Samenvattingen · Wiskunde CNL · VWO

Vorm en ruimte

Vorm en ruimte gaat over het beschrijven en analyseren van vlakke en ruimtelijke figuren. Je leert de bouwstenen van een lichaam benoemen (hoekpunten, ribben, zijvlakken), werkt met veelhoeken en veelvlakken en de betrekking van Euler, en herkent lijn-, draai- en puntsymmetrie. Tot slot komen verhoudingen en patronen in vorm en ruimte aan bod, deels als verdieping. Dit onderwerp legt de meetkundige taal vast die je bij perspectief, aanzichten en het rekenen aan oppervlakte en inhoud nodig hebt. Het hoort tot de centraal-examenstof (domein G).

4 Onderdelen~15 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·0888 / 17

Examenprofiel

G · De bouwstenen van vlakke en ruimtelijke figuren benoemen: hoekpunten, ribben, zijvlakkenG · Regelmatige veelhoeken en veelvlakken herkennen en de betrekking van Euler (h − r + z = 2) gebruikenG · Lijn-, draai- en puntsymmetrie herkennen en beschrijvenG · Verhoudingen en meetkundige patronen in vorm en ruimte herkennen (deels verdieping)

Operatoren:benoembeschrijfberekenherkentoon aan

basisniveau

De meetkundige taal van vorm en ruimte (bouwstenen, veelvlakken, symmetrie) is centraal-examenstof (domein G) van wiskunde C.

verhoogd niveau

Verdieping (deels buiten de kern-CE-stof): verhoudingen als de gulden snede en betegelingen laten zien hoe meetkunde in kunst, natuur en architectuur doorwerkt.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Vorm en ruimte

Vlakke en ruimtelijke figuren en hun bouwstenen#

Basisexamenblad-wiskunde-c-domein-G

Meetkundige figuren verdeel je in vlakke (tweedimensionale) figuren en ruimtelijke (driedimensionale) figuren, ook lichamen genoemd. Een vlakke figuur ligt geheel in één plat vlak — denk aan een driehoek, een vierkant of een cirkel — en heeft een oppervlakte en een omtrek. Een ruimtelijk figuur neemt ruimte in en heeft een inhoud en een oppervlakte (de totale oppervlakte van alle grensvlakken). Bij wiskunde C draait vorm en ruimte om het nauwkeurig beschrijven van beide soorten figuren, want alleen met precieze taal kun je erover redeneren en rekenen.

Een ruimtelijk figuur bestaat uit drie soorten bouwstenen. De hoekpunten (of toppen) zijn de punten waar ribben samenkomen; de ribben zijn de lijnstukken die twee hoekpunten verbinden en waar twee zijvlakken elkaar raken; en de zijvlakken (of grensvlakken) zijn de vlakke stukken die het lichaam begrenzen. Afb. 1 toont een balk: die heeft

8

hoekpunten,

12

ribben en

6

zijvlakken. Bij een balk zijn alle zijvlakken rechthoeken en staan de ribben in drie richtingen loodrecht op elkaar; is een balk in alle richtingen even lang, dan heet hij een kubus.

Afb. 1 — De bouwstenen van een balk

Afb. 1Afb. 1 — Een balk in schuine projectie:

8

hoekpunten,

12

ribben en

6

zijvlakken (rechthoeken). Zichtbare ribben doorgetrokken, verborgen ribben gestippeld.

Met deze bouwstenen benoem en onderscheid je de bekende lichamen. Een prisma heeft twee evenwijdige, congruente (even grote) grondvlakken die door rechthoeken (de mantel) verbonden zijn; een balk is een prisma met een rechthoekig grondvlak. Een piramide heeft één grondvlak (een veelhoek) en zijvlakken die alle in één top (de apex) samenkomen. Daarnaast zijn er lichamen met gebogen oppervlakken: een cilinder (twee cirkelvormige grondvlakken en een gebogen mantel), een kegel (een cirkelvormig grondvlak dat in één top uitloopt) en een bol (elk punt op gelijke afstand van het middelpunt). Deze lichamen keren terug bij het rekenen aan oppervlakte en inhoud.

Meetkundige begrippen helpen om de onderlinge ligging van de bouwstenen te beschrijven. Twee lijnen of vlakken zijn evenwijdig als ze elkaar nergens snijden, en loodrecht als ze een hoek van

90^{\circ}

maken. Een diagonaal verbindt twee hoekpunten die niet door een ribbe verbonden zijn; in een lichaam kun je bovendien ruimtediagonalen tekenen die dwars door het inwendige lopen. Een doorsnede, ten slotte, is de vlakke figuur die ontstaat als je een lichaam met een plat vlak doorsnijdt — snijd je een cilinder recht door, dan is de doorsnede een rechthoek of een cirkel, afhankelijk van de richting. Deze begrippen vormen het vocabulaire waarmee je ruimtelijke situaties nauwkeurig beschrijft.

