Samenvattingen · Wiskunde BNL · VWO

Integraalrekening en primitieven

Integreren is de omgekeerde bewerking van differentiëren: een primitieve $F$ van $f$ voldoet aan $F'=f$ . De bepaalde integraal $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ meet de georiënteerde oppervlakte onder de grafiek van $f$ en bereken je met de hoofdstelling van de integraalrekening als $F(b)-F(a)$ . Met integralen bereken je oppervlakten tussen grafieken en de inhoud van omwentelingslichamen — de belangrijkste toepassingen van de analyse in wiskunde B.

4 Onderdelen~15 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 1 · Verdieping 3

T·101010 / 16

Examenprofiel

C3 · Primitieve functies en de onbepaalde integraal \int f(x) dx=F(x)+CDe bepaalde integraal als georiënteerde oppervlakte; de hoofdstelling \intabf=F(b)-F(a)Oppervlakte tussen twee grafieken berekenenInhoud van omwentelingslichamen (π\int y² dx)

Operatoren:berekenbepaalprimitiveertoon aangeefleid af

basisniveau

Primitiveren, de bepaalde integraal en oppervlakteberekening horen tot de centraal-examenstof van subdomein C3.

verhoogd niveau

Verdieping zit in oppervlakten tussen grafieken die elkaar meermaals snijden, in het opsplitsen van integralen bij tekenwissel, en in de inhoud van omwentelingslichamen.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Integraalrekening en primitieven

Primitieven en de onbepaalde integraal#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C3

Een primitieve functie

F

van

f

is een functie waarvan de afgeleide

f

is:

F'(x)=f(x)

. Integreren is dus differentiëren „achterstevoren”: je zoekt de functie die, gedifferentieerd,

f

oplevert. Voor

f(x)=2x

F(x)=x^{2}

een primitieve, want

\dfrac{d}{dx}x^{2}=2x

. Maar

x^{2}+1

x^{2}-2

zijn óók primitieven, want een constante verdwijnt bij differentiëren. In Afb. 1 zie je deze familie

x^{2}

x^{2}+1

x^{2}-2

als evenwijdige parabolen: ze verschillen alleen in verticale ligging, want hun helling is overal gelijk.

De familie primitieven van f(x) = 2x

Afb. 1Afb. 1 — De primitieven van f(x) = 2x zijn x² + C: evenwijdige parabolen die alleen verticaal verschoven zijn (hier C = 0, 1, −2).

Omdat elke constante bij differentiëren wegvalt, hebben alle primitieven van

f

dezelfde vorm op een constante na. Dat noteer je met de onbepaalde integraal

\int f(x)\,dx=F(x)+C

, waarin

C

de integratieconstante is: een willekeurig getal dat de verticale ligging bepaalt. Vergeet die

+C

nooit bij een onbepaalde integraal — het is geen formaliteit maar de erkenning dat er oneindig veel primitieven zijn. Pas als je een extra voorwaarde krijgt (bijvoorbeeld dat de grafiek door een gegeven punt gaat), bepaal je de specifieke waarde van

C

De standaardprimitieven volgen uit de standaardafgeleiden, achterstevoren gelezen. De belangrijkste is de omgekeerde machtsregel:

\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C

(voor

n\neq -1

) — „verhoog de exponent met

1

en deel erdoor”. Verder:

\int e^{x}\,dx=e^{x}+C

\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C

(het uitzonderingsgeval

n=-1

van de machtsregel),

\int\cos x\,dx=\sin x+C

\int\sin x\,dx=-\cos x+C

. Net als bij differentiëren mag je een constante factor voor de integraal halen en een som term voor term integreren.

Je controleert een primitieve altijd door hem te differentiëren: krijg je

f

terug, dan klopt hij. Deze controle is snel en betrouwbaar en vangt de meest gemaakte fouten — een vergeten factor, een fout in de exponent, of een verkeerd teken (denk aan het minteken bij

\int\sin x\,dx=-\cos x

). Voor

\int(3x^{2}-4x)\,dx=x^{3}-2x^{2}+C

controleer je:

\dfrac{d}{dx}(x^{3}-2x^{2})=3x^{2}-4x

. Klopt. Maak deze terugcontrole een gewoonte; ze kost weinig tijd en voorkomt puntenverlies.

