Samenvattingen · Wiskunde ANL · VWO

Rijen: rekenkundig en meetkundig

Een rij is een geordende lijst getallen die je vastlegt met een recursieve of een directe (expliciete) formule. Bij een rekenkundige rij verschilt elke term een vast bedrag van de vorige, bij een meetkundige rij een vaste factor; voor beide bereken je zowel losse termen als de som van de eerste n termen. Deze technieken pas je toe op sparen, afschrijven en groeimodellen.

4 Onderdelen~18 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·0555 / 15

Examenprofiel

Recursieve en directe (expliciete) formules opstellen en in elkaar omzettenRekenkundige rijen herkennen: verschil, directe formule en de som van n termenMeetkundige rijen herkennen: reden, directe formule en de som van een eindige rijRijen toepassen in spaar-, afschrijf- en groeicontexten

Operatoren:berekenbepaalstel oponderscheidtoon aanleg uitinterpreteervergelijk

basisniveau

Gemeenschappelijke eindexamenstof: recursieve en directe formules, rekenkundige en meetkundige rijen, en beide somformules.

verhoogd niveau

Verdieping: periodiek inleggen als meetkundige som (annuiteiten) en het koppelen van rijen aan exponentiele groeimodellen.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Rijen: rekenkundig en meetkundig

Rijen, recursieve en directe formules#

Basisexamenblad-wiskunde-a-rijen

Een „rij" is een geordende lijst getallen:

u_1,\,u_2,\,u_3,\,\dots

, waarbij elk getal een „term" heet en het onderschrift

n

het „rangnummer" (de plaats in de rij) aangeeft. Zo is

u_1

de eerste term (de startterm) en

u_{20}

de twintigste. In Afb. 1 staan twee rijen die allebei bij

1

beginnen, maar heel verschillend groeien: de ene (

1,3,5,7,9

) klimt met telkens dezelfde sprong, terwijl de andere (

1,2,4,8,16

) telkens verdubbelt en daardoor steeds sneller stijgt. Dat verschil in groeigedrag — vast bijtellen tegenover vast vermenigvuldigen — is precies het onderscheid tussen een rekenkundige en een meetkundige rij dat in dit hoofdstuk centraal staat.

Afb. 1 — Rekenkundige versus meetkundige groei

Afb. 1Beide rijen beginnen bij 1. De rekenkundige rij (verschil 2) volgt een rechte lijn; de meetkundige rij (reden 2) verdubbelt en stijgt exponentieel weg.

Je kunt een rij op twee manieren vastleggen. Een „recursieve formule" vertelt hoe je uit een term de volgende maakt, samen met een startwaarde. Zo betekent

u_1=3

u_{n+1}=u_n+4

: begin bij

3

en tel er steeds

4

bij, dus

3,7,11,15,\dots

. De startwaarde is onmisbaar: zonder

u_1

ligt de rij niet vast, want de regel

u_{n+1}=u_n+4

past bij oneindig veel rijen. Een recursieve formule is intuitief en sluit aan bij hoe een rij vaak ontstaat (elke stap hangt van de vorige af), maar heeft een nadeel: wil je

u_{100}

weten, dan moet je in principe eerst alle

99

voorgaande termen uitrekenen.

Een „directe" of „expliciete formule" geeft

u_n

rechtstreeks als functie van het rangnummer

n

, zonder de vorige term te kennen. Voor dezelfde rij

3,7,11,15,\dots

is dat

u_n=3+(n-1)\cdot 4=4n-1

. Nu bereken je elke gewenste term in een stap:

u_{100}=4\cdot 100-1=399

. Het omzetten van een recursieve naar een directe formule (en omgekeerd) is een kernvaardigheid: bij vast bijtellen hoort een lineaire directe formule, bij vast vermenigvuldigen een exponentiele. Controleer een directe formule altijd door

n=1,2,3

in te vullen en te vergelijken met de eerste termen van de rij.

