Samenvattingen · Wiskunde BNL · VWO

Functies, grafieken en samenstellen

Een grafiek is de meetkundige weergave van een functie; uit haar lees je nulpunten, snijpunten, symmetrie en stijg- en daalgedrag af. Daarnaast leer je functies samenstellen tot een kettingfunctie $f(g(x))$ — het idee dat straks de kettingregel voor differentiëren draagt — en het begrip even en oneven functies gebruiken om symmetrie te herkennen. Met deze gereedschappen schets en analyseer je functies zonder telkens puntsgewijs te rekenen.

4 Onderdelen~17 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·0444 / 16

Examenprofiel

B2 · Kenmerken van een grafiek bepalen: nulpunten, snijpunten, symmetrie, stijgen en dalenFuncties samenstellen tot een kettingfunctie f\circ gEven en oneven functies herkennen (f(-x)=f(x) resp. f(-x)=-f(x))Een grafiek schetsen uit gegeven kenmerken

Operatoren:bepaalberekentoon aanschetsonderzoekleg uitstel op

basisniveau

Grafieken lezen, functies samenstellen en symmetrie onderzoeken horen tot de centraal-examenstof van subdomein B2.

verhoogd niveau

Verdieping zit in het samenstellen van meer dan twee functies, het bepalen van het domein van een samengestelde functie en het combineren van symmetrie met transformaties.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Functies, grafieken en samenstellen

Grafieken lezen: nulpunten, snijpunten en gedrag#

Basisexamenblad-wiskunde-b-subdomein-B2

Uit een grafiek lees je een reeks kenmerken af die de functie beschrijven. De nulpunten zijn de

x

-waarden waar de grafiek de

x

-as snijdt; daar is

f(x)=0

. Het snijpunt met de

y

-as is

(0,f(0))

: je vindt het door

x=0

in te vullen. Waar de grafiek stijgt, neemt

f

toe; waar hij daalt, neemt

f

af; en op de toppen en dalen wisselt dat gedrag. Deze aflezingen zijn de brug tussen het algebraïsche voorschrift en het meetkundige beeld: een nulpunt in de grafiek is een oplossing van

f(x)=0

, een top is een (lokaal) maximum van de functiewaarden.

Het snijpunt van twee grafieken is de plek waar beide functies dezelfde waarde hebben, dus waar

f(x)=g(x)

. In Afb. 1 snijden

y=x^{2}

y=x+2

elkaar; algebraïsch los je

x^{2}=x+2

op, wat via

x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)=0

x

-waarden

2

-1

geeft. De bijbehorende punten zijn

(2,4)

(-1,1)

. Zo verbind je het meetkundige „waar kruisen de krommen?” met het algebraïsche „los de vergelijking

f(x)=g(x)

op”. Deze techniek gebruik je overal: bij het vinden van evenwichten, van gelijke kosten, of van de grenzen van een gearceerd gebied.

Snijpunten van y = x² en y = x + 2

Afb. 1Afb. 1 — De grafieken y = x² en y = x + 2 snijden elkaar waar x² = x + 2, dus in (−1; 1) en (2; 4).

Het stijg- en daalgedrag beschrijf je met intervallen. Je zegt bijvoorbeeld „

f

is stijgend op

\langle-\infty,-1\rangle

en dalend op

\langle-1,\infty\rangle

”, met open punthaken omdat de grens zelf (de top) noch stijgend noch dalend is. Een functie is monotoon stijgend op een interval als een grotere

x

altijd een grotere

f(x)

geeft. Deze taal — stijgend/dalend op een interval, (lokaal) maximum/minimum in een punt — is precies wat op het examen gevraagd wordt en wat je later met de afgeleide exact onderbouwt.

Symmetrie maakt een grafiek herkenbaar en het rekenwerk lichter. Een grafiek kan symmetrisch zijn in de

y

-as (het linker- en rechterdeel zijn elkaars spiegelbeeld) of puntsymmetrisch in de oorsprong (draai de grafiek

180^{\circ}

en hij valt op zichzelf). Een parabool is symmetrisch in zijn verticale symmetrieas; een derdegraadskromme als

y=x^{3}

is puntsymmetrisch in de oorsprong. Herken je symmetrie, dan hoef je maar de helft te onderzoeken en spiegel je de rest. In de volgende paragrafen maak je dit begrip precies met even en oneven functies.