\text{balk: } h=8,\ r=12,\ z=6

Bouwstenen van een balk

Een balk heeft 8 hoekpunten (h), 12 ribben (r) en 6 zijvlakken (z).

Uitgewerkt voorbeeld

Bouwstenen tellen en een lichaam benoemen

Een lichaam heeft twee evenwijdige driehoekige grondvlakken die door drie rechthoeken zijn verbonden. (a) Welk lichaam is dit? (b) Hoeveel hoekpunten, ribben en zijvlakken heeft het? (c) Hoeveel diagonalen heeft een rechthoekig zijvlak?

(a) Herken het lichaam
Twee evenwijdige, congruente grondvlakken met een mantel van rechthoeken: dat is een (driezijdig) prisma.
(b) Bouwstenen tellen
Twee driehoeken geven $2\cdot 3=6$ hoekpunten; $3$ ribben per driehoek plus $3$ verbindingsribben geeft $3+3+3=9$ ribben; $2$ grondvlakken plus $3$ mantelrechthoeken geeft $5$ zijvlakken.
(c) Diagonalen van een rechthoek
Een rechthoek heeft $2$ diagonalen (die de tegenoverliggende hoekpunten verbinden).

Resultaat: (a) een driezijdig prisma; (b) $6$ hoekpunten, $9$ ribben, $5$ zijvlakken; (c) $2$ diagonalen per rechthoekig zijvlak.

Veelgemaakte fouten

Ribben en zijvlakken door elkaar halen; een ribbe is een lijnstuk, een zijvlak een vlak.
Bij het tellen van ribben de verborgen (niet-zichtbare) ribben vergeten.

Actieve herhaling

Bekijk een vierzijdige piramide (met een vierkant grondvlak). Benoem het aantal hoekpunten, ribben en zijvlakken, en geef aan welke ribben in één top samenkomen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein G: Vorm en ruimte (CvTE / DUO)

Veelvlakken en de betrekking van Euler#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-G

Afb. 3 — De vijf regelmatige veelvlakken en Euler

Afb. 3Afb. 3 — De vijf regelmatige (platonische) veelvlakken. Voor elk geldt

h-r+z=2

Een veelvlak (polyeder) is een ruimtelijk figuur dat volledig door platte veelhoeken wordt begrensd — dus zonder gebogen vlakken. Balk, kubus, prisma en piramide zijn veelvlakken; een cilinder, kegel en bol niet. Een veelvlak heet regelmatig als alle zijvlakken congruente regelmatige veelhoeken zijn en in elk hoekpunt evenveel ribben samenkomen. Er bestaan precies vijf regelmatige (platonische) veelvlakken: de tetraëder (

4

driehoeken), de kubus of hexaëder (

6

vierkanten), de octaëder (

8

driehoeken), de dodecaëder (

12

vijfhoeken) en de icosaëder (

20

driehoeken). Dat het er precies vijf zijn, is een van de mooiste feiten uit de ruimtemeetkunde.

Voor élk (convex) veelvlak geldt een verrassend eenvoudig verband tussen de aantallen bouwstenen: de betrekking van Euler. Noem het aantal hoekpunten

h

, het aantal ribben

r

en het aantal zijvlakken

z

, dan geldt altijd

h-r+z=2

. Afb. 2 toont een vierzijdige piramide: die heeft

h=5

hoekpunten,

r=8

ribben en

z=5

zijvlakken, en inderdaad is

5-8+5=2

. Deze relatie geldt voor de balk (

8-12+6=2

), de tetraëder (

4-6+4=2

) en elk ander convex veelvlak — een opvallend patroon dat losstaat van de precieze vorm.

Afb. 2 — Vierzijdige piramide en de betrekking van Euler

Afb. 2Afb. 2 — Een vierzijdige piramide:

h=5

r=8

z=5

, dus

h-r+z=5-8+5=2

— de betrekking van Euler klopt.

De betrekking van Euler is een handig controlemiddel. Heb je twee van de drie aantallen geteld, dan bereken je het derde: uit

h-r+z=2

volgt bijvoorbeeld

r=h+z-2

. Zo kun je het aantal ribben van een dodecaëder bepalen zonder ze allemaal te tellen: die heeft

12

vijfhoekige zijvlakken en

20

hoekpunten, dus

r=20+12-2=30

ribben. Ook kun je met Euler nagaan of je goed geteld hebt: klopt

h-r+z=2

niet, dan zit er een telfout in. Deze rekencontrole is precies waarvoor het verband op het examen wordt ingezet.

