Samenvattingen · Wiskunde BNL · VWO

Afgeleide functies

De afgeleide $f'(x)$ geeft de momentane helling van de grafiek van $f$ en dus de snelheid waarmee $f$ verandert. Ze ontstaat als limiet van het differentiequotiënt en levert een nieuwe functie op die je met standaardafgeleiden berekent. Met de afgeleide stel je de raaklijn op, bepaal je toppen, dalen en buigpunten via $f'(x)=0$ en het tekenverloop, en lees je met de tweede afgeleide de bolling van de grafiek af. Dit is het fundament van de hele differentiaalrekening in wiskunde B.

4 Onderdelen~17 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 3 · Verdieping 1

T·0888 / 16

Examenprofiel

C1 · De afgeleide f'(x) als momentane helling; de notaties f'(x) en \dfrac{dy}{dx}Standaardafgeleiden: machtsregel en de afgeleiden van ex, \ln x, \sqrt{x}, \sin x en \cos xDe raaklijn opstellen met y=f(a)+f'(a)(x-a)Extremen, tekenverloop en buigpunten (met de tweede afgeleide f'')

Operatoren:differentieerberekenbepaalstel optoon aanonderzoekleid af

basisniveau

De afgeleide als momentane helling, de standaardafgeleiden, de raaklijn en extremen horen tot de centraal-examenstof van subdomein C1.

verhoogd niveau

Verdieping zit in buigpunten en de tweede afgeleide, in het opstellen van een raaklijn met een gegeven richting, en in het onderbouwen van het stijg- en daalgedrag met een tekenschema.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Afgeleide functies

De afgeleide als momentane helling#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C1

De afgeleide beantwoordt de vraag: hoe steil loopt de grafiek van

f

in één bepaald punt? Terwijl het differentiequotiënt

\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

de gemiddelde helling over een heel interval

[a,b]

geeft, beschrijft de momentane helling de steilheid op één enkel moment. Je krijgt haar door het interval steeds kleiner te maken: laat je het rechterpunt

b=a+h

naar

a

toe kruipen, dan draait de koorde (secant) mee tot ze samenvalt met de raaklijn in

a

. In Afb. 1 raakt de rechte lijn de grafiek van

f(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}

in het punt

(2,2)

; de helling van die raaklijn is de afgeleide

f'(2)=2

De afgeleide als helling van de raaklijn

Afb. 1Afb. 1 — De raaklijn aan f(x) = ½x² in (2; 2) heeft helling f'(2) = 2: de momentane helling van f in x = 2.

Formeel is de afgeleide de limiet van het differentiequotiënt:

f'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

. Voor

f(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}

reken je dat uit door

f(2+h)=\tfrac{1}{2}(2+h)^{2}=2+2h+\tfrac{1}{2}h^{2}

te vergelijken met

f(2)=2

: het differentiequotiënt wordt

\dfrac{2h+\tfrac{1}{2}h^{2}}{h}=2+\tfrac{1}{2}h

, en voor

h\to 0

blijft

f'(2)=2

over. Deze limietdefinitie is de fundering onder de rekenregels; in de praktijk gebruik je die regels, maar het begrip „limiet van het differentiequotiënt” verklaart waaróm de afgeleide de helling is.

Door

f'

in élk punt te bepalen ontstaat een nieuwe functie, de afgeleide functie

f'

(ook hellingfunctie genoemd).

f'(x)

vertelt voor iedere

x

hoe steil de grafiek van

f

daar loopt. Naast

f'(x)

gebruik je de Leibniz-notatie

\dfrac{dy}{dx}

; beide betekenen hetzelfde.

\dfrac{dy}{dx}

benadrukt dat de afgeleide een verhouding is van een heel kleine verandering

\Delta y

ten opzichte van een heel kleine verandering

\Delta x

— handig zodra

y

x

eenheden dragen, want

\dfrac{dy}{dx}

heeft dan de eenheid „eenheid van

y

per eenheid van

x

”.

Het teken van

f'

koppelt de afgeleide aan het gedrag van

f

: is

f'(x)>0

dan stijgt

f

, is

f'(x)<0

dan daalt

f

, en waar

f'(x)=0

loopt de raaklijn horizontaal. Zo verbindt de afgeleide de steilheid met stijgen en dalen: de grootte van

f'

zegt hoe snel, het teken zegt of het toe- of afneemt. Deze koppeling is de motor achter het bepalen van toppen en dalen (paragraaf 4): daar zoek je immers de plekken waar de grafiek van stijgen naar dalen (of omgekeerd) overgaat, en dat is precies waar

f'

van teken wisselt.

