Samenvattingen · Wiskunde BNL · VWO

Goniometrische functies en radialen

In de analyse meet je hoeken in radialen: de radiaal is de booglengte op de eenheidscirkel, met $2\pi$ rad $=360^{\circ}$ . Op die eenheidscirkel zijn $\cos\theta$ en $\sin\theta$ de coördinaten van het draaipunt. De functies $\sin$ , $\cos$ en $\tan$ leveren periodieke grafieken die je met de standaardvorm $y=a\sin\bigl(b(x-c)\bigr)+d$ transformeert. Je lost goniometrische vergelijkingen op met de periodiciteit en differentieert en primitiveert sinus en cosinus.

5 Onderdelen~20 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 2 · Verdieping 3

T·111111 / 16

Examenprofiel

D1 · Radialen en de eenheidscirkel; \cosθen \sinθals coördinatenDe functies \sin, \cos en \tan, hun grafieken en eigenschappenTransformaties van sinusoïden: amplitude, periode, evenwichtslijn, faseverschuivingGoniometrische vergelijkingen oplossen en \sin/\cos differentiëren en primitiveren

Operatoren:berekenbepaallos optoon aandifferentieerschetsleid af

basisniveau

Radialen, de eenheidscirkel, de goniometrische functies en hun transformaties horen tot de centraal-examenstof van domein D.

verhoogd niveau

Verdieping zit in het oplossen van goniometrische vergelijkingen met alle oplossingen (via periodiciteit), in de faseverschuiving bij het opstellen van een sinusformule, en in het combineren van de kettingregel met de goniometrische afgeleiden.

Diepte

Tekst

Inhoud · 5 onderdelen

Goniometrische functies en radialen

Radialen en de eenheidscirkel#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-domein-D

In de analyse meet je hoeken niet in graden maar in radialen. Eén radiaal is de hoek die op de eenheidscirkel (straal

1

) een boog van lengte

1

afsnijdt. Omdat de hele omtrek

2\pi

is, komt een volledige draai (

360^{\circ}

) overeen met

2\pi

rad; daaruit volgt

180^{\circ}=\pi

rad,

90^{\circ}=\dfrac{\pi}{2}

rad,

60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3}

rad en

30^{\circ}=\dfrac{\pi}{6}

rad. Radialen zijn de natuurlijke maat voor goniometrische functies, want alleen in radialen gelden de eenvoudige afgeleiden

\dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x

\dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x

De eenheidscirkel is het hart van de goniometrie. Draai je een punt over een hoek

\theta

(in radialen) tegen de klok in vanaf de positieve

x

-as, dan zijn de coördinaten van dat draaipunt precies

(\cos\theta,\sin\theta)

. In Afb. 1 ligt het draaipunt

P

(0{,}6;\,0{,}8)

: dan is

\cos\theta=0{,}6

(de

x

-coördinaat) en

\sin\theta=0{,}8

(de

y

-coördinaat). Deze definitie — cosinus is de

x

-coördinaat, sinus de

y

-coördinaat op de eenheidscirkel — geldt voor élke hoek, ook groter dan

90^{\circ}

of negatief, en breidt de vertrouwde driehoeksdefinitie uit tot alle draaihoeken.

Cosinus en sinus als coördinaten op de eenheidscirkel

Afb. 1Afb. 1 — Op de eenheidscirkel is het draaipunt P = (cos θ, sin θ). Hier P = (0,6; 0,8), dus cos θ = 0,6 en sin θ = 0,8.

Uit de eenheidscirkel volgen meteen de belangrijkste eigenschappen. Omdat het punt op de cirkel met straal

1

ligt, geldt de grondformule van de goniometrie

\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1

(dat is de stelling van Pythagoras op de eenheidscirkel). De tekens van sinus en cosinus hangen af van het kwadrant: in het tweede kwadrant is

\cos<0

\sin>0

, in het derde beide negatief, enzovoort. En omdat je na een volle draai weer op hetzelfde punt staat, zijn de functies periodiek met periode

2\pi

\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta

Een handvol standaardhoeken hoor je exact te kennen, want ze komen op het examen zonder rekenmachine terug. Zo is

\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}

\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}

\sin\dfrac{\pi}{4}=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}

\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}

\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}

. Deze exacte waarden leid je af uit de eenheidscirkel of uit de speciale rechthoekige driehoeken (de half-gelijkzijdige en de gelijkbenige). Ze zijn de bouwstenen om goniometrische vergelijkingen exact op te lossen. Het omrekenen tussen graden en radialen (

\text{rad}=\dfrac{\pi}{180^{\circ}}\cdot\text{graden}

) is daarbij een routinehandeling die je vlot moet beheersen.