Het aantal ribben hangt bovendien samen met de zijvlakken. Elke ribbe grenst aan precies twee zijvlakken, dus als je per zijvlak het aantal ribben (zijden) optelt, tel je elke ribbe twee keer. Voor een dodecaëder (

12

vijfhoeken) geeft dat

\frac{12\cdot 5}{2}=30

ribben — hetzelfde antwoord als via Euler, wat een mooie controle oplevert. Net zo komen in elk hoekpunt van een regelmatig veelvlak evenveel ribben samen; door dubbeltellingen zorgvuldig te verrekenen, kun je uit één gegeven de andere aantallen afleiden. Zulke tellingen, gecontroleerd met Euler, vormen de kern van dit onderdeel.

h-r+z=2

Betrekking van Euler

Voor elk convex veelvlak: aantal hoekpunten min aantal ribben plus aantal zijvlakken is 2.

r=\frac{\sum(\text{zijden per zijvlak})}{2}

Ribben uit zijvlakken

Elke ribbe grenst aan twee zijvlakken, dus tel je hem twee keer bij het optellen per zijvlak.

Uitgewerkt voorbeeld

De betrekking van Euler gebruiken

Een voetbal is gemodelleerd als een veelvlak met $12$ vijfhoeken en $20$ zeshoeken als zijvlakken (een afgeknotte icosaëder). (a) Hoeveel zijvlakken zijn er? (b) Hoeveel ribben, met de dubbeltelling? (c) Bepaal met Euler het aantal hoekpunten.

(a) Zijvlakken tellen
$z=12+20=32$ zijvlakken.
(b) Ribben via dubbeltelling
Som van de zijden: $12\cdot 5+20\cdot 6=60+120=180$ ; elke ribbe telt dubbel, dus $r=\frac{180}{2}=90$ .
$r=\frac{12\cdot 5+20\cdot 6}{2}=\frac{180}{2}=90$
(c) Hoekpunten met Euler
Uit $h-r+z=2$ volgt $h=2+r-z=2+90-32=60$ .
$h=2+r-z=2+90-32=60$

Resultaat: (a) $32$ zijvlakken; (b) $90$ ribben; (c) $60$ hoekpunten (klopt met een echte voetbal).

Veelgemaakte fouten

Euler toepassen op een lichaam met gebogen vlakken (cilinder, kegel, bol); de betrekking geldt alleen voor veelvlakken.
Bij de ribbentelling vergeten door $2$ te delen (elke ribbe grenst aan twee zijvlakken).

Actieve herhaling

Een octaëder heeft $8$ driehoekige zijvlakken. Bepaal via de dubbeltelling het aantal ribben en daarna met de betrekking van Euler het aantal hoekpunten. Controleer je antwoord met de tabel.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein G: Vorm en ruimte (CvTE / DUO)

Symmetrie: lijn, draai en punt#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-G

Een figuur is symmetrisch als hij door een bepaalde beweging op zichzelf wordt afgebeeld — na de beweging ziet hij er precies hetzelfde uit. De eerste soort is lijnsymmetrie (spiegelsymmetrie): er bestaat een spiegellijn (symmetrieas) waarin je de figuur kunt spiegelen zonder dat hij verandert. De ene helft is dan het spiegelbeeld van de andere. Een gelijkbenige driehoek heeft één symmetrieas; een rechthoek heeft er twee; een vierkant zelfs vier. Afb. 4 toont een regelmatige zeshoek met één van zijn symmetrieassen ingetekend — in totaal heeft de regelmatige zeshoek er zes.

Afb. 4 — Regelmatige zeshoek met een symmetrieas

Afb. 4Afb. 4 — Een regelmatige zeshoek met één symmetrieas (door twee tegenover elkaar liggende hoekpunten). In totaal heeft hij

6

symmetrieassen en zestallige draaisymmetrie (

60^{\circ}

De tweede soort is draaisymmetrie: er bestaat een draaipunt waaromheen je de figuur over een hoek kleiner dan

360^{\circ}

kunt draaien zodat hij op zichzelf valt. Bij een regelmatige

n

-hoek is de kleinste zo'n draaihoek

\frac{360^{\circ}}{n}

, en de figuur valt bij elke veelvoud daarvan weer op zichzelf. Een regelmatige zeshoek heeft dus draaisymmetrie over

\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}

(en over

120^{\circ}

180^{\circ}

, enzovoort): je zegt dat hij zestallige draaisymmetrie heeft. Een driespaaks logo heeft drietallige draaisymmetrie over

120^{\circ}

, maar hoeft geen enkele spiegelas te hebben.

