Samenvattingen · Wiskunde BNL · VWO

Vectoren en inproduct

Een vector is een grootheid met een grootte én een richting, weer te geven als een pijl of als een paar kentallen $\vec{a}=\binom{a_{1}}{a_{2}}$ . Je telt vectoren op, vermenigvuldigt ze met een getal, en berekent hun lengte met $|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$ . Het inproduct $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi$ verbindt de kentallen met de hoek tussen de vectoren en levert het criterium voor loodrechte stand: $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ .

4 Onderdelen~15 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 2 · Verdieping 2

T·141414 / 16

Examenprofiel

E3 · Vectoren: kentallen, optellen, scalair veelvoudLengte van een vector en afstand tussen puntenHet inproduct \vec{a}·\vec{b}=a₁b₁+a₂b₂=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi en de hoek tussen vectorenLoodrechte stand (\vec{a}·\vec{b}=0) en de normaalvector

Operatoren:berekenbepaaltoon aanlos opgeefleid af

basisniveau

Vectoren, lengte, het inproduct en loodrechte stand horen tot de centraal-examenstof van subdomein E3.

verhoogd niveau

Verdieping zit in het gebruik van het inproduct om hoeken te berekenen, in de normaalvector van een lijn en in vectorbewijzen van meetkundige eigenschappen.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Vectoren en inproduct

Vectoren en vectorbewerkingen#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-E3

Een vector is een grootheid met zowel een grootte als een richting, in tegenstelling tot een gewoon getal (een scalair), dat alleen een grootte heeft. Je stelt een vector voor als een pijl van een beginpunt naar een eindpunt, of — handiger voor het rekenen — als een paar kentallen

\vec{a}=\binom{a_{1}}{a_{2}}

, waarin

a_{1}

de horizontale en

a_{2}

de verticale verplaatsing is. De vector van

A(x_{1},y_{1})

naar

B(x_{2},y_{2})

heeft kentallen

\vec{AB}=\binom{x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}

. Twee vectoren zijn gelijk als hun kentallen gelijk zijn, ongeacht waar de pijl in het vlak begint.

Vectoren tel je op door hun kentallen op te tellen:

\vec{a}+\vec{b}=\binom{a_{1}+b_{1}}{a_{2}+b_{2}}

. Meetkundig zet je de tweede pijl met zijn staart aan de kop van de eerste (de „kop-staartmethode”), en de somvector loopt van de staart van de eerste naar de kop van de tweede. In Afb. 1 zie je

\vec{a}=\binom{3}{1}

\vec{b}=\binom{1}{3}

kop-staart getekend, met de somvector

\vec{a}+\vec{b}=\binom{4}{4}

die van

O

naar het eindpunt loopt. Aftrekken werkt net zo, per kental:

\vec{a}-\vec{b}=\binom{a_{1}-b_{1}}{a_{2}-b_{2}}

Vectoren optellen met de kop-staartmethode

Afb. 1Afb. 1 — a = (3; 1) en b = (1; 3) kop-staart: de somvector a + b = (4; 4) loopt van O naar de kop van b.

Een vector vermenigvuldig je met een getal

k

(een scalair) door beide kentallen met

k

te vermenigvuldigen:

k\vec{a}=\binom{k a_{1}}{k a_{2}}

. Dit rekt de vector uit met factor

|k|

en keert zijn richting om als

k<0

. Zo is

2\vec{a}

twee keer zo lang als

\vec{a}

met dezelfde richting, en

-\vec{a}

even lang maar tegengesteld gericht. Twee vectoren die elkaars scalair veelvoud zijn, hebben dezelfde (of tegengestelde) richting en heten evenwijdig; dit is het vectorcriterium voor evenwijdigheid dat je bij lijnen gebruikt.

Met deze bewerkingen beschrijf je verplaatsingen en posities. De plaatsvector (ortsvector) van een punt

P

is de vector

\vec{OP}

van de oorsprong naar

P

; zijn kentallen zijn precies de coördinaten van

P

. Een verplaatsing van

A

naar

B

gevolgd door een verplaatsing van

B

naar

C

is samen de verplaatsing van

A

naar

C

\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}

. Deze optelregel maakt vectoren tot een natuurlijke taal voor beweging en meetkunde: je rekent met richtingen en verplaatsingen alsof het getallen zijn.