In toepassingen is de afgeleide een veranderingssnelheid. Beschrijft

h(t)

de hoogte (in m) op tijdstip

t

(in s), dan is

h'(t)

de verticale snelheid in m/s; beschrijft

N(t)

een aantal, dan is

N'(t)

de groeisnelheid per tijdseenheid. Het interpreteren van

f'(a)

in de context — mét de juiste eenheid — is op het examen wiskunde B minstens zo belangrijk als het rekenwerk. Een nette uitwerking noemt daarom in welk punt de helling wordt bepaald, gebruikt de oorspronkelijke functie voor de bijbehorende

y

-waarde, en sluit af met de betekenis van het getal.

f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

De afgeleide als limiet

De momentane helling in $x=a$ is de limiet van het differentiequotiënt over $[a,a+h]$ als $h\to 0$ .

f'(x)>0 \Rightarrow f\ \text{stijgt}\qquad f'(x)<0 \Rightarrow f\ \text{daalt}

Teken van de afgeleide

Het teken van $f'$ bepaalt of $f$ stijgt of daalt; waar $f'=0$ is de raaklijn horizontaal.

Uitgewerkt voorbeeld

Momentane helling als limiet

Bepaal $f'(2)$ voor $f(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}$ met de limietdefinitie van de afgeleide.

Functiewaarden opstellen
Bereken $f(2)$ en $f(2+h)$ ; werk het kwadraat uit.
$f(2)=2,\qquad f(2+h)=\tfrac{1}{2}(4+4h+h^{2})=2+2h+\tfrac{1}{2}h^{2}$
Differentiequotiënt vormen
Trek $f(2)$ af en deel door $h$ .
$\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{2h+\tfrac{1}{2}h^{2}}{h}=2+\tfrac{1}{2}h$
Limiet nemen
Laat $h\to 0$ ; de term $\tfrac{1}{2}h$ verdwijnt.
$f'(2)=\lim_{h\to 0}\bigl(2+\tfrac{1}{2}h\bigr)=2$

Resultaat: $f'(2)=2$ : de raaklijn in $(2;2)$ heeft helling $2$ (ter controle: $f'(x)=x$ , dus $f'(2)=2$ ).

Veelgemaakte fouten

Gemiddelde en momentane verandering verwarren: het differentiequotiënt hoort bij een interval, de afgeleide bij één punt.
De afgeleide wel uitrekenen maar niet interpreteren, of de eenheid van $f'$ vergeten.
In de limiet niet eerst wegdelen door $h$ , waardoor je $\tfrac{0}{0}$ overhoudt.
$f'(x)$ en $\dfrac{dy}{dx}$ voor verschillende dingen aanzien; ze betekenen hetzelfde.

Actieve herhaling

Bepaal met de limietdefinitie $f'(3)$ voor $f(x)=x^{2}-x$ , en leg uit wat $f'(3)$ zegt over de steilheid van de grafiek in $x=3$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Standaardafgeleiden#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C1

Een functie en haar afgeleide in één assenstelsel

Afb. 2Afb. 1 — f (doorgetrokken) en haar afgeleide f' (gestreept). Waar f' door nul gaat (x = ±1), heeft f een top respectievelijk een dal.

Voor de standaardfuncties hoef je geen limieten meer uit te rekenen: een handvol standaardafgeleiden ligt vast. De belangrijkste is de machtsregel

\dfrac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}

— „breng de exponent naar voren en verlaag hem met

1

” — die geldt voor elke vaste macht

n

, ook negatief of gebroken. In Afb. 1 staan

f(x)=x^{3}-3x

en haar afgeleide

f'(x)=3x^{2}-3

samen; merk op dat de nulpunten van

f'

(bij

x=-1

x=1

) recht onder de top en het dal van

f

liggen — precies het verband tussen

f'=0

en de extremen.