Om te bepalen welk type rij je voor je hebt, onderzoek je de opeenvolgende termen. Zijn de „verschillen"

u_{n+1}-u_n

steeds gelijk, dan is de rij rekenkundig. Zijn de „quotienten"

u_{n+1}/u_n

steeds gelijk, dan is de rij meetkundig. Is geen van beide constant, dan is de rij „anders". Bij

1,4,9,16,25

(de kwadraten) zijn de verschillen

3,5,7,9

— niet constant — en de quotienten

4;\ 2{,}25;\ \dots

evenmin: deze rij is dus noch rekenkundig, noch meetkundig. Deze eerste controle bepaalt welke formules en somregels je verderop mag gebruiken.

Let op de nummering: meestal begint een rij bij

u_1

, maar in een context begint hij soms bij

u_0

(bijvoorbeeld het startsaldo op tijdstip

0

). Bij het overstappen van

u_0

naar

u_1

verschuift de exponent of de factor

(n-1)

met een, dus lees altijd nauwkeurig wat het rangnummer betekent. In toepassingen komt een rij vaak uit een tabel of een verhaal: schrijf dan eerst de eerste termen op, bepaal het type (is het verschil of de factor constant?), en kies pas daarna de passende formule.

u_{n+1}=u_n+v

Recursieve formule — rekenkundig

Begin bij de startterm $u_1$ en tel telkens hetzelfde verschil $v$ op om de volgende term te krijgen.

u_{n+1}=r\cdot u_n

Recursieve formule — meetkundig

Begin bij $u_1$ en vermenigvuldig telkens met dezelfde reden $r$ om de volgende term te krijgen.

Uitgewerkt voorbeeld

Van rij naar formule

Gegeven is de rij 5, 8, 11, 14, … Stel een recursieve en een directe formule op en bereken de tiende term.

Herken het type
De verschillen zijn $8-5=3$ , $11-8=3$ en $14-11=3$ : constant. Het is dus een rekenkundige rij met verschil $v=3$ en startterm $u_1=5$ .
Recursieve formule
Geef de startwaarde en hoe je de volgende term maakt.
$u_1=5,\quad u_{n+1}=u_n+3$
Directe formule
Vul $u_1=5$ en $v=3$ in de standaardvorm in en werk de haakjes weg.
$u_n=5+(n-1)\cdot 3=3n+2$
Bereken de tiende term
Vul $n=10$ in de directe formule in.
$u_{10}=3\cdot 10+2=32$

Resultaat: Recursief: $u_1=5$ met $u_{n+1}=u_n+3$ . Direct: $u_n=3n+2$ . De tiende term is $u_{10}=32$ .

Veelgemaakte fouten

Een recursieve formule geven zonder startwaarde $u_1$ — dan ligt de rij niet vast.
Het rangnummer $n$ verwarren met de termwaarde $u_n$ , of in de directe formule $u_1+n\cdot v$ schrijven in plaats van $u_1+(n-1)\cdot v$ .

Actieve herhaling

Gegeven de rij 2, 6, 10, 14, 18, … Stel zowel een recursieve als een directe formule op en bereken de vijftiende term.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Rekenkundige rijen en hun som#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-rijen

Een „rekenkundige rij" is een rij waarbij het verschil tussen twee opeenvolgende termen steeds hetzelfde is. Dat vaste getal heet het „verschil"

v

, met

v=u_{n+1}-u_n

. In Afb. 2 zie je de eerste termen van de rij

2,5,8,11

op een getallenlijn; de stappen zijn allemaal even groot (

+3

), wat kenmerkend is voor een rekenkundige rij. Omdat je bij elke stap hetzelfde bedrag optelt, groeit een rekenkundige rij „lineair": de termen liggen op een rechte lijn als je ze tegen hun rangnummer uitzet.

Afb. 2 — Rekenkundige rij op de getallenlijn

Afb. 2De eerste vier termen liggen op gelijke afstand op de getallenlijn: u1=2, u2=5, u3=8, u4=11, telkens een stap van +3.