Vectoren voegen aan de coördinatenmeetkunde een extra laag toe: naast punten en hun coördinaten heb je nu richtingen en verplaatsingen die je optelt en schaalt. Dat maakt veel meetkundige berekeningen compacter — een lijn beschrijf je met een steunpunt en een richtingsvector, een verplaatsing tel je op, en de hoek tussen twee richtingen bereken je straks met het inproduct. Het vlot kunnen rekenen met kentallen (optellen, aftrekken, scalair vermenigvuldigen) is de basisvaardigheid waarop de rest van dit onderwerp — lengte, inproduct, loodrechte stand — voortbouwt.

\vec{a}+\vec{b}=\binom{a_{1}+b_{1}}{a_{2}+b_{2}}\qquad k\vec{a}=\binom{k a_{1}}{k a_{2}}

Optellen en scalair vermenigvuldigen

Reken per kental: optellen telt de kentallen op, scalair vermenigvuldigen schaalt beide kentallen.

\vec{AB}=\binom{x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}\qquad \vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}

Vector tussen twee punten

De kentallen zijn de verschillen van de coördinaten; verplaatsingen tel je op tot de totale verplaatsing.

Uitgewerkt voorbeeld

Rekenen met vectoren

Gegeven $\vec{a}=\binom{2}{3}$ en $\vec{b}=\binom{-1}{4}$ . Bereken $\vec{a}+\vec{b}$ , $2\vec{a}-\vec{b}$ en de vector $\vec{PQ}$ met $P(1,2)$ en $Q(5,-1)$ .

Optellen per kental
Tel de kentallen op.
$\vec{a}+\vec{b}=\binom{2+(-1)}{3+4}=\binom{1}{7}$
Scalair vermenigvuldigen en aftrekken
Bereken eerst $2\vec{a}$ , trek dan $\vec{b}$ af.
$2\vec{a}-\vec{b}=\binom{4}{6}-\binom{-1}{4}=\binom{5}{2}$
Vector tussen twee punten
Neem de verschillen van de coördinaten van $P$ en $Q$ .
$\vec{PQ}=\binom{5-1}{-1-2}=\binom{4}{-3}$

Resultaat: $\vec{a}+\vec{b}=\binom{1}{7}$ , $2\vec{a}-\vec{b}=\binom{5}{2}$ en $\vec{PQ}=\binom{4}{-3}$ .

Veelgemaakte fouten

Bij de vector $\vec{AB}$ de coördinaten optellen in plaats van aftrekken ( $B-A$ ).
Bij scalair vermenigvuldigen maar één kental met $k$ vermenigvuldigen.
Een vector en een scalair door elkaar halen (een vector heeft richting, een getal niet).
De volgorde bij $\vec{AB}$ omdraaien ( $\vec{AB}=-\vec{BA}$ ).

Actieve herhaling

Gegeven $\vec{u}=\binom{4}{-2}$ en $\vec{v}=\binom{1}{3}$ . Bereken $\vec{u}-2\vec{v}$ en $3\vec{u}+\vec{v}$ . Bepaal ook $\vec{AB}$ met $A(-2,5)$ en $B(4,1)$ , en ga na of $\vec{AB}$ evenwijdig is met $\binom{3}{-2}$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Lengte en afstand#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-E3

Lengte van de vector v = (3; 4)

Afb. 2Afb. 1 — De vector v = (3; 4) heeft lengte |v| = √(3² + 4²) = 5: Pythagoras op de componenten 3 en 4.

