Samenvattingen · Wiskunde BNL · VWO

Vergelijkingen en ongelijkheden

Vergelijkingen los je op door de $x$ -waarden te vinden waarvoor twee uitdrukkingen gelijk zijn; ongelijkheden door de gebieden te vinden waar de ene groter of kleiner is dan de andere. In wiskunde B doe je dat algebraïsch — met ontbinden, de abc-formule, de product-is-nul-regel, logaritmen en tekenschema's — en waar nodig grafisch, via snijpunten. Kwadratische, gebroken, exponentiële en logaritmische vergelijkingen komen alle aan bod, net als stelsels van twee vergelijkingen.

4 Onderdelen~16 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 2 · Verdieping 2

T·0666 / 16

Examenprofiel

B4 · Algebraïsch oplossen van kwadratische, gebroken, exponentiële en logaritmische vergelijkingenOngelijkheden oplossen met een tekenschema of grafischDe product-is-nul-regel en de abc-formule toepassenStelsels oplossen en snijpunten van grafieken bepalen

Operatoren:los opberekenbepaaltoon aanherleidgeef

basisniveau

Het algebraïsch oplossen van de standaardvergelijkingen en -ongelijkheden hoort tot de centraal-examenstof van subdomein B4.

verhoogd niveau

Verdieping zit in vergelijkingen die eerst een substitutie of herleiding vragen, in ongelijkheden met gebroken of samengestelde uitdrukkingen, en in het combineren van algebraïsche en grafische aanpak.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Vergelijkingen en ongelijkheden

Vergelijkingen algebraïsch oplossen#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-B4

Een vergelijking oplossen betekent alle waarden van

x

vinden waarvoor de gelijkheid klopt. De krachtigste techniek is de product-is-nul-regel: een product is nul precies als (minstens) een van de factoren nul is. Breng daarom eerst alles naar één kant zodat er

\ldots=0

staat, ontbind in factoren, en stel elke factor apart gelijk aan nul. In Afb. 1 zie je

f(x)=x^{3}-x=x(x-1)(x+1)

; de nulpunten

x=-1

x=0

x=1

zijn precies de oplossingen van

x^{3}-x=0

, één per factor.

De product-is-nul-regel: nulpunten van x³ − x

Afb. 1Afb. 1 — f(x) = x³ − x = x(x − 1)(x + 1): de nulpunten −1, 0 en 1 zijn de oplossingen van x³ − x = 0, één per factor.

Voor een kwadratische vergelijking

ax^{2}+bx+c=0

heb je twee routes: ontbinden (als dat lukt) of de abc-formule

x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

. Ontbinden is sneller maar niet altijd mogelijk; de abc-formule werkt altijd. De discriminant

D=b^{2}-4ac

vertelt vooraf het aantal oplossingen (

D>0

twee,

D=0

één,

D<0

geen). Vergeet niet eerst alles naar één kant te brengen:

x^{2}=3x+4

los je op als

x^{2}-3x-4=0

, niet door links en rechts los te bekijken.

Bij een gebroken vergelijking (met

x

in een noemer) vermenigvuldig je beide kanten met de noemer om de breuk weg te werken, of je gebruikt dat een breuk nul is precies als de teller nul is (en de noemer niet). Zo los je

\dfrac{x-2}{x+1}=0

op door

x-2=0

, dus

x=2

, mits

x\neq -1

. Cruciaal is de controle op verboden waarden: een oplossing die de noemer nul maakt, valt af. Bij

\dfrac{6}{x-3}=2

vermenigvuldig je met

x-3

6=2(x-3)

, dus

x=6

; omdat

6\neq 3

is deze oplossing geldig.

Sommige vergelijkingen vragen eerst een herleiding of substitutie. Een vergelijking als

x^{4}-5x^{2}+4=0

pak je aan met de substitutie

u=x^{2}

: dan wordt het

u^{2}-5u+4=0

, dus

u=1

u=4

, en terug:

x^{2}=1

geeft

x=\pm 1

x^{2}=4

geeft

x=\pm 2

. Bij een wortelvergelijking isoleer je de wortel en kwadrateer je, waarna je moet controleren (kwadrateren kan schijnoplossingen introduceren). Het herkennen van zo'n structuur — een verborgen kwadratische vorm, een te isoleren wortel — is een examenvaardigheid die het verschil maakt tussen vastlopen en doorpakken.

