Samenvattingen · Wiskunde ANL · VWO

Kwantificering: centrum- en spreidingsmaten

Kengetallen vatten een dataset samen in één of enkele getallen. Dit onderwerp behandelt de centrummaten (gemiddelde, mediaan, modus) en de spreidingsmaten (bereik, kwartielafstand en standaardafwijking), plus kwartielen, percentielen en de boxplot. Je leert ook hoe uitschieters de kengetallen beïnvloeden, hoe je een gewogen gemiddelde berekent met de somnotatie Σ, en hoe je alle kengetallen met 1-Var Stats op de grafische rekenmachine bepaalt.

4 Onderdelen~23 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·101010 / 15

Examenprofiel

Centrummaten berekenen en kiezen: het gemiddelde, de mediaan en de modus, en beoordelen welke maat bij welke verdeling past (domein E3).Spreidingsmaten berekenen: het bereik, de kwartielafstand (IQR) en de standaardafwijking σ, en hun robuustheid vergelijken.Kwartielen en percentielen bepalen en koppelen aan de vijf-getallensamenvatting en de boxplot.Het effect van uitschieters beredeneren en het gewogen gemiddelde en de somnotatie Σ toepassen, met kengetallen uit de GR (1-Var Stats).

Operatoren:berekenbepaalleg uitberedeneerinterpreteertekenlees afverklaar

basisniveau

Voor iedereen: gemiddelde, mediaan, modus, bereik, kwartielafstand, standaardafwijking en de boxplot horen tot de gemeenschappelijke examenstof van domein E (statistiek) op het centraal examen.

verhoogd niveau

Verdieping: redeneren over robuustheid (mediaan en IQR versus gemiddelde en σ bij scheve verdelingen en uitschieters) en het vlot en correct aflezen van alle kengetallen met 1-Var Stats op de GR.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Kwantificering: centrum- en spreidingsmaten

Centrummaten: gemiddelde, mediaan, modus#

Basisexamenblad-wiskunde-a-domein-E3

Een centrummaat vat een hele dataset samen in één getal dat het ‘midden’ van de waarnemingen aangeeft. In Afb. 1 zie je een histogram van de dagelijkse huiswerktijd van 20 leerlingen: de staven laten zien wáár de meeste waarnemingen liggen, maar om te rekenen en te vergelijken wil je één kengetal. De drie centrummaten die je op het examen gebruikt zijn het gemiddelde, de mediaan en de modus. Elk vangt het midden op een eigen manier: het gemiddelde ‘verdeelt de totale som eerlijk over alle waarnemingen’, de mediaan ‘zoekt de middelste waarneming’ en de modus ‘noemt de meest voorkomende waarde’. Welke maat het meest zinvol is, hangt af van de vorm van de verdeling — daarover gaat deze paragraaf.

Histogram van de huiswerktijd (20 leerlingen)

Afb. 1Afb. 1 — Histogram van de dagelijkse huiswerktijd (in minuten) van 20 leerlingen. Uit de onderliggende data: gemiddelde x̄ = 65,75 min en mediaan = 62,5 min. De modale klasse is 30–60 minuten (6 leerlingen).

Het (rekenkundig) gemiddelde

\bar{x}

bereken je door alle waarnemingen op te tellen en te delen door hun aantal

n

\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}

. Het somteken

\sum

(de Griekse hoofdletter sigma) betekent ‘tel op’, dus

\sum x_i

is de som van alle waarden

x_1, x_2, \dots, x_n

. Het gemiddelde is het ‘balanspunt’ van de data: leg je alle waarnemingen als gelijke gewichtjes op een liniaal, dan is

\bar{x}

precies het punt waar de liniaal in evenwicht is. Daardoor telt élke waarneming mee — ook een heel grote of heel kleine — en juist dat maakt het gemiddelde gevoelig voor uitschieters (§4). Reken je met een frequentietabel, dan gebruik je de vorm

\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}

, waarin

f_i

de frequentie van waarde

x_i

is; dat is een gewogen gemiddelde (§4).