De lengte (grootte, norm) van een vector

\vec{a}=\binom{a_{1}}{a_{2}}

|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}

. Dat is de stelling van Pythagoras: de vector is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden

a_{1}

a_{2}

. In Afb. 1 zie je de vector

\vec{v}=\binom{3}{4}

met zijn horizontale component

3

en verticale component

4

; zijn lengte is

\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5

. De lengte is altijd niet-negatief en is nul precies voor de nulvector

\binom{0}{0}

De afstand tussen twee punten is niets anders dan de lengte van de verbindingsvector:

|AB|=|\vec{AB}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}

. Zo sluit het vectorbegrip naadloos aan op de afstandsformule uit het vorige onderwerp: je berekent eerst de kentallen van

\vec{AB}

(de verschillen van de coördinaten) en dan de lengte ervan. Voor

A(1,2)

B(4,6)

\vec{AB}=\binom{3}{4}

, dus

|AB|=5

. Deze eenheid van „afstand = lengte van de vector” maakt vectoren een natuurlijk gereedschap voor lengteberekeningen.

Een eenheidsvector is een vector met lengte

1

. Je maakt van een gegeven vector

\vec{a}

een eenheidsvector met dezelfde richting door hem te delen door zijn lengte:

\hat{a}=\dfrac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}

. Voor

\vec{v}=\binom{3}{4}

(lengte

5

) is de eenheidsvector

\binom{3/5}{4/5}=\binom{0{,}6}{0{,}8}

. Eenheidsvectoren gebruik je om alleen de richting van een vector vast te houden, bijvoorbeeld bij het beschrijven van een richting zonder een bepaalde grootte. Ze verschijnen ook bij het projecteren en bij normaalrichtingen.

De lengte heeft handige eigenschappen bij vectorbewerkingen. Scalair vermenigvuldigen schaalt de lengte:

|k\vec{a}|=|k|\cdot|\vec{a}|

(de factor

|k|

omdat een lengte niet-negatief is). Maar let op: de lengte van een som is in het algemeen NIET de som van de lengtes —

|\vec{a}+\vec{b}|\neq|\vec{a}|+|\vec{b}|

(behalve als de vectoren dezelfde richting hebben). Om de lengte van een somvector te vinden, tel je eerst de kentallen op en bepaal je dan de lengte, of gebruik je het inproduct. Deze regel (eerst optellen, dan lengte) voorkomt een klassieke fout.

Lengte en afstand zijn de meest gebruikte vectorgrootheden en komen in vrijwel elke meetkundeopgave voor: de zijden van een driehoek, de straal van een cirkel, de lengte van een verplaatsing. Ze verbinden vectoren met de vertrouwde afstandsmeetkunde en bereiden het inproduct voor, waarin de lengtes van twee vectoren samen met de hoek ertussen optreden. Het vlot en exact kunnen berekenen van een lengte — met de wortel netjes vereenvoudigd — is daarom een basisvaardigheid die je op het examen voortdurend inzet.

|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}

Lengte van een vector

Pythagoras op de kentallen; de vector is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek.

\hat{a}=\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}\qquad |k\vec{a}|=|k|\cdot|\vec{a}|

Eenheidsvector en schaling

Delen door de lengte geeft een eenheidsvector; scalair vermenigvuldigen schaalt de lengte met $|k|$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Lengte en eenheidsvector

Gegeven $\vec{a}=\binom{-6}{8}$ . Bereken $|\vec{a}|$ en de eenheidsvector met dezelfde richting.

Lengte berekenen
Gebruik $|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$ ; het minteken verdwijnt door het kwadraat.
$|\vec{a}|=\sqrt{(-6)^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
Eenheidsvector bepalen
Deel $\vec{a}$ door zijn lengte.
$\hat{a}=\frac{1}{10}\binom{-6}{8}=\binom{-0{,}6}{0{,}8}$

Resultaat: $|\vec{a}|=10$ en $\hat{a}=\binom{-0{,}6}{0{,}8}$ .

Veelgemaakte fouten

De kentallen optellen in plaats van kwadrateren bij de lengte.
$|\vec{a}+\vec{b}|$ gelijkstellen aan $|\vec{a}|+|\vec{b}|$ (dat geldt alleen bij gelijke richting).
De wortel vergeten of $|\vec{a}|$ gelijkstellen aan $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}$ .
Bij een negatief kental het kwadraat negatief maken ( $(-6)^{2}=36$ ).