Bij het lezen van een grafiek let je ook op asymptoten en op het domein. Een verticale asymptoot verraadt een verboden

x

-waarde (een noemer die nul wordt); een horizontale asymptoot toont naar welke waarde

f

voor grote

|x|

nadert. Het domein herken je aan waar de grafiek bestaat (een wortelfunctie begint bij een randpunt, een logaritme nadert een verticale asymptoot). Al deze kenmerken samen — nulpunten, snijpunten, gedrag, symmetrie, asymptoten, domein — vormen het complete „profiel” van een functie, dat je zowel uit een grafiek afleest als, omgekeerd, gebruikt om een grafiek te schetsen.

\text{nulpunt: } f(x)=0\qquad \text{snijpunt met de }y\text{-as: } (0,f(0))

Snijpunten met de assen

Een nulpunt los je op uit $f(x)=0$ ; het snijpunt met de $y$ -as vind je door $x=0$ in te vullen.

\text{snijpunt van twee grafieken: } f(x)=g(x)

Snijpunt van twee grafieken

Stel de functiewaarden gelijk en los op; de oplossingen zijn de $x$ -coördinaten van de snijpunten.

Uitgewerkt voorbeeld

Nulpunten en snijpunten berekenen

Gegeven $f(x)=x^{2}-2x-3$ en $g(x)=x-3$ . Bepaal de nulpunten van $f$ , het snijpunt met de $y$ -as, en de snijpunten van $f$ en $g$ .

Nulpunten van f
Los $f(x)=0$ op door te ontbinden.
$x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)=0\;\Rightarrow\; x=3\ \text{of}\ x=-1$
Snijpunt met de y-as
Bereken $f(0)$ .
$f(0)=-3\;\Rightarrow\;(0;\,-3)$
Snijpunten van f en g
Stel $f(x)=g(x)$ en los op.
$x^{2}-2x-3=x-3\;\Rightarrow\; x^{2}-3x=0\;\Rightarrow\; x(x-3)=0$
Snijpunten berekenen
Uit $x=0$ en $x=3$ volgen de bijbehorende $y$ -waarden met $g$ : $g(0)=-3$ en $g(3)=0$ .
$(0;\,-3)\ \text{en}\ (3;\,0)$

Resultaat: Nulpunten $x=-1$ en $x=3$ ; snijpunt met de $y$ -as $(0;-3)$ ; snijpunten van $f$ en $g$ in $(0;-3)$ en $(3;0)$ .

Veelgemaakte fouten

Bij het bepalen van een snijpunt alleen de $x$ -coördinaat geven en de $y$ -coördinaat vergeten.
Nulpunten (snijpunten met de $x$ -as, $f(x)=0$ ) verwarren met het snijpunt met de $y$ -as ( $x=0$ ).
Bij $f(x)=g(x)$ termen fout naar één kant halen, waardoor een oplossing verdwijnt.
Stijgen en dalen met gesloten intervalgrenzen noteren terwijl de top/dal zelf noch stijgt noch daalt.

Actieve herhaling

Gegeven $f(x)=x^{2}-4$ en $g(x)=-x+2$ . Bepaal de nulpunten van $f$ , het snijpunt met de $y$ -as en de snijpunten van $f$ en $g$ . Op welk interval is $f$ dalend?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Functies samenstellen (kettingfunctie)#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-B2

f∘g en g∘f zijn verschillend

Afb. 2Afb. 1 — Met f(u)=u² en g(x)=x+2: (f∘g)(x)=(x+2)² (top (−2; 0)) is niet gelijk aan (g∘f)(x)=x²+2 (top (0; 2)).

Twee functies kun je achter elkaar uitvoeren: je stopt de uitvoer van de ene in de andere. Dat heet samenstellen, en het resultaat is een kettingfunctie. De notatie

(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)

lees je als „eerst

g

, dan

f

”: je berekent eerst de binnenfunctie

g(x)

en past daar de buitenfunctie

f

op toe. Als

g(x)=x+2

f(u)=u^{2}

, dan is

(f\circ g)(x)=f(x+2)=(x+2)^{2}

. Het is een lopendebandidee: het getal

x

gaat door machine

g

en het resultaat vervolgens door machine

f

De volgorde is essentieel:

f\circ g

g\circ f

zijn in het algemeen verschillend. In Afb. 1 staan

(f\circ g)(x)=(x+2)^{2}

(g\circ f)(x)=x^{2}+2

voor dezelfde

f

g

: de eerste is de parabool

2

naar links geschoven (top

(-2,0)

), de tweede

2

omhoog (top

(0,2)

). Ze zijn dus echt niet gelijk. Bij het samenstellen let je daarom goed op wat de binnen- en wat de buitenfunctie is; verwissel je ze, dan krijg je een andere functie.