De omgekeerde machtsregel werkt niet voor

n=-1

, want dan zou je door

n+1=0

delen. Juist dáár springt de logaritme in:

\int x^{-1}\,dx=\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C

. Dit uitzonderingsgeval is belangrijk en wordt vaak vergeten: de primitieve van

\dfrac{1}{x}

is niet een macht maar de natuurlijke logaritme (met absolute-waardestrepen, omdat

\dfrac{1}{x}

ook voor negatieve

x

bestaat). Voor samengestelde integranden zoals

\dfrac{1}{x+2}

gebruik je dat de primitieve

\ln|x+2|+C

is — een toepassing van de „kettingregel achterstevoren” die in het examenprogramma bij de standaardprimitieven hoort.

\int f(x)\,dx=F(x)+C \quad\text{met}\quad F'(x)=f(x)

Onbepaalde integraal

Alle primitieven van $f$ verschillen een constante; $+C$ is de integratieconstante.

\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq -1)\qquad \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C

Omgekeerde machtsregel

Verhoog de exponent met $1$ en deel erdoor; het geval $n=-1$ geeft de logaritme.

\int e^{x}\,dx=e^{x}+C,\quad \int\cos x\,dx=\sin x+C,\quad \int\sin x\,dx=-\cos x+C

Standaardprimitieven

De standaardafgeleiden achterstevoren gelezen; let op het minteken bij de primitieve van de sinus.

Uitgewerkt voorbeeld

Primitieve met een voorwaarde voor C

Bepaal de primitieve $F$ van $f(x)=3x^{2}-4x+1$ waarvoor de grafiek door het punt $(1,\,2)$ gaat.

Algemene primitieve
Integreer term voor term met de omgekeerde machtsregel.
$F(x)=x^{3}-2x^{2}+x+C$
Voorwaarde invullen
Gebruik $F(1)=2$ om $C$ te bepalen.
$F(1)=1-2+1+C=C=2\;\Rightarrow\; C=2$
Controle
Differentieer $F$ om terug te komen bij $f$ .
$F'(x)=3x^{2}-4x+1=f(x)$

Resultaat: $F(x)=x^{3}-2x^{2}+x+2$ .

Veelgemaakte fouten

De integratieconstante $+C$ vergeten bij een onbepaalde integraal.
De omgekeerde machtsregel toepassen op $\tfrac{1}{x}$ (dat geeft de logaritme, geen macht).
Het minteken bij $\int\sin x\,dx=-\cos x$ vergeten, of de sinus en cosinus verwisselen.
Bij het integreren de exponent verlagen (differentieerreflex) in plaats van te verhogen.

Actieve herhaling

Bepaal de primitieve van $f(x)=4x^{3}-\dfrac{2}{x^{2}}+e^{x}$ . Bepaal daarna de primitieve $G$ van $g(x)=6x-2$ waarvoor $G(2)=5$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

De bepaalde integraal en de hoofdstelling#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C3

De bepaalde integraal als oppervlakte onder f(x) = 4 − x²

Afb. 2Afb. 1 — Het gearceerde gebied onder f(x) = 4 − x² tussen de nulpunten x = ±2 heeft oppervlakte ∫₋₂² (4 − x²) dx = 32/3.

De bepaalde integraal

\int_{a}^{b}f(x)\,dx

meet de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek van

f

en de

x

-as, van

x=a

tot

x=b

. „Georiënteerd” betekent dat oppervlakte boven de

x

-as positief telt en oppervlakte eronder negatief. In Afb. 1 is het gebied onder de parabool

f(x)=4-x^{2}

tussen de nulpunten

x=-2

x=2

gearceerd; die oppervlakte is de waarde van

\int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,dx

. Het idee erachter is een limiet: verdeel het interval in heel veel smalle rechthoekjes, tel hun oppervlakten op, en laat de breedte naar nul gaan — de som nadert dan de oppervlakte onder de kromme.