Actieve herhaling

Gegeven $\vec{a}=\binom{5}{-12}$ en de punten $A(2,3)$ , $B(-2,0)$ . Bereken $|\vec{a}|$ , de eenheidsvector van $\vec{a}$ , en de afstand $|AB|$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Het inproduct en de hoek tussen vectoren#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-subdomein-E3

De hoek tussen twee vectoren

Afb. 3Afb. 1 — a = (4; 0) en b = (2; 3) met de hoek φ. Inproduct a·b = 8; cos φ = 8/(4·√13) ≈ 0,555, dus φ ≈ 56,3°.

Het inproduct (scalair product) van twee vectoren

\vec{a}=\binom{a_{1}}{a_{2}}

\vec{b}=\binom{b_{1}}{b_{2}}

is het getal

\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}

: vermenigvuldig de eerste kentallen, vermenigvuldig de tweede kentallen, en tel op. De uitkomst is een scalair (een getal), geen vector. In Afb. 1 staan

\vec{a}=\binom{4}{0}

\vec{b}=\binom{2}{3}

met de hoek

\varphi

ertussen; hun inproduct is

4\cdot 2+0\cdot 3=8

. Het inproduct is de sleutel tot het berekenen van hoeken, want het verbindt de kentallen met de hoek.

Naast de kentaldefinitie heeft het inproduct een meetkundige gedaante:

\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi

, waarin

\varphi

de hoek tussen de twee vectoren is. Dit is het krachtige verband: de twee uitdrukkingen voor hetzelfde inproduct — de algebraïsche (

a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}

) en de meetkundige (

|\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi

) — zijn gelijk, en door ze aan elkaar gelijk te stellen bereken je de hoek. Uit

\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi

volgt

\cos\varphi=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

Zo bereken je de hoek tussen twee vectoren in drie stappen: bereken het inproduct

\vec{a}\cdot\vec{b}

, bereken de twee lengtes

|\vec{a}|

|\vec{b}|

, en vul in

\cos\varphi=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

. Voor

\vec{a}=\binom{4}{0}

\vec{b}=\binom{2}{3}

\vec{a}\cdot\vec{b}=8

|\vec{a}|=4

|\vec{b}|=\sqrt{13}

, dus

\cos\varphi=\dfrac{8}{4\sqrt{13}}=\dfrac{2}{\sqrt{13}}\approx 0{,}555

, waaruit

\varphi=\arccos(0{,}555)\approx 56{,}3^{\circ}

. Deze methode werkt voor élke hoek tussen twee vectoren, ook in de ruimte.

Het teken van het inproduct vertelt al iets over de hoek zonder te rekenen. Is

\vec{a}\cdot\vec{b}>0

, dan is de hoek scherp (

\cos\varphi>0

, dus

\varphi<90^{\circ}

); is

\vec{a}\cdot\vec{b}<0

, dan stomp (

\varphi>90^{\circ}

); en is

\vec{a}\cdot\vec{b}=0

, dan precies recht (

\varphi=90^{\circ}

, de vectoren staan loodrecht). Dat laatste — het inproduct nul betekent loodrecht — is zo belangrijk dat het de volgende paragraaf vult. Het inproduct is dus niet alleen een rekenmiddel voor de exacte hoek, maar ook een snelle kwalitatieve test voor scherp, stomp of recht.

Het inproduct rekent met enkele nette eigenschappen: het is commutatief (

\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}

), en

\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^{2}

(het inproduct van een vector met zichzelf is het kwadraat van zijn lengte, want dan is

\varphi=0

\cos 0=1

). Deze laatste eigenschap verbindt het inproduct met de lengte en wordt gebruikt bij het berekenen van

|\vec{a}+\vec{b}|

via

|\vec{a}+\vec{b}|^{2}=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})

. Het inproduct is daarmee het gereedschap dat lengtes en hoeken in één berekening samenbrengt — de reden dat het in de meetkunde met coördinaten centraal staat.

\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi

Het inproduct

De algebraïsche en de meetkundige uitdrukking voor het inproduct zijn gelijk; samen leveren ze de hoek.

