Samenvattingen · Wiskunde BNL · VWO

Inverse functies

De inverse $f^{-1}$ van een functie draait de toewijzing om: waar $f$ van $x$ naar $y$ gaat, gaat $f^{-1}$ van $y$ terug naar $x$ . Alleen omkeerbare (injectieve) functies hebben een inverse. Je berekent de inverse door $x$ en $y$ te verwisselen en op te lossen, en de grafiek van de inverse is de spiegeling van die van $f$ in de lijn $y=x$ , waarbij domein en bereik van plaats wisselen. De belangrijkste voorbeelden zijn de logaritme als inverse van de exponentiële functie en de wortel als inverse van het kwadraat.

4 Onderdelen~17 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 3 · Verdieping 1

T·0555 / 16

Examenprofiel

B3 · Het begrip inverse en injectiviteit (omkeerbaarheid) van een functieDe inverse berekenen door x en y te verwisselen en op te lossenDe grafiek van de inverse als spiegeling in y=x; domein en bereik wisselenInverse van exponentiële, logaritmische, wortel- en kwadratische functies

Operatoren:bepaalberekentoon aanschetsleg uitgeef

basisniveau

Het begrip inverse, het berekenen van de inverse en de spiegeling in $y=x$ horen tot de centraal-examenstof van subdomein B3.

verhoogd niveau

Verdieping zit in het beperken van het domein om een niet-injectieve functie toch omkeerbaar te maken, en in het combineren van de inverse met transformaties.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Inverse functies

Het begrip inverse en omkeerbaarheid#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-B3

De inverse van een functie

f

maakt de bewerking van

f

ongedaan: als

f

het getal

x

naar

y

stuurt, dan stuurt de inverse

f^{-1}

het getal

y

weer terug naar

x

. Formeel geldt

f^{-1}(y)=x

precies als

f(x)=y

. De inverse is dus de „terugweg”. Een direct gevolg is dat achtereenvolgens

f

f^{-1}

toepassen je bij het oorspronkelijke getal terugbrengt:

f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x

f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x

. Let op de notatie:

f^{-1}

betekent de inverse functie, niet

\dfrac{1}{f}

— die verwarring is een klassieke valkuil.

Niet elke functie heeft een inverse. Dat kan alleen als

f

omkeerbaar (injectief) is: bij elke uitvoerwaarde hoort precies één invoerwaarde, zodat de terugweg eenduidig is. Meetkundig test je dit met de horizontale-lijntest: elke horizontale lijn mag de grafiek in hooguit één punt snijden. In Afb. 1 zie je waarom

f(x)=x^{2}

(op heel

\mathbb{R}

) géén inverse heeft: de horizontale lijn

y=4

snijdt de parabool in twee punten,

x=-2

x=2

, dus bij de uitvoer

4

horen twee invoeren en is de terugweg niet eenduidig.

Waarom x² geen inverse heeft: de horizontale-lijntest

Afb. 1Afb. 1 — De horizontale lijn y = 4 snijdt y = x² tweemaal (x = −2 en x = 2): bij één uitvoer horen twee invoeren, dus x² is op heel ℝ niet omkeerbaar.

Een functie die overal stijgt (of overal daalt) — een monotone functie — is altijd injectief en dus omkeerbaar, want een grotere invoer geeft dan steeds een grotere (respectievelijk kleinere) uitvoer en kan nooit dezelfde uitvoer twee keer opleveren. Zo zijn

f(x)=x^{3}

f(x)=e^{x}

f(x)=\ln x

omkeerbaar. Een functie die eerst stijgt en dan daalt (zoals een parabool) is niet injectief op haar hele domein. Vaak los je dat op door het domein te beperken:

f(x)=x^{2}

x\ge 0

ís injectief en heeft als inverse de wortelfunctie.

Het begrip inverse verbindt twee grootheden die elkaars „ongedaan-maker” zijn, en dat komt in de wiskunde en de toepassingen voortdurend voor. De logaritme maakt de exponentiële bewerking ongedaan (uit

10^{x}=1000

vind je

x=\log 1000=3

); de wortel maakt het kwadrateren ongedaan; de boogsinus maakt de sinus ongedaan. Telkens gebruik je de inverse om „terug te rekenen” van een uitkomst naar de invoer die haar voortbracht. Dat maakt het inverse-begrip niet alleen een grafische aardigheid maar een echt rekengereedschap.

