Samenvattingen · Wiskunde BNL · VWO

Algebraïsche methoden in de vlakke meetkunde

In de analytische meetkunde beschrijf je punten, lijnen en cirkels met coördinaten en vergelijkingen, zodat meetkundige vragen algebraïsche berekeningen worden. Je berekent afstanden en middens, stelt vergelijkingen van lijnen op (met richtingscoëfficiënt, evenwijdig of loodrecht), beschrijft cirkels met $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ , en bepaalt snijpunten en raaklijnen algebraïsch. Deze methoden vormen de kern van de centraal geëxamineerde meetkunde in wiskunde B.

4 Onderdelen~16 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 2 · Verdieping 2

T·131313 / 16

Examenprofiel

E2 · Afstand en midden van punten in een coördinatenstelselVergelijkingen van lijnen; richtingscoëfficiënt, evenwijdig en loodrechtDe cirkel: vergelijking (x-a)²+(y-b)²=r² en kwadraatafsplitsenSnijpunten en raaklijnen algebraïsch bepalen

Operatoren:berekenbepaalstel optoon aanlos opgeef

basisniveau

Afstand, midden, lijnen en cirkels in coördinaten horen tot de centraal-examenstof van subdomein E2.

verhoogd niveau

Verdieping zit in het kwadraatafsplitsen van een algemene cirkelvergelijking, in het bepalen van raaklijnen aan cirkels en in het combineren van lijn- en cirkelvergelijkingen.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Algebraïsche methoden in de vlakke meetkunde

Punten, afstand en midden#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-E2

In de analytische meetkunde beschrijf je een punt met zijn coördinaten

(x,y)

. De twee basisberekeningen zijn de afstand tussen twee punten en het midden van een lijnstuk. De afstand tussen

A(x_{1},y_{1})

B(x_{2},y_{2})

|AB|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}

: dat is de stelling van Pythagoras op het horizontale verschil

x_{2}-x_{1}

en het verticale verschil

y_{2}-y_{1}

. In Afb. 1 zie je

A(1,1)

B(5,4)

; de afstand is

\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5

, en het midden

M

ligt op

(3;\,2{,}5)

Afstand en midden van twee punten

Afb. 1Afb. 1 — A(1; 1) en B(5; 4): afstand |AB| = √(4² + 3²) = 5, midden M = (3; 2,5).

Het midden

M

van het lijnstuk

AB

heeft als coördinaten het gemiddelde van de coördinaten van

A

B

M=\Bigl(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2},\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\Bigr)

. Voor

A(1,1)

B(5,4)

is dat

\Bigl(\dfrac{1+5}{2},\dfrac{1+4}{2}\Bigr)=(3;\,2{,}5)

. Deze middenformule is de meetkundige tegenhanger van „het gemiddelde”: je pakt letterlijk het gemiddelde van de

x

-coördinaten en van de

y

-coördinaten. Ze wordt veel gebruikt, bijvoorbeeld om het middelpunt van een cirkel te vinden als je twee diametraal tegenoverliggende punten kent.

De afstandsformule bewijst haar nut telkens als een lengte gevraagd wordt: de zijde van een driehoek, de straal van een cirkel (afstand van middelpunt tot een punt op de cirkel), of de lengte van een lijnstuk in een bewijs. Reken de verschillen zorgvuldig uit — al maakt het kwadraat het teken onschadelijk, een fout in

x_{2}-x_{1}

verpest de uitkomst. Laat het antwoord in exacte vorm staan waar dat gevraagd is:

|AB|=\sqrt{52}=2\sqrt{13}

is exact, terwijl

7{,}21

een afronding is.

Met afstand en midden bewijs je meetkundige eigenschappen analytisch. Wil je aantonen dat een driehoek gelijkbenig is, dan reken je twee zijden uit en laat je zien dat ze gelijk zijn; wil je aantonen dat een vierhoek een parallellogram is, dan toon je aan dat de diagonalen hetzelfde midden hebben (want de diagonalen van een parallellogram delen elkaar middendoor). Zo worden meetkundige beweringen berekeningen. Deze „reken-bewijzen” zijn een groot deel van de meetkundeopgaven op het examen wiskunde B.