De eenheidscirkel maakt niet alleen de definities helder, maar ook het periodieke en symmetrische gedrag dat de grafieken van

\sin

\cos

verklaart. Draai je een extra

2\pi

, dan verandert er niets (periodiciteit). Spiegel je de hoek in de

x

-as (

\theta\to-\theta

), dan blijft de

x

-coördinaat gelijk maar keert de

y

-coördinaat om:

\cos(-\theta)=\cos\theta

(cosinus is even) en

\sin(-\theta)=-\sin\theta

(sinus is oneven). Zulke symmetrieën, direct afleesbaar op de cirkel, gebruik je bij het vereenvoudigen van goniometrische uitdrukkingen en bij het vinden van alle oplossingen van een vergelijking.

2\pi\ \text{rad}=360^{\circ}\qquad \text{rad}=\frac{\pi}{180^{\circ}}\cdot\text{graden}

Radialen

Een volledige draai is $2\pi$ rad; reken graden naar radialen met de factor $\tfrac{\pi}{180^{\circ}}$ .

P=(\cos\theta,\ \sin\theta)\quad\text{op de eenheidscirkel},\qquad \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1

Eenheidscirkel

Cosinus en sinus zijn de $x$ - en $y$ -coördinaat van het draaipunt; hun kwadraten tellen op tot $1$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Graden en radialen, en een exacte waarde

Reken $150^{\circ}$ om naar radialen en bepaal exact $\sin 150^{\circ}$ en $\cos 150^{\circ}$ .

Omrekenen naar radialen
Gebruik de factor $\tfrac{\pi}{180^{\circ}}$ .
$150^{\circ}=150\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}\ \text{rad}$
Kwadrant bepalen
$\tfrac{5\pi}{6}$ ligt in het tweede kwadrant: daar is $\sin>0$ en $\cos<0$ . De referentiehoek is $\pi-\tfrac{5\pi}{6}=\tfrac{\pi}{6}$ .
Exacte waarden
Gebruik de standaardwaarden bij $\tfrac{\pi}{6}$ met de tekens van het tweede kwadrant.
$\sin\tfrac{5\pi}{6}=\tfrac{1}{2},\qquad \cos\tfrac{5\pi}{6}=-\tfrac{1}{2}\sqrt{3}$

Resultaat: $150^{\circ}=\dfrac{5\pi}{6}$ rad; $\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$ en $\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ .

Veelgemaakte fouten

In graden blijven rekenen bij de analyse; de afgeleiden $\dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x$ gelden alleen in radialen.
De tekens per kwadrant vergeten (in het tweede kwadrant is de cosinus negatief).
$\sin$ en $\cos$ verwisselen als $y$ - respectievelijk $x$ -coördinaat op de cirkel.
$\sin^{2}\theta$ als $\sin(\theta^{2})$ lezen; het betekent $(\sin\theta)^{2}$ .

Actieve herhaling

Reken $\dfrac{3\pi}{4}$ rad om naar graden en bepaal exact $\sin\dfrac{3\pi}{4}$ en $\cos\dfrac{3\pi}{4}$ . Bereken ook $\tan\dfrac{\pi}{3}$ exact.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

De functies sinus, cosinus en tangens#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-domein-D

De grafieken van y = sin x en y = cos x

Afb. 2Afb. 1 — y = sin x (doorgetrokken) en y = cos x (gestreept) op [0; 2π]. Amplitude 1, periode 2π; de cosinus is de sinus verschoven over π/2.