Samenstellen bereken je door substitutie: overal waar in de buitenfunctie de variabele staat, vul je de héle binnenfunctie in. Voor

f(u)=\sqrt{u}

g(x)=2x-1

(f\circ g)(x)=\sqrt{2x-1}

; voor

f(u)=e^{u}

g(x)=x^{2}

(f\circ g)(x)=e^{x^{2}}

. Werk de substitutie zorgvuldig uit, met haakjes om de binnenfunctie, zodat je bij een kwadraat of een teken niets verliest:

(f\circ g)(x)

met

f(u)=u^{2}-1

g(x)=x+3

geeft

(x+3)^{2}-1=x^{2}+6x+8

, niet

x^{2}-1+3

Omgekeerd is het vaak nuttig een ingewikkelde functie te ontleden in een binnen- en een buitenfunctie. Bij

h(x)=(3x^{2}+1)^{5}

herken je de binnenfunctie

g(x)=3x^{2}+1

en de buitenfunctie

f(u)=u^{5}

; bij

h(x)=\ln(\cos x)

is de binnenfunctie

\cos x

en de buitenfunctie

\ln u

. Dit „uit elkaar halen” is precies de vaardigheid die je nodig hebt voor de kettingregel: om

h'(x)

te vinden, differentieer je de buitenfunctie met de binnenkant onveranderd en vermenigvuldig je met de afgeleide van de binnenkant. Samenstellen is dus niet alleen een rekentruc maar de conceptuele voorbereiding op een van de belangrijkste differentieertechnieken.

Het domein van een samengestelde functie vraagt aandacht: een

x

mag alleen als

g(x)

in het domein van

f

valt. Voor

(f\circ g)(x)=\sqrt{2x-1}

moet het argument van de wortel niet-negatief zijn, dus

2x-1\ge 0

, oftewel

x\ge\tfrac{1}{2}

— ook al zou

g(x)=2x-1

zelf voor alle

x

bestaan. Je bepaalt het domein van de kettingfunctie dus door zowel de eisen van de binnen- als van de buitenfunctie te respecteren. Deze zorgvuldigheid voorkomt dat je later oplossingen meeneemt die eigenlijk buiten het domein vallen.

(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)

Samenstellen

Eerst de binnenfunctie $g$ , dan de buitenfunctie $f$ ; substitueer de héle binnenfunctie in $f$ .

(f\circ g)(x)\neq (g\circ f)(x)\ \text{in het algemeen}

Volgorde telt

Samenstellen is niet commutatief: de volgorde van binnen- en buitenfunctie bepaalt het resultaat.

Uitgewerkt voorbeeld

Samenstellen en het domein bepalen

Gegeven $f(u)=\sqrt{u}$ en $g(x)=6-2x$ . Bepaal $(f\circ g)(x)$ en $(g\circ f)(x)$ , en geef het domein van $(f\circ g)$ .

f∘g: g in f invullen
Vervang $u$ in $\sqrt{u}$ door $6-2x$ .
$(f\circ g)(x)=\sqrt{6-2x}$
g∘f: f in g invullen
Vervang $x$ in $6-2x$ door $\sqrt{x}$ .
$(g\circ f)(x)=6-2\sqrt{x}$
Domein van f∘g
Het argument van de wortel moet niet-negatief zijn.
$6-2x\ge 0\;\Rightarrow\; x\le 3$

Resultaat: $(f\circ g)(x)=\sqrt{6-2x}$ met domein $x\le 3$ ; $(g\circ f)(x)=6-2\sqrt{x}$ (domein $x\ge 0$ ).