De mediaan is de middelste waarneming nadat je de data van klein naar groot hebt gesorteerd. Bij een oneven aantal waarnemingen is er precies één middelste getal (bij

n=9

de 5e waarde); bij een even aantal neem je het gemiddelde van de twee middelste (bij

n=20

het gemiddelde van de 10e en 11e waarde). De mediaan verdeelt de dataset in twee even grote helften: minstens de helft van de waarnemingen is kleiner of gelijk aan de mediaan en minstens de helft is groter of gelijk. Omdat alleen de pósitie in de rangschikking telt en niet de exacte grootte van de uiterste waarden, verandert de mediaan nauwelijks als er één extreme uitschieter bij komt — de mediaan is robuust (§4).

De modus is de waarde die het vaakst voorkomt. Een dataset kan één modus hebben (unimodaal), twee (bimodaal), of geen duidelijke modus als alle waarden even vaak voorkomen. Bij data die in klassen zijn ingedeeld (zoals het histogram in Afb. 1) spreek je niet van één modus maar van de modale klasse: de klasse met de hoogste frequentie. In Afb. 1 is dat de klasse van 30 tot 60 minuten, met 6 leerlingen. De modus is bovendien de enige centrummaat die ook zin heeft bij niet-numerieke (kwalitatieve) gegevens — je kunt de ‘meest gekozen kleur’ of het ‘populairste vervoermiddel’ bepalen, terwijl een gemiddelde daar betekenisloos is.

Bij een symmetrische verdeling vallen gemiddelde, mediaan en modus (bijna) samen. Bij een scheve verdeling lopen ze uiteen, en dan is de kéuze van de centrummaat belangrijk (Afb. 2). Bij een rechts-scheve verdeling — een lange staart naar rechts, bijvoorbeeld bij inkomens — geldt meestal modus

<

mediaan

<

gemiddelde: de grote waarden in de staart trekken vooral het gemiddelde omhoog, terwijl de mediaan dichter bij de ‘gewone’ waarneming blijft. Vuistregel: gebruik de mediaan als de verdeling scheef is of uitschieters bevat, en het gemiddelde als de verdeling ongeveer symmetrisch is en je verder wilt rekenen (bijvoorbeeld met de standaardafwijking uit §2). De modus gebruik je vooral om de meest typische of populairste waarde te benoemen.

Centrummaten bij een scheve verdeling

Afb. 2Afb. 2 — Bij een rechts-scheve verdeling (lange staart naar rechts) liggen de centrummaten in de volgorde modus < mediaan < gemiddelde. De grote waarden in de staart trekken vooral het gemiddelde naar rechts.

\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}

Gemiddelde

Som van alle waarnemingen gedeeld door hun aantal $n$ .

\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}

Gemiddelde uit een frequentietabel

Elke waarde $x_i$ telt zo vaak mee als zijn frequentie $f_i$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Gemiddelde, mediaan en modus van een kleine dataset

Een docent noteert de cijfers van 9 leerlingen voor een toets: 7, 5, 8, 5, 6, 10, 4, 9, 5. Bereken het gemiddelde, de mediaan en de modus. Welke centrummaat vind je het meest representatief?

Sorteer de data
Van klein naar groot: 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Er zijn $n=9$ waarnemingen.
Gemiddelde
Tel alle cijfers op en deel door 9. De som is $4+5+5+5+6+7+8+9+10 = 59$ , dus $\bar{x}=\frac{59}{9}\approx 6{,}6$ .
$\bar{x}=\frac{59}{9}\approx 6{,}6$
Mediaan
Bij $n=9$ (oneven) is de mediaan de 5e waarde in de gesorteerde rij 4, 5, 5, 5, [6], 7, 8, 9, 10. De mediaan is dus 6.
Modus
De waarde 5 komt drie keer voor, vaker dan elke andere waarde. De modus is 5.
Interpretatie
Er is een lichte uitschieter naar boven (de 10), waardoor het gemiddelde (6,6) iets hoger ligt dan de mediaan (6). De verdeling is licht rechts-scheef; de mediaan geeft hier het meest robuuste beeld van een ‘typisch’ cijfer.

Resultaat: Gemiddelde ≈ 6,6; mediaan = 6; modus = 5. De mediaan is hier het meest representatief.