Laat je de hoek

x

(in radialen) vrij variëren, dan worden

\sin x

\cos x

functies met een golfvormige grafiek. In Afb. 1 staan

y=\sin x

y=\cos x

[0,2\pi]

. Beide golven hebben amplitude

1

(ze schommelen tussen

-1

1

), periode

2\pi

(na

2\pi

herhaalt de golf zich) en de

x

-as als evenwichtslijn. De sinus start in de oorsprong (

\sin 0=0

) en stijgt; de cosinus start in haar top (

\cos 0=1

). De twee golven zijn elkaars horizontale verschuiving over

\tfrac{\pi}{2}

\cos x=\sin\bigl(x+\tfrac{\pi}{2}\bigr)

De sinus en de cosinus hebben elk hun karakteristieke punten binnen één periode. Voor

y=\sin x

: nulpunten bij

x=0,\pi,2\pi

, een maximum

1

bij

x=\tfrac{\pi}{2}

en een minimum

-1

bij

x=\tfrac{3\pi}{2}

. Voor

y=\cos x

: een maximum

1

bij

x=0

(en

2\pi

), nulpunten bij

x=\tfrac{\pi}{2}

\tfrac{3\pi}{2}

, en een minimum

-1

bij

x=\pi

. Deze „vijf punten per periode” (twee nulpunten, een top, een dal, en het herhaalpunt) zijn genoeg om een sinusoïde snel en correct te schetsen.

Sinus en cosinus zijn symmetrisch: de cosinus is een even functie (

\cos(-x)=\cos x

, symmetrisch in de

y

-as) en de sinus een oneven functie (

\sin(-x)=-\sin x

, puntsymmetrisch in de oorsprong). Deze symmetrieën, samen met de periodiciteit, maken dat je de hele grafiek kent zodra je één periode kent. Ze zijn ook rekentechnisch handig:

\sin(-x)=-\sin x

\cos(\pi-x)=-\cos x

helpen goniometrische uitdrukkingen te vereenvoudigen zonder rekenmachine.

De tangens

\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}

is de derde goniometrische functie. Haar grafiek verschilt sterk van die van sinus en cosinus: ze heeft periode

\pi

(niet

2\pi

), verticale asymptoten waar

\cos x=0

(bij

x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi

), en loopt tussen twee asymptoten van

-\infty

naar

+\infty

. Meetkundig is

\tan\theta

de richtingscoëfficiënt van de lijn door de oorsprong die hoek

\theta

met de

x

-as maakt. De tangens komt vooral voor bij hoeken tussen lijnen (bijvoorbeeld de hoek van een raaklijn).

De golfvorm van sinus en cosinus maakt ze het natuurlijke gereedschap om periodieke verschijnselen te modelleren: getijden, wisselstroom, temperatuur over de seizoenen, trillingen. In zulke modellen krijgt de golf een amplitude (de uitwijking), een periode (de tijd van één cyclus), een evenwichtslijn (het gemiddelde niveau) en een faseverschuiving (het startmoment) — precies de vier parameters die je in de volgende paragraaf met de standaardtransformatie regelt. Het herkennen van sinus en cosinus als „bouwstenen voor golven” verbindt de zuivere goniometrie met haar toepassingen.

y=\sin x:\ \text{amplitude }1,\ \text{periode }2\pi,\ \text{nulpunten }0,\pi,2\pi

De sinusgrafiek

De sinus schommelt tussen $-1$ en $1$ met periode $2\pi$ ; maximum bij $\tfrac{\pi}{2}$ , minimum bij $\tfrac{3\pi}{2}$ .

\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}:\ \text{periode }\pi,\ \text{asymptoten bij }x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi

De tangens

De tangens heeft periode $\pi$ en verticale asymptoten waar de cosinus nul wordt.

Uitgewerkt voorbeeld

Karakteristieke punten van een sinusgrafiek

Geef binnen $[0,2\pi]$ de nulpunten, het maximum en het minimum van $y=\cos x$ .