Veelgemaakte fouten

De volgorde omdraaien: $(f\circ g)$ betekent eerst $g$ , dan $f$ — niet andersom.
Bij het invullen de haakjes vergeten, zodat $(x+3)^{2}-1$ fout als $x^{2}-1+3$ wordt uitgewerkt.
Het domein van de samengestelde functie gelijkstellen aan dat van de binnenfunctie en de eis van de buitenfunctie vergeten.
Aannemen dat $f\circ g=g\circ f$ ; dat geldt in het algemeen niet.

Actieve herhaling

Gegeven $f(u)=u^{2}+1$ en $g(x)=x-3$ . Bepaal $(f\circ g)(x)$ en $(g\circ f)(x)$ , werk beide volledig uit en ga na of ze gelijk zijn. Ontleed daarna $h(x)=\sqrt{x^{2}+4}$ in een binnen- en een buitenfunctie.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Even en oneven functies#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-B2

Een even functie: y = x⁴ − 4x²

Afb. 3Afb. 1 — De even functie f(x) = x⁴ − 4x² is symmetrisch in de y-as: dalen bij x = ±√2, nulpunten bij x = 0 en x = ±2.

Een functie is even als

f(-x)=f(x)

voor alle

x

in het domein. Meetkundig betekent dit dat de grafiek symmetrisch is in de

y

-as: het linker- en rechterdeel zijn elkaars spiegelbeeld. In Afb. 1 staat de even functie

f(x)=x^{4}-4x^{2}

; het deel links van de

y

-as is de spiegeling van het deel rechts. Typische even functies zijn

y=x^{2}

y=x^{4}

y=|x|

y=\cos x

. De naam „even” komt van de machtsfuncties:

x^{n}

met

n

even is een even functie, want

(-x)^{n}=x^{n}

Een functie is oneven als

f(-x)=-f(x)

voor alle

x

. Meetkundig is de grafiek dan puntsymmetrisch in de oorsprong: draai je hem

180^{\circ}

om de oorsprong, dan valt hij op zichzelf. Typische oneven functies zijn

y=x

y=x^{3}

y=\dfrac{1}{x}

y=\sin x

. Ook hier verklaart de macht de naam:

x^{n}

met

n

oneven is een oneven functie, want

(-x)^{n}=-x^{n}

. Merk op: als een oneven functie in

0

gedefinieerd is, dan moet

f(0)=0

zijn, want

f(0)=-f(0)

kan alleen als

f(0)=0

Om te onderzoeken of een functie even, oneven of geen van beide is, bereken je

f(-x)

en vergelijk je het met

f(x)

en met

-f(x)

. Voor

f(x)=x^{4}-4x^{2}

geldt

f(-x)=(-x)^{4}-4(-x)^{2}=x^{4}-4x^{2}=f(x)

: even. Voor

g(x)=x^{3}-x

geldt

g(-x)=-x^{3}+x=-(x^{3}-x)=-g(x)

: oneven. Voor

h(x)=x^{2}+x

h(-x)=x^{2}-x

, wat noch

h(x)

noch

-h(x)

is: geen van beide. De meeste functies zijn geen van beide; even of oneven zijn is de uitzondering, en juist daarom nuttig als je het herkent.

Deze symmetrie is een krachtige rekenbesparing. Ken je een even functie op de positieve

x

-as, dan weet je haar meteen op de negatieve helft (spiegelen in de

y

-as). Ken je een oneven functie op

[0,\infty\rangle

, dan volgt de rest door puntspiegeling. Bij het schetsen hoef je zo maar de helft te bepalen. Ook bij het integreren is symmetrie handig: de integraal van een oneven functie over een symmetrisch interval

[-a,a]

is nul, want het positieve en het negatieve deel heffen elkaar op — een inzicht dat je in de integraalrekening tegenkomt.

Even en oneven functies hangen samen met de transformatie „spiegelen”. Even zijn betekent dat spiegelen in de

y

-as niets verandert (

f(-x)=f(x)

); oneven zijn betekent dat spiegelen in de

y

-as hetzelfde effect heeft als spiegelen in de

x

-as (

f(-x)=-f(x)

). Zo is dit begrip de precieze, algebraïsche formulering van de meetkundige symmetrieën uit het onderwerp standaardfuncties. In examenopgaven wordt symmetrie vaak gebruikt om een bewering te onderbouwen („toon aan dat de grafiek symmetrisch is in de

y

-as”) of om een berekening te vereenvoudigen; het paraat hebben van de definities en de standaardvoorbeelden is dan het halve werk.

