Statistiek met ICT

De GR levert voor een dataset via 1-Var Stats: $\bar{x}=24{,}3$, $\sigma x=9{,}1$, $n=28$, $\min=3$, $Q_{1}=17$, $\text{Med}=24$, $Q_{3}=31$, $\max=48$. (a) Wat is de kwartielafstand? (b) Wat is het bereik? (c) Ligt de mediaan boven of onder het gemiddelde, en wat zegt dat?

1. 01(a) Kwartielafstand

   $\text{IQR}=Q_{3}-Q_{1}=31-17=14$.

2. 02(b) Bereik

   $\max-\min=48-3=45$.

3. 03(c) Mediaan vs gemiddelde

   De mediaan ($24$) ligt vrijwel gelijk aan het gemiddelde ($24{,}3$); dat wijst op een redelijk symmetrische verdeling zonder sterke scheefheid.

Resultaat: (a) IQR $=14$; (b) bereik $=45$; (c) mediaan en gemiddelde liggen dicht bijeen: de verdeling is vrijwel symmetrisch.

Een webshop weet dat $30\%$ van de bezoekers iets koopt. Op een dag komen $10$ bezoekers (onafhankelijk). (a) Bereken de kans dat precies $3$ iets kopen. (b) Bereken de kans dat minstens $5$ iets kopen. (c) De bestelbedragen zijn normaal verdeeld met $\mu=40$ en $\sigma=12$ euro; welk percentage bestelt voor meer dan €55?

1. 01(a) binompdf

   $P(X=3)=\text{binompdf}(10, 0.3, 3)\approx 0{,}2668$.

2. 02(b) minstens 5 via complement

   $P(X\ge 5)=1-\text{binomcdf}(10, 0.3, 4)\approx 1-0{,}8497=0{,}1503$.

   $$P(X\ge 5)=1-\text{binomcdf}(10,0{,}3,4)\approx 0{,}150$$
3. 03(c) normalcdf eenzijdig

   $P(X>55)=\text{normalcdf}(55, 10^{99}, 40, 12)\approx 0{,}106$, oftewel ongeveer $10{,}6\%$.

   $$P(X>55)=\text{normalcdf}(55,10^{99},40,12)\approx 0{,}106$$

Resultaat: (a) $\approx 0{,}267$; (b) $\approx 0{,}150$; (c) ongeveer $10{,}6\%$ bestelt voor meer dan €55.

De GR levert voor de studeeruren-cijferdata de regressielijn $\hat{y}=0{,}49x+4{,}05$ met correlatie $r=0{,}97$. (a) Wat betekent $r=0{,}97$? (b) Voorspel het cijfer bij $5{,}5$ studeeruren. (c) Is een voorspelling bij $20$ studeeruren betrouwbaar?

1. 01(a) Correlatie duiden

   $r=0{,}97$ ligt dicht bij $1$: een sterk positief lineair verband — meer studeeruren gaan samen met een hoger cijfer.

2. 02(b) Voorspellen (interpolatie)

   $\hat{y}=0{,}49\cdot 5{,}5+4{,}05=2{,}695+4{,}05\approx 6{,}7$.

   $$\hat{y}=0{,}49\cdot 5{,}5+4{,}05\approx 6{,}7$$
3. 03(c) Extrapolatie beoordelen

   $20$ uur ligt ver buiten het databereik ($1$ t/m $8$ uur): extrapolatie is onbetrouwbaar, want de lineaire trend hoeft daar niet door te lopen (een cijfer boven $10$ kan niet).

Resultaat: (a) een sterk positief lineair verband; (b) ongeveer een $6{,}7$; (c) nee, $20$ uur is extrapolatie ver buiten de data en dus onbetrouwbaar.

In een aselecte steekproef van $600$ kiezers zegt $52\%$ ($\hat{p}=0{,}52$) op een partij te stemmen. (a) Bereken de standaardfout. (b) Bereken het $95\%$-betrouwbaarheidsinterval. (c) Formuleer de conclusie correct.

1. 01(a) Standaardfout

   $\sqrt{\frac{0{,}52\cdot 0{,}48}{600}}=\sqrt{\frac{0{,}2496}{600}}=\sqrt{0{,}000416}\approx 0{,}0204$.

   $$\sqrt{\frac{0{,}52\cdot 0{,}48}{600}}\approx 0{,}0204$$
2. 02(b) Interval

   $0{,}52\pm 1{,}96\cdot 0{,}0204=0{,}52\pm 0{,}040$, dus van $0{,}480$ tot $0{,}560$.

   $$0{,}52\pm 1{,}96\cdot 0{,}0204=[0{,}480;\ 0{,}560]$$
3. 03(c) Conclusie

   Met $95\%$ betrouwbaarheid ligt de werkelijke steun tussen ongeveer $48\%$ en $56\%$; omdat $50\%$ binnen dit interval valt, kun je niet met zekerheid zeggen dat de partij een meerderheid heeft.

Resultaat: (a) standaardfout $\approx 0{,}0204$; (b) het $95\%$-BI is $[48\%;\ 56\%]$; (c) de echte steun ligt met $95\%$ betrouwbaarheid tussen $48\%$ en $56\%$ — een meerderheid is niet zeker.