Maximum en minimum
De cosinus is $1$ waar de hoek $0$ (of $2\pi$ ) is, en $-1$ bij $\pi$ .
$\text{max }1\ \text{bij}\ x=0,\,2\pi;\qquad \text{min }-1\ \text{bij}\ x=\pi$
Nulpunten
De cosinus is nul waar het draaipunt op de $y$ -as ligt.
$\cos x=0\ \text{bij}\ x=\tfrac{\pi}{2}\ \text{en}\ x=\tfrac{3\pi}{2}$

Resultaat: Nulpunten $x=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}$ ; maximum $1$ bij $x=0$ en $2\pi$ ; minimum $-1$ bij $x=\pi$ .

Veelgemaakte fouten

De periode van de tangens ( $\pi$ ) verwarren met die van sinus en cosinus ( $2\pi$ ).
De grafieken van sinus en cosinus verwisselen (de sinus start in $0$ , de cosinus in $1$ ).
Bij de tangens de verticale asymptoten (waar $\cos x=0$ ) vergeten.
De hoek in graden invullen bij een grafiek die in radialen is uitgezet.

Actieve herhaling

Schets $y=\sin x$ en $y=\tan x$ op $[0,2\pi]$ . Geef bij de tangens de verticale asymptoten en bij de sinus de nulpunten, het maximum en het minimum.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Transformaties van sinusoïden#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-domein-D

De sinusoïde y = 2 sin x + 1

Afb. 3Afb. 1 — y = 2 sin x + 1 (doorgetrokken) heeft amplitude 2 en evenwichtslijn y = 1; de basisgolf y = sin x (gestreept) heeft amplitude 1 en evenwichtslijn y = 0.

Een algemene sinusoïde schrijf je in de standaardvorm

y=a\sin\bigl(b(x-c)\bigr)+d

, waarin de vier parameters elk een eigen kenmerk regelen.

a

is de amplitude: de halve afstand tussen top en dal, dus

|a|

(bij

a<0

is de golf bovendien in de evenwichtslijn gespiegeld).

d

is de evenwichtslijn: het gemiddelde niveau

y=d

waaromheen de golf schommelt. In Afb. 1 staat

y=2\sin x+1

: amplitude

2

(schommelt tussen

-1

3

) en evenwichtslijn

y=1

, vergeleken met de basisgolf

y=\sin x

De parameter

b

regelt de periode. Omdat de sinus zich herhaalt na

2\pi

in zijn argument, herhaalt

\sin\bigl(b(x-c)\bigr)

zich als

b(x-c)

met

2\pi

toeneemt, dus na een

x

-toename van

\dfrac{2\pi}{b}

. De periode is dan

\text{periode}=\dfrac{2\pi}{b}

. Een grotere

b

geeft een kortere periode (de golf wordt „ingedrukt”), precies de horizontale vermenigvuldiging uit het onderwerp transformaties. Uit een gegeven periode

P

vind je omgekeerd

b=\dfrac{2\pi}{P}

— de manier waarop je bij het opstellen van een sinusmodel de

b

berekent.

De parameter

c

is de horizontale (fase)verschuiving: de golf is

c

naar rechts opgeschoven. Let op: de

b

moet buiten haakjes staan (de vorm

b(x-c)

) voordat je

c

afleest. Staat er bijvoorbeeld

\sin(2x-\pi)

, dan haal je eerst de

2

buiten haakjes:

\sin\bigl(2(x-\tfrac{\pi}{2})\bigr)

, waaruit

c=\tfrac{\pi}{2}

(en niet

\pi

). Deze „buiten haakjes halen”-stap is precies dezelfde als bij de samengestelde transformaties, en het vergeten ervan is de meest gemaakte fout bij de faseverschuiving.

Bij het schetsen van een sinusoïde gebruik je de vier parameters systematisch: teken eerst de evenwichtslijn

y=d

, bepaal met de amplitude

|a|

het maximum (

d+|a|

) en het minimum (

d-|a|

), bereken de periode

\dfrac{2\pi}{b}

, en verschuif het startpunt met

c

. De vijf karakteristieke punten per periode (twee snijpunten met de evenwichtslijn, een top, een dal, en het herhaalpunt) plaats je dan op de juiste plaatsen en verbind je met een vloeiende golf. Zo krijg je uit het voorschrift snel een correcte schets — en omgekeerd uit een gegeven golf het voorschrift.