De directe formule volgt rechtstreeks uit dit stapsgewijs optellen. Om van

u_1

bij

u_n

te komen doe je

n-1

stappen van

v

, dus

u_n=u_1+(n-1)\cdot v

. De valkuil zit in dat getal

n-1

: voor de vijfde term maak je vanaf de eerste term maar

4

stappen, niet

5

. Reken bijvoorbeeld met

u_1=2

v=3

u_5=2+(5-1)\cdot 3=2+12=14

, wat klopt met de rij

2,5,8,11,14

. De directe formule is altijd van de vorm

u_n=v\cdot n+(u_1-v)

— een lineair verband met richtingscoefficient

v

Vaak zijn niet

u_1

v

gegeven, maar twee willekeurige termen. Tussen

u_p

u_q

liggen

q-p

stappen, dus

u_q-u_p=(q-p)\cdot v

; hieruit los je eerst

v

op en daarna

u_1

. Zijn bijvoorbeeld

u_3=10

u_7=22

gegeven, dan is

u_7-u_3=4v=12

, dus

v=3

, en

u_1=u_3-2v=10-6=4

. Deze techniek — twee gegevens over de rij vertalen naar

v

u_1

— komt op het examen geregeld terug.

De som van de eerste

n

termen,

S_n=u_1+u_2+\dots+u_n

, bereken je met

S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}

. De redenering hierachter is de bekende truc van Gauss: schrijf de som een keer voorwaarts en een keer achterwaarts onder elkaar. Elk verticaal paar heeft dan dezelfde uitkomst

u_1+u_n

, en er zijn

n

zulke paren, samen

n\cdot(u_1+u_n)

. Omdat je de som zo twee keer hebt opgeteld, deel je door

2

S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}

. In woorden: de som is het „aantal termen" maal het „gemiddelde van de eerste en de laatste term".

Ken je

u_n

nog niet, gebruik dan de gelijkwaardige vorm

S_n=\frac{n}{2}(2u_1+(n-1)v)

, die alleen

u_1

v

n

nodig heeft. Cruciaal bij beide vormen is dat je het „aantal" termen

n

juist telt: de som van

u_5

tot en met

u_{12}

bevat

12-5+1=8

termen, niet

7

. En pas de somformule nooit toe op een rij die niet rekenkundig is — controleer eerst of het verschil echt constant is.

v=u_{n+1}-u_n

Constant verschil

Bij een rekenkundige rij is dit verschil voor elk opeenvolgend paar termen hetzelfde.

u_n=u_1+(n-1)\cdot v

Directe formule (rekenkundig)

Vanaf $u_1$ maak je $n-1$ stappen van $v$ om bij de $n$ -de term te komen.

S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}

Som van de eerste n termen

Het aantal termen $n$ maal het gemiddelde van de eerste en de laatste term.

Uitgewerkt voorbeeld

Twintigste term en som

Een rekenkundige rij heeft startterm u1 = 4 en verschil v = 3 (de rij 4, 7, 10, 13, …). Bereken de twintigste term en de som van de eerste 20 termen.

Directe formule
Vul $u_1=4$ en $v=3$ in.
$u_n=4+(n-1)\cdot 3=3n+1$
Bereken de twintigste term
Vul $n=20$ in.
$u_{20}=3\cdot 20+1=61$
Pas de somformule toe
Gebruik $S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$ met $n=20$ , $u_1=4$ en $u_{20}=61$ .
$S_{20}=\frac{20(4+61)}{2}=\frac{20\cdot 65}{2}=650$

Resultaat: De twintigste term is $u_{20}=61$ en de som van de eerste twintig termen is $S_{20}=650$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Een rij reconstrueren uit twee termen

Van een rekenkundige rij is gegeven dat u3 = 10 en u7 = 22. Bepaal het verschil v en de startterm u1.

Bepaal het verschil
Tussen $u_3$ en $u_7$ liggen $7-3=4$ stappen van $v$ .
$u_7-u_3=4v\ \Rightarrow\ 22-10=4v\ \Rightarrow\ v=3$
Bepaal de startterm
Ga vanaf $u_3$ twee stappen terug: $u_1=u_3-2v$ .
$u_1=10-2\cdot 3=4$

Resultaat: Er geldt $v=3$ en $u_1=4$ : het is de rij $4, 7, 10, 13, \dots$ uit het vorige voorbeeld.

Veelgemaakte fouten

De factor $(n-1)$ vervangen door $n$ , waardoor elke term een stap te ver ligt.
Bij de som het aantal termen verkeerd tellen (van $u_5$ tot en met $u_{12}$ zijn het $8$ termen, niet $7$ ), of de somformule op een niet-rekenkundige rij toepassen.

