Samenvattingen · Wiskunde BNL · VWO

Asymptoten en limietgedrag van functies

Een asymptoot is een lijn die de grafiek van een functie steeds dichter nadert zonder haar te bereiken. Verticale asymptoten ontstaan waar een noemer nul wordt, horizontale asymptoten beschrijven het gedrag voor grote $|x|$ , en schuine asymptoten treden op bij gebroken functies waarvan de teller één graad hoger is dan de noemer. Samen met perforaties en het limietgedrag van exponentiële en logaritmische functies vormen asymptoten het gereedschap om te beschrijven hoe een functie zich „aan de randen” gedraagt.

4 Onderdelen~17 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 2 · Verdieping 2

T·0777 / 16

Examenprofiel

Verticale asymptoten bepalen (noemer nul)Horizontale asymptoten en het gedrag voor x→\pm∞Schuine asymptoten van gebroken functiesPerforaties en het limietgedrag van exponentiële en logaritmische functies

Operatoren:bepaalberekentoon aanbeschrijfleg uitonderzoek

basisniveau

Het bepalen van verticale en horizontale asymptoten en het beschrijven van limietgedrag horen tot de centraal-examenstof van domein B.

verhoogd niveau

Verdieping zit in schuine asymptoten via staartdeling, in het onderscheiden van een perforatie van een verticale asymptoot, en in het precies formuleren van limietgedrag.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Asymptoten en limietgedrag van functies

Verticale asymptoten#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-domein-B

Een verticale asymptoot is een verticale lijn

x=a

die de grafiek nadert doordat de functiewaarden bij

x=a

naar

+\infty

-\infty

lopen. Bij een gebroken functie ontstaat zo'n asymptoot waar de noemer nul wordt terwijl de teller dat niet is: dan wordt de breuk „oneindig groot”. In Afb. 1 zie je

f(x)=\dfrac{1}{x-2}

: de noemer is nul bij

x=2

, dus daar ligt de verticale asymptoot. Vlak links van

2

x-2

een klein negatief getal, waardoor

f

naar

-\infty

duikt; vlak rechts een klein positief getal, waardoor

f

naar

+\infty

schiet.

Verticale asymptoot van f(x) = 1/(x − 2)

Afb. 1Afb. 1 — f(x) = 1/(x − 2) heeft een verticale asymptoot x = 2 (noemer nul) en een horizontale asymptoot y = 0. De twee takken zijn gescheiden.

Je vindt de verticale asymptoten dus door de noemer nul te stellen en op te lossen — mits de teller op diezelfde plek niet ook nul is (dat geeft een perforatie, zie verderop). Voor

f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}

is de noemer nul bij

x=3

, en omdat de teller daar

2\cdot 3+1=7\neq 0

is, ligt bij

x=3

een echte verticale asymptoot. Het domein van de functie sluit deze

x

-waarde uit:

x\neq 3

. Verticale asymptoten markeren dus precies de verboden

x

-waarden van een gebroken functie.

Bij het naderen van een verticale asymptoot beschrijf je het gedrag met eenzijdige limieten: „als

x\downarrow 2

dan

f(x)\to+\infty

” en „als

x\uparrow 2

dan

f(x)\to-\infty

”. Welke kant het opgaat, bepaal je door het teken van teller en noemer vlak naast de asymptoot te bekijken. Deze eenzijdige beschrijving is belangrijk omdat de grafiek aan weerszijden van de asymptoot vaak de tegengestelde kant opgaat, zoals bij

\dfrac{1}{x-2}

: linksonder, rechtsboven. Een correcte schets tekent beide takken los, elk tegen de asymptoot aan.

Niet alleen gebroken functies hebben verticale asymptoten. De logaritmische functie

y=\ln(x)

heeft er een bij

x=0

: als

x\downarrow 0

gaat

\ln x\to-\infty

. Bij een samengestelde functie als

y=\ln(x-4)

verschuift die asymptoot mee naar

x=4

(want het argument

x-4

moet positief zijn). Ook de tangensfunctie heeft verticale asymptoten (waar de cosinus nul wordt). Telkens hoort de verticale asymptoot bij een

x

-waarde waar de functie niet gedefinieerd is en waar de waarden onbegrensd groot worden.