Twee lineariteitsregels maken van de machtsregel een complete gereedschapskist voor veeltermen. De constante-veelvoudregel

(c\cdot f)'=c\cdot f'

laat een constante factor staan, en de som-/verschilregel

(f\pm g)'=f'\pm g'

laat je term voor term differentiëren. Zo is

\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x\bigr)=3x^{2}-3

\dfrac{d}{dx}\bigl(2x^{4}-5x^{2}+7\bigr)=8x^{3}-10x

(de constante

7

heeft afgeleide

0

). Wortels en breuken schrijf je eerst als macht:

\sqrt{x}=x^{1/2}

geeft

\dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

, en

\dfrac{1}{x}=x^{-1}

geeft

-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}

Naast de machtsregel ken je de standaardafgeleiden van de andere basisfuncties uit het hoofd. Voor de exponentiële en logaritmische functie:

\dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}

(de

e

-macht is haar eigen afgeleide) en

\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}

. Voor de goniometrische functies:

\dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x

\dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x

(let op het minteken bij de cosinus). Deze standaardafgeleiden zijn de bouwstenen; met de rekenregels uit het volgende onderwerp (product-, quotiënt- en kettingregel) combineer je ze tot de afgeleide van elke functie uit het programma.

De afgeleide van een som of verschil is de som of het verschil van de afgeleiden, maar dit geldt NIET voor producten en quotiënten — daarvoor bestaan aparte regels (het volgende onderwerp). Een veelgemaakte fout is

\dfrac{d}{dx}(x^{2}\sin x)=2x\cos x

opschrijven; dat is fout, want een product differentieer je met de productregel. Zolang je binnen sommen, verschillen en constante veelvouden blijft, mag je term voor term differentiëren; zodra er een echt product, quotiënt of samenstelling staat, heb je meer nodig. Het herkennen van de bouw van de formule bepaalt dus welke regel je toepast.

De afgeleide functie

f'

heeft dezelfde interpretatie als

f'(a)

maar dan voor alle

x

tegelijk: ze is de hellingfunctie. Uit de grafiek van

f'

lees je af waar

f

stijgt (waar

f'>0

), waar

f

daalt (

f'<0

) en waar

f

een horizontale raaklijn heeft (

f'=0

). In Afb. 1 zie je dit meteen:

f'(x)=3x^{2}-3

is negatief tussen

-1

1

(daar daalt

f

) en positief erbuiten (daar stijgt

f

). Deze grafische lezing van

f'

maakt van de afgeleide niet alleen een rekenobject maar een middel om het gedrag van

f

in één oogopslag te overzien.

\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}\qquad (c f)'=c f'\qquad (f\pm g)'=f'\pm g'

Machtsregel en lineariteit

Breng de exponent naar voren en verlaag hem met $1$ ; een constante factor blijft staan, een som differentieer je term voor term.

\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}\qquad \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}

Exponentieel en logaritme

De $e$ -macht is haar eigen afgeleide; de natuurlijke logaritme heeft afgeleide $\tfrac{1}{x}$ .

\frac{d}{dx}\sin x=\cos x\qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x

Goniometrische standaardafgeleiden

De sinus differentieert naar de cosinus; de cosinus naar min de sinus (let op het minteken).

Uitgewerkt voorbeeld

Standaardfuncties differentiëren

Differentieer $f(x)=3x^{4}-2x^{2}+5x-7$ en $g(x)=4\sqrt{x}+\dfrac{2}{x}-\sin x$ .

Veelterm term voor term
Pas de machtsregel toe op elke term van $f$ ; de constante $-7$ heeft afgeleide $0$ .
$f'(x)=12x^{3}-4x+5$
Wortel en breuk als macht schrijven
Herschrijf $4\sqrt{x}=4x^{1/2}$ en $\dfrac{2}{x}=2x^{-1}$ .
$g(x)=4x^{1/2}+2x^{-1}-\sin x$
Standaardafgeleiden toepassen
Machtsregel op de eerste twee termen, $\dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x$ op de laatste.
$g'(x)=2x^{-1/2}-2x^{-2}-\cos x=\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{2}{x^{2}}-\cos x$

Resultaat: $f'(x)=12x^{3}-4x+5$ en $g'(x)=\dfrac{2}{\sqrt{x}}-\dfrac{2}{x^{2}}-\cos x$ .