Bij elke opgeloste vergelijking horen twee gewoonten: het controleren van de oplossingen en het letten op de gevraagde vorm. Controleren doe je door de gevonden

x

terug in de oorspronkelijke vergelijking te vullen — dat vangt reken- en schijnoplossingen. Op de gevraagde vorm letten betekent: geef exacte waarden waar dat gevraagd is (laat

\sqrt{5}

\ln 3

staan), en geef alle oplossingen, niet alleen de „mooie”. Een vergelijking is pas volledig opgelost als je álle

x

-waarden hebt gevonden en gecontroleerd.

A\cdot B=0 \iff A=0 \ \text{of}\ B=0

Product-is-nul-regel

Breng alles naar één kant, ontbind, en stel elke factor gelijk aan nul.

ax^{2}+bx+c=0\;\Rightarrow\; x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

abc-formule

Werkt altijd voor een kwadratische vergelijking; de discriminant $D=b^{2}-4ac$ geeft het aantal oplossingen.

\frac{A}{B}=0 \iff A=0 \ \text{en}\ B\neq 0

Gebroken vergelijking

Een breuk is nul als de teller nul is en de noemer niet; controleer altijd de verboden waarden.

Uitgewerkt voorbeeld

Een verborgen kwadratische vergelijking oplossen

Los op: $x^{4}-5x^{2}+4=0$ .

Substitutie
Stel $u=x^{2}$ ; de vergelijking wordt kwadratisch in $u$ .
$u^{2}-5u+4=0$
Kwadratische in u oplossen
Ontbind.
$(u-1)(u-4)=0\;\Rightarrow\; u=1\ \text{of}\ u=4$
Terug naar x
Los $x^{2}=1$ en $x^{2}=4$ op.
$x^{2}=1\Rightarrow x=\pm 1,\qquad x^{2}=4\Rightarrow x=\pm 2$

Resultaat: $x=-2,\ -1,\ 1,\ 2$ (vier oplossingen).

Veelgemaakte fouten

Beide kanten van $x^{2}=3x$ door $x$ delen en zo de oplossing $x=0$ verliezen (breng in plaats daarvan alles naar één kant en ontbind).
Bij een gebroken of wortelvergelijking niet controleren, waardoor een verboden waarde of schijnoplossing blijft staan.
De abc-formule toepassen zonder alles eerst naar één kant te brengen.
Bij $x^{2}=4$ alleen $x=2$ geven en $x=-2$ vergeten.

Actieve herhaling

Los algebraïsch op: (a) $2x^{2}-5x-3=0$ ; (b) $\dfrac{x+4}{x-1}=3$ (let op de verboden waarde); (c) $x^{4}-13x^{2}+36=0$ met een substitutie.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-subdomein-B4

De exponentiële vergelijking 2ˣ = 6 grafisch

Afb. 2Afb. 1 — 2ˣ = 6: de lijn y = 6 snijdt y = 2ˣ bij x = ²log 6 = ln 6 / ln 2 ≈ 2,59.

In een exponentiële vergelijking staat de onbekende in de exponent, zoals

2^{x}=6

. Zolang je beide kanten als een macht met hetzelfde grondtal kunt schrijven, gebruik je de regel „gelijke grondtallen geven gelijke exponenten”: uit

g^{x}=g^{p}

volgt

x=p

. Zo geeft

2^{x}=8=2^{3}

meteen

x=3

. Lukt dat niet — zoals bij

2^{x}=6

, want

6

is geen macht van

2

— dan neem je de logaritme van beide kanten. In Afb. 1 zie je

2^{x}=6

grafisch: de horizontale lijn

y=6

snijdt

y=2^{x}

bij

x={}^{2}\!\log 6\approx 2{,}59

De logaritme is precies het gereedschap om de exponent uit de macht te halen, want de logaritme is de inverse van de exponentiële functie. Uit

g^{x}=b

volgt

x={}^{g}\!\log b=\dfrac{\ln b}{\ln g}

. Voor

2^{x}=6

geeft dat

x=\dfrac{\ln 6}{\ln 2}\approx 2{,}585

. Werk je met de

e

-macht, dan is de natuurlijke logaritme direct de inverse: uit

e^{x}=10

volgt

x=\ln 10

. Deze logaritmische stap is de kern van het oplossen van elke exponentiële vergelijking die niet met gelijke grondtallen lukt.