De afstandsformule en de middenformule zijn de eerste bouwstenen van de analytische meetkunde en keren overal terug. De afstand tot een middelpunt definieert een cirkel; het midden van een koorde ligt op de middelloodlijn; de afstand van een punt tot een lijn meet je met een loodrechte projectie. In de volgende paragrafen bouw je hierop voort met vergelijkingen van lijnen en cirkels. Het vlot en foutloos kunnen berekenen van een afstand en een midden is daarom een basisvaardigheid die je in bijna elke meetkundeopgave nodig hebt.

|AB|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}

Afstand tussen twee punten

Pythagoras op het horizontale en verticale verschil tussen de punten.

M=\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\ \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)

Midden van een lijnstuk

Het gemiddelde van de $x$ -coördinaten en van de $y$ -coördinaten.

Uitgewerkt voorbeeld

Afstand en midden berekenen

Gegeven $A(2,-1)$ en $B(6,5)$ . Bereken exact de afstand $|AB|$ en de coördinaten van het midden $M$ .

Verschillen bepalen
Bereken $x_{2}-x_{1}$ en $y_{2}-y_{1}$ .
$x_{2}-x_{1}=6-2=4,\qquad y_{2}-y_{1}=5-(-1)=6$
Afstand met Pythagoras
Vul in de afstandsformule in en vereenvoudig de wortel.
$|AB|=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
Midden berekenen
Neem het gemiddelde van de coördinaten.
$M=\Bigl(\tfrac{2+6}{2},\tfrac{-1+5}{2}\Bigr)=(4;\,2)$

Resultaat: $|AB|=2\sqrt{13}$ en $M=(4;\,2)$ .

Veelgemaakte fouten

Bij de afstandsformule de wortel of het kwadraat vergeten.
Bij het midden de verschillen nemen in plaats van het gemiddelde.
Een tekenfout bij $y_{2}-y_{1}$ met een negatieve coördinaat, zoals $5-(-1)=6$ .
Een decimale benadering geven waar een exacte waarde gevraagd is.

Actieve herhaling

Gegeven $P(-3,2)$ en $Q(3,-6)$ . Bereken exact $|PQ|$ en het midden $M$ . Toon aan dat de driehoek met hoekpunten $P$ , $Q$ en $R(5,4)$ gelijkbenig is (bereken $|PR|$ en $|QR|$ ).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Lijnen in het vlak: vergelijking en stand#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-E2

Twee loodrechte lijnen

Afb. 2Afb. 1 — De lijnen y = ½x + 1 en y = −2x + 1 staan loodrecht (½·(−2) = −1) en snijden elkaar in (0; 1).

Een rechte lijn beschrijf je meestal met de vergelijking

y=ax+b

, waarin

a

de richtingscoëfficiënt (helling) is en

b

het snijpunt met de

y

-as. De richtingscoëfficiënt tussen twee punten

A(x_{1},y_{1})

B(x_{2},y_{2})

op de lijn is

a=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

, het verticale verschil gedeeld door het horizontale. Een verticale lijn kun je niet zo schrijven (de helling zou oneindig zijn); die heeft de vorm

x=c

. Naast

y=ax+b

bestaat de algemene vorm

px+qy=r

, handig bij loodrechte lijnen en bij snijpunten.

Om de vergelijking van een lijn op te stellen heb je twee gegevens nodig: twee punten, of één punt en de richtingscoëfficiënt. Ken je de richtingscoëfficiënt

a

en een punt

(x_{0},y_{0})

, dan gebruik je

y-y_{0}=a(x-x_{0})

en werk je uit tot

y=ax+b

. Ken je twee punten, dan bereken je eerst

a

met de verschillen en daarna

b

door een punt in te vullen. Voor de punten

A(1,2)