Domein en bereik spelen bij de inverse een spiegelende rol. Omdat de inverse de rollen van invoer en uitvoer verwisselt, is het domein van

f^{-1}

gelijk aan het bereik van

f

, en het bereik van

f^{-1}

gelijk aan het domein van

f

. Voor

f(x)=\sqrt{x}

(domein

x\ge 0

, bereik

y\ge 0

) is de inverse

f^{-1}(x)=x^{2}

met domein

x\ge 0

— precies het bereik van

f

. Dit verwisselen van domein en bereik is niet alleen een formaliteit: het bepaalt op welk gebied de inverse bestaat en voorkomt fouten bij het opstellen ervan.

f^{-1}(y)=x \iff f(x)=y

Definitie van de inverse

De inverse draait de toewijzing om; $f^{-1}$ is de terugweg van $f$ .

f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x\qquad f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x

Ongedaan maken

Achtereenvolgens $f$ en zijn inverse toepassen brengt je terug bij het begingetal.

Uitgewerkt voorbeeld

Omkeerbaarheid onderzoeken

Onderzoek of $f(x)=x^{3}-1$ omkeerbaar is en of $g(x)=x^{2}-4x$ dat is op heel $\mathbb{R}$ . Licht je antwoord toe met de horizontale-lijntest.

f: monotonie bekijken
$f(x)=x^{3}-1$ is overal stijgend (de derde macht stijgt overal), dus elke horizontale lijn snijdt de grafiek één keer: injectief.
g: vorm bekijken
$g(x)=x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4$ is een dalparabool met top $(2,-4)$ ; hij daalt en stijgt weer.
Horizontale-lijntest op g
Een horizontale lijn boven de top (bijvoorbeeld $y=0$ ) snijdt de parabool twee keer, dus $g$ is op heel $\mathbb{R}$ niet injectief.

Resultaat: $f(x)=x^{3}-1$ is omkeerbaar (overal stijgend); $g(x)=x^{2}-4x$ is op heel $\mathbb{R}$ niet omkeerbaar (parabool, twee snijpunten per horizontale lijn).

Veelgemaakte fouten

$f^{-1}$ opvatten als $\dfrac{1}{f}$ ; de $-1$ duidt de inverse functie aan, niet een negatieve macht.
Aannemen dat elke functie een inverse heeft, ook een niet-injectieve zoals een parabool op heel $\mathbb{R}$ .
Vergeten het domein te beperken om een niet-injectieve functie toch omkeerbaar te maken.
Domein en bereik van $f$ en $f^{-1}$ niet verwisselen.

Actieve herhaling

Onderzoek of $f(x)=\dfrac{1}{x}$ omkeerbaar is en op welk domein $g(x)=(x+1)^{2}$ omkeerbaar gemaakt kan worden. Licht toe met de horizontale-lijntest.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

De inverse berekenen#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-B3

f(x) = 2x + 1 en zijn inverse, gespiegeld in y = x

Afb. 2Afb. 1 — f(x) = 2x + 1 (steil) en zijn inverse f⁻¹(x) = (x − 1)/2 (vlak) zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn y = x.

Het berekenen van de inverse volgt een vast recept. Schrijf de functie als

y=f(x)

, verwissel dan de rollen van

x

y

(want de inverse draait invoer en uitvoer om), en los de nieuwe vergelijking op naar

y

. Die uitgedrukte

y

f^{-1}(x)

. Voor

f(x)=2x+1

schrijf je

y=2x+1

, verwissel je tot

x=2y+1

, en los je op:

y=\dfrac{x-1}{2}

, dus

f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}

. In Afb. 1 staan

f

f^{-1}

samen met de lijn

y=x

; ze zijn elkaars spiegelbeeld.