De derde soort is puntsymmetrie: de figuur valt op zichzelf na een halve draai (

180^{\circ}

) om een centraal punt. Puntsymmetrie is precies tweetallige draaisymmetrie, en betekent dat bij elk punt van de figuur ook het « tegenoverliggende » punt (even ver aan de andere kant van het centrum) tot de figuur behoort. Een parallellogram is puntsymmetrisch maar in het algemeen niet lijnsymmetrisch; de letter S en de letter Z zijn puntsymmetrisch maar niet spiegelsymmetrisch. Het onderscheid tussen deze drie symmetrievormen — lijn, draai en punt — laat je nauwkeurig beschrijven welke regelmaat een figuur heeft.

Symmetrie is niet louter esthetiek: ze levert ook rekenvoordeel op. Weet je dat een figuur lijnsymmetrisch is, dan hoef je maar de helft te bestuderen; de rest volgt door spiegeling. Bij een symmetrische grafiek (zoals de parabool, met zijn symmetrieas) liggen bijzondere punten in spiegelbeeld, wat berekeningen bekort. In de ruimte hebben ook veel lichamen symmetrie: een balk heeft spiegelvlakken en draai-assen, een bol is zelfs volkomen symmetrisch in elke richting. Symmetrie herkennen en benoemen — met de juiste term (as, draaipunt, draaihoek, centrum) — is een vaardigheid die het examen expliciet toetst.

\text{draaihoek regelmatige } n\text{-hoek} = \frac{360^{\circ}}{n}

Kleinste draaihoek

Een regelmatige n-hoek valt na een draai van 360°/n op zichzelf; hij heeft n-tallige draaisymmetrie.

Uitgewerkt voorbeeld

Symmetrie herkennen en de draaihoek bepalen

(a) Hoeveel symmetrieassen heeft een gelijkzijdige driehoek, en wat is de kleinste draaihoek? (b) Heeft een parallellogram (geen ruit of rechthoek) lijnsymmetrie? (c) Welke symmetrie heeft de letter S?

(a) Gelijkzijdige driehoek
Drie gelijke zijden geven $3$ symmetrieassen; de draaihoek is $\frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ}$ (drietallige draaisymmetrie).
(b) Parallellogram
Een algemeen parallellogram heeft geen spiegelas, dus geen lijnsymmetrie; wel is het puntsymmetrisch (halve draai om het snijpunt van de diagonalen).
(c) De letter S
De S valt op zichzelf na een halve draai, maar niet na spiegelen: puntsymmetrisch, niet lijnsymmetrisch.

Resultaat: (a) $3$ symmetrieassen, draaihoek $120^{\circ}$ ; (b) geen lijnsymmetrie, wel puntsymmetrie; (c) de letter S is puntsymmetrisch.

Veelgemaakte fouten

Draaisymmetrie en lijnsymmetrie verwarren; een figuur kan draaisymmetrisch zijn zonder spiegelas (en omgekeerd).
Puntsymmetrie voor lijnsymmetrie aanzien; puntsymmetrie is een halve draai, geen spiegeling.

Actieve herhaling

Onderzoek de symmetrie van een vierkant: hoeveel symmetrieassen heeft het, en welke draaisymmetrie? Onderzoek daarna de letter H en de letter N op lijn- en puntsymmetrie.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein G: Vorm en ruimte (CvTE / DUO)

Verhoudingen en patronen in vorm en ruimte#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-c-domein-G

Dit onderdeel verkent hoe verhoudingen en patronen de vorm van figuren bepalen; het sluit aan bij kunst, architectuur en natuur en is deels verdieping — de precieze afbakening van wat in het centraal examen wordt getoetst, staat in de vigerende syllabus op examenblad.nl. Een verhouding vergelijkt twee grootheden, bijvoorbeeld de lengte en de breedte van een rechthoek. Sommige verhoudingen worden als bijzonder harmonieus ervaren en komen daarom telkens terug in ontwerp en beeldende kunst. De bekendste is de gulden snede, waarbij een lijnstuk zó in een langer en een korter deel wordt verdeeld dat het geheel zich tot het langere deel verhoudt als het langere tot het kortere.

De gulden snede hoort bij het getal

\varphi\approx 1{,}618

. Afb. 5 toont een gulden rechthoek: een rechthoek waarvan de verhouding lengte : breedte gelijk is aan

\varphi

. Zijn bijzondere eigenschap is dat je er een vierkant af kunt halen en dat de overblijvende rechthoek weer een gulden rechthoek is — met dezelfde verhouding. Dit proces kun je eindeloos herhalen, wat een karakteristiek inkrimpend patroon oplevert dat je in schelpen, bloemen en klassieke architectuur meent te herkennen. Of de gulden snede werkelijk overal opduikt, is omstreden, maar als meetkundig patroon is ze een prachtig voorbeeld van een zelfherhalende verhouding.