In een logaritmische vergelijking staat de onbekende in het argument van een logaritme, zoals

\ln(x)=3

\log(2x-1)=1

. Je lost hem op door de exponentiële bewerking (de inverse) toe te passen: uit

\ln x=3

volgt

x=e^{3}

, en uit

\log(2x-1)=1

volgt

2x-1=10^{1}=10

, dus

x=5{,}5

. Cruciaal is de controle op het domein: het argument van een logaritme moet positief zijn, dus een oplossing waarvoor het argument nul of negatief zou worden, valt af. Deze domeincontrole is bij logaritmische vergelijkingen niet optioneel maar noodzakelijk.

Vaak moet je eerst de logaritmeregels toepassen om de vergelijking op één logaritme te brengen. De regels zijn

\log(ab)=\log a+\log b

\log\dfrac{a}{b}=\log a-\log b

\log(a^{p})=p\log a

. Een vergelijking als

\log(x)+\log(x-3)=1

herleid je met de productregel tot

\log\bigl(x(x-3)\bigr)=1

, dus

x(x-3)=10

, oftewel

x^{2}-3x-10=0

, met oplossingen

x=5

x=-2

; de laatste valt af omdat dan

\log(-2)

zou ontstaan. Zo combineer je logaritmeregels, de inverse bewerking en een domeincontrole tot één sluitende oplossing.

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen zijn twee kanten van dezelfde medaille, want de bijbehorende functies zijn elkaars inverse. Bij een exponentiële vergelijking neem je de logaritme; bij een logaritmische vergelijking verhef je tot een macht. In beide gevallen gebruik je dat de ene bewerking de andere ongedaan maakt. Op het examen wordt vaak een exacte oplossing gevraagd — dan laat je

\ln 6

{}^{2}\!\log 6

staan in plaats van te benaderen — en soms een benadering; lees dat goed. En controleer bij logaritmische vergelijkingen altijd of elke oplossing in het domein valt; dat is de meest gemaakte fout bij dit type.

g^{x}=g^{p}\iff x=p\qquad g^{x}=b\;\Rightarrow\; x={}^{g}\!\log b=\frac{\ln b}{\ln g}

Exponentiële vergelijking

Gelijke grondtallen geven gelijke exponenten; lukt dat niet, neem dan de logaritme.

\log(ab)=\log a+\log b,\quad \log\frac{a}{b}=\log a-\log b,\quad \log(a^{p})=p\log a

Logaritmeregels

Met deze regels breng je een logaritmische vergelijking op één logaritme.

Uitgewerkt voorbeeld

Een logaritmische vergelijking oplossen met domeincontrole

Los op: $\ln(x)+\ln(x-3)=\ln(10)$ .

Logaritmen samennemen
Gebruik de productregel $\ln a+\ln b=\ln(ab)$ .
$\ln\bigl(x(x-3)\bigr)=\ln(10)$
Argumenten gelijkstellen
Gelijke logaritmen betekenen gelijke (positieve) argumenten.
$x(x-3)=10\;\Rightarrow\; x^{2}-3x-10=0$
Kwadratische oplossen
Ontbind.
$(x-5)(x+2)=0\;\Rightarrow\; x=5\ \text{of}\ x=-2$
Domeincontrole
Het argument van beide logaritmen moet positief zijn: $x>0$ én $x-3>0$ , dus $x>3$ . Alleen $x=5$ voldoet; $x=-2$ valt af.

Resultaat: $x=5$ (de oplossing $x=-2$ valt af wegens het domein $x>3$ ).