De hoofdstelling van de integraalrekening verbindt deze oppervlakte met de primitieve:

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)

, waarin

F

een primitieve van

f

is. Dit is een van de mooiste resultaten van de wiskunde: het meten van een oppervlakte (een meetkundig, „optellend” proces) blijkt te kunnen via primitiveren (het omgekeerde van differentiëren). Je berekent de integraal dus door een primitieve te zoeken en de bovengrens minus de ondergrens in te vullen. De notatie

\bigl[F(x)\bigr]_{a}^{b}=F(b)-F(a)

maakt die laatste stap netjes zichtbaar.

Voor

\int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,dx

neem je de primitieve

F(x)=4x-\dfrac{x^{3}}{3}

en reken je

F(2)-F(-2)

F(2)=8-\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}

F(-2)=-8+\dfrac{8}{3}=-\dfrac{16}{3}

, dus de integraal is

\dfrac{16}{3}-\bigl(-\dfrac{16}{3}\bigr)=\dfrac{32}{3}

. Bij een bepaalde integraal laat je de integratieconstante

C

weg, want die valt bij

F(b)-F(a)

toch weg. De uitkomst

\dfrac{32}{3}

is de exacte oppervlakte onder de parabool tussen de nulpunten.

Let op het onderscheid tussen de integraal en de werkelijke oppervlakte. Als de grafiek deels onder de

x

-as loopt, telt dat deel negatief in de integraal, terwijl de oppervlakte altijd positief is. Voor de werkelijke oppervlakte moet je dan het interval opsplitsen bij de nulpunten en de absolute waarden van de deelintegralen optellen. Vraagt een opgave naar „de oppervlakte”, dan bereken je die opgesplitste, positieve som; vraagt ze naar „de integraal”, dan de georiënteerde waarde. Dit onderscheid goed lezen voorkomt een klassieke fout waarbij positieve en negatieve delen elkaar ten onrechte opheffen.

De bepaalde integraal heeft, naast oppervlakte, ook de betekenis van „totale verandering”. Is

f

een veranderingssnelheid (bijvoorbeeld

f(t)=v(t)

, de snelheid), dan is

\int_{a}^{b}v(t)\,dt

de totale afgelegde verplaatsing tussen

t=a

t=b

. Dit sluit de cirkel met de differentiaalrekening: differentiëren gaat van totaal naar snelheid, integreren van snelheid terug naar totaal. Deze dubbele betekenis — georiënteerde oppervlakte én opgetelde verandering — maakt de bepaalde integraal tot een veelzijdig gereedschap dat in wiskunde B zowel meetkundig (oppervlakte, inhoud) als toegepast (totale verandering) wordt ingezet.

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\bigl[F(x)\bigr]_{a}^{b}=F(b)-F(a)

Hoofdstelling van de integraalrekening

De georiënteerde oppervlakte onder $f$ is de primitieve in de bovengrens min die in de ondergrens.

\int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,dx=\Bigl[4x-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-2}^{2}=\tfrac{16}{3}-\bigl(-\tfrac{16}{3}\bigr)=\tfrac{32}{3}

Voorbeeld

De oppervlakte onder de parabool tussen de nulpunten is exact $\tfrac{32}{3}$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Een bepaalde integraal berekenen

Bereken $\int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,dx$ met de hoofdstelling.

Primitieve bepalen
Integreer term voor term (constante $C$ mag weg bij een bepaalde integraal).
$F(x)=4x-\frac{x^{3}}{3}$
Grenzen invullen
Bereken $F(2)$ en $F(-2)$ .
$F(2)=8-\tfrac{8}{3}=\tfrac{16}{3},\qquad F(-2)=-8+\tfrac{8}{3}=-\tfrac{16}{3}$
Verschil nemen
Trek $F(-2)$ van $F(2)$ af.
$\int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,dx=\tfrac{16}{3}-\bigl(-\tfrac{16}{3}\bigr)=\tfrac{32}{3}$

Resultaat: $\int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,dx=\dfrac{32}{3}$ .

Veelgemaakte fouten

De grenzen in de verkeerde volgorde invullen ( $F(a)-F(b)$ in plaats van $F(b)-F(a)$ ).
Bij een oppervlakte die deels onder de $x$ -as ligt de integraal gelijkstellen aan de oppervlakte (splits op bij de nulpunten).
De integratieconstante meenemen bij een bepaalde integraal (die valt weg).
Een tekenfout bij het invullen van een negatieve grens, zoals $(-2)^{3}=-8$ .