\text{even: } f(-x)=f(x)\ \text{(symmetrisch in de }y\text{-as)}

Even functie

De functiewaarde verandert niet als je $x$ door $-x$ vervangt; de grafiek is symmetrisch in de $y$ -as.

\text{oneven: } f(-x)=-f(x)\ \text{(puntsymmetrisch in de oorsprong)}

Oneven functie

De functiewaarde wisselt van teken als je $x$ door $-x$ vervangt; de grafiek is puntsymmetrisch in de oorsprong.

Uitgewerkt voorbeeld

Onderzoeken op even en oneven

Onderzoek voor $f(x)=x^{3}-4x$ en $g(x)=x^{2}+2x$ of ze even, oneven of geen van beide zijn.

f(−x) berekenen
Vervang $x$ door $-x$ en let op de haakjes bij de oneven macht.
$f(-x)=(-x)^{3}-4(-x)=-x^{3}+4x$
Vergelijken met −f(x)
Bereken $-f(x)$ en vergelijk.
$-f(x)=-(x^{3}-4x)=-x^{3}+4x=f(-x)\;\Rightarrow\; f\ \text{oneven}$
g(−x) berekenen en vergelijken
Doe hetzelfde voor $g$ .
$g(-x)=x^{2}-2x\neq g(x)\ \text{en}\ \neq -g(x)\;\Rightarrow\; g\ \text{geen van beide}$

Resultaat: $f$ is oneven (puntsymmetrisch in de oorsprong); $g$ is noch even noch oneven.

Veelgemaakte fouten

De haakjes bij $(-x)^{n}$ fout uitwerken, bijvoorbeeld $(-x)^{3}=x^{3}$ in plaats van $-x^{3}$ .
Concluderen dat elke functie even of oneven is; de meeste zijn geen van beide.
Even en oneven verwisselen (symmetrie in de $y$ -as is even, puntsymmetrie in de oorsprong is oneven).
Bij een oneven functie vergeten dat $f(0)=0$ moet gelden als $0$ in het domein ligt.

Actieve herhaling

Onderzoek of $f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}$ even, oneven of geen van beide is, en geef de meetkundige betekenis. Doe hetzelfde voor $g(x)=\cos x + 1$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Grafieken schetsen uit kenmerken#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-B2

Schets van f(x) = x³ − 4x met alle kenmerken

Afb. 4Afb. 1 — f(x) = x³ − 4x: nulpunten −2, 0, 2; top (−1,15; 3,08) en dal (1,15; −3,08); puntsymmetrisch in de oorsprong.

Een grafiek schetsen is niet puntsgewijs tekenen maar een vloeiende kromme neerzetten die alle bekende kenmerken correct weergeeft. Je verzamelt eerst de kenmerken uit het voorschrift: het domein, de nulpunten (los

f(x)=0

op), het snijpunt met de

y

-as (

f(0)

), de toppen en dalen, de asymptoten en de symmetrie. In Afb. 1 staat

f(x)=x^{3}-4x

: nulpunten bij

x=-2,0,2

, een top links en een dal rechts, en puntsymmetrie in de oorsprong (het is een oneven functie). Met die kenmerken teken je de kromme met vertrouwen.

De volgorde bij het schetsen is: zet eerst de „vaste bouwstenen” neer — de asymptoten (als stippellijnen), de snijpunten met de assen en de toppen/dalen — en trek dan de kromme daar vloeiend doorheen, rekening houdend met het stijg- en daalgedrag. Voor

f(x)=x^{3}-4x

betekent dit: markeer

(-2,0)

(0,0)

(2,0)

op de

x

-as, de top ongeveer bij

(-1{,}15;\,3{,}08)

en het dal bij

(1{,}15;\,-3{,}08)

, en verbind ze met een gladde derdegraadskromme die van linksonder naar rechtsboven loopt. Zo krijgt de schets meteen de juiste globale vorm.

Het gedrag „aan de uiteinden” (voor grote

|x|

) bepaalt hoe de kromme wegloopt. Bij een veelterm kijk je naar de hoogste-graadsterm: bij

f(x)=x^{3}-4x

domineert

x^{3}

, dus

f\to+\infty

als

x\to+\infty

f\to-\infty

als

x\to-\infty

. Bij een gebroken functie loopt de kromme naar de horizontale asymptoot; bij een exponentiële functie naar haar horizontale asymptoot aan één kant en onbegrensd aan de andere. Dit eindgedrag voorkomt dat je schets „de verkeerde kant op” buigt en is vooral belangrijk als de opgave geen assenverdeling geeft.