Verticale asymptoten teken je als stippellijnen; ze horen niet bij de grafiek zelf maar zijn een hulplijn die het gedrag toont. Bij het schetsen zet je ze eerst neer, samen met eventuele horizontale asymptoten, en trek je dan de takken van de kromme er netjes tegenaan. Een veelgemaakte fout is de twee takken van een gebroken functie met een doorlopende lijn over de asymptoot heen te verbinden; dat is fout, want ter plaatse van de asymptoot bestaat de functie niet. De asymptoot is een grens die de grafiek nadert maar nooit oversteekt op die plek.

\text{verticale asymptoot } x=a:\ \text{noemer}(a)=0,\ \text{teller}(a)\neq 0

Verticale asymptoot

Stel de noemer nul en controleer dat de teller daar niet ook nul is (anders een perforatie).

x\downarrow 2:\ \tfrac{1}{x-2}\to+\infty\qquad x\uparrow 2:\ \tfrac{1}{x-2}\to-\infty

Eenzijdig limietgedrag

Het teken van de noemer vlak naast de asymptoot bepaalt naar welke oneindigheid de grafiek loopt.

Uitgewerkt voorbeeld

Verticale asymptoot en domein bepalen

Bepaal de verticale asymptoot en het domein van $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$ , en beschrijf het gedrag vlak links en rechts van de asymptoot.

Noemer nul stellen
De verticale asymptoot ligt waar de noemer nul is.
$x-3=0\;\Rightarrow\; x=3$
Teller controleren en domein
De teller is bij $x=3$ gelijk aan $2\cdot 3+1=7\neq 0$ , dus echt een asymptoot; het domein is $x\neq 3$ .
Gedrag rond x = 3
Vlak rechts van $3$ is de noemer klein positief en de teller $\approx 7$ , dus $f\to+\infty$ ; vlak links is de noemer klein negatief, dus $f\to-\infty$ .

Resultaat: Verticale asymptoot $x=3$ , domein $x\neq 3$ ; $x\downarrow 3\Rightarrow f\to+\infty$ , $x\uparrow 3\Rightarrow f\to-\infty$ .

Veelgemaakte fouten

De twee takken van een gebroken functie over de asymptoot heen verbinden tot één doorlopende lijn.
Een verticale asymptoot aannemen waar teller én noemer nul zijn (dat is een perforatie, geen asymptoot).
De asymptoot als deel van de grafiek tekenen in plaats van als hulp-stippellijn.
Het gedrag aan beide zijden hetzelfde veronderstellen, terwijl de takken vaak tegengesteld weglopen.

Actieve herhaling

Bepaal de verticale asymptoot en het domein van $f(x)=\dfrac{5}{x+4}$ en van $g(x)=\dfrac{x}{x^{2}-9}$ . Beschrijf bij $f$ het gedrag vlak links en rechts van de asymptoot.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Horizontale asymptoten en gedrag op oneindig#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-domein-B

Horizontale asymptoot van f(x) = 2x²/(x² + 1)

Afb. 2Afb. 1 — f(x) = 2x²/(x² + 1) nadert de horizontale asymptoot y = 2 voor grote |x|; in (0; 0) ligt het minimum.

Een horizontale asymptoot

y=c

beschrijft naar welke waarde de functie nadert als

x

heel groot of heel klein (naar

\pm\infty

) wordt. Je onderzoekt dit door te kijken wat er met de functiewaarde gebeurt voor grote

|x|

. In Afb. 1 staat

f(x)=\dfrac{2x^{2}}{x^{2}+1}

: voor grote

|x|

tellen de

+1

in de noemer en het verschil tussen teller en noemer nauwelijks nog mee, zodat

f(x)

steeds dichter bij

2

komt. De horizontale asymptoot is

y=2

, en de grafiek nadert die van onderaf zonder haar te bereiken.