Veelgemaakte fouten

De mediaan bepalen zonder eerst te sorteren — de mediaan is de middelste waarde ná rangschikking, niet het middelste getal in de gegeven volgorde.
Bij een even aantal waarnemingen vergeten het gemiddelde van de twee middelste waarden te nemen (en per ongeluk maar één ‘middelste’ kiezen).
Modus en mediaan verwarren, of denken dat elke dataset precies één modus heeft (er kan er geen of meer dan één zijn).

Actieve herhaling

De schoenmaten van 8 leerlingen zijn: 38, 41, 39, 42, 38, 40, 38, 45. Bereken het gemiddelde en de mediaan, bepaal de modus, en leg uit waarom de mediaan hier een representatiever beeld geeft dan het gemiddelde.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Spreiding: bereik, kwartielafstand, standaardafwijking#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-E3

Gemiddelde en standaardafwijking op een getallenlijn

Afb. 3Afb. 1 — Getallenlijn voor de dataset 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (in uren). Het gemiddelde is x̄ = 5 en de standaardafwijking σ = 2, dus de band x̄ ± σ loopt van 3 tot 7.

Twee datasets kunnen hetzelfde gemiddelde hebben en toch heel verschillend zijn: bij de één liggen alle waarnemingen dicht bij elkaar, bij de ander liggen ze ver uiteen. Een centrummaat alleen is dus niet genoeg; je hebt ook een spreidingsmaat nodig die zegt hóé ver de waarnemingen van het midden af liggen. Afb. 1 toont voor een dataset van sporturen het gemiddelde

\bar{x}=5

met daaromheen de band van

\bar{x}-\sigma

tot

\bar{x}+\sigma

; de halve breedte van die band is de standaardafwijking

\sigma

. In deze paragraaf behandelen we drie spreidingsmaten met oplopende verfijning: het bereik, de kwartielafstand en de standaardafwijking.

Het bereik (of de spreidingsbreedte) is het verschil tussen de grootste en de kleinste waarneming:

\text{bereik}=x_{\max}-x_{\min}

. Het is de eenvoudigste spreidingsmaat en snel te bepalen, maar het gebruikt slechts twee getallen uit de hele dataset. Daardoor is het bereik extreem gevoelig voor uitschieters: één ongewoon grote of kleine waarneming blaast het bereik meteen op, ook al liggen alle andere waarnemingen dicht bij elkaar. Het bereik geeft dus wel de totale ‘breedte’ van de data, maar zegt weinig over hoe de waarnemingen daarbinnen verdeeld zijn.

De kwartielafstand of interkwartielafstand (IQR, van het Engelse ‘interquartile range’) lost het uitschieterprobleem van het bereik grotendeels op. De kwartielen

Q_1

Q_2

(de mediaan) en

Q_3

verdelen de gesorteerde data in vier even grote delen (§3). De kwartielafstand is de breedte van de middelste 50% van de data:

\text{IQR}=Q_3-Q_1

. Omdat de IQR alleen naar de middelste helft kijkt en de uiterste 25% aan beide kanten negeert, is hij ongevoelig voor uitschieters — net als de mediaan een robuuste maat. De IQR hoort daarom bij de mediaan: beschrijf je het centrum met de mediaan, dan beschrijf je de spreiding met de IQR.

De standaardafwijking

\sigma

(sigma) is de belangrijkste spreidingsmaat, omdat hij álle waarnemingen gebruikt. Je meet voor elke waarneming de afwijking van het gemiddelde,

x_i-\bar{x}

. Die afwijkingen zomaar optellen heeft geen zin, want ze heffen elkaar precies op: hun som is altijd 0 (zie Afb. 2). Daarom kwadrateer je ze eerst — kwadraten zijn nooit negatief — neem je het gemiddelde van die kwadraten (dat heet de variantie

\sigma^2=\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n}

) en trek je ten slotte de wortel om weer in de oorspronkelijke eenheid terug te komen:

\sigma=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n}}

. Je kunt

\sigma

lezen als ‘de typische afstand van een waarneming tot het gemiddelde’: hoe groter

\sigma

, hoe meer spreiding.