Veelgemaakte fouten

Bij een logaritmische vergelijking de domeincontrole overslaan en een oplossing meenemen die het argument negatief maakt.
$\log(a+b)$ uitschrijven als $\log a+\log b$ (dat mag niet; alleen $\log(ab)=\log a+\log b$ ).
Bij $2^{x}=6$ concluderen dat $x=3$ (dat zou $2^{x}=8$ zijn) in plaats van de logaritme te nemen.
Een benadering geven waar een exacte waarde ( $\ln 6$ , ${}^{2}\!\log 6$ ) gevraagd wordt.

Actieve herhaling

Los op: (a) $3^{x}=20$ (geef de exacte en de benaderde waarde); (b) $\log(x+2)+\log(x-1)=1$ met domeincontrole.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Ongelijkheden met tekenschema en grafiek#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-subdomein-B4

Tekenschema van (x − 1)(x + 2)

Afb. 3Afb. 1 — Tekenschema van (x − 1)(x + 2): + voor x < −2, − voor −2 < x < 1, + voor x > 1. Oplossing van > 0: x < −2 of x > 1.

Een ongelijkheid als

f(x)>0

vraagt niet om losse oplossingen maar om de

x

-gebieden waarop de uitdrukking positief (of negatief) is. De sleutel is dat een continue uitdrukking alleen van teken kan wisselen op haar nulpunten (en, bij een breuk, op de punten waar de noemer nul is). Tussen twee opeenvolgende zulke „grenspunten” houdt de uitdrukking hetzelfde teken. Je lost een ongelijkheid daarom op met een tekenschema: bepaal de grenspunten, verdeel de getallenlijn erin en bepaal per stuk het teken. In Afb. 1 staat het tekenschema van

(x-1)(x+2)

: positief links van

-2

, negatief tussen

-2

1

, positief rechts van

1

Het stappenplan luidt: (1) breng alles naar één kant zodat er

\ldots>0

(of

<0

\ge

\le

) staat; (2) ontbind in factoren; (3) bepaal de grenspunten (nulpunten van de factoren, en bij een breuk de nulpunten van de noemer); (4) maak een tekenschema door in elk deelinterval een proefwaarde in te vullen of het teken van elke factor te bepalen; (5) lees de oplossing af, met aandacht voor de open of gesloten grenzen. Voor

(x-1)(x+2)>0

geeft dit de oplossing

x<-2

x>1

Bij het aflezen van de oplossing let je op strikte versus niet-strikte ongelijkheden. Bij

>

<

horen open grenzen (de grenspunten zelf tellen niet mee); bij

\ge

\le

horen gesloten grenzen, behalve als de grens een verboden waarde is (een nulpunt van een noemer telt nooit mee, want daar bestaat de uitdrukking niet). Zo is de oplossing van

\dfrac{x-1}{x+2}\ge 0

gelijk aan

x<-2

x\ge 1

: bij

x=1

is de teller nul (breuk

=0

, voldoet aan

\ge 0

), maar bij

x=-2

is de noemer nul (verboden), dus die grens blijft open.

Naast het tekenschema kun je een ongelijkheid grafisch oplossen. De ongelijkheid

f(x)>g(x)

geldt precies daar waar de grafiek van

f

boven die van

g

ligt. Je bepaalt eerst de snijpunten (waar

f(x)=g(x)

) en leest dan uit de grafiek af op welke intervallen

f

hoger loopt. Voor

x^{2}<x+2

vind je de snijpunten

x=-1

x=2

, en omdat de parabool

y=x^{2}

tussen deze punten onder de lijn

y=x+2

ligt, is de oplossing

-1<x<2

. Deze grafische aanpak is vooral handig als ontbinden lastig is of als de opgave om een interpretatie vraagt.

De tekenschema-methode en de grafische methode vullen elkaar aan en controleren elkaar. Het tekenschema is exact en werkt ook bij ingewikkelde producten en breuken; de grafiek geeft snel inzicht en vangt fouten. Een veelgemaakte misser is het „gewoon oplossen” van een ongelijkheid alsof het een vergelijking is en dan vergeten dat vermenigvuldigen met een negatief getal het ongelijkheidsteken omdraait — juist daarom is het tekenschema veiliger, want daarin bepaal je het teken per interval en hoef je nooit met een onbekend teken te vermenigvuldigen. Beheers beide methoden en gebruik de ene om de andere te controleren.