Bij een gebroken functie

\dfrac{\text{teller}}{\text{noemer}}

bepaal je de horizontale asymptoot door de graden van teller en noemer te vergelijken. Zijn ze even hoog, dan is de asymptoot de verhouding van de kopcoëfficiënten: voor

\dfrac{2x^{2}}{x^{2}+1}

is dat

\dfrac{2}{1}=2

. Is de teller van lagere graad dan de noemer, dan is de asymptoot

y=0

(de noemer wint en de breuk gaat naar nul). Is de teller van hogere graad, dan is er geen horizontale maar mogelijk een schuine asymptoot (volgende paragraaf). Deze gradenvergelijking is de snelste manier om de horizontale asymptoot te vinden.

Het gedrag op oneindig noteer je met limieten:

\lim_{x\to\infty}f(x)=2

betekent dat

f

voor grote

x

naar

2

nadert. Vaak zijn de limieten naar

+\infty

en naar

-\infty

gelijk (dezelfde horizontale asymptoot aan beide kanten), maar dat hoeft niet. De exponentiële functie

y=e^{x}

heeft bijvoorbeeld

\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0

(asymptoot

y=0

aan de linkerkant) maar

\lim_{x\to\infty}e^{x}=\infty

(geen asymptoot rechts). Beschrijf daarom altijd beide kanten apart als ze verschillen.

Een horizontale asymptoot mag, anders dan een verticale, door de grafiek gesneden worden — hij beschrijft alleen het gedrag „ver weg”, niet dichtbij. Zo kan een functie haar horizontale asymptoot

y=2

dichtbij de oorsprong best kruisen en pas voor grote

|x|

er blijvend naartoe lopen. Dit onderscheid is belangrijk: bij een verticale asymptoot bestaat de functie niet en gaat ze naar oneindig; bij een horizontale asymptoot bestaat de functie overal en nadert ze alleen op de lange termijn een waarde.

Horizontale asymptoten hebben een duidelijke betekenis in toepassingen: ze geven de „verzadigingswaarde” of het „eindniveau” van een model. Een afkoelmodel

T(t)=20+30e^{-0{,}1t}

heeft de horizontale asymptoot

T=20

: op lange termijn koelt het voorwerp af tot de omgevingstemperatuur van

20

graden. Een groeimodel dat een maximum nadert, heeft dat maximum als horizontale asymptoot. Het herkennen en interpreteren van de horizontale asymptoot als „waar het naartoe gaat” is daarmee niet alleen wiskundige techniek maar ook een manier om een model te lezen.

\lim_{x\to\infty} f(x)=c\ \Rightarrow\ \text{horizontale asymptoot } y=c

Horizontale asymptoot als limiet

De horizontale asymptoot is de waarde die $f$ nadert voor grote $|x|$ .

\text{gelijke graden: } y=\frac{\text{kopcoëfficiënt teller}}{\text{kopcoëfficiënt noemer}}

Gradenregel voor gebroken functies

Bij gelijke graden is de asymptoot de verhouding van de kopcoëfficiënten; lagere tellergraad geeft $y=0$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Horizontale asymptoot via de gradenregel

Bepaal de horizontale asymptoot van $f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$ en van $g(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}+4}$ .

f: gelijke graden
Teller en noemer hebben beide graad $1$ ; de asymptoot is de verhouding van de kopcoëfficiënten.
$y=\frac{3}{1}=3$
g: teller van lagere graad
De teller heeft graad $1$ , de noemer graad $2$ ; de noemer wint, dus de breuk gaat naar nul.
$\lim_{x\to\pm\infty} g(x)=0\;\Rightarrow\; y=0$

Resultaat: $f$ heeft horizontale asymptoot $y=3$ ; $g$ heeft horizontale asymptoot $y=0$ .

Veelgemaakte fouten

De horizontale asymptoot verwarren met de verticale; de horizontale hoort bij $x\to\pm\infty$ , de verticale bij een noemer die nul wordt.
Bij ongelijke graden toch een verhouding van kopcoëfficiënten geven (bij lagere tellergraad is de asymptoot $y=0$ , bij hogere geen horizontale).
Aannemen dat de grafiek de horizontale asymptoot nooit mag snijden (dichtbij mag dat wel).
Vergeten beide kanten ( $+\infty$ en $-\infty$ ) te bekijken als ze verschillen.