Veelgemaakte fouten

Een product term voor term differentiëren ( $\dfrac{d}{dx}(x^{2}\sin x)\neq 2x\cos x$ ); daarvoor is de productregel nodig.
Het minteken bij $\dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x$ vergeten.
Bij $x^{-1}$ of $x^{1/2}$ de exponent verkeerd met $1$ verlagen.
De afgeleide van een constante niet op $0$ zetten.

Actieve herhaling

Differentieer $f(x)=x^{5}-4x^{3}+2x$ en $g(x)=6\sqrt{x}+3\cos x-\dfrac{1}{x^{2}}$ . Vereenvoudig je antwoorden zo ver mogelijk.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

De raaklijn#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C1

Raaklijn aan y = √x in het punt (4; 2)

Afb. 3Afb. 1 — De raaklijn aan f(x) = √x in (4; 2) heeft helling f'(4) = ¼ en vergelijking y = ¼x + 1.

De raaklijn aan een grafiek in een punt is de rechte lijn die de grafiek daar zowel de plaats als de richting deelt: ze gaat door het raakpunt en heeft de momentane helling van de grafiek als richtingscoëfficiënt. De vergelijking stel je op met één formule:

y=f(a)+f'(a)(x-a)

. Hierin is

a

x

-coördinaat van het raakpunt,

f(a)

de functiewaarde (de hoogte van het raakpunt) en

f'(a)

de helling. In Afb. 1 raakt de lijn

y=\tfrac{1}{4}x+1

de grafiek van

f(x)=\sqrt{x}

in het raakpunt

(4,2)

; de helling is

f'(4)=\tfrac{1}{4}

Het opstellen van een raaklijn verloopt in drie stappen: bereken de functiewaarde in het raakpunt

f(a)

, bereken de helling

f'(a)

, en vul beide in de raaklijnformule in. Voor

f(x)=\sqrt{x}

x=4

: eerst

f(4)=2

, dan

f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

dus

f'(4)=\dfrac{1}{4}

, en invullen geeft

y=2+\tfrac{1}{4}(x-4)=\tfrac{1}{4}x+1

. Controleer altijd dat het raakpunt op de lijn ligt:

x=4\Rightarrow y=\tfrac{1}{4}\cdot 4+1=2

, dat klopt. Deze controle vangt reken- en tekenfouten.

Vaak vraagt een opgave niet naar de raaklijn in een gegeven punt, maar naar de raaklijn met een gegeven helling of evenwijdig aan een gegeven lijn. Dan draai je de aanpak om: stel

f'(a)

gelijk aan de gevraagde helling en los

a

op. Zoek je bijvoorbeeld de raaklijn aan

f(x)=x^{2}

met helling

6

, dan los je

f'(a)=2a=6

op, dus

a=3

; het raakpunt is

(3,9)

en de raaklijn

y=9+6(x-3)=6x-9

. Zo gebruik je de afgeleide als „hellingmeter” om het raakpunt te vinden dat bij een gewenste steilheid hoort.

De raaklijn is de beste lineaire benadering van de functie dichtbij het raakpunt: in een klein gebied rond

a

verschilt de grafiek nauwelijks van haar raaklijn. Dit idee — een kromme lokaal vervangen door een rechte — is de kern van de differentiaalrekening en verklaart waarom de afgeleide zoveel toepassingen heeft. In een context betekent de raaklijn dat je de verandering van een grootheid over een kleine stap kunt schatten met de momentane snelheid:

\Delta y\approx f'(a)\cdot\Delta x

. Zo koppelt de raaklijn de meetkunde (een lijn) aan de analyse (een snelheid) aan de toepassing (een schatting).

Bij het werken met raaklijnen let je op enkele valkuilen. De helling van de raaklijn is

f'(a)

, niet

f(a)

: verwissel de functiewaarde en de afgeleide niet. Reken

f'

met de rekenregels en vul dan pas

a

in — niet andersom. En bij het opstellen van de vergelijking gebruik je consequent de vorm

y=f(a)+f'(a)(x-a)

, waarin het raakpunt en de helling elk hun eigen plaats hebben. Een nette uitwerking vermeldt het raakpunt, de helling en de eindvergelijking, en controleert dat het raakpunt op de lijn ligt — precies de zorgvuldigheid die op het examen scorepunten oplevert.

y=f(a)+f'(a)\,(x-a)

Vergelijking van de raaklijn

In het raakpunt $(a,f(a))$ heeft de raaklijn helling $f'(a)$ ; deze formule levert direct de lijnvergelijking.

