Visualisatie van data en grafische weergaven

Aan 20 leerlingen is gevraagd hoeveel broers en zussen zij hebben. De antwoorden zijn: 1, 2, 0, 3, 1, 2, 1, 0, 2, 4, 1, 1, 3, 2, 0, 1, 2, 1, 2, 1. Maak een frequentietabel met de frequentie, de relatieve frequentie (in %) en de cumulatieve frequentie.

1. 01Bepaal de mogelijke waarden

   De kleinste waarde is 0, de grootste is 4. De mogelijke waarden zijn dus 0, 1, 2, 3 en 4.

2. 02Turf en tel de frequenties

   Loop de rij één keer door en turf per waarde. Je vindt: 0 komt 3 keer voor, 1 komt 8 keer voor, 2 komt 6 keer voor, 3 komt 2 keer voor en 4 komt 1 keer voor.

3. 03Controleer met het totaal

   3 + 8 + 6 + 2 + 1 = 20. Dat klopt met het aantal leerlingen, dus er is niet verkeerd geteld.

4. 04Reken de relatieve frequenties uit

   Deel elke frequentie door 20 en maak er een percentage van: 3/20 = 15%, 8/20 = 40%, 6/20 = 30%, 2/20 = 10%, 1/20 = 5%. Samen 100%.

   $$\frac{8}{20} = 0{,}40 = 40\%$$
5. 05Reken de cumulatieve frequenties uit

   Tel de frequenties op tot en met elke waarde: t/m 0 → 3, t/m 1 → 3 + 8 = 11, t/m 2 → 11 + 6 = 17, t/m 3 → 17 + 2 = 19, t/m 4 → 19 + 1 = 20. De laatste is n = 20.

Resultaat: De frequentietabel: waarde 0 (frequentie 3; 15%; cumulatief 3), 1 (8; 40%; 11), 2 (6; 30%; 17), 3 (2; 10%; 19), 4 (1; 5%; 20). Zo lees je bijvoorbeeld af dat 17 van de 20 leerlingen (85%) hoogstens 2 broers en zussen hebben.

Aan 50 mensen is gevraagd naar hun favoriete ijssmaak: vanille 15, chocola 20, aardbei 10 en overig 5. Bereken voor elke smaak de relatieve frequentie (in %) en de sectorhoek voor een cirkeldiagram.

1. 01Controleer het totaal

   15 + 20 + 10 + 5 = 50, gelijk aan het aantal ondervraagden. De data zijn compleet.

2. 02Relatieve frequenties

   Deel elke frequentie door 50: vanille 15/50 = 30%, chocola 20/50 = 40%, aardbei 10/50 = 20%, overig 5/50 = 10%. Samen 100%.

3. 03Sectorhoeken

   Vermenigvuldig elke relatieve frequentie met 360°. Vanille: 0,30 × 360° = 108°. Chocola: 0,40 × 360° = 144°. Aardbei: 0,20 × 360° = 72°. Overig: 0,10 × 360° = 36°.

   $$\frac{20}{50} \times 360^\circ = 0{,}40 \times 360^\circ = 144^\circ$$
4. 04Controleer de som

   108° + 144° + 72° + 36° = 360°. De sectorhoeken vullen samen precies de hele cirkel, dus de berekening klopt.

Resultaat: Vanille 30% (108°), chocola 40% (144°), aardbei 20% (72°), overig 10% (36°). Teken met een geodriehoek vanaf een startstraal telkens de volgende hoek af; het grootste stuk (chocola, 144°) valt meteen op.

De wachttijd (in seconden) van 20 klanten is: 12, 35, 48, 22, 67, 51, 29, 44, 73, 58, 31, 19, 42, 66, 55, 38, 27, 39, 61, 24. Deel de data in klassen van 20 seconden breed in ([0,20), [20,40), [40,60), [60,80)), maak de frequentietabel en beschrijf de vorm van het histogram.

1. 01Bepaal het bereik en de klassen

   De kleinste waarde is 12, de grootste is 73. Klassen van 20 breed die dit bereik dekken: [0,20), [20,40), [40,60) en [60,80). De grens 20 hoort bij [20,40), niet bij [0,20).