B(4,8)

a=\dfrac{8-2}{4-1}=2

, en invullen van

A

geeft

2=2\cdot 1+b

, dus

b=0

y=2x

De onderlinge stand van twee lijnen lees je af aan hun richtingscoëfficiënten. Twee lijnen zijn evenwijdig als hun richtingscoëfficiënten gelijk zijn (

a_{1}=a_{2}

), en ze staan loodrecht op elkaar als het product

-1

is (

a_{1}\cdot a_{2}=-1

), oftewel als de ene helling de tegengestelde omgekeerde van de andere is. In Afb. 1 staan

y=\tfrac{1}{2}x+1

y=-2x+1

loodrecht op elkaar, want

\tfrac{1}{2}\cdot(-2)=-1

; ze snijden elkaar in

(0,1)

. Deze loodrecht-voorwaarde gebruik je voortdurend, onder meer bij raaklijnen en middelloodlijnen.

Met deze regels stel je bijzondere lijnen op. De lijn door een gegeven punt evenwijdig aan een gegeven lijn krijgt dezelfde richtingscoëfficiënt; de lijn loodrecht op een gegeven lijn krijgt de tegengestelde omgekeerde helling. De middelloodlijn van een lijnstuk

AB

gaat door het midden

M

van

AB

en staat loodrecht op

AB

: haar richtingscoëfficiënt is de tegengestelde omgekeerde van die van

AB

, en ze gaat door

M

. Zo combineer je de middenformule, de afstandsformule en de standvoorwaarden tot een complete beschrijving van meetkundige lijnen.

Lijnen in coördinaten zijn het werkpaard van de analytische meetkunde. Je hebt ze nodig om snijpunten te bepalen (twee lijnvergelijkingen samen oplossen), om raaklijnen aan cirkels op te stellen (loodrecht op de straal), en om afstanden en hoeken te berekenen. Het opstellen van een lijnvergelijking uit gegevens en het bepalen van de stand van twee lijnen zijn basisvaardigheden die in vrijwel elke meetkundeopgave terugkomen. Een nette uitwerking toont de richtingscoëfficiënt, het snijpunt met de

y

-as en, waar relevant, de standvoorwaarde die je gebruikt.

y=ax+b,\qquad a=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

Vergelijking van een lijn

$a$ is de richtingscoëfficiënt (verticaal verschil gedeeld door horizontaal), $b$ het snijpunt met de $y$ -as.

\text{evenwijdig: } a_{1}=a_{2}\qquad \text{loodrecht: } a_{1}\cdot a_{2}=-1

Stand van twee lijnen

Gelijke helling geeft evenwijdig; een product van $-1$ geeft loodrecht.

Uitgewerkt voorbeeld

Loodlijn door een punt opstellen

Gegeven de lijn $l:\ y=2x-3$ en het punt $P(4,1)$ . Stel de vergelijking op van de lijn $m$ door $P$ die loodrecht op $l$ staat.

Richtingscoëfficiënt van m
$l$ heeft helling $2$ ; loodrecht betekent de tegengestelde omgekeerde.
$a_{m}=-\frac{1}{2}$
Vergelijking door P
Gebruik $y-y_{0}=a(x-x_{0})$ met $P(4,1)$ .
$y-1=-\tfrac{1}{2}(x-4)$
Uitwerken
Werk de haakjes weg.
$y=-\tfrac{1}{2}x+2+1=-\tfrac{1}{2}x+3$

Resultaat: $m:\ y=-\tfrac{1}{2}x+3$ (controle: $\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot(-1)$ ... $2\cdot(-\tfrac{1}{2})=-1$ , dus loodrecht, en $P(4,1)$ ligt op $m$ ).

Veelgemaakte fouten

De richtingscoëfficiënt ondersteboven berekenen ( $\Delta x/\Delta y$ ).
Bij een loodrechte lijn alleen het teken omkeren en de omkering vergeten (van $2$ naar $-\tfrac{1}{2}$ , niet $-2$ ).
$b$ vergeten te berekenen na het bepalen van $a$ .
Een verticale lijn als $y=ax+b$ willen schrijven (die heeft de vorm $x=c$ ).