\Delta y \approx f'(a)\cdot \Delta x

Lineaire benadering

Dichtbij het raakpunt schat de raaklijn de verandering van $f$ : de afgeleide als benaderende snelheid.

Uitgewerkt voorbeeld

Raaklijn met een gegeven helling

Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan $f(x)=x^{2}-x$ die evenwijdig is aan de lijn $y=3x+5$ .

Gevraagde helling
Evenwijdig aan $y=3x+5$ betekent helling $3$ ; stel $f'(a)=3$ .
$f'(x)=2x-1\;\Rightarrow\; 2a-1=3\;\Rightarrow\; a=2$
Raakpunt berekenen
Bereken $f(2)$ .
$f(2)=4-2=2\;\Rightarrow\;\text{raakpunt }(2,\,2)$
Raaklijn opstellen
Vul $a=2$ , $f(2)=2$ , $f'(2)=3$ in de raaklijnformule in.
$y=2+3(x-2)=3x-4$

Resultaat: De raaklijn is $y=3x-4$ (raakpunt $(2;2)$ , helling $3$ ).

Veelgemaakte fouten

De helling van de raaklijn met $f(a)$ berekenen in plaats van met $f'(a)$ .
$f(a)$ en $f'(a)$ verwisselen in de raaklijnformule.
Eerst $a$ invullen en dan differentiëren; differentieer eerst $f$ , vul dan $a$ in.
Bij een gegeven helling vergeten dat je het raakpunt nog moet berekenen (via $f(a)$ ).

Actieve herhaling

Stel de raaklijn op aan $f(x)=x^{3}-2x$ in het punt met $x=1$ . Bepaal daarna de raaklijn aan dezelfde grafiek met helling $10$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Extremen, tekenverloop en buigpunten#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C1

Extremen en buigpunt van f(x) = x³ − 3x²

Afb. 4Afb. 1 — f(x) = x³ − 3x²: top (0; 0) waar f'' < 0, dal (2; −4) waar f'' > 0, en het buigpunt (1; −2) waar f'' = 0 en de bolling omslaat.

In een (lokaal) maximum of minimum van een gladde functie loopt de raaklijn horizontaal, dus is daar

f'(x)=0

. Je zoekt kandidaat-extremen daarom door de vergelijking

f'(x)=0

op te lossen; de oplossingen heten kritieke of stationaire punten. Maar

f'=0

alleen zegt nog niet of het een top of een dal is: dat beslist het teken van

f'

eromheen. Wisselt

f'

van

+

naar

-

, dan stijgt

f

eerst en daalt daarna — een maximum (top); wisselt

f'

van

-

naar

+

, dan een minimum (dal). In Afb. 1 zie je

f(x)=x^{3}-3x^{2}

met een top in

(0,0)

en een dal in

(2,-4)

Het volledige stappenplan voor extremen luidt: (1) bereken

f'(x)

; (2) los

f'(x)=0

op; (3) maak een tekenschema van

f'

(proefwaarden of de ontbonden vorm); (4) benoem elk kritiek punt als top, dal of buigpunt met horizontale raaklijn; (5) bereken de bijbehorende

y

-waarde met de oorspronkelijke functie

f

, niet met

f'

. Voor

f(x)=x^{3}-3x^{2}

f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)

, dus

f'=0

bij

x=0

x=2

; het tekenschema geeft top bij

x=0

(

f(0)=0

) en dal bij

x=2

(

f(2)=-4

De tweede afgeleide

f''

(de afgeleide van

f'

) beschrijft de bolling van de grafiek. Is

f''(x)>0

, dan is de grafiek hol (bolt naar boven open, als een dal); is

f''(x)<0

, dan is ze bol (bolt naar beneden, als een berg). Hiermee heb je een tweede test voor extremen: als

f'(a)=0

f''(a)>0

, dan is

a

een minimum; als

f'(a)=0

f''(a)<0

, een maximum. Voor

f(x)=x^{3}-3x^{2}

f''(x)=6x-6

; bij

x=0

f''(0)=-6<0

(maximum, top) en bij

x=2

f''(2)=6>0

(minimum, dal). Deze tweede-afgeleidetest is vaak sneller dan een volledig tekenschema.