Actieve herhaling

Bereken $\int_{1}^{3}(2x+1)\,dx$ en $\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx$ . Bepaal daarna de werkelijke oppervlakte tussen de grafiek van $g(x)=x^{2}-1$ en de $x$ -as op $[0,2]$ (let op de tekenwissel bij $x=1$ ).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Oppervlakte tussen grafieken#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C3

Oppervlakte tussen y = x + 2 en y = x²

Afb. 3Afb. 1 — Het gearceerde gebied tussen de lijn y = x + 2 (boven) en de parabool y = x² (onder), van x = −1 tot x = 2; oppervlakte 9/2.

De oppervlakte van het gebied dat door twee grafieken wordt ingesloten, bereken je met de integraal van het verschil „bovenste functie min onderste functie”. Als

f(x)\ge g(x)

[a,b]

, dan is de ingesloten oppervlakte

\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx

. In Afb. 1 is het gebied tussen de lijn

y=x+2

en de parabool

y=x^{2}

gearceerd; op dit gebied ligt de lijn boven de parabool, dus integreer je

\bigl((x+2)-x^{2}\bigr)

over het interval tussen de snijpunten.

De grenzen

a

b

zijn de

x

-coördinaten van de snijpunten van de twee grafieken; die vind je door

f(x)=g(x)

op te lossen. Voor de lijn en de parabool geeft

x+2=x^{2}

, dus

x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)=0

, de snijpunten

x=-1

x=2

. Het bepalen van deze grenzen is een onmisbare eerste stap: zonder de juiste snijpunten integreer je over het verkeerde interval. Teken zo nodig een schets om te zien welke functie boven ligt en waar de grafieken elkaar snijden.

Met de grenzen en het verschil bereken je de oppervlakte:

\int_{-1}^{2}\bigl((x+2)-x^{2}\bigr)\,dx=\int_{-1}^{2}(x+2-x^{2})\,dx

. De primitieve is

\dfrac{x^{2}}{2}+2x-\dfrac{x^{3}}{3}

; invullen van de grenzen geeft

\Bigl(2+4-\dfrac{8}{3}\Bigr)-\Bigl(\dfrac{1}{2}-2+\dfrac{1}{3}\Bigr)=\dfrac{10}{3}-\bigl(-\dfrac{7}{6}\bigr)=\dfrac{9}{2}

. De ingesloten oppervlakte is dus exact

\dfrac{9}{2}

. Het integreren van het verschil zorgt er automatisch voor dat je de „hoogte” van het gebied op elke

x

meet, ongeacht of de grafieken boven of onder de

x

-as liggen.

Cruciaal is te bepalen welke functie boven ligt, want het verschil moet „boven min onder” zijn om een positieve oppervlakte te geven. Als je niet zeker weet welke boven ligt, vul dan een tussenliggende

x

-waarde in beide functies in en vergelijk. Wisselen de grafieken van positie binnen het interval (ze snijden elkaar meer dan twee keer), dan splits je het interval bij elk snijpunt en tel je de oppervlakten van de deelgebieden op, telkens met „boven min onder” voor dat stuk. Zo blijft elke deeloppervlakte positief.

Deze methode is een van de kerntoepassingen van de integraalrekening en komt op het examen vaak voor. De aanpak is telkens dezelfde: (1) bepaal de snijpunten

f(x)=g(x)

; (2) stel vast welke functie boven ligt; (3) integreer het verschil over het interval; (4) splits op bij extra snijpunten. Het verschil met een gewone oppervlakte onder één grafiek is dat je nu twee functies hebt en dus hun verschil integreert. Een nette uitwerking toont de snijpunten, de keuze van boven- en onderfunctie, de opgestelde integraal en de exacte uitkomst.

\text{oppervlakte}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx \quad (f\ge g \text{ op } [a,b])

Oppervlakte tussen grafieken

Integreer bovenste min onderste functie; de grenzen zijn de snijpunten.