Actieve herhaling

Bepaal de horizontale asymptoot van $f(x)=\dfrac{4x^{2}-1}{2x^{2}+3}$ , van $g(x)=\dfrac{5}{x^{2}+1}$ en beschrijf het limietgedrag van $h(x)=3+2e^{-x}$ voor $x\to\pm\infty$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Schuine asymptoten#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-domein-B

Schuine asymptoot van f(x) = x + 1/x

Afb. 3Afb. 1 — f(x) = x + 1/x = (x² + 1)/x heeft verticale asymptoot x = 0 en schuine asymptoot y = x. De rest 1/x meet het verschil met y = x.

Wanneer bij een gebroken functie de teller precies één graad hoger is dan de noemer, is er geen horizontale maar een schuine asymptoot: een scheve rechte lijn

y=ax+b

die de grafiek voor grote

|x|

nadert. In Afb. 1 staat

f(x)=x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^{2}+1}{x}

: de teller heeft graad

2

, de noemer graad

1

, en de schuine asymptoot is

y=x

. Voor grote

|x|

wordt de term

\dfrac{1}{x}

verwaarloosbaar klein, zodat

f(x)

nauwelijks van

y=x

verschilt en de grafiek de lijn

y=x

steeds dichter nadert.

De schuine asymptoot vind je door de gebroken functie te herschrijven als „een veelterm plus een rest die naar nul gaat”, meestal via een staartdeling. Voor

f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}

deel je de teller op de noemer:

\dfrac{x^{2}+1}{x}=x+\dfrac{1}{x}

. Het gedeelte

x

is de schuine asymptoot; de rest

\dfrac{1}{x}

gaat naar nul voor grote

|x|

en meet het verschil tussen de grafiek en de asymptoot. Bij een ingewikkelder breuk als

\dfrac{2x^{2}-3x+1}{x-1}

levert de staartdeling

2x-1+\dfrac{0}{x-1}

... — je deelt net zolang tot de rest een lagere graad dan de noemer heeft.

De term die je na de deling overhoudt (de „rest” gedeeld door de noemer) bepaalt aan welke kant de grafiek de asymptoot nadert. Is die rest positief voor grote

x

, dan ligt de grafiek net boven de asymptoot; is hij negatief, dan eronder. Voor

f(x)=x+\dfrac{1}{x}

\dfrac{1}{x}>0

voor

x>0

, dus rechts ligt de grafiek boven

y=x

; voor

x<0

\dfrac{1}{x}<0

, dus links eronder. Deze fijnere analyse hoort bij een nette beschrijving van het gedrag rond een schuine asymptoot.

Een gebroken functie kan tegelijk een verticale én een schuine asymptoot hebben. Bij

f(x)=x+\dfrac{1}{x}

ligt de verticale asymptoot bij

x=0

(noemer nul) en de schuine bij

y=x

. Bij het schetsen zet je beide stippellijnen neer en teken je de twee takken ertegenaan: elke tak nadert dichtbij

x=0

de verticale asymptoot en ver weg de schuine asymptoot. Zo krijgt de grafiek van zo'n functie haar karakteristieke vorm van twee takken die elk in een „hoek” tussen de asymptoten liggen.

Schuine asymptoten laten zien dat „het gedrag op oneindig” niet altijd een horizontale lijn is: soms groeit de functie mee met een schuine lijn. Het onderscheid tussen horizontaal en schuin volgt rechtstreeks uit de graden van teller en noemer — gelijke graden geven horizontaal, teller één hoger geeft schuin, teller twee of meer hoger geeft een kromme (parabolische) benadering die buiten het examenprogramma valt. Het beheersen van de staartdeling en de gradenanalyse stelt je in staat elke gebroken functie uit het programma volledig te beschrijven: haar verticale asymptoot(en), haar horizontale of schuine asymptoot, en de kant waarlangs ze die nadert.