Het „verwisselen van

x

y

” is de kern en verklaart waarom de grafiek spiegelt in

y=x

: elk punt

(a,b)

van

f

wordt het punt

(b,a)

van

f^{-1}

. Een alternatief dat op hetzelfde neerkomt, is

f(x)=y

direct oplossen naar

x

en aan het eind de letters hernoemen. Beide wegen zijn goed; kies er één en pas hem consequent toe. Werk het oplossen netjes stap voor stap uit — dat voorkomt tekenfouten en het kwijtraken van een term.

Bij het oplossen naar

y

gebruik je precies de inverse bewerkingen uit het onderwerp „formules bewerken”. Zit er een kwadraat, dan trek je de wortel (met aandacht voor het teken); zit er een

e

-macht, dan neem je de logaritme; zit er een breuk, dan vermenigvuldig je kruislings. Voor

f(x)=\dfrac{1}{x-3}+2

bijvoorbeeld verwissel je tot

x=\dfrac{1}{y-3}+2

, haal je de

2

naar links (

x-2=\dfrac{1}{y-3}

), keer je om (

y-3=\dfrac{1}{x-2}

) en vind je

f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x-2}+3

. Elke stap is een inverse bewerking, netjes op beide leden toegepast.

Na het berekenen loont een controle. Omdat

f

f^{-1}

elkaars ongedaan-makers zijn, moet

f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x

gelden. Voor

f(x)=2x+1

f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}

controleer je:

f\bigl(\tfrac{x-1}{2}\bigr)=2\cdot\tfrac{x-1}{2}+1=(x-1)+1=x

. Klopt de samenstelling niet met

x

, dan zit er een fout in je berekening. Deze controle is snel en betrouwbaar en hoort bij een nette uitwerking op het examen.

Bij het berekenen van een inverse hoort altijd het bepalen van het domein en bereik. Het domein van

f^{-1}

is het bereik van

f

, en andersom. Bij een wortel- of kwadraatfunctie, waar je het domein moest beperken om injectiviteit te krijgen, bepaalt die beperking ook het bereik van de inverse. Voor

f(x)=x^{2}

x\ge 0

(bereik

y\ge 0

) is de inverse

f^{-1}(x)=\sqrt{x}

met domein

x\ge 0

— je kiest de positieve wortel omdat het bereik van

f^{-1}

(= domein van

f

) niet-negatief is. Zo houdt het verwisselen van domein en bereik je op het juiste spoor.

\text{recept: } y=f(x)\ \rightarrow\ \text{verwissel }x\leftrightarrow y\ \rightarrow\ \text{los op naar }y=f^{-1}(x)

Inverse berekenen

Verwissel $x$ en $y$ en los op; dat draait de toewijzing om en verklaart de spiegeling in $y=x$ .

f(x)=2x+1\;\Rightarrow\; f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}

Voorbeeld

Uit $x=2y+1$ volgt $y=\dfrac{x-1}{2}$ ; controleer met $f(f^{-1}(x))=x$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Inverse berekenen en controleren

Bepaal de inverse van $f(x)=\dfrac{x+4}{2}$ en controleer je antwoord met de samenstelling $f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)$ .

Verwisselen
Schrijf $y=\dfrac{x+4}{2}$ en verwissel $x$ en $y$ .
$x=\frac{y+4}{2}$
Oplossen naar y
Vermenigvuldig met $2$ en haal $4$ naar links.
$2x=y+4\;\Rightarrow\; y=2x-4\;\Rightarrow\; f^{-1}(x)=2x-4$
Controle
Vul $f^{-1}(x)=2x-4$ in $f$ in.
$f\bigl(2x-4\bigr)=\frac{(2x-4)+4}{2}=\frac{2x}{2}=x$

Resultaat: $f^{-1}(x)=2x-4$ ; de controle geeft $f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x$ , dus het klopt.

Veelgemaakte fouten

Vergeten $x$ en $y$ te verwisselen en zo per ongeluk $f$ zelf opnieuw opschrijven.
Bij het oplossen een tekenfout maken of een term aan de verkeerde kant laten staan.
Bij een kwadraat of wortel het domein/teken negeren en de verkeerde tak van de inverse kiezen.
De inverse verwarren met $\dfrac{1}{f(x)}$ .