Er bestaan twee versies van de standaardafwijking. De populatiestandaardafwijking

\sigma

deelt door

n

(de formule hierboven); de steekproefstandaardafwijking

s

deelt door

n-1

en schat de spreiding van een grötere populatie op basis van een steekproef. Op de grafische rekenmachine heten deze twee

\sigma x

sx

(§4). Voor het VWO-examen gebruik je in de regel de

\sigma

die door

n

deelt, tenzij een opgave expliciet om een steekproefschatting vraagt. Handig om te weten: bij veel klokvormige (normale) verdelingen ligt ongeveer 68% van de waarnemingen binnen één standaardafwijking van het gemiddelde — tussen

\bar{x}-\sigma

\bar{x}+\sigma

, precies de band uit Afb. 1.

\text{bereik}=x_{\max}-x_{\min}

Bereik

Grootste waarneming min de kleinste.

\text{IQR}=Q_3-Q_1

Kwartielafstand

Breedte van de middelste 50% van de data.

\sigma=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n}}

Standaardafwijking (populatie)

Wortel van het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen; deelt door $n$ .

s=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n-1}}

Steekproefstandaardafwijking

Deelt door $n-1$ ; de GR noemt dit $sx$ .

Afwijkingen van het gemiddelde

Afb. 4Afb. 2 — De acht gesorteerde sporturen zijn 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 met x̄ = 5; de staven tonen de afwijking xᵢ − x̄ = −3, −1, −1, −1, 0, 0, +2, +4. Hun som is 0 — daarom kwadrateren we de afwijkingen voor de variantie en de standaardafwijking.

Uitgewerkt voorbeeld

Bereik, kwartielafstand en standaardafwijking berekenen

Acht leerlingen sporten per week het volgende aantal uur: 4, 5, 2, 4, 9, 5, 7, 4. Bereken het bereik, de kwartielafstand en de standaardafwijking $\sigma$ .

Sorteer en bepaal het gemiddelde
Van klein naar groot: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9, met $n=8$ . Het gemiddelde is $\bar{x}=\frac{40}{8}=5$ uur.
Bereik
Grootste min kleinste: $9-2=7$ uur.
$\text{bereik}=9-2=7$
Kwartielen en IQR
De mediaan ligt tussen de 4e en 5e waarde: $\frac{4+5}{2}=4{,}5$ . De onderste helft (2, 4, 4, 4) heeft mediaan $Q_1=\frac{4+4}{2}=4$ ; de bovenste helft (5, 5, 7, 9) heeft mediaan $Q_3=\frac{5+7}{2}=6$ . Dus $\text{IQR}=6-4=2$ uur.
$\text{IQR}=Q_3-Q_1=6-4=2$
Afwijkingen kwadrateren
Bereken $x_i-\bar{x}$ en kwadrateer: $(-3)^2,(-1)^2,(-1)^2,(-1)^2,0^2,0^2,2^2,4^2 = 9,1,1,1,0,0,4,16$ . De som is $9+1+1+1+0+0+4+16=32$ .
Standaardafwijking
Deel door $n=8$ en neem de wortel: $\sigma=\sqrt{\frac{32}{8}}=\sqrt{4}=2$ uur.
$\sigma=\sqrt{\frac{32}{8}}=\sqrt{4}=2$

Resultaat: Bereik = 7 uur; kwartielafstand IQR = 2 uur; standaardafwijking σ = 2 uur.

Veelgemaakte fouten

Vergeten de afwijkingen te kwadrateren en zo proberen ‘de gemiddelde afwijking’ te nemen — die is altijd 0.
De wortel aan het eind vergeten: dan bereken je de variantie $\sigma^2$ en niet de standaardafwijking $\sigma$ .
De verkeerde standaardafwijking van de GR overnemen: $\sigma x$ (delen door $n$ ) verwarren met $sx$ (delen door $n-1$ ).

Actieve herhaling

De wachttijden (in minuten) bij een balie zijn: 3, 8, 5, 4, 10, 6, 6, 6. Bereken het bereik, de kwartielafstand en de standaardafwijking, en geef aan welke spreidingsmaat je zou rapporteren als er ook één wachttijd van 45 minuten bij zou komen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Kwartielen, percentielen en de boxplot#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-E3

Boxplot van 15 toetscijfers

Afb. 5Afb. 1 — Boxplot van de vijf-getallensamenvatting 3, 5, 7, 8, 10. De doos loopt van Q₁ = 5 tot Q₃ = 8 (IQR = 3) met de mediaan bij 7; de snorharen reiken tot het minimum 3 en het maximum 10.