Actieve herhaling

Van een rekenkundige rij is u1 = 7 en v = 4. Bereken de vijfentwintigste term en de som van de eerste 25 termen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Meetkundige rijen en hun som#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-rijen

Een „meetkundige rij" is een rij waarbij het quotient van twee opeenvolgende termen steeds hetzelfde is. Dat vaste getal heet de „reden" (of factor)

r

, met

r=\frac{u_{n+1}}{u_n}

. Je maakt elke volgende term dus door met

r

te vermenigvuldigen in plaats van

v

op te tellen. In Afb. 3 staan de termen van de rij met

u_1=3

r=2

3,6,12,24,48,96

. De staafjes worden razendsnel hoger — meetkundige rijen groeien „exponentieel", wat betekent dat ze op den duur elke rekenkundige (lineaire) rij voorbijstreven.

Afb. 3 — Termen van een meetkundige rij

Afb. 3De rij met u1=3 en r=2 verdubbelt elke term: 3, 6, 12, 24, 48, 96. De staven groeien exponentieel.

De directe formule ontstaat door herhaald vermenigvuldigen:

u_2=u_1\cdot r

u_3=u_1\cdot r^2

, en in het algemeen

u_n=u_1\cdot r^{\,n-1}

. Ook hier is de exponent

n-1

(niet

n

), want de eerste term is nog niet vermenigvuldigd. Met

u_1=3

r=2

geeft dat

u_4=3\cdot 2^{3}=3\cdot 8=24

, precies de vierde term. Merk op: de directe formule van een meetkundige rij is een exponentiele functie van

n

, met

u_1

als startwaarde en

r

als groeifactor.

De waarde van

r

bepaalt het gedrag. Is

r>1

, dan groeit de rij (

r=2

: verdubbelen). Is

0<r<1

, dan daalt de rij naar

0

(

r=\tfrac{1}{2}

: telkens halveren) — dit is het geval bij afschrijven en halveringstijden. Is

r

negatief, dan wisselen de termen van teken (een alternerende rij). En

r=1

geeft een constante rij (

u_1,u_1,u_1,\dots

). De reden

r

mag nooit

0

zijn, want dan is de rij vanaf de tweede term overal

0

en niet langer meetkundig.

Voor de som

S_n=u_1+u_1r+u_1r^2+\dots+u_1r^{\,n-1}

bestaat een handige formule:

S_n=u_1\cdot\frac{1-r^{n}}{1-r}

, geldig zolang

r\neq 1

. De afleiding: vermenigvuldig

S_n

met

r

en trek dat van

S_n

af. Bijna alle termen vallen dan tegen elkaar weg (een „telescoop"):

S_n-r\,S_n=u_1-u_1r^{n}

, dus

S_n(1-r)=u_1(1-r^{n})

, en delen door

1-r

geeft de formule. Voor

r>1

schrijf je hem vaak als

S_n=u_1\cdot\frac{r^{n}-1}{r-1}

om met positieve getallen te werken — beide vormen geven dezelfde uitkomst.

Afb. 4 zet lineaire groei (

y=2x+1

) naast exponentiele groei (

y=2^{x}

). Aanvankelijk kan de rechte lijn hoger liggen, maar de exponentiele kromme buigt steeds steiler omhoog en haalt de lijn onherroepelijk in. Dat is de kern van het verschil tussen rekenkundig en meetkundig: een vast „bedrag" erbij versus een vaste „factor" keer. Bij grote

n

wint een meetkundige rij met

r>1

het altijd van elke rekenkundige rij, hoe groot het verschil

v

ook is.

Afb. 4 — Lineaire versus exponentiele groei

Afb. 4De rechte lijn (lineair, hoort bij rekenkundig) en de kromme y = 2^x (exponentieel, hoort bij meetkundig). De exponentiele groei haalt de lineaire onherroepelijk in.

r=\frac{u_{n+1}}{u_n}

Constante reden

Bij een meetkundige rij is dit quotient voor elk opeenvolgend paar termen hetzelfde.

u_n=u_1\cdot r^{\,n-1}

Directe formule (meetkundig)

Vanaf $u_1$ vermenigvuldig je $n-1$ keer met $r$ om bij de $n$ -de term te komen.