Actieve herhaling

Bepaal de inverse van $f(x)=3x-6$ en van $g(x)=\dfrac{1}{x+2}$ , en controleer beide met de samenstelling. Geef bij $g^{-1}$ het domein.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Grafiek van de inverse: spiegeling in y = x#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-B3

y = x² (x ≥ 0) en de inverse y = √x, gespiegeld in y = x

Afb. 3Afb. 1 — y = x² (x ≥ 0) en zijn inverse y = √x zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn y = x; (2; 4) spiegelt naar (4; 2).

De grafiek van

f^{-1}

is de spiegeling van de grafiek van

f

in de lijn

y=x

. De reden is het verwisselen van coördinaten: elk punt

(a,b)

van

f

wordt het punt

(b,a)

van

f^{-1}

, en

(a,b)

(b,a)

liggen precies symmetrisch ten opzichte van de lijn

y=x

. In Afb. 1 staan

f(x)=x^{2}

(beperkt tot

x\ge 0

) en zijn inverse

f^{-1}(x)=\sqrt{x}

; ze zijn elkaars spiegelbeeld in de stippellijn

y=x

. Je kunt de inverse dus tekenen zónder haar formule te kennen: spiegel eenvoudig de grafiek van

f

y=x

De spiegeling verwisselt alle kenmerken tussen de assen. Een snijpunt van

f

met de

y

-as,

(0,f(0))

, wordt een snijpunt van

f^{-1}

met de

x

-as; een nulpunt van

f

wordt een snijpunt van

f^{-1}

met de

y

-as. Een horizontale asymptoot

y=c

van

f

wordt een verticale asymptoot

x=c

van

f^{-1}

, en omgekeerd. Dit is precies zichtbaar bij de exponentiële functie en de logaritme: de exponentiële functie heeft de horizontale asymptoot

y=0

, de logaritme (haar inverse) heeft de verticale asymptoot

x=0

Een handig gevolg is dat snijpunten van

f

met de lijn

y=x

ook op

f^{-1}

liggen — sterker nog, op de spiegelas blijven punten op hun plaats. Als

f(a)=a

, dan is

(a,a)

een vast punt dat zowel op

f

als op

f^{-1}

ligt. Dit gebruik je soms om snijpunten van

f

f^{-1}

te vinden: die liggen (voor monotoon stijgende functies) op de lijn

y=x

, dus los je

f(x)=x

op. Zo verandert een lastige vergelijking

f(x)=f^{-1}(x)

in de veel eenvoudiger

f(x)=x

Omdat spiegelen in

y=x

de coördinaten verwisselt, verwisselen domein en bereik. Het domein van

f^{-1}

(de

x

-waarden waarvoor de inverse bestaat) is het bereik van

f

(de

y

-waarden die

f

aannam), en het bereik van

f^{-1}

is het domein van

f

. Voor

f(x)=\sqrt{x}

met domein

x\ge 0

en bereik

y\ge 0

is de inverse

f^{-1}(x)=x^{2}

met domein

x\ge 0

. Het klopt: op de grafiek zie je de wortelfunctie (die alleen in het eerste kwadraat leeft) spiegelen naar de halve parabool, die ook in het eerste kwadraat blijft.

Het spiegelbeeld in

y=x

is niet alleen een tekenmethode maar ook een controlemiddel. Heb je de inverse algebraïsch berekend, teken dan beide grafieken en de lijn

y=x

: liggen

f

f^{-1}

inderdaad symmetrisch, dan klopt je berekening; zo niet, dan is er een fout. Deze wisselwerking tussen de algebra (formule verwisselen en oplossen) en de meetkunde (spiegelen in

y=x

) is typerend voor wiskunde B: dezelfde inverse wordt op twee manieren begrepen, en de ene manier controleert de andere.

(a,b)\in \text{grafiek van } f\ \iff\ (b,a)\in \text{grafiek van } f^{-1}

Spiegeling in y = x

De inverse verwisselt de coördinaten; $(a,b)$ en $(b,a)$ liggen symmetrisch ten opzichte van $y=x$ .

D_{f^{-1}}=B_{f}\qquad B_{f^{-1}}=D_{f}

Domein en bereik verwisselen

Het domein van de inverse is het bereik van $f$ , en het bereik van de inverse is het domein van $f$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Snijpunt van f en zijn inverse

Gegeven de stijgende functie $f(x)=\sqrt{x+2}$ . Bepaal het snijpunt van $f$ met zijn inverse door gebruik te maken van de lijn $y=x$ .