Een buigpunt is een punt waar de bolling van de grafiek omslaat: van hol naar bol of omgekeerd. Daar wisselt

f''

van teken, dus vind je buigpunten door

f''(x)=0

op te lossen én te controleren dat

f''

daar echt van teken wisselt. Voor

f(x)=x^{3}-3x^{2}

f''(x)=6x-6=0

bij

x=1

; omdat

f''

daar van negatief naar positief gaat, is

(1,-2)

een buigpunt (in Afb. 1 gemarkeerd). In een buigpunt is de grafiek het „steilst” of „vlakst” aan het veranderen van bolling; bij een derdegraadsfunctie ligt het buigpunt precies midden tussen top en dal.

Extremen en buigpunten samen geven het complete beeld van de vorm van een grafiek: waar ze stijgt en daalt (uit het teken van

f'

) en waar ze hol en bol is (uit het teken van

f''

). Op een begrensd domein — vaak bij contextopgaven — neem je bij het zoeken naar de grootste of kleinste waarde óók de randpunten mee, want het absolute maximum of minimum kan op een rand liggen zonder dat

f'

daar nul is. Deze analyse — kritieke punten, tekenschema's van

f'

f''

, en de randen — is het gereedschap waarmee je in het onderwerp differentieertechnieken optimaliseringsproblemen oplost en grafieken volledig beschrijft.

f'(x)=0 \text{ én } f' \text{ wisselt van teken} \Rightarrow \text{extremum}

Voorwaarde voor een extremum

Een extremum ligt waar de afgeleide nul is én van teken verandert; zonder tekenwisseling een buigpunt met horizontale raaklijn.

f''(a)>0 \Rightarrow \text{minimum}\qquad f''(a)<0 \Rightarrow \text{maximum}

Tweede-afgeleidetest

Bij een kritiek punt ( $f'(a)=0$ ) bepaalt het teken van $f''(a)$ of het een minimum of maximum is.

f''(x)=0 \text{ met tekenwisseling} \Rightarrow \text{buigpunt}

Buigpunt

Een buigpunt ligt waar de tweede afgeleide van teken wisselt: daar slaat de bolling om.

Uitgewerkt voorbeeld

Extremen en buigpunt bepalen

Onderzoek $f(x)=x^{3}-3x^{2}$ op extremen en het buigpunt; geef de coördinaten.

Eerste afgeleide en kritieke punten
Differentieer en los $f'(x)=0$ op.
$f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)=0\;\Rightarrow\; x=0\ \text{of}\ x=2$
Soort extremum met f''
Bereken $f''(x)=6x-6$ en het teken in de kritieke punten.
$f''(0)=-6<0\ (\text{top}),\qquad f''(2)=6>0\ (\text{dal})$
Coördinaten van de extremen
Vul $x=0$ en $x=2$ in $f$ in.
$f(0)=0,\qquad f(2)=8-12=-4$
Buigpunt
Los $f''(x)=0$ op en bereken de $y$ -waarde.
$6x-6=0\Rightarrow x=1,\qquad f(1)=1-3=-2$

Resultaat: Top $(0;\,0)$ , dal $(2;\,-4)$ en buigpunt $(1;\,-2)$ .

Veelgemaakte fouten

De $y$ -coördinaat van een extremum met $f'$ (of $f''$ ) berekenen in plaats van met de oorspronkelijke functie $f$ .
Aannemen dat elk punt met $f'(x)=0$ een extremum is; zonder tekenwisseling is het een buigpunt met horizontale raaklijn.
Een buigpunt melden waar $f''=0$ zonder te controleren dat $f''$ daar echt van teken wisselt.
Bij een begrensd domein de randpunten vergeten bij het zoeken naar de grootste of kleinste waarde.

Actieve herhaling

Onderzoek $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$ op extremen (met de tweede-afgeleidetest) en bepaal het buigpunt. Geef alle coördinaten en beschrijf waar $f$ hol en waar ze bol is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde B (VWO)

Afgeleide functies

Kernpunten

Momentane helling als limiet

Kernpunten

Standaardfuncties differentiëren

Kernpunten

Raaklijn met een gegeven helling

Kernpunten

Extremen en buigpunt bepalen

Bronnen