S_n=u_1\cdot\frac{1-r^{n}}{1-r}

Som van een eindige meetkundige rij (r is niet 1)

Geldig zolang $r\neq 1$ ; voor $r>1$ gebruik je vaak de vorm met $\frac{r^{n}-1}{r-1}$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Twintigste term en som van een meetkundige rij

Een meetkundige rij heeft startterm u1 = 3 en reden r = 2 (de rij 3, 6, 12, 24, …). Bereken de twintigste term en de som van de eerste 20 termen.

Directe formule
Vul $u_1=3$ en $r=2$ in; let op de exponent $n-1$ .
$u_n=3\cdot 2^{\,n-1}$
Bereken de twintigste term
De exponent is $n-1=19$ .
$u_{20}=3\cdot 2^{19}=3\cdot 524288=1\,572\,864$
Pas de somformule toe
Gebruik $S_n=u_1\cdot\frac{1-r^{n}}{1-r}$ met $r=2$ en $n=20$ .
$S_{20}=3\cdot\frac{1-2^{20}}{1-2}$
Reken uit
Er geldt $2^{20}=1\,048\,576$ .
$S_{20}=3\cdot\frac{1-1\,048\,576}{-1}=3\cdot 1\,048\,575=3\,145\,725$

Resultaat: De twintigste term is $u_{20}=1\,572\,864$ en de som van de eerste twintig termen is $S_{20}=3\,145\,725$ .

Veelgemaakte fouten

De exponent $n-1$ verwarren met $n$ , of $u_1\cdot r^{\,n-1}$ uitrekenen als $(u_1\cdot r)^{\,n-1}$ .
De somformule gebruiken met $r=1$ (deling door $0$ ), of vergeten dat $15\%$ afname hoort bij $r=0{,}85$ en niet bij $r=-0{,}15$ .

Actieve herhaling

Een meetkundige rij heeft u1 = 5 en r = 3. Bereken de achtste term en de som van de eerste 8 termen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Toepassingen: sparen en groei#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-a-rijen

Rijen zijn het natuurlijke gereedschap voor situaties waarin iets stap voor stap verandert. Het klassieke voorbeeld is sparen. In Afb. 5 staan twee spaarvormen naast elkaar, allebei startend met 1000 euro. Bij „enkelvoudige interest" krijg je elk jaar een vast bedrag rente (hier 50 euro): dat is een rekenkundige rij. Bij „samengestelde interest" krijg je rente over je rente, zodat het bedrag elk jaar met dezelfde factor groeit (

\times 1{,}05

): dat is een meetkundige rij. De grafiek laat zien hoe de samengestelde variant langzaam maar zeker boven de enkelvoudige uitstijgt.

Afb. 5 — Enkelvoudige versus samengestelde interest

Afb. 5Vanaf 1000 euro: enkelvoudig groeit rechtlijnig met +50 euro per jaar (1000, 1050, 1100, 1150, 1200, 1250); samengesteld groeit met x1,05 per jaar (1000, 1050, 1102,50, 1157,63, 1215,51, 1276,28).

De brug tussen procenten en meetkundige rijen is de „groeifactor"

g=1+\frac{p}{100}

. Een groei van

5\%

per jaar hoort bij

g=1{,}05

, een afname van

15\%

bij

g=0{,}85

. Na

n

perioden is het bedrag

V_n=V_0\cdot g^{\,n}

— een meetkundige rij met reden

r=g

en startterm

V_0

. Zo reken je met een formule elk gewenst jaar uit: een kapitaal van

1000

euro bij

5\%

groeit in

10

jaar tot

1000\cdot 1{,}05^{10}\approx 1628{,}89

euro.

Voor waardevermindering geldt hetzelfde, maar met

g<1

. Een machine die jaarlijks

15\%

van zijn waarde verliest, is na

n

jaar

W_n=W_0\cdot 0{,}85^{\,n}

euro waard — een dalende meetkundige rij. Let op het veelgemaakte fout:

15\%

eraf betekent

\times 0{,}85

, niet

-0{,}15

. Om te bepalen na hoeveel jaar de waarde onder een grens zakt, vul je opeenvolgende gehele waarden van

n

in (of gebruik je de grafische rekenmachine), want

n

moet een heel aantal jaren zijn.