\frac{x^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}\;\Rightarrow\;\text{schuine asymptoot } y=x

Schuine asymptoot via deling

Herschrijf de breuk als veelterm plus rest; het veeltermdeel is de schuine asymptoot, de rest gaat naar nul.

\text{teller één graad hoger dan noemer} \Rightarrow \text{schuine asymptoot}

Wanneer schuin

Gelijke graden geven een horizontale asymptoot; een teller die één graad hoger is, geeft een schuine.

Uitgewerkt voorbeeld

Schuine asymptoot via staartdeling

Bepaal de schuine asymptoot van $f(x)=\dfrac{x^{2}+3x}{x+1}$ .

Staartdeling opzetten
Deel $x^{2}+3x$ op $x+1$ : hoeveel keer past $x+1$ in $x^{2}+3x$ ?
$x^{2}+3x=(x+1)\cdot x + (2x)$
Verder delen
Deel de rest $2x$ verder: $2x=(x+1)\cdot 2 + (-2)$ .
$\frac{x^{2}+3x}{x+1}=x+2-\frac{2}{x+1}$
Asymptoot aflezen
Het veeltermdeel is de schuine asymptoot; de rest $-\dfrac{2}{x+1}$ gaat naar nul.
$y=x+2$

Resultaat: De schuine asymptoot is $y=x+2$ (met verticale asymptoot $x=-1$ ).

Veelgemaakte fouten

Een horizontale asymptoot zoeken terwijl de teller een graad hoger is dan de noemer (dan is er een schuine).
De staartdeling fout uitvoeren of te vroeg stoppen (deel tot de rest een lagere graad dan de noemer heeft).
De rest bij de asymptoot laten staan; de asymptoot is alleen het veeltermdeel.
De verticale asymptoot vergeten bij een functie die er zowel een schuine als een verticale heeft.

Actieve herhaling

Bepaal met een staartdeling de schuine asymptoot van $f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-1}$ , en geef ook de verticale asymptoot.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Perforaties en limietgedrag van exp en log#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-domein-B

Exponentieel verval naar een horizontale asymptoot

Afb. 4Afb. 1 — f(x) = e⁻ˣ + 2 nadert de horizontale asymptoot y = 2 van bovenaf; het verschil e⁻ˣ wordt verwaarloosbaar klein voor grote x.

Een perforatie (opheffbare discontinuïteit) is een enkel „gaatje” in een verder gladde grafiek. Ze ontstaat waar teller én noemer van een breuk tegelijk nul worden, zodat je de gemeenschappelijke factor kunt wegdelen. Bij

f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1

(voor

x\neq 1

) valt de factor

x-1

weg; de functie gedraagt zich overal als de lijn

y=x+1

, behalve dat

x=1

verboden blijft (de oorspronkelijke noemer was daar nul). Er is dus geen verticale asymptoot bij

x=1

maar een perforatie: één ontbrekend punt,

(1,2)

, in een verder rechte lijn.

Het onderscheid tussen een perforatie en een verticale asymptoot is essentieel en hangt af van of de teller wel of niet mee nul wordt. Wordt bij de nulwaarde van de noemer óók de teller nul, dan kun je de factor wegdelen en ontstaat een perforatie; blijft de teller ongelijk aan nul, dan is het een echte verticale asymptoot met onbegrensd gedrag. Bij het analyseren van een gebroken functie controleer je daarom altijd of teller en noemer een gemeenschappelijke factor hebben: eerst ontbinden, dan wegdelen, en pas daarna de resterende asymptoten bepalen.

Het limietgedrag van de exponentiële functie is eenzijdig:

\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0

(horizontale asymptoot

y=0

aan de linkerkant), terwijl

\lim_{x\to\infty}e^{x}=\infty

(rechts groeit ze onbegrensd). Bij exponentieel verval is het andersom:

y=e^{-x}

gaat naar

0

voor

x\to\infty

. In Afb. 1 staat

f(x)=e^{-x}+2

, een dalende exponentiële functie die de horizontale asymptoot

y=2

van bovenaf nadert: naarmate

x

groeit, wordt

e^{-x}

verwaarloosbaar klein en blijft de waarde

2

over. Zo modelleert een verschoven exponentiële functie het naderen van een eindniveau.