\int_{-1}^{2}\bigl((x+2)-x^{2}\bigr)\,dx=\frac{9}{2}

Voorbeeld

De oppervlakte tussen $y=x+2$ en $y=x^{2}$ tussen hun snijpunten $x=-1$ en $x=2$ is exact $\tfrac{9}{2}$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Oppervlakte tussen twee grafieken

Bereken de oppervlakte van het gebied ingesloten door $y=x+2$ en $y=x^{2}$ .

Snijpunten bepalen
Stel de functies gelijk en los op.
$x+2=x^{2}\;\Rightarrow\; x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)=0\;\Rightarrow\; x=-1,\,2$
Boven en onder vaststellen
Op $(-1,2)$ ligt de lijn boven de parabool (test $x=0$ : $2>0$ ), dus integreer $\text{lijn}-\text{parabool}$ .
Integraal opstellen en primitiveren
Integreer het verschil.
$\int_{-1}^{2}(x+2-x^{2})\,dx=\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}+2x-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{2}$
Grenzen invullen
Bereken bovengrens min ondergrens.
$\Bigl(2+4-\tfrac{8}{3}\Bigr)-\Bigl(\tfrac{1}{2}-2+\tfrac{1}{3}\Bigr)=\tfrac{10}{3}+\tfrac{7}{6}=\tfrac{9}{2}$

Resultaat: De ingesloten oppervlakte is $\dfrac{9}{2}$ .

Veelgemaakte fouten

Onder min boven integreren, waardoor de oppervlakte negatief uitkomt.
De snijpunten (grenzen) niet eerst bepalen of ze verkeerd oplossen.
Bij grafieken die van positie wisselen niet opsplitsen, waardoor delen elkaar opheffen.
De losse integralen van $f$ en $g$ aftrekken zonder eerst het verschil te nemen (kan bij verschillende grenzen fout gaan).

Actieve herhaling

Bereken de oppervlakte van het gebied ingesloten door $y=6-x^{2}$ en $y=x$ . Bepaal eerst de snijpunten en stel vast welke grafiek boven ligt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Inhoud van omwentelingslichamen#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C3

Doorsnede van het omwentelingslichaam van y = √x

Afb. 4Afb. 1 — Wentel y = √x (op [0; 4]) om de x-as: het gearceerde gebied tussen y = √x en y = −√x is de doorsnede. Inhoud V = π∫₀⁴ x dx = 8π.

Draai je het gebied onder de grafiek van

f

(tussen

x=a

x=b

) rond de

x

-as, dan ontstaat een omwentelingslichaam: een driedimensionaal lichaam met ronde dwarsdoorsneden. In Afb. 1 is de kromme

y=\sqrt{x}

getekend samen met haar spiegelbeeld

y=-\sqrt{x}

; het gearceerde gebied tussen beide is de doorsnede van het lichaam dat ontstaat als je

y=\sqrt{x}

(op

[0,4]

) om de

x

-as wentelt. Elke dwarsdoorsnede loodrecht op de

x

-as is een cirkel met straal

f(x)

De inhoud bereken je door deze cirkelvormige „plakjes” op te tellen. Een plakje op positie

x

met dikte

dx

is een dun schijfje met straal

f(x)

, dus met oppervlakte

\pi\bigl(f(x)\bigr)^{2}

en inhoud

\pi\bigl(f(x)\bigr)^{2}\,dx

. De totale inhoud is de integraal van deze schijfjes:

V=\pi\int_{a}^{b}\bigl(f(x)\bigr)^{2}\,dx

. Merk op dat je de functie moet kwadrateren vóór je integreert, want de oppervlakte van een cirkel gaat met het kwadraat van de straal. Deze schijvenmethode is de standaardaanpak voor de inhoud van een omwentelingslichaam om de

x

-as.

Voor de kromme

y=\sqrt{x}

[0,4]

wordt dat

V=\pi\int_{0}^{4}\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}\,dx=\pi\int_{0}^{4}x\,dx

. Het kwadraat maakt de integrand hier bijzonder eenvoudig:

\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}=x

. De primitieve is

\dfrac{x^{2}}{2}

, dus

V=\pi\Bigl[\dfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{4}=\pi\cdot\dfrac{16}{2}=8\pi

. De inhoud van dit paraboloïde-vormige lichaam is dus exact

8\pi

. Het kwadrateren van

\sqrt{x}

tot

x

laat mooi zien waarom je eerst kwadrateert en dan pas primitiveert.