Het opstellen van een sinusformule uit een beschreven situatie is een kernvaardigheid. Uit de gegeven grootste en kleinste waarde bereken je de amplitude

a=\dfrac{\text{max}-\text{min}}{2}

en de evenwichtslijn

d=\dfrac{\text{max}+\text{min}}{2}

; uit de periode

P

volgt

b=\dfrac{2\pi}{P}

; en uit het moment waarop de golf een bekende waarde bereikt (bijvoorbeeld het maximum), bepaal je de faseverschuiving

c

. Zo modelleer je getijden, temperaturen of trillingen met één formule. Een nette uitwerking benoemt alle vier de parameters en controleert of de opgestelde formule de gegeven waarden reproduceert.

y=a\sin\bigl(b(x-c)\bigr)+d

Algemene sinusoïde

$a$ amplitude, $d$ evenwichtslijn, $c$ faseverschuiving (naar rechts), $b$ regelt de periode.

\text{periode}=\frac{2\pi}{b},\qquad a=\frac{\text{max}-\text{min}}{2},\qquad d=\frac{\text{max}+\text{min}}{2}

Parameters uit de gegevens

Uit de periode volgt $b$ ; uit maximum en minimum volgen de amplitude en de evenwichtslijn.

Uitgewerkt voorbeeld

Een sinusformule opstellen

Het waterpeil in een haven schommelt tussen $1$ m (laagwater) en $5$ m (hoogwater) met een periode van $12$ uur; hoogwater is op $t=3$ uur. Stel een formule $h(t)=a\sin\bigl(b(t-c)\bigr)+d$ op.

Amplitude en evenwichtslijn
Bereken $a$ en $d$ uit hoog- en laagwater.
$a=\frac{5-1}{2}=2,\qquad d=\frac{5+1}{2}=3$
b uit de periode
Gebruik $b=\dfrac{2\pi}{P}$ met $P=12$ .
$b=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$
Faseverschuiving c
De sinus bereikt haar maximum een kwart periode na $t=c$ ; met hoogwater op $t=3$ en een kwart periode $=3$ uur volgt $c=0$ . (Controle: $h(3)=2\sin(\tfrac{\pi}{6}\cdot 3)+3=2\sin\tfrac{\pi}{2}+3=5$ , hoogwater.)
$h(t)=2\sin\Bigl(\tfrac{\pi}{6}\,t\Bigr)+3$

Resultaat: $h(t)=2\sin\bigl(\tfrac{\pi}{6}t\bigr)+3$ (in meters, $t$ in uren).

Veelgemaakte fouten

De faseverschuiving aflezen zonder eerst $b$ buiten haakjes te halen ( $\sin(2x-\pi)$ heeft $c=\tfrac{\pi}{2}$ , niet $\pi$ ).
De periode als $b$ nemen in plaats van $\dfrac{2\pi}{b}$ .
De amplitude verwarren met de afstand tussen top en dal (dat is $2|a|$ , de amplitude is $|a|$ ).
De evenwichtslijn vergeten en de golf om de $x$ -as tekenen in plaats van om $y=d$ .

Actieve herhaling

Gegeven $y=3\sin\bigl(2(x-\tfrac{\pi}{4})\bigr)-1$ . Bepaal de amplitude, de periode, de evenwichtslijn en de faseverschuiving, en schets één periode.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Goniometrische vergelijkingen#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-domein-D

De vergelijking sin x = ½ grafisch

Afb. 4Afb. 1 — sin x = ½ op [0; 2π]: de lijn y = ½ snijdt de sinusgolf bij x = π/6 ≈ 0,52 en x = 5π/6 ≈ 2,62.