\cos\varphi=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

Hoek tussen twee vectoren

Deel het inproduct door het product van de lengtes om de cosinus van de hoek te vinden.

Uitgewerkt voorbeeld

De hoek tussen twee vectoren berekenen

Bereken de hoek tussen $\vec{a}=\binom{3}{1}$ en $\vec{b}=\binom{1}{2}$ .

Inproduct
Vermenigvuldig de kentallen en tel op.
$\vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot 1+1\cdot 2=5$
Lengtes
Bereken $|\vec{a}|$ en $|\vec{b}|$ .
$|\vec{a}|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10},\qquad |\vec{b}|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
Cosinus en hoek
Vul in $\cos\varphi=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ en neem de boogcosinus.
$\cos\varphi=\frac{5}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\;\Rightarrow\;\varphi=45^{\circ}$

Resultaat: De hoek tussen $\vec{a}$ en $\vec{b}$ is $45^{\circ}$ (want $\cos\varphi=\tfrac{1}{2}\sqrt{2}$ ).

Veelgemaakte fouten

Het inproduct als een vector opvatten; het is een getal (scalair).
Bij de hoek vergeten door de lengtes te delen, of de lengtes optellen in plaats van vermenigvuldigen.
De boogcosinus vergeten (bij $\cos\varphi$ blijven staan in plaats van $\varphi$ te geven).
Het inproduct verwarren met scalair vermenigvuldigen (een getal maal een vector).

Actieve herhaling

Bereken het inproduct van $\vec{a}=\binom{2}{-1}$ en $\vec{b}=\binom{3}{4}$ , en bepaal de hoek ertussen. Is de hoek scherp, recht of stomp?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Loodrechte stand en normaalvector#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-subdomein-E3

Loodrechte vectoren: inproduct nul

Afb. 4Afb. 1 — a = (3; 1) en b = (−1; 3) staan loodrecht: a·b = 3·(−1) + 1·3 = 0. b is een normaalvector van a.

Twee vectoren staan loodrecht op elkaar precies als hun inproduct nul is:

\vec{a}\perp\vec{b}\iff\vec{a}\cdot\vec{b}=0

. Dit volgt direct uit de meetkundige inproductformule: bij een rechte hoek is

\varphi=90^{\circ}

\cos 90^{\circ}=0

, dus

\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cdot 0=0

. In Afb. 1 staan

\vec{a}=\binom{3}{1}

\vec{b}=\binom{-1}{3}

loodrecht op elkaar, want

\vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot(-1)+1\cdot 3=-3+3=0

. Deze loodrecht-test met het inproduct is een van de meest gebruikte gereedschappen in de meetkunde met coördinaten.

Uit de loodrecht-voorwaarde vind je gemakkelijk een vector die loodrecht op een gegeven vector staat. Bij

\vec{a}=\binom{a_{1}}{a_{2}}

is de vector

\binom{-a_{2}}{a_{1}}

(of

\binom{a_{2}}{-a_{1}}

) altijd loodrecht, want het inproduct

a_{1}\cdot(-a_{2})+a_{2}\cdot a_{1}=0

. Je „verwisselt de kentallen en keert één teken om”. Voor

\vec{a}=\binom{3}{1}

geeft dat

\binom{-1}{3}

— precies de vector uit de figuur. Deze truc levert snel een loodrechte richting, wat je nodig hebt voor normaalvectoren en raaklijnen.

Een normaalvector van een lijn is een vector die loodrecht op die lijn staat. Heeft een lijn een richtingsvector

\vec{r}=\binom{r_{1}}{r_{2}}

, dan is

\vec{n}=\binom{-r_{2}}{r_{1}}

een normaalvector. Andersom staat in de lijnvergelijking

px+qy=c

de normaalvector

\binom{p}{q}

verstopt: de coëfficiënten van

x

y

vormen samen een vector loodrecht op de lijn. Zo verbindt de normaalvector de vectorbeschrijving van een lijn (steunpunt plus richting) met haar vergelijking. Normaalvectoren zijn onmisbaar bij het opstellen van raaklijnen en bij het berekenen van afstanden van een punt tot een lijn.