Actieve herhaling

Stel de vergelijking op van de lijn door $A(-1,4)$ en $B(3,-4)$ . Stel daarna de vergelijking op van de middelloodlijn van $AB$ (door het midden, loodrecht op $AB$ ).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

De cirkel in coördinaten#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-subdomein-E2

Cirkel met middelpunt M(1; 2) en straal 2

Afb. 3Afb. 1 — De cirkel (x − 1)² + (y − 2)² = 4: middelpunt M(1; 2), straal 2. Uit de middelpuntsvorm lees je beide direct af.

Een cirkel is de verzameling van alle punten op een vaste afstand

r

(de straal) van een vast punt

M(a,b)

(het middelpunt). Met de afstandsformule vertaalt die definitie zich direct in een vergelijking: een punt

(x,y)

ligt op de cirkel precies als zijn afstand tot

M

gelijk is aan

r

, dus als

\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=r

, oftewel (na kwadrateren)

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

. In Afb. 1 staat de cirkel met middelpunt

M(1,2)

en straal

2

: zijn vergelijking is

(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4

. Uit de vergelijking lees je het middelpunt en de straal dus direct af.

De vorm

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

heet de middelpuntsvorm, omdat je er meteen het middelpunt

(a,b)

en de straal

r

uit ziet. Let op de mintekens: bij middelpunt

(1,2)

staat er

(x-1)^{2}+(y-2)^{2}

, en bij een negatieve coördinaat wordt het een plus, zoals

(x+3)^{2}

voor

a=-3

. Om te controleren of een punt op de cirkel ligt, vul je zijn coördinaten in de linkerkant in: komt er

r^{2}

uit, dan ligt het erop; meer betekent erbuiten, minder erbinnen.

Een cirkelvergelijking wordt niet altijd in de middelpuntsvorm gegeven. De algemene vorm

x^{2}+y^{2}+px+qy+s=0

moet je eerst herschrijven met kwadraatafsplitsen om het middelpunt en de straal te vinden. Kwadraatafsplitsen betekent dat je

x^{2}+px

aanvult tot een kwadraat:

x^{2}+px=\bigl(x+\tfrac{p}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{p}{2}\bigr)^{2}

. Voor

x^{2}+y^{2}-6x+2y-6=0

geeft dat

(x-3)^{2}-9+(y+1)^{2}-1-6=0

, dus

(x-3)^{2}+(y+1)^{2}=16

: middelpunt

(3,-1)

, straal

4

. Deze techniek is een standaard-examenvaardigheid.

Met de cirkelvergelijking los je meetkundige vragen algebraïsch op. De straal is de afstand van het middelpunt tot een gegeven punt op de cirkel; de vergelijking van een cirkel met gegeven middelpunt door een gegeven punt vind je door die afstand als

r

te nemen. Twee diametraal tegenoverliggende punten geven het middelpunt (hun midden) en de straal (de halve afstand). Zo combineer je de midden- en afstandsformule met de cirkelvergelijking tot een complete beschrijving van elke cirkel die door de gegevens is vastgelegd.

De cirkel is, naast de lijn, de tweede fundamentele kromme van de analytische meetkunde in wiskunde B, en de enige die niet de grafiek van een functie is (een verticale lijn snijdt hem tweemaal). Daarom werk je met cirkels via hun vergelijking in plaats van via een functievoorschrift. Snijpunten met een lijn, raaklijnen en meetkundige plaatsen — de onderwerpen van de volgende paragraaf en het volgende onderwerp — bouwen allemaal voort op de cirkelvergelijking. Het vlot kunnen opstellen van een cirkelvergelijking en het kwadraatafsplitsen van een algemene vorm zijn daarmee onmisbare vaardigheden.

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

Cirkel (middelpuntsvorm)

Cirkel met middelpunt $(a,b)$ en straal $r$ ; volgt direct uit de afstandsformule.

x^{2}+px=\Bigl(x+\tfrac{p}{2}\Bigr)^{2}-\Bigl(\tfrac{p}{2}\Bigr)^{2}

Kwadraatafsplitsen

Vul $x^{2}+px$ aan tot een kwadraat om van de algemene vorm naar de middelpuntsvorm te gaan.