De logaritmische functie heeft het spiegelbeeldige gedrag, passend bij haar rol als inverse van de exponentiële functie. De natuurlijke logaritme

y=\ln x

heeft een verticale asymptoot bij

x=0

\lim_{x\downarrow 0}\ln x=-\infty

. Voor grote

x

groeit

\ln x

wél onbegrensd, maar heel langzaam — trager dan elke machtsfunctie. Er is dus geen horizontale asymptoot rechts. Deze eigenschappen (verticale asymptoot bij

0

, trage onbegrensde groei) zijn precies de gespiegelde tegenhanger van de exponentiële functie (horizontale asymptoot links, snelle groei rechts), zoals de spiegeling in

y=x

liet zien.

Het beschrijven van limietgedrag — bij een perforatie, een asymptoot of een exponentiële/logaritmische functie — is de taal waarmee je vertelt hoe een functie zich „aan de randen” gedraagt. Op het examen wordt gevraagd asymptoten te bepalen, het gedrag voor

x\to\pm\infty

te beschrijven, en soms een perforatie op te sporen. De aanpak is telkens: ontbind en vereenvoudig eerst (om perforaties te vinden), bepaal dan de verticale asymptoten (noemer nul, teller niet), en analyseer ten slotte het gedrag op oneindig (horizontaal of schuin, of onbegrensde groei bij exp/log). Zo krijg je een volledig, samenhangend beeld van elke functie uit het programma.

\frac{x^{2}-1}{x-1}=x+1\ (x\neq 1):\ \text{perforatie in } (1,2)

Perforatie

Teller en noemer delen de factor $x-1$ ; na wegdelen blijft een lijn met één ontbrekend punt.

\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0,\quad \lim_{x\downarrow 0}\ln x=-\infty

Limietgedrag exp en log

De exponentiële functie heeft een horizontale asymptoot links; de logaritme een verticale asymptoot bij $x=0$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Perforatie of asymptoot?

Onderzoek $f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}$ : heeft de grafiek bij $x=2$ een verticale asymptoot of een perforatie? Geef de vereenvoudigde vorm.

Teller ontbinden
Herken het verschil van kwadraten in de teller.
$\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$
Gemeenschappelijke factor wegdelen
De factor $x-2$ valt weg (voor $x\neq 2$ ), dus geen asymptoot maar een perforatie.
$f(x)=x+2\quad (x\neq 2)$
Het ontbrekende punt
Bij $x=2$ zou de lijn $y=x+2$ de waarde $4$ geven; dat punt ontbreekt.
$\text{perforatie in } (2,\,4)$

Resultaat: Bij $x=2$ is er een perforatie (geen asymptoot); $f(x)=x+2$ met een gaatje in $(2;\,4)$ .

Veelgemaakte fouten

Bij teller en noemer die beide nul worden toch een verticale asymptoot melden in plaats van een perforatie.
De perforatie vergeten te vermelden na het vereenvoudigen (de verboden $x$ -waarde blijft bestaan).
Denken dat $e^{x}$ ook rechts een horizontale asymptoot heeft (rechts groeit ze onbegrensd).
De logaritme een horizontale asymptoot toedichten; $\ln x$ groeit onbegrensd (traag) voor grote $x$ .

Actieve herhaling

Onderzoek $f(x)=\dfrac{x^{2}-x-6}{x-3}$ op perforaties en asymptoten, en geef de vereenvoudigde vorm. Beschrijf daarna het limietgedrag van $g(x)=1-e^{-x}$ voor $x\to\infty$ en $x\to-\infty$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde B (VWO)

Asymptoten en limietgedrag van functies

Kernpunten

Verticale asymptoot en domein bepalen

Kernpunten

Horizontale asymptoot via de gradenregel

Kernpunten

Schuine asymptoot via staartdeling

Kernpunten

Perforatie of asymptoot?

Bronnen