De loodrecht-voorwaarde met het inproduct maakt veel meetkundige berekeningen elegant. Om aan te tonen dat twee lijnstukken loodrecht staan, bereken je de twee richtingsvectoren en controleer je of hun inproduct nul is. Om een lijn loodrecht op een gegeven lijn door een punt te vinden, neem je de normaalrichting als richtingsvector. Om de raaklijn aan een cirkel in een punt

P

op te stellen, gebruik je dat de raaklijn loodrecht op de straal

\vec{MP}

staat, dus dat

\vec{MP}

een normaalvector van de raaklijn is. In al deze gevallen is het inproduct-nul-criterium de kern.

Loodrechte stand en normaalvectoren brengen het inproduct tot zijn volle recht: waar het inproduct in het algemeen de hoek meet, geeft het bij loodrechte stand een bijzonder eenvoudige voorwaarde (

=0

) die overal in de analytische meetkunde opduikt. Samen met de vectorbewerkingen, de lengte en de hoek vormt dit het complete gereedschap van subdomein E3. In het volgende onderwerp, toepassingen van de analytische meetkunde, gebruik je deze gereedschappen — inproduct, loodrechte stand, normaalvector — om raaklijnen, meetkundige plaatsen en bewijzen met vectoren uit te werken. Het vlot kunnen toepassen van de loodrecht-test is daarbij een terugkerende, puntenopleverende vaardigheid.

\vec{a}\perp\vec{b}\iff\vec{a}\cdot\vec{b}=0

Loodrechte stand

Twee vectoren staan loodrecht precies als hun inproduct nul is (want $\cos 90^{\circ}=0$ ).

\vec{r}=\binom{r_{1}}{r_{2}}\;\Rightarrow\; \vec{n}=\binom{-r_{2}}{r_{1}}\ \text{is loodrecht op } \vec{r}

Normaalvector

Verwissel de kentallen en keer één teken om om een loodrechte (normaal)vector te krijgen.

Uitgewerkt voorbeeld

Loodrechte stand aantonen en een normaalvector vinden

Toon aan dat $\vec{a}=\binom{4}{-2}$ en $\vec{b}=\binom{1}{2}$ loodrecht staan, en geef een normaalvector van de lijn met richtingsvector $\binom{2}{-5}$ .

Inproduct berekenen
Bereken $\vec{a}\cdot\vec{b}$ .
$\vec{a}\cdot\vec{b}=4\cdot 1+(-2)\cdot 2=4-4=0$
Conclusie loodrecht
Omdat het inproduct nul is, staan $\vec{a}$ en $\vec{b}$ loodrecht op elkaar.
Normaalvector
Verwissel de kentallen van $\binom{2}{-5}$ en keer één teken om.
$\vec{n}=\binom{5}{2}\quad\text{(controle: } 2\cdot 5+(-5)\cdot 2=0)$

Resultaat: $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ , dus loodrecht; een normaalvector van de lijn is $\binom{5}{2}$ .

Veelgemaakte fouten

Loodrechte stand willen aantonen met de richtingscoëfficiënten in plaats van het inproduct (beide kan, maar haal ze niet door elkaar).
Bij het maken van een loodrechte vector beide tekens omkeren in plaats van één.
Het inproduct-nul-criterium verwarren met evenwijdigheid (evenwijdig is een scalair veelvoud).
De normaalvector uit $px+qy=c$ verkeerd aflezen (die is $\binom{p}{q}$ , niet $\binom{q}{p}$ ).

Actieve herhaling

Ga na of $\vec{a}=\binom{6}{3}$ en $\vec{b}=\binom{-2}{4}$ loodrecht staan. Bepaal een normaalvector van de lijn $3x-2y=7$ en van de lijn met richtingsvector $\binom{1}{4}$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde B (VWO)

Vectoren en inproduct

Kernpunten

Rekenen met vectoren

Kernpunten

Lengte en eenheidsvector

Kernpunten

De hoek tussen twee vectoren berekenen

Kernpunten

Loodrechte stand aantonen en een normaalvector vinden

Bronnen