Een goniometrische vergelijking als

\sin x=\tfrac{1}{2}

heeft, door de periodiciteit, oneindig veel oplossingen. Je vindt ze in twee stappen: bepaal eerst één oplossing (de „basishoek”) uit een bekende waarde of de eenheidscirkel, en gebruik dan de symmetrie en periodiciteit om alle andere te vinden. In Afb. 1 zie je

\sin x=\tfrac{1}{2}

: de horizontale lijn

y=\tfrac{1}{2}

snijdt de sinusgolf binnen

[0,2\pi]

tweemaal, bij

x=\tfrac{\pi}{6}

x=\tfrac{5\pi}{6}

. Op de eenheidscirkel corresponderen die met de twee punten op dezelfde hoogte

\tfrac{1}{2}

De algemene oplossing van

\sin x=\sin\alpha

x=\alpha+k\cdot 2\pi

x=\pi-\alpha+k\cdot 2\pi

(met

k

een geheel getal), want de sinus neemt dezelfde waarde aan bij een hoek

\alpha

en bij zijn „spiegelhoek”

\pi-\alpha

, en beide herhalen zich elke

2\pi

. Voor de cosinus geldt

\cos x=\cos\alpha\Rightarrow x=\alpha+k\cdot 2\pi

x=-\alpha+k\cdot 2\pi

. Voor de tangens (periode

\pi

\tan x=\tan\alpha\Rightarrow x=\alpha+k\cdot\pi

. Deze algemene-oplossingsformules zijn het gereedschap om álle oplossingen te geven; welke je nodig hebt, hangt af van de functie in de vergelijking.

Meestal vraagt een opgave de oplossingen binnen een bepaald interval, bijvoorbeeld

[0,2\pi]

[0,360^{\circ}]

. Dan stel je de algemene oplossing op en kies je de gehele waarden van

k

die een oplossing binnen het interval geven. Voor

\sin x=\tfrac{1}{2}

[0,2\pi]

geeft

x=\tfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi

alleen

\tfrac{\pi}{6}

(voor

k=0

), en

x=\pi-\tfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi=\tfrac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi

alleen

\tfrac{5\pi}{6}

. De twee oplossingen

\tfrac{\pi}{6}

\tfrac{5\pi}{6}

zijn precies de snijpunten in de figuur. Vergeet nooit de tweede reeks oplossingen — beide takken meenemen is essentieel.

Vaak staat de vergelijking niet meteen in de vorm

\sin(\ldots)=\text{waarde}

en moet je eerst herleiden. Een vergelijking als

2\sin x-1=0

herschrijf je tot

\sin x=\tfrac{1}{2}

. Een vergelijking met een samengesteld argument als

\cos(2x)=0

los je op door eerst

2x

als één geheel te behandelen (

2x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi

) en dan door

2

te delen (

x=\tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2}

); let erop dat het interval voor

2x

dan tweemaal zo groot is, zodat er meer oplossingen zijn. En een vergelijking met zowel

\sin

als

\cos

herleid je soms met de grondformule

\sin^{2}x+\cos^{2}x=1

tot één functie.

Bij goniometrische vergelijkingen tellen zorgvuldigheid en volledigheid extra zwaar, omdat er meerdere oplossingen zijn. Controleer altijd: heb je beide takken (bij sinus en cosinus) meegenomen? Heb je bij een samengesteld argument het interval mee opgeschaald? Vallen alle gevonden oplossingen binnen het gevraagde interval? Een grafische controle — teken de golf en de horizontale lijn en tel de snijpunten — is een betrouwbare manier om te zien of je het juiste aantal oplossingen hebt. Deze combinatie van algebraïsch oplossen en grafisch controleren voorkomt de klassieke fout van „een halve set oplossingen”.

\sin x=\sin\alpha\;\Rightarrow\; x=\alpha+k\cdot 2\pi\ \text{of}\ x=\pi-\alpha+k\cdot 2\pi

Algemene oplossing (sinus)

De sinus neemt dezelfde waarde aan bij $\alpha$ en bij $\pi-\alpha$ ; beide herhalen zich elke $2\pi$ .

\cos x=\cos\alpha\;\Rightarrow\; x=\pm\alpha+k\cdot 2\pi,\qquad \tan x=\tan\alpha\;\Rightarrow\; x=\alpha+k\cdot\pi

Algemene oplossing (cosinus, tangens)

De cosinus is even (dus $\pm\alpha$ ); de tangens heeft periode $\pi$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Een goniometrische vergelijking oplossen op een interval

Los op: $2\cos x+1=0$ voor $x\in[0,2\pi]$ .