Uitgewerkt voorbeeld

Middelpunt en straal via kwadraatafsplitsen

Bepaal het middelpunt en de straal van de cirkel $x^{2}+y^{2}-6x+2y-6=0$ .

Groeperen
Zet de $x$ -termen en $y$ -termen bij elkaar.
$(x^{2}-6x)+(y^{2}+2y)-6=0$
Kwadraten afsplitsen
Vul $x^{2}-6x$ aan tot $(x-3)^{2}-9$ en $y^{2}+2y$ tot $(y+1)^{2}-1$ .
$(x-3)^{2}-9+(y+1)^{2}-1-6=0$
Naar de middelpuntsvorm
Breng de constanten naar rechts.
$(x-3)^{2}+(y+1)^{2}=16$

Resultaat: Middelpunt $M(3;\,-1)$ en straal $r=\sqrt{16}=4$ .

Veelgemaakte fouten

De mintekens in $(x-a)^{2}$ verkeerd lezen (middelpunt $(1,2)$ geeft $(x-1)^{2}$ , niet $(x+1)^{2}$ ).
Bij kwadraatafsplitsen vergeten het afgesplitste kwadraat $\bigl(\tfrac{p}{2}\bigr)^{2}$ weer af te trekken.
De straal gelijkstellen aan $r^{2}$ in plaats van $\sqrt{r^{2}}$ .
Een cirkel als functie $y=\ldots$ willen schrijven (dat gaat niet in één formule; een cirkel is geen functie).

Actieve herhaling

Stel de vergelijking op van de cirkel met middelpunt $M(-2,3)$ die door het punt $(1,7)$ gaat. Bepaal daarna middelpunt en straal van $x^{2}+y^{2}+4x-8y+4=0$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Snijpunten en raaklijnen algebraïsch#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-subdomein-E2

Snijpunten van de lijn y = x − 1 en de cirkel x² + y² = 25

Afb. 4Afb. 1 — De lijn y = x − 1 snijdt de cirkel x² + y² = 25 in (4; 3) en (−3; −4), gevonden door substitutie.

De snijpunten van een lijn en een cirkel bepaal je door de lijnvergelijking in de cirkelvergelijking te substitueren. Zo krijg je een kwadratische vergelijking in één variabele, waarvan de oplossingen de

x

-coördinaten (of

y

-coördinaten) van de snijpunten zijn. In Afb. 1 snijdt de lijn

y=x-1

de cirkel

x^{2}+y^{2}=25

in twee punten; door

y=x-1

in te vullen krijg je

x^{2}+(x-1)^{2}=25

, wat leidt tot

x=4

x=-3

, dus de snijpunten

(4,3)

(-3,-4)

Het aantal snijpunten van een lijn en een cirkel volgt uit de discriminant van de ontstane kwadratische vergelijking. Is

D>0

, dan zijn er twee snijpunten (de lijn is een snijlijn); is

D=0

, dan één (de lijn raakt de cirkel — een raaklijn); is

D<0

, dan geen (de lijn mist de cirkel). Deze koppeling tussen algebra en meetkunde is bijzonder nuttig: om te bepalen of een lijn een cirkel raakt, hoef je alleen de discriminant op nul te stellen. Zo vind je bijvoorbeeld voor welke waarde van een parameter een lijn een gegeven cirkel raakt.

De raaklijn aan een cirkel in een gegeven punt

P

op de cirkel stel je op met de meetkundige eigenschap „raaklijn loodrecht op de straal”. Bereken de richtingscoëfficiënt van de straal

MP

(van middelpunt

M

naar

P

); de raaklijn heeft dan de tegengestelde omgekeerde helling en gaat door

P

. Voor de cirkel

x^{2}+y^{2}=25

en het raakpunt

P(4,3)

is de straal

OP

met helling

\tfrac{3}{4}

, dus de raaklijn heeft helling

-\tfrac{4}{3}

en vergelijking

y-3=-\tfrac{4}{3}(x-4)

. Deze methode verbindt de synthetische cirkelstelling met een analytische berekening.