Symmetrie halveert het werk en voorkomt fouten. Weet je dat

f

oneven is (zoals

x^{3}-4x

), dan hoef je alleen de rechterhelft goed te bepalen en spiegel je puntsgewijs door de oorsprong voor de linkerhelft. Weet je dat

f

even is, dan spiegel je in de

y

-as. Controleer je schets altijd tegen de symmetrie: is de grafiek van een even functie inderdaad een spiegelbeeld in de

y

-as? Zo niet, dan zit er een fout in een van de kenmerken. Deze controle is een gratis kwaliteitscontrole op je eigen tekening.

Een goede schets is meer dan een plaatje: hij toont dat je de functie begrijpt en helpt je bij het beantwoorden van vervolgvragen. Uit een correcte schets lees je af hoeveel oplossingen een vergelijking

f(x)=c

heeft (het aantal snijpunten met de horizontale lijn

y=c

), waar een ongelijkheid

f(x)>0

geldt (waar de grafiek boven de

x

-as ligt) en waar de functie haar grootste of kleinste waarde bereikt. De schets is daarmee een redeneermiddel. Op het examen wordt vaak expliciet om een schets gevraagd, met de bijbehorende kenmerken erin; een nette schets met gemarkeerde nulpunten, toppen en asymptoten levert de volledige score op.

\text{kenmerken: domein, nulpunten, } f(0),\ \text{toppen/dalen, asymptoten, symmetrie}

Checklist voor een schets

Verzamel deze kenmerken uit het voorschrift voordat je de kromme tekent.

f(x)=x^{3}-4x:\ \text{nulpunten }x=-2,0,2;\ \text{oneven (puntsymmetrisch)}

Voorbeeldkenmerken

Uit deze kenmerken volgt de globale vorm; de toppen liggen bij $x=\pm\tfrac{2}{\sqrt{3}}\approx\pm 1{,}15$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Kenmerken verzamelen voor een schets

Verzamel de kenmerken van $f(x)=x^{3}-3x^{2}$ die je nodig hebt voor een schets: nulpunten, snijpunt met de $y$ -as, en het eindgedrag.

Nulpunten
Ontbind $f(x)=x^{2}(x-3)$ en los $f(x)=0$ op.
$x^{2}(x-3)=0\;\Rightarrow\; x=0\ (\text{dubbel})\ \text{of}\ x=3$
Snijpunt met de y-as
Bereken $f(0)$ .
$f(0)=0\;\Rightarrow\;(0;\,0)$
Eindgedrag
De hoogste-graadsterm $x^{3}$ domineert.
$x\to+\infty:\ f\to+\infty;\qquad x\to-\infty:\ f\to-\infty$

Resultaat: Nulpunten $x=0$ (raakt de as, dubbel) en $x=3$ ; snijpunt met de $y$ -as $(0;0)$ ; de kromme loopt van linksonder naar rechtsboven.

Veelgemaakte fouten

Puntsgewijs tekenen zonder de globale vorm (eindgedrag, symmetrie) te bepalen, waardoor de kromme de verkeerde kant op buigt.
Een dubbel nulpunt als gewoon snijpunt tekenen in plaats van als raakpunt met de $x$ -as.
De asymptoten vergeten te tekenen bij een gebroken functie, of ze als deel van de grafiek opvatten.
Toppen en dalen op willekeurige plaatsen zetten in plaats van ze (later met de afgeleide) te berekenen.

Actieve herhaling

Verzamel de kenmerken van $f(x)=-x^{3}+3x$ (nulpunten, snijpunt met de $y$ -as, symmetrie, eindgedrag) en schets de grafiek. Hoeveel oplossingen heeft $f(x)=1$ ?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde B (VWO)

Functies, grafieken en samenstellen

Kernpunten

Nulpunten en snijpunten berekenen

Kernpunten

Samenstellen en het domein bepalen

Kernpunten

Onderzoeken op even en oneven

Kernpunten

Kenmerken verzamelen voor een schets

Bronnen