Wanneer je „herhaald" iets inlegt of optelt, komt de somformule in beeld. Stort je elk jaar opnieuw een bedrag dat daarna rente blijft opbouwen, dan vormen de eindwaarden van de losse stortingen een meetkundige rij, en het totaal is hun som

S_n=u_1\cdot\frac{1-r^{n}}{1-r}

(het idee achter annuiteiten en spaarplannen). Rekenkundige sommen komen voor bij lineair oplopende hoeveelheden — denk aan stapels blikken, oplopende rijen stoelen in een theater, of een spaaractie waarbij je elke maand een vast bedrag meer inlegt; het totaal reken je dan met

S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}

De kernvaardigheid in toepassingen is het „kiezen" van het juiste model. Vraag je af: verandert er elke stap een vast „bedrag" (rekenkundig, lineair) of een vaste „factor / een vast percentage" (meetkundig, exponentieel)? Vertaal daarna het verhaal naar

u_1

v

r

, en

n

, kies de term- of somformule, en interpreteer de uitkomst terug in de context — met de juiste eenheid en een zinvolle afronding (geld op centen). Een negatieve of niet-gehele

n

heeft in een spaarcontext geen betekenis, dus rond bij „na hoeveel jaar"-vragen af naar een heel aantal perioden.

g=1+\frac{p}{100}

Groeifactor bij p% verandering

Bij $+8\%$ hoort $g=1{,}08$ , bij $-8\%$ hoort $g=0{,}92$ .

V_n=V_0\cdot g^{\,n}

Samengestelde groei (meetkundig)

Na $n$ perioden met vaste groeifactor $g$ ; dit is een meetkundige rij met reden $r=g$ .

V_n=V_0+n\cdot b

Enkelvoudige groei (rekenkundig)

Elke periode komt hetzelfde bedrag $b$ erbij; dit is een rekenkundige rij.

Uitgewerkt voorbeeld

Enkelvoudig versus samengesteld sparen

Je zet 1000 euro in. Bij enkelvoudige interest komt er elk jaar 50 euro rente bij; bij samengestelde interest groeit het bedrag elk jaar met 5%. Geef voor beide een formule voor het bedrag na n jaar en bereken het bedrag na 10 jaar.

Enkelvoudig (rekenkundig)
Elk jaar 50 euro erbij: een rekenkundige rij met verschil 50.
$V_n=1000+50n$
Samengesteld (meetkundig)
Elk jaar $\times 1{,}05$ : een meetkundige rij met reden $1{,}05$ .
$V_n=1000\cdot 1{,}05^{\,n}$
Bereken beide na 10 jaar
Vul $n=10$ in.
$1000+50\cdot 10=1500\qquad 1000\cdot 1{,}05^{10}\approx 1628{,}89$

Resultaat: Enkelvoudig levert 1500 euro op, samengesteld 1628,89 euro — dat is 128,89 euro meer door rente-op-rente.

Uitgewerkt voorbeeld

Afschrijven met een vaste factor

Een machine kost 24 000 euro en verliest elk jaar 15% van zijn waarde. Stel een formule op voor de waarde na n jaar, bereken de waarde na 5 jaar en bepaal na hoeveel hele jaren de waarde onder 10 000 euro zakt.

Stel de formule op
15% eraf betekent $\times 0{,}85$ : een dalende meetkundige rij met reden $0{,}85$ .
$W_n=24000\cdot 0{,}85^{\,n}$
Waarde na 5 jaar
Vul $n=5$ in.
$W_5=24000\cdot 0{,}85^{5}\approx 10648{,}93$
Onder 10 000 euro?
Probeer opeenvolgende jaren: $W_5\approx 10649$ (nog erboven), $W_6\approx 9052$ (eronder).
$W_6=24000\cdot 0{,}85^{6}\approx 9051{,}59$

Resultaat: $W_n=24000\cdot 0{,}85^{\,n}$ . Na 5 jaar is de machine 10 648,93 euro waard; pas na 6 jaar zakt de waarde onder 10 000 euro.

Veelgemaakte fouten

Enkelvoudige (rekenkundige) en samengestelde (meetkundige) interest door elkaar halen — rente-op-rente is