\text{teken wisselt alleen bij een nulpunt (of noemer } = 0\text{)}

Grondidee van het tekenschema

Tussen twee opeenvolgende grenspunten houdt een continue uitdrukking hetzelfde teken.

f(x)>g(x)\ \text{geldt waar de grafiek van } f \text{ boven die van } g \text{ ligt}

Grafisch oplossen

Bepaal de snijpunten en lees af op welke intervallen de ene grafiek boven de andere ligt.

Uitgewerkt voorbeeld

Een kwadratische ongelijkheid met een tekenschema

Los op: $x^{2}-x-6\le 0$ .

Ontbinden
Zoek twee getallen met som $-1$ en product $-6$ : $-3$ en $2$ .
$x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)$
Grenspunten en tekenschema
De nulpunten zijn $x=-2$ en $x=3$ . Het product is negatief tussen de nulpunten (proefwaarde $x=0$ : $(0-3)(0+2)=-6<0$ ) en positief erbuiten.
Aflezen met gesloten grenzen
Gevraagd is $\le 0$ , dus het negatieve deel plus de nulpunten zelf.
$-2\le x\le 3$

Resultaat: De oplossing is $-2\le x\le 3$ .

Veelgemaakte fouten

Een ongelijkheid als een vergelijking oplossen en het ongelijkheidsteken vergeten om te draaien bij vermenigvuldigen met een negatief getal.
Bij een gebroken ongelijkheid met de (onbekend positieve of negatieve) noemer vermenigvuldigen in plaats van een tekenschema te maken.
Open en gesloten grenzen verwisselen, of een verboden waarde (noemer nul) meenemen in de oplossing.
Alleen de grenspunten geven in plaats van de intervallen waarop de ongelijkheid geldt.

Actieve herhaling

Los met een tekenschema op: (a) $x^{2}-4x>0$ ; (b) $\dfrac{x-2}{x+1}\le 0$ (let op de verboden waarde en de open/gesloten grenzen).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Stelsels en snijpunten#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-B4

Snijpunten van de lijn y = x + 1 en de parabool y = x² − 1

Afb. 4Afb. 1 — De lijn y = x + 1 en de parabool y = x² − 1 snijden elkaar in (−1; 0) en (2; 3): de oplossingen van het stelsel.

Een stelsel van twee vergelijkingen zoekt de

(x,y)

-paren die aan beide tegelijk voldoen. Meetkundig zijn dat de snijpunten van de twee grafieken. De standaardtechniek is de substitutiemethode: druk uit de ene vergelijking één variabele uit en vul die in de andere in, zodat er een vergelijking in één onbekende overblijft. Voor

y=x+1

y=x^{2}-1

vul je de eerste in de tweede in:

x+1=x^{2}-1

. In Afb. 1 zie je deze twee grafieken en hun snijpunten

(-1,0)

(2,3)

Het snijpunt van twee grafieken

y=f(x)

y=g(x)

vind je door hun functiewaarden gelijk te stellen:

f(x)=g(x)

. Dit is precies de substitutiemethode voor het bijzondere geval dat beide vergelijkingen al naar

y

zijn opgelost. Je lost de ontstane vergelijking op naar

x

en berekent bij elke

x

de bijbehorende

y

door in een van beide functies in te vullen. Vergeet die tweede stap niet: een snijpunt heeft twee coördinaten, en de opgave vraagt bijna altijd om het volledige punt

(x,y)

Voor

x+1=x^{2}-1

breng je alles naar één kant:

x^{2}-x-2=0

, dus

(x-2)(x+1)=0

, waaruit

x=2

x=-1

volgen. De bijbehorende

y

-waarden vind je met de eenvoudigste vergelijking,

y=x+1

: bij

x=2

y=3

, bij

x=-1

y=0

. De snijpunten zijn dus

(2,3)

(-1,0)

, precies wat de figuur toont. Het aantal snijpunten hangt samen met de discriminant van de ontstane vergelijking: twee reële oplossingen geven twee snijpunten, een dubbele oplossing één (de grafieken raken elkaar), geen reële oplossing geen snijpunt.