Kwartielen en percentielen zijn positiematen: ze zeggen niet hóéveel een waarneming is, maar wélke plaats ze inneemt in de gesorteerde dataset. De boxplot in Afb. 1 vat een dataset samen in vijf van die posities — het minimum, het eerste kwartiel

Q_1

, de mediaan, het derde kwartiel

Q_3

en het maximum — de zogenoemde vijf-getallensamenvatting. Met die vijf getallen zie je in één oogopslag waar het midden ligt, hoe breed de middelste helft is en hoe ver de staarten reiken. Deze paragraaf legt uit hoe je kwartielen en percentielen bepaalt en hoe je ze tekent en afleest in een boxplot.

De mediaan verdeelt de gesorteerde data in twee helften; de kwartielen doen dat nog een keer. Het eerste kwartiel

Q_1

is de mediaan van de onderste helft, het derde kwartiel

Q_3

de mediaan van de bovenste helft; de mediaan zelf heet ook wel

Q_2

. Zo ontstaan vier delen die elk ongeveer 25% van de waarnemingen bevatten. Onder

Q_1

ligt dus ongeveer een kwart van de data en onder

Q_3

ongeveer driekwart. Let op de rekenwijze: bij een oneven aantal waarnemingen laat je (in de methode van de grafische rekenmachine) de mediaan zelf buiten beide helften; bij een even aantal splits je precies in het midden.

Een percentiel veralgemeent het idee van kwartielen naar honderd delen. Het

p

-de percentiel

P_p

is de waarde waaronder ongeveer

p\%

van de waarnemingen ligt. Zo is

Q_1=P_{25}

, de mediaan

=P_{50}

Q_3=P_{75}

. Percentielen zijn handig om een individuele score te plaatsen: zit een leerling op het 90e percentiel, dan scoort hij hoger dan ongeveer 90% van de groep. Je bepaalt een percentiel met de cumulatieve frequentie (Afb. 2): tel de frequenties op van laag naar hoog en zoek de kleinste waarde waarbij de cumulatieve frequentie minstens

p\%

van het totaal bereikt. Groeicurven van kinderen (lengte en gewicht) zijn een bekend voorbeeld van percentielen in de praktijk.

Een boxplot (of doosdiagram) tekent de vijf-getallensamenvatting op een getallenas. De ‘doos’ loopt van

Q_1

tot

Q_3

en bevat dus de middelste 50% van de data; de breedte van de doos is precies de kwartielafstand

\text{IQR}=Q_3-Q_1

. Binnen de doos staat een streep bij de mediaan. Vanaf de doos lopen twee ‘snorharen’ (whiskers) naar het minimum en het maximum. Een korte doos betekent dat de middelste helft dicht opeen ligt; een scheve ligging van de mediaanstreep in de doos of ongelijke snorharen verraadt een scheve verdeling. Omdat een boxplot maar vijf getallen nodig heeft, kun je er snel meerdere datasets mee vergelijken (§4 en het onderwerp datavisualisatie).

Uit een boxplot lees je meteen belangrijke kengetallen af: de mediaan (de streep in de doos), de kwartielafstand (de lengte van de doos) en het bereik (van het uiteinde van de linkersnorhaar tot het uiteinde van de rechter). Je ziet ook de vorm: ligt de mediaan links in de doos en is de rechtersnorhaar veel langer, dan is de verdeling rechts-scheef. Wat je niet uit een boxplot kunt aflezen, is het exacte aantal waarnemingen of eventuele pieken bínnen een kwartiel — daarvoor heb je een histogram nodig. Boxplot en histogram vullen elkaar dus aan.

Q_1=P_{25}, \quad Q_2=\text{mediaan}=P_{50}, \quad Q_3=P_{75}

Kwartielen als percentielen

De kwartielen zijn het 25e, 50e en 75e percentiel.

x_{\min},\; Q_1,\; \text{mediaan},\; Q_3,\; x_{\max}

Vijf-getallensamenvatting

De vijf getallen waarmee een boxplot getekend wordt.

\text{IQR}=Q_3-Q_1

Breedte van de doos

De lengte van de doos in de boxplot.