Herleiden
Isoleer de cosinus.
$\cos x=-\tfrac{1}{2}$
Basishoek
$\cos\alpha=-\tfrac{1}{2}$ geeft de referentiehoek $\tfrac{\pi}{3}$ ; in het tweede en derde kwadrant is de cosinus negatief.
$\alpha=\pi-\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{3}$
Algemene oplossing en interval
Gebruik $x=\pm\alpha+k\cdot 2\pi$ en kies de oplossingen in $[0,2\pi]$ .
$x=\tfrac{2\pi}{3}\ \text{of}\ x=2\pi-\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{4\pi}{3}$

Resultaat: $x=\dfrac{2\pi}{3}$ en $x=\dfrac{4\pi}{3}$ .

Veelgemaakte fouten

Slechts één van de twee oplossingsreeksen geven (de spiegelhoek $\pi-\alpha$ of $-\alpha$ vergeten).
Bij een samengesteld argument (zoals $\cos 2x$ ) niet delen door de factor, of het interval niet opschalen.
De periode van de tangens ( $\pi$ ) verwarren met $2\pi$ .
Oplossingen buiten het gevraagde interval meenemen, of oplossingen binnen het interval missen.

Actieve herhaling

Los op voor $x\in[0,2\pi]$ : (a) $2\sin x-\sqrt{3}=0$ ; (b) $\cos(2x)=\tfrac{1}{2}$ (let op het opschalen van het interval).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Afgeleiden en primitieven van sinus en cosinus#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-domein-Dexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C1

sin x en zijn afgeleide cos x

Afb. 5Afb. 1 — y = sin x (doorgetrokken) en zijn afgeleide y = cos x (gestreept). Bij de top van sin (x = π/2) is cos = 0: daar is de helling van de sinus nul.

De sinus en de cosinus hebben eenvoudige, elkaars „ronddraaiende” afgeleiden:

\dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x

\dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x

. Deze regels gelden alleen als

x

in radialen is — dát is de diepere reden waarom radialen de natuurlijke hoekmaat van de analyse zijn. In Afb. 1 staan

\sin x

en zijn afgeleide

\cos x

samen: waar de sinus haar maximum bereikt (bij

x=\tfrac{\pi}{2}

), is haar helling nul, en inderdaad is daar

\cos\tfrac{\pi}{2}=0

. De cosinusgrafiek is dus letterlijk de hellingfunctie van de sinus.

Met de kettingregel breid je deze afgeleiden uit naar samengestelde goniometrische functies:

\dfrac{d}{dx}\sin\bigl(g(x)\bigr)=\cos\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

\dfrac{d}{dx}\cos\bigl(g(x)\bigr)=-\sin\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

. Zo is

\dfrac{d}{dx}\sin(3x)=3\cos(3x)

\dfrac{d}{dx}\cos(x^{2})=-2x\sin(x^{2})

. Voor een algemene sinusoïde

y=a\sin\bigl(b(x-c)\bigr)+d

geeft dat

\dfrac{dy}{dx}=ab\cos\bigl(b(x-c)\bigr)

— handig om de steilheid, de snelheid of de extremen van een periodiek model te bepalen.

De primitieven volgen door de afgeleiden achterstevoren te lezen, met aandacht voor het teken:

\int\cos x\,dx=\sin x+C

\int\sin x\,dx=-\cos x+C

. Het minteken bij de primitieve van de sinus is de tegenhanger van het minteken bij de afgeleide van de cosinus, en wordt vaak vergeten. Voor samengestelde vormen deel je door de binnenste factor:

\int\cos(bx)\,dx=\dfrac{1}{b}\sin(bx)+C

\int\sin(bx)\,dx=-\dfrac{1}{b}\cos(bx)+C

. Deze primitieven heb je nodig om de oppervlakte onder een sinusgolf of de gemiddelde waarde van een periodiek signaal te berekenen.

