk, dus A(1) klopt.

   $$\frac{1 \cdot 2}{2} = 1$$
2. 02Inductiehypothese

   Neem aan dat de formule geldt voor k.

   $$1 + 2 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2}$$
3. 03Inductiestap

   Tel k + 1 op bij beide kanten en breng op één noemer.

   $$\frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$
4. 04Conclusie

   De rechterkant is de formule met n = k + 1, dus A(k) ⇒ A(k + 1). Met de basisstap volgt dat de formule voor alle n ≥ 1 geldt.

Resultaat: Voor alle n ≥ 1 geldt 1 + 2 + ⋯ + n = n(n + 1)/2.

Een bacteriecultuur begint met 500 bacteriën en verdubbelt elk uur. (a) Stel een model op voor het aantal bacteriën $N$ na $t$ uur. (b) Bereken $N$ na 6 uur. (c) Hoe zou je met ICT het model controleren?

1. 01(a) Aannames en model

   Aanname: de cultuur verdubbelt elk uur precies (constante groeifactor 2, met genoeg ruimte en voeding). Dan is het model exponentieel met beginwaarde 500 en groeifactor 2.

   $$N(t) = 500 \cdot 2^{\,t}$$
2. 02(b) Reken N(6) uit

   Vul t = 6 in; 2⁶ = 64.

   $$N(6) = 500 \cdot 2^{6} = 500 \cdot 64 = 32\,000$$
3. 03(c) Controle met ICT

   Zet t = 0, 1, 2, … in een spreadsheet met telkens ×2, of plot N(t) = 500 · 2^t op de grafische rekenmachine, en vergelijk de modelwaarden met gemeten aantallen.

4. 04Validatie en beperking

   In het echt stopt de groei door ruimte- en voedselgebrek; het exponentiële model geldt alleen voor de beginfase. Dat is de validatiestap uit de modelleercyclus (Afb. 4).

Resultaat: (a) N(t) = 500 · 2^t; (b) N(6) = 32 000 bacteriën; (c) natekenen in een spreadsheet of op de GR en met metingen vergelijken.