Snijpunt ligt op y = x
Voor een monotoon stijgende functie liggen de snijpunten van $f$ en $f^{-1}$ op de lijn $y=x$ , dus los $f(x)=x$ op.
$\sqrt{x+2}=x$
Kwadrateren
Kwadrateer beide kanten (met $x\ge 0$ , want $\sqrt{\ }\ge 0$ ).
$x+2=x^{2}\;\Rightarrow\; x^{2}-x-2=0\;\Rightarrow\;(x-2)(x+1)=0$
Geldige oplossing kiezen
Van $x=2$ en $x=-1$ voldoet alleen $x=2$ aan $x\ge 0$ ; controleer: $\sqrt{2+2}=2$ . Klopt.

Resultaat: Het snijpunt van $f$ en $f^{-1}$ is $(2;\,2)$ , dat op de lijn $y=x$ ligt.

Veelgemaakte fouten

De grafiek van de inverse spiegelen in de $x$ -as of de $y$ -as in plaats van in de lijn $y=x$ .
Domein en bereik niet verwisselen bij het tekenen van de inverse.
Bij $f(x)=x^{-1}$ -achtige stappen (kwadrateren) de niet-geldige oplossing meenemen; controleer altijd terug.
Aannemen dat $f$ en $f^{-1}$ elkaar altijd op $y=x$ snijden — dat geldt voor stijgende functies, niet in het algemeen.

Actieve herhaling

Teken de grafiek van $f(x)=e^{x}$ en zijn inverse door spiegeling in $y=x$ , en geef de asymptoot van elk. Bepaal daarna algebraïsch de inverse van $f$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Inverse van exponentieel, logaritme, wortel en kwadraat#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-subdomein-B3

y = eˣ en de inverse y = ln x, gespiegeld in y = x

Afb. 4Afb. 1 — De exponentiële functie y = eˣ en haar inverse y = ln x, gespiegeld in y = x: (0; 1) spiegelt naar (1; 0), asymptoot y = 0 naar x = 0.

De belangrijkste inversenparen in wiskunde B zijn de exponentiële functie met de logaritme, en het kwadraat met de wortel. De natuurlijke logaritme

\ln

is per definitie de inverse van de

e

-macht:

\ln x=y

betekent

e^{y}=x

. Daarom geldt

\ln(e^{x})=x

e^{\ln x}=x

(voor

x>0

). In Afb. 1 staan

f(x)=e^{x}

f^{-1}(x)=\ln x

met de spiegellijn

y=x

: het snijpunt

(0,1)

van de exponentiële functie met de

y

-as spiegelt naar het snijpunt

(1,0)

van de logaritme met de

x

-as, en de horizontale asymptoot

y=0

spiegelt naar de verticale asymptoot

x=0

Deze inversenrelatie is het gereedschap om exponentiële vergelijkingen op te lossen. Uit

e^{x}=7

volgt

x=\ln 7

(je past de inverse

\ln

toe op beide leden); uit

\ln x=3

volgt

x=e^{3}

. Algemener geldt voor grondtal

g

: uit

g^{x}=b

volgt

x=\log_{g} b

. Zonder de logaritme zou je de exponent niet uit de macht kunnen halen; de logaritme is precies de inverse bewerking die dat mogelijk maakt. Dit gebruik je uitgebreid in het onderwerp vergelijkingen en ongelijkheden.

Het kwadraat en de wortel vormen het tweede paar, met de kanttekening van het domein. Omdat

f(x)=x^{2}

op heel

\mathbb{R}

niet injectief is, beperk je het domein tot

x\ge 0

; dan is de inverse

f^{-1}(x)=\sqrt{x}

. Op

x\ge 0

geldt

\sqrt{x^{2}}=x

(\sqrt{x})^{2}=x

. Zou je het domein tot

x\le 0

beperken, dan is de inverse

f^{-1}(x)=-\sqrt{x}

. Dit tekenprobleem — welke tak van de wortel je kiest — hangt af van het domein waarop je

f

omkeerbaar hebt gemaakt, en verdient bij elke opgave expliciete aandacht.