Cumulatieve frequentie van de toetscijfers

Afb. 6Afb. 2 — Cumulatieve frequentie: het aantal leerlingen met een cijfer t/m de betreffende waarde. Voor het 80e percentiel zoek je waar de cumulatieve frequentie 80% van 15 = 12 bereikt: dat is bij cijfer 8 (13 leerlingen), dus P₈₀ = 8.

Uitgewerkt voorbeeld

Vijf-getallensamenvatting, boxplot en een percentiel

Vijftien leerlingen halen voor een toets deze cijfers (al gesorteerd): 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10. Bepaal de vijf-getallensamenvatting, beschrijf de bijbehorende boxplot en bepaal het 80e percentiel.

Minimum, maximum en mediaan
Het minimum is 3 en het maximum is 10. Bij $n=15$ (oneven) is de mediaan de 8e waarde: dat is 7.
Eerste en derde kwartiel
Laat de mediaan (de 8e waarde) buiten beschouwing. De onderste helft is 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6 (7 getallen); de mediaan daarvan is de 4e waarde: $Q_1=5$ . De bovenste helft is 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10 (7 getallen); de mediaan daarvan is de 4e waarde: $Q_3=8$ .
Vijf-getallensamenvatting en boxplot
De samenvatting is: minimum 3, $Q_1=5$ , mediaan 7, $Q_3=8$ , maximum 10. De boxplot heeft een doos van 5 tot 8 met een streep bij 7, een linkersnorhaar van 3 tot 5 en een rechtersnorhaar van 8 tot 10. De kwartielafstand is $\text{IQR}=8-5=3$ .
80e percentiel
Er zijn 15 waarnemingen en $80\%$ van 15 is $0{,}80\times 15=12$ . Zoek de kleinste waarde waarbij de cumulatieve frequentie minstens 12 is: t/m cijfer 7 zijn dat 10 leerlingen, t/m cijfer 8 zijn dat 13 leerlingen. Vanaf cijfer 8 is de cumulatieve frequentie $\geq 12$ , dus $P_{80}=8$ .

Resultaat: Vijf-getallensamenvatting: 3, 5, 7, 8, 10 (IQR = 3). Het 80e percentiel is 8.

Veelgemaakte fouten

$Q_1$ en $Q_3$ berekenen als ‘een kwart’ en ‘driekwart’ van de máximale waarde, in plaats van als de mediaan van de onderste respectievelijk bovenste helft.
De doos van de boxplot laten lopen van minimum tot maximum in plaats van van $Q_1$ tot $Q_3$ .
Denken dat elke snorhaar of elk deel van de doos even breed hoort te zijn: elk deel bevat wel ongeveer 25% van de wáárnemingen, maar de breedtes verschillen als de data ongelijk verdeeld zijn.

Actieve herhaling

Gegeven de gesorteerde dataset 12, 14, 15, 15, 18, 20, 21, 24, 30, 33, 40, 45. Bepaal de vijf-getallensamenvatting, bereken de kwartielafstand en beschrijf de vorm van de bijbehorende boxplot.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Uitschieters, gewogen gemiddelde en de GR#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-a-domein-E3

Boxplot met een uitschieter

Afb. 7Afb. 1 — Boxplot van zes salarissen (× €1000): 28, 30, 32, 34, 36 en 200. De doos (Q₁ = 30 tot Q₃ = 36, mediaan 33) beschrijft de gewone salarissen; het directeurssalaris 200 ligt ver boven de grens Q₃ + 1,5 × IQR = 45 en staat als uitschieter apart.

Een uitschieter is een waarneming die opvallend ver van de rest ligt. Uitschieters hebben een heel verschillend effect op de kengetallen: sommige maten worden er sterk door beïnvloed, andere nauwelijks. Afb. 1 toont een boxplot van zes salarissen waarin één directeur (200 duizend euro) er als los punt ver buiten ligt, terwijl de doos van de overige salarissen tussen 28 en 36 duizend euro zit. In deze paragraaf onderzoeken we dit effect, behandelen we het gewogen gemiddelde met de somnotatie

\sum

, en laten we zien hoe je alle kengetallen in één handeling met de grafische rekenmachine bepaalt (1-Var Stats, Afb. 2).