Afb. 5 — De gulden rechthoek

Afb. 5Afb. 5 — Een gulden rechthoek (verhouding

\varphi\approx 1{,}618

). Haal je het vierkant links weg, dan is de overblijvende rechthoek rechts weer een gulden rechthoek.

Een ander soort patroon is de betegeling (of vlakvulling): het volledig, zonder gaten of overlap, bedekken van het platte vlak met figuren. Met regelmatige veelhoeken lukt dat alleen met gelijkzijdige driehoeken, vierkanten of regelmatige zeshoeken, omdat de hoeken rond elk knooppunt precies

360^{\circ}

moeten opvullen — bij de zeshoek passen er drie van

120^{\circ}

, bij het vierkant vier van

90^{\circ}

, bij de driehoek zes van

60^{\circ}

. Een regelmatige vijfhoek (binnenhoek

108^{\circ}

) lukt niet, want

108^{\circ}

deelt niet netjes in

360^{\circ}

. Betegelingen verbinden zo de meetkunde van veelhoeken met de kunst van het patroon (denk aan mozaïeken en het werk van M.C. Escher).

Ook schaal en gelijkvormigheid zijn verhoudingsverschijnselen die vorm bepalen. Twee figuren zijn gelijkvormig als ze dezelfde vorm hebben maar (mogelijk) verschillen in grootte; alle overeenkomstige lengtes staan dan in dezelfde verhouding, de schaalfactor. Dit idee — vorm behouden, grootte veranderen — komt in het volgende onderwerp (oppervlakte, inhoud en gelijkvormigheid) uitgebreid terug, waar je ziet dat een vergroting met factor

k

de lengtes met

k

, maar de oppervlakte met

k^{2}

en de inhoud met

k^{3}

vermenigvuldigt. Verhoudingen zijn dus niet alleen mooi, maar ook rekenkundig krachtig.

\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}618

Gulden snede

Het verhoudingsgetal van de gulden snede; een gulden rechthoek heeft lengte : breedte = φ.

Uitgewerkt voorbeeld

Rekenen met een gulden rechthoek en met betegeling

(a) Een gulden rechthoek is $10$ cm breed. Hoe lang is hij (verhouding $\varphi\approx 1{,}618$ )? (b) Waarom kun je het vlak niet betegelen met alleen regelmatige vijfhoeken?

(a) Lengte berekenen
Lengte = breedte maal $\varphi$ .
$\text{lengte}=10\cdot 1{,}618\approx 16{,}2 \text{ cm}$
(b) Hoeken rond een knooppunt
De binnenhoek van een regelmatige vijfhoek is $\frac{(5-2)\cdot 180^{\circ}}{5}=108^{\circ}$ . Rond een knooppunt moet $360^{\circ}$ worden gevuld, maar $360^{\circ}/108^{\circ}\approx 3{,}33$ is geen geheel getal, dus ze passen niet naadloos.

Resultaat: (a) ongeveer $16{,}2$ cm lang; (b) omdat $108^{\circ}$ niet netjes in $360^{\circ}$ deelt, laten regelmatige vijfhoeken gaten of overlap.

Veelgemaakte fouten

De gulden snede zien als een exact getal $1{,}6$ in plaats van $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}618$ .
Denken dat élke regelmatige veelhoek het vlak kan betegelen; alleen driehoek, vierkant en zeshoek doen dat.

Actieve herhaling

Bereken de binnenhoek van een regelmatige achthoek en leg uit of je het vlak kunt betegelen met alleen regelmatige achthoeken. Bepaal daarna de breedte van een gulden rechthoek die $25$ cm lang is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein G: Vorm en ruimte (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein G: Vorm en ruimte

Vorm en ruimte

Kernpunten

Bouwstenen tellen en een lichaam benoemen

Kernpunten

De betrekking van Euler gebruiken

Kernpunten

Symmetrie herkennen en de draaihoek bepalen

Kernpunten

Rekenen met een gulden rechthoek en met betegeling

Bronnen

Vorm en ruimte

Kernpunten

Bouwstenen tellen en een lichaam benoemen

Kernpunten

De betrekking van Euler gebruiken

Kernpunten

Symmetrie herkennen en de draaihoek bepalen

Kernpunten

Rekenen met een gulden rechthoek en met betegeling

Bronnen