2. 02Turf per klasse

   [0,20): 12 en 19 → 2. [20,40): 35, 22, 29, 31, 38, 27, 39, 24 → 8. [40,60): 48, 51, 44, 58, 42, 55 → 6. [60,80): 67, 73, 66, 61 → 4.

3. 03Controleer met het totaal

   2 + 8 + 6 + 4 = 20, gelijk aan het aantal klanten. De indeling is compleet.

4. 04Relatieve en cumulatieve frequenties

   Relatief: 2/20 = 10%, 8/20 = 40%, 6/20 = 30%, 4/20 = 20% (samen 100%). Cumulatief: 2, 10, 16, 20. Zo wacht 80% van de klanten korter dan 60 seconden (16 van de 20).

5. 05Beschrijf de vorm

   De modale klasse (met de hoogste frequentie) is [20,40). De frequenties lopen na de piek af naar rechts, met een staart richting de hogere wachttijden: de verdeling is scheef naar rechts.

Resultaat: Frequentietabel: [0,20) → 2 (10%), [20,40) → 8 (40%), [40,60) → 6 (30%), [60,80) → 4 (20%). Het histogram (Afb. 2) heeft aaneengesloten staven van hoogte 2, 8, 6 en 4 en is scheef naar rechts; de modale klasse is [20,40).

Bepaal de vijf-getallensamenvatting van deze 15 scores: 14, 9, 20, 12, 7, 18, 11, 16, 9, 22, 13, 8, 17, 15, 10. Bereken ook het bereik en de kwartielafstand.

1. 01Zet de data op volgorde

   Gesorteerd: 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 22. Het minimum is 7, het maximum is 22.

2. 02Bepaal de mediaan

   Er zijn 15 waarnemingen (oneven), dus de mediaan is de middelste: de 8e waarde. Dat is 13.

3. 03Bepaal Q1 en Q3

   De onderste helft (de 7 waarden vóór de mediaan) is 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12; de middelste daarvan is 9, dus Q1 = 9. De bovenste helft is 14, 15, 16, 17, 18, 20, 22; de middelste is 17, dus Q3 = 17.

4. 04Bereik en kwartielafstand

   Bereik = max − min = 22 − 7 = 15. Kwartielafstand = Q3 − Q1 = 17 − 9 = 8.

   $$\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 17 - 9 = 8$$

Resultaat: Vijf-getallensamenvatting: minimum 7, Q1 9, mediaan 13, Q3 17, maximum 22. Het bereik is 15 en de kwartielafstand is 8. Hiermee teken je meteen de boxplot: een doos van 9 tot 17 met een streep bij 13 en snorren naar 7 en 22.

Gebruik de boxplots van klas A en klas B uit Afb. 1. a) Lees de vijf-getallensamenvatting van beide klassen af. b) Bereken voor elke klas het bereik en de kwartielafstand. c) Welke klas scoorde hoger en welke klas was gelijkmatiger? Licht toe.

1. 01a) Aflezen

   Klas A: minimum 3, Q1 5, mediaan 6, Q3 8, maximum 10. Klas B: minimum 5, Q1 6, mediaan 7, Q3 8, maximum 9.

2. 02b) Spreiding klas A

   Bereik A = 10 − 3 = 7. Kwartielafstand A = 8 − 5 = 3.

3. 03b) Spreiding klas B

   Bereik B = 9 − 5 = 4. Kwartielafstand B = 8 − 6 = 2.

4. 04c) Vergelijk het centrum

   De mediaan van klas B (7) is hoger dan die van klas A (6), en de hele doos van B ligt hoger. Dus klas B scoorde gemiddeld hoger.

5. 05c) Vergelijk de spreiding

   Klas B heeft een kleinere kwartielafstand (2 tegen 3) en een kleiner bereik (4 tegen 7). De cijfers van klas B liggen dus dichter bij elkaar: klas B was gelijkmatiger.

Resultaat: Klas B scoorde zowel hoger (mediaan 7 tegen 6) als gelijkmatiger (kwartielafstand 2 en bereik 4, tegen 3 en 7 bij klas A). Klas A kende meer spreiding, met zowel het laagste (3) als het hoogste (10) cijfer.