De formule

V=\pi\int_{a}^{b}y^{2}\,dx

geldt voor wenteling om de

x

-as. Wentel je om de

y

-as, dan wissel je de rollen van

x

y

: je drukt

x

uit in

y

en integreert

V=\pi\int_{c}^{d}x^{2}\,dy

over het bijbehorende

y

-interval. En wentel je het gebied tussen twee grafieken

f

(buiten) en

g

(binnen), dan trek je de „binnenste” inhoud van de „buitenste” af:

V=\pi\int_{a}^{b}\bigl(f(x)^{2}-g(x)^{2}\bigr)\,dx

(de ringmethode). Het herkennen van de wentelingsas en van „vol” versus „hol” bepaalt welke van deze varianten je gebruikt.

Omwentelingslichamen verbinden de integraalrekening met de ruimtemeetkunde en met vertrouwde formules. De inhoud van een cilinder (

V=\pi r^{2}h

) en een kegel (

V=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}h

) volgen als bijzondere gevallen: een cilinder ontstaat door een horizontale lijn te wentelen, een kegel door een schuine lijn door de oorsprong. Het uitrekenen van zulke inhouden met een integraal — in plaats van een kant-en-klare formule — laat zien hoe de analyse meetkundige grootheden bereikt die anders lastig te berekenen zijn. Op het examen wordt gevraagd de integraal correct op te stellen (juiste functie, juiste grenzen, kwadrateren) en exact uit te rekenen, met

\pi

in het antwoord.

V=\pi\int_{a}^{b}\bigl(f(x)\bigr)^{2}\,dx

Inhoud bij wenteling om de x-as

Elke dwarsdoorsnede is een cirkel met straal $f(x)$ en oppervlakte $\pi f(x)^{2}$ ; integreren telt de schijfjes op.

V=\pi\int_{0}^{4}\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}\,dx=\pi\int_{0}^{4}x\,dx=8\pi

Voorbeeld

Kwadrateer eerst ( $\sqrt{x}$ wordt $x$ ), integreer dan; de inhoud is exact $8\pi$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Inhoud van een omwentelingslichaam

Het gebied onder $y=\sqrt{x}$ tussen $x=0$ en $x=4$ wordt om de $x$ -as gewenteld. Bereken de inhoud van het ontstane lichaam.

Formule opstellen
Gebruik $V=\pi\int_{a}^{b}y^{2}\,dx$ met $y=\sqrt{x}$ .
$V=\pi\int_{0}^{4}\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}\,dx$
Kwadrateren en primitiveren
Kwadrateer $\sqrt{x}$ tot $x$ en bepaal de primitieve.
$V=\pi\int_{0}^{4}x\,dx=\pi\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{4}$
Grenzen invullen
Vul de grenzen in.
$V=\pi\cdot\tfrac{16}{2}=8\pi$

Resultaat: De inhoud is $V=8\pi$ (kubieke eenheden).

Veelgemaakte fouten

Vergeten de functie te kwadrateren (de straal gaat kwadratisch in de cirkeloppervlakte).
$\pi$ vergeten of het als $\pi^{2}$ noteren.
Bij wenteling om de $y$ -as toch $y^{2}$ integreren in plaats van $x^{2}\,dy$ .
Bij een hol lichaam de stralen aftrekken vóór het kwadrateren in plaats van de kwadraten $f^{2}-g^{2}$ .

Actieve herhaling

Het gebied onder $y=x^{2}$ tussen $x=0$ en $x=2$ wordt om de $x$ -as gewenteld. Bereken de inhoud. Bepaal daarna de inhoud van het lichaam dat ontstaat door $y=\sqrt{x}$ tussen $x=0$ en $x=1$ om de $x$ -as te wentelen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde B (VWO)

Integraalrekening en primitieven

Kernpunten

Primitieve met een voorwaarde voor C

Kernpunten

Een bepaalde integraal berekenen

Kernpunten

Oppervlakte tussen twee grafieken

Kernpunten

Inhoud van een omwentelingslichaam

Bronnen