De discriminantmethode en de loodrecht-op-de-straal-methode vullen elkaar aan. Wil je de raaklijn in een gegeven punt op de cirkel, gebruik dan „loodrecht op de straal” (snel en direct). Wil je de raaklijn(en) vanuit een punt buiten de cirkel, of wil je bepalen of een gegeven lijn raakt, gebruik dan de discriminant: stel de lijn (met onbekende helling) in de cirkel in en eis

D=0

. Beide methoden leveren raaklijnen; de keuze hangt af van wat er gegeven is. Het herkennen van de juiste methode is een strategische examenvaardigheid.

Snijpunten en raaklijnen zijn de kern van de analytische meetkunde met cirkels en komen op het examen veelvuldig voor. De onderliggende techniek — substitueren, een kwadratische vergelijking oplossen, en de discriminant of de loodrecht-voorwaarde gebruiken — bundelt vrijwel alle algebraïsche vaardigheden uit wiskunde B. Een nette uitwerking toont de substitutie, de kwadratische vergelijking, de oplossingen (of de discriminant), en de snijpunten of raaklijn als volledig antwoord. Deze paragraaf legt zo de basis voor het onderwerp toepassingen, waar raaklijnen en meetkundige plaatsen verder worden uitgewerkt.

\text{lijn in cirkel substitueren} \Rightarrow \text{kwadratische vergelijking; } D \text{ geeft het aantal snijpunten}

Snijpunten lijn-cirkel

$D>0$ twee snijpunten, $D=0$ raaklijn, $D<0$ geen snijpunt.

\text{raaklijn in } P: \text{ loodrecht op de straal } MP

Raaklijn aan een cirkel

De raaklijn in $P$ heeft de tegengestelde omgekeerde helling van de straal $MP$ en gaat door $P$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Raaklijn aan een cirkel in een punt

Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de cirkel $x^{2}+y^{2}=25$ in het punt $P(4,3)$ .

Punt op de cirkel controleren
Vul $P$ in: $4^{2}+3^{2}=16+9=25$ . Klopt, $P$ ligt op de cirkel.
Helling van de straal
De straal $OP$ gaat van $O(0,0)$ naar $P(4,3)$ .
$a_{OP}=\frac{3-0}{4-0}=\frac{3}{4}$
Helling van de raaklijn
De raaklijn staat loodrecht op de straal: tegengestelde omgekeerde.
$a_{\text{raak}}=-\frac{4}{3}$
Vergelijking opstellen
Gebruik $y-y_{0}=a(x-x_{0})$ met $P(4,3)$ .
$y-3=-\tfrac{4}{3}(x-4)\;\Rightarrow\; y=-\tfrac{4}{3}x+\tfrac{25}{3}$

Resultaat: De raaklijn is $y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{25}{3}$ .

Veelgemaakte fouten

Na substitutie de kwadratische vergelijking niet naar één kant brengen of het kwadraat $(x-1)^{2}$ fout uitwerken.
De helling van de raaklijn gelijkstellen aan die van de straal in plaats van de tegengestelde omgekeerde.
Bij de snijpunten alleen de $x$ -coördinaten geven en de $y$ -coördinaten vergeten.
De discriminant fout interpreteren ( $D=0$ betekent raken, niet geen snijpunt).

Actieve herhaling

Bepaal de snijpunten van de lijn $y=2x$ en de cirkel $x^{2}+y^{2}=20$ . Stel daarna de raaklijn op aan de cirkel $x^{2}+y^{2}=10$ in het punt $P(1,3)$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde B (VWO)

Algebraïsche methoden in de vlakke meetkunde

Kernpunten

Afstand en midden berekenen

Kernpunten

Loodlijn door een punt opstellen

Kernpunten

Middelpunt en straal via kwadraatafsplitsen

Kernpunten

Raaklijn aan een cirkel in een punt

Bronnen