Ook andere machts- en wortelfuncties vormen inversenparen. De derdemacht

f(x)=x^{3}

is op heel

\mathbb{R}

injectief (overal stijgend), en zijn inverse is de derdemachtswortel

f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}

, zonder domeinbeperking. Algemener is de inverse van

x^{n}

n

-demachtswortel

x^{1/n}

, waarbij je bij even

n

het domein moet beperken (zoals bij het kwadraat) en bij oneven

n

niet. Dit sluit aan bij de gebroken exponenten uit het onderwerp vaardigheden: een wortel is een macht met exponent

\tfrac{1}{n}

, en machtsverheffen en worteltrekken zijn elkaars inverse.

Deze inversenparen verklaren tegelijk de spiegelsymmetrie van hun grafieken en leveren de rekenregels om ermee te werken. Kennen dat

\ln

e^{x}

elkaars inverse zijn, betekent dat je hun grafieken uit elkaar kunt afleiden, exponentiële vergelijkingen kunt oplossen én, in de differentiaalrekening, de afgeleide van de logaritme uit die van de exponentiële functie kunt halen. Zo is het inverse-begrip geen losstaand hoofdstukje maar een rode draad die de standaardfuncties, de vergelijkingen en de analyse met elkaar verbindt. Beheers de twee kernpasren (

e^{x}\leftrightarrow\ln x

x^{2}\leftrightarrow\sqrt{x}

) grondig; ze komen door heel wiskunde B terug.

\ln(e^{x})=x\qquad e^{\ln x}=x\ (x>0)

Exponentieel en logaritme

De $e$ -macht en de natuurlijke logaritme maken elkaar ongedaan; hiermee los je exponentiële en logaritmische vergelijkingen op.

f(x)=x^{2}\ (x\ge 0)\;\Rightarrow\; f^{-1}(x)=\sqrt{x}

Kwadraat en wortel

Beperk het domein tot $x\ge 0$ om het kwadraat omkeerbaar te maken; de inverse is de (positieve) wortel.

Uitgewerkt voorbeeld

Inverse van een exponentiële functie berekenen

Bepaal de inverse van $f(x)=e^{x-1}+2$ en geef het domein van $f^{-1}$ .

Verwisselen
Schrijf $y=e^{x-1}+2$ en verwissel $x$ en $y$ .
$x=e^{y-1}+2$
e-macht isoleren
Haal de $2$ naar links.
$x-2=e^{y-1}$
Logaritme nemen en oplossen
Neem $\ln$ van beide kanten (mag alleen als $x-2>0$ ) en los op naar $y$ .
$\ln(x-2)=y-1\;\Rightarrow\; f^{-1}(x)=\ln(x-2)+1$
Domein bepalen
Het argument van de logaritme moet positief zijn, dus $x-2>0$ . Dit is precies het bereik van $f$ (die waarden $>2$ aanneemt).
$D_{f^{-1}}:\; x>2$

Resultaat: $f^{-1}(x)=\ln(x-2)+1$ met domein $x>2$ (= het bereik van $f$ ).

Veelgemaakte fouten

Bij $x^{2}$ de domeinbeperking vergeten en zo een inverse opschrijven die niet eenduidig is.
De logaritme nemen van een niet-positief getal, of het domein van $f^{-1}$ (positief argument) vergeten.
$\ln(a+b)$ uitschrijven als $\ln a+\ln b$ ; de logaritme verdeelt zich niet over een som.
De volgorde van de inverse bewerkingen omdraaien (eerst $\ln$ nemen terwijl de $+2$ er nog bij staat).

Actieve herhaling

Bepaal de inverse van $f(x)=2\ln(x)+1$ (met $x>0$ ) en van $g(x)=(x-3)^{2}$ op het domein $x\ge 3$ . Geef bij elk het domein van de inverse.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde B (VWO)

Inverse functies

Kernpunten

Omkeerbaarheid onderzoeken

Kernpunten

Inverse berekenen en controleren

Kernpunten

Snijpunt van f en zijn inverse

Kernpunten

Inverse van een exponentiële functie berekenen

Bronnen