Het gemiddelde, het bereik en de standaardafwijking zijn gevoelig voor uitschieters, want ze gebruiken de exacte waarde van elke waarneming. Eén extreem grote waarde trekt het gemiddelde naar zich toe en vergroot het bereik en de standaardafwijking fors. De mediaan en de kwartielafstand zijn daarentegen robuust: ze kijken naar posities, niet naar exacte waarden, en veranderen daardoor nauwelijks. Vandaar de vuistregel: gebruik bij een dataset met uitschieters (of een scheve verdeling) de mediaan en de IQR om centrum en spreiding te beschrijven; het gemiddelde en

\sigma

passen bij ongeveer symmetrische data zónder uitschieters. Een veelgebruikte grens is de

1{,}5\times\text{IQR}

-regel: waarnemingen die verder dan

1{,}5\times\text{IQR}

onder

Q_1

of boven

Q_3

liggen, gelden als uitschieter en teken je in een boxplot als los punt.

Bij een gewoon gemiddelde telt elke waarneming even zwaar. Bij een gewogen gemiddelde krijgt elke waarde

x_i

een gewicht (weegfactor)

f_i

dat aangeeft hoe zwaar die waarde meetelt:

\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}

. Je vermenigvuldigt elke waarde met zijn gewicht, telt die producten op met de somnotatie

\sum

, en deelt door de som van de gewichten. Dit gebruik je bijvoorbeeld bij een rapportcijfer waarin een grote toets zwaarder telt dan een kleine, of bij het gemiddelde van een schoolexamen en een centraal examen. Ook het gemiddelde uit een frequentietabel is een gewogen gemiddelde: daar zijn de gewichten de frequenties. Voor de huishoudensgrootte 1, 2, 3, 4, 5 met frequenties 8, 15, 12, 10, 5 geldt bijvoorbeeld

\bar{x}=\frac{1\cdot 8+2\cdot 15+3\cdot 12+4\cdot 10+5\cdot 5}{8+15+12+10+5}=\frac{139}{50}=2{,}78

personen.

Het somteken

\sum

(de Griekse hoofdletter sigma) is een compacte schrijfwijze voor ‘tel op’. In

\sum_{i=1}^{n} x_i

betekent de

i=1

onderaan wáár je begint, de

n

bovenaan waar je stopt, en

x_i

de term die je telkens optelt; zo is

\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+\dots+x_n

. Deze notatie kom je overal in de statistiek tegen: in

\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}

, in

\sum f_i x_i

bij het gewogen gemiddelde en in

\sum (x_i-\bar{x})^2

bij de variantie. Als de grenzen duidelijk zijn (je telt over alle waarnemingen), laat men ze vaak weg en schrijft men kortweg

\sum x_i

Op de grafische rekenmachine bereken je alle kengetallen in één keer met 1-Var Stats (Afb. 2). Je voert de data in een lijst in — bij een frequentietabel zet je de waarden in lijst

L_1

en de frequenties in lijst

L_2

— en kiest STAT ▸ CALC ▸ 1-Var Stats. De machine geeft dan onder andere het gemiddelde

\bar{x}

, de som

\sum x

, de populatiestandaardafwijking

\sigma x

, de steekproefstandaardafwijking

sx

, het aantal

n

, en de vijf-getallensamenvatting minX,

Q_1

, Med,

Q_3

, maxX. Let goed op welke standaardafwijking je nodig hebt:

\sigma x

deelt door

n

(de examenstandaard),

sx

deelt door

n-1

. De GR bespaart rekenwerk, maar je moet de uitkomsten nog steeds kunnen interpreteren en de passende maat kiezen.

\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}

Gewogen gemiddelde

Elke waarde $x_i$ telt mee met gewicht $f_i$ .

\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1+x_2+\dots+x_n

Somnotatie

Het somteken $\sum$ betekent ‘tel alle termen op’.

Q_1-1{,}5\cdot\text{IQR} \quad\text{en}\quad Q_3+1{,}5\cdot\text{IQR}

Grenzen voor uitschieters

De 1,5×IQR-regel: daarbuiten heet een waarneming een uitschieter.

Kengetallen met 1-Var Stats op de GR

Afb. 8Afb. 2 — Zo toont de grafische rekenmachine (1-Var Stats) de kengetallen van de dataset 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Let op het verschil tussen σx (deelt door n, de examenstandaard) en sx (deelt door n − 1).