De afgeleiden en primitieven van sinus en cosinus laten een prachtige cyclus zien: differentieer je

\sin x

herhaald, dan krijg je

\cos x

-\sin x

-\cos x

en na vier keer weer

\sin x

. Dit „rondje van vier” verklaart waarom sinus en cosinus samen zo natuurlijk trillingen beschrijven: hun afgeleide (de snelheid) is opnieuw een sinusoïde, en hun tweede afgeleide is de functie zelf met een minteken (

\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}\sin x=-\sin x

). Die eigenschap — de tweede afgeleide is min de functie — is de wiskundige handtekening van een harmonische trilling.

In toepassingen gebruik je deze afgeleiden en primitieven om periodieke modellen te analyseren. De afgeleide van een waterstands- of temperatuurmodel geeft de snelheid van stijgen of dalen; nul stellen ervan geeft de momenten van hoog- en laagwater (de extremen). De primitieve geeft de totale opgetelde grootheid over een periode of de oppervlakte onder de golf. Bij het examen wordt gevraagd een goniometrische functie correct te differentiëren (met de kettingregel) of te primitiveren (met de deelfactor

\tfrac{1}{b}

), en de uitkomst in de context te interpreteren — bijvoorbeeld als de snelheid waarmee het water stijgt op een bepaald tijdstip.

\frac{d}{dx}\sin x=\cos x\qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x

Afgeleiden (in radialen)

De sinus differentieert naar de cosinus, de cosinus naar min de sinus; alleen geldig in radialen.

\int\cos x\,dx=\sin x+C\qquad \int\sin x\,dx=-\cos x+C

Primitieven

De afgeleiden achterstevoren; let op het minteken bij de primitieve van de sinus.

\frac{d}{dx}\sin\bigl(b(x-c)\bigr)=b\cos\bigl(b(x-c)\bigr)

Met de kettingregel

De extra factor $b$ (de afgeleide van de binnenkant) hoort bij elke samengestelde sinus of cosinus.

Uitgewerkt voorbeeld

Differentiëren en primitiveren van een sinusoïde

Differentieer $f(x)=3\sin(2x)$ en bepaal $\int 3\sin(2x)\,dx$ .

Differentiëren met de kettingregel
De afgeleide van $\sin(2x)$ is $2\cos(2x)$ (binnenste factor $2$ ).
$f'(x)=3\cdot 2\cos(2x)=6\cos(2x)$
Primitiveren met de deelfactor
De primitieve van $\sin(2x)$ is $-\tfrac{1}{2}\cos(2x)$ (deel door de binnenste factor $2$ ).
$\int 3\sin(2x)\,dx=3\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\Bigr)+C=-\tfrac{3}{2}\cos(2x)+C$
Controle
Differentieer de primitieve terug: $\dfrac{d}{dx}\bigl(-\tfrac{3}{2}\cos(2x)\bigr)=-\tfrac{3}{2}\cdot(-\sin(2x))\cdot 2=3\sin(2x)$ . Klopt.

Resultaat: $f'(x)=6\cos(2x)$ en $\int 3\sin(2x)\,dx=-\tfrac{3}{2}\cos(2x)+C$ .

Veelgemaakte fouten

Het minteken vergeten: $\dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x$ en $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ .
De kettingfactor $b$ vergeten bij $\sin(bx)$ , of de deelfactor $\tfrac{1}{b}$ bij de primitieve.
Differentiëren of primitiveren met de hoek in graden (de regels gelden alleen in radialen).
Bij het primitiveren de sinus en cosinus verwisselen.

Actieve herhaling

Differentieer $f(x)=\cos(3x)+2\sin x$ en bepaal $\int\bigl(4\cos(2x)-\sin x\bigr)\,dx$ . Bereken daarna $\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde B (VWO)

Goniometrische functies en radialen

Kernpunten

Graden en radialen, en een exacte waarde

Kernpunten

Karakteristieke punten van een sinusgrafiek

Kernpunten

Een sinusformule opstellen

Kernpunten

Een goniometrische vergelijking oplossen op een interval

Kernpunten

Differentiëren en primitiveren van een sinusoïde

Bronnen