Soms is een stelsel niet direct naar

y

opgelost, bijvoorbeeld bij een lijn en een cirkel of bij twee impliciete verbanden. Dan kies je de handigste variabele om uit te drukken. Bij een lijn

y=2x-1

en een cirkel

x^{2}+y^{2}=5

vul je

y=2x-1

in de cirkelvergelijking in:

x^{2}+(2x-1)^{2}=5

, wat na uitwerken een kwadratische vergelijking in

x

oplevert. Deze techniek — de lineaire vergelijking in de kwadratische substitueren — is dezelfde die je in de analytische meetkunde gebruikt om snijpunten van een lijn en een cirkel te vinden.

Het aantal en de aard van de oplossingen van een stelsel vertellen iets over de meetkundige situatie: twee snijpunten (de grafieken kruisen), één snijpunt (ze raken), of geen (ze ontmoeten elkaar niet). Bij lineaire stelsels betekent geen oplossing dat de lijnen evenwijdig zijn en oneindig veel oplossingen dat ze samenvallen. Deze koppeling tussen algebra (aantal oplossingen, discriminant) en meetkunde (kruisen, raken, missen) is typerend voor wiskunde B en komt terug bij raaklijnen: een lijn raakt een grafiek precies als het stelsel één (dubbele) oplossing heeft, dus als de discriminant nul is.

\text{snijpunt: } f(x)=g(x),\ \text{daarna } y=f(x)

Snijpunt van twee grafieken

Stel de functiewaarden gelijk, los op naar $x$ , en bereken de bijbehorende $y$ .

\text{substitutie: druk } y \text{ uit en vul in de andere vergelijking in}

Substitutiemethode

Zo krijg je één vergelijking in één onbekende; werkt ook voor een lijn en een cirkel.

Uitgewerkt voorbeeld

Snijpunten van een lijn en een cirkel

Bepaal de snijpunten van de lijn $y=x-1$ en de cirkel $x^{2}+y^{2}=25$ .

Substitueren
Vul $y=x-1$ in de cirkelvergelijking in.
$x^{2}+(x-1)^{2}=25$
Uitwerken tot een kwadratische
Werk het kwadraat uit en breng naar één kant.
$x^{2}+x^{2}-2x+1=25\;\Rightarrow\; 2x^{2}-2x-24=0\;\Rightarrow\; x^{2}-x-12=0$
Oplossen
Ontbind.
$(x-4)(x+3)=0\;\Rightarrow\; x=4\ \text{of}\ x=-3$
Bijbehorende y-waarden
Vul in $y=x-1$ in.
$x=4\Rightarrow y=3;\qquad x=-3\Rightarrow y=-4$

Resultaat: De snijpunten zijn $(4;\,3)$ en $(-3;\,-4)$ .

Veelgemaakte fouten

Alleen de $x$ -waarden van de snijpunten geven en de $y$ -coördinaten vergeten.
Bij het uitwerken van $(x-1)^{2}$ de dubbele productterm vergeten.
Na substitutie niet alles naar één kant brengen, waardoor de kwadratische vergelijking fout wordt opgelost.
Aannemen dat er altijd twee snijpunten zijn; bij een raakpunt is er één en bij missen geen.

Actieve herhaling

Bepaal de snijpunten van $y=2x+2$ en $y=x^{2}-x-4$ . Bepaal daarna de snijpunten van de lijn $y=x+1$ en de cirkel $x^{2}+y^{2}=13$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde B (VWO)

Vergelijkingen en ongelijkheden

Kernpunten

Een verborgen kwadratische vergelijking oplossen

Kernpunten

Een logaritmische vergelijking oplossen met domeincontrole

Kernpunten

Een kwadratische ongelijkheid met een tekenschema

Kernpunten

Snijpunten van een lijn en een cirkel

Bronnen