Uitgewerkt voorbeeld

Het effect van een uitschieter op gemiddelde en mediaan

Een klein bedrijf heeft vijf medewerkers met maandsalarissen (in duizenden euro's) van 28, 30, 32, 34 en 36. Bereken het gemiddelde en de mediaan. Daarna wordt de directeur, met een salaris van 200 duizend euro, meegeteld. Bereken opnieuw het gemiddelde en de mediaan en leg het verschil uit.

Zonder directeur
Gemiddelde: $\frac{28+30+32+34+36}{5}=\frac{160}{5}=32$ . De mediaan is de middelste (3e) waarde: 32. Beide zijn 32 duizend euro.
Met directeur
Nu zijn er $n=6$ waarnemingen. Gemiddelde: $\frac{160+200}{6}=\frac{360}{6}=60$ . De mediaan is het gemiddelde van de 3e en 4e waarde: $\frac{32+34}{2}=33$ .
$\bar{x}=\frac{360}{6}=60$
Vergelijk
Het gemiddelde springt van 32 naar 60 — bijna een verdubbeling — terwijl de mediaan slechts van 32 naar 33 gaat. Ook het bereik explodeert van $36-28=8$ naar $200-28=172$ .
Conclusie
De ene uitschieter trekt het gemiddelde en het bereik enorm mee, maar laat de mediaan vrijwel ongemoeid. Een ‘gemiddeld salaris’ van 60 duizend euro is hier misleidend: geen enkele gewone medewerker verdient in de buurt daarvan. De mediaan (33) beschrijft het typische salaris veel eerlijker.

Resultaat: Zonder directeur: gemiddelde = mediaan = 32. Met directeur: gemiddelde = 60, mediaan = 33. De mediaan is robuust, het gemiddelde niet.

Uitgewerkt voorbeeld

Een gewogen gemiddelde berekenen (rapportcijfer)

Een leerling haalt voor drie onderdelen de cijfers 8 (practicum, weegfactor 1), 6 (schriftelijke toets, weegfactor 3) en 7 (eindopdracht, weegfactor 2). Bereken het gewogen gemiddelde en vergelijk het met het gewone gemiddelde.

Producten waarde × gewicht
$\sum f_i x_i = 1\cdot 8+3\cdot 6+2\cdot 7 = 8+18+14 = 40$ .
Som van de gewichten
$\sum f_i = 1+3+2 = 6$ .
Deel
$\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}=\frac{40}{6}\approx 6{,}7$ .
$\bar{x}=\frac{40}{6}\approx 6{,}7$
Vergelijk met het gewone gemiddelde
Ongewogen zou het cijfer $\frac{8+6+7}{3}=7{,}0$ zijn. Omdat de zwaar wegende toets (cijfer 6, weegfactor 3) het meest meetelt, zakt het gewogen gemiddelde naar 6,7.

Resultaat: Het gewogen gemiddelde is ≈ 6,7 (tegenover 7,0 ongewogen).

Veelgemaakte fouten

Bij een gewogen gemiddelde delen door het aantal termen in plaats van door de som van de gewichten $\sum f_i$ .
Beweren dat een uitschieter ‘de mediaan sterk verandert’ — juist het gemiddelde (en het bereik en $\sigma$ ) is gevoelig; de mediaan en de IQR zijn robuust.
Op de GR $sx$ aflezen terwijl de opgave de populatiestandaardafwijking $\sigma x$ vraagt (of andersom).

Actieve herhaling

Een eindcijfer bestaat voor 40% uit het schoolexamen (cijfer 6,4) en voor 60% uit het centraal examen (cijfer 7,4). Bereken het gewogen eindcijfer. Leg daarna uit waarom je bij een dataset met één sterke uitschieter beter de mediaan en de kwartielafstand rapporteert dan het gemiddelde en de standaardafwijking.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde A (VWO)

Kwantificering: centrum- en spreidingsmaten

Kernpunten

Gemiddelde, mediaan en modus van een kleine dataset

Kernpunten

Bereik, kwartielafstand en standaardafwijking berekenen

Kernpunten

Vijf-getallensamenvatting, boxplot en een percentiel

Kernpunten

Het effect van een uitschieter op gemiddelde en mediaan

Een gewogen gemiddelde berekenen (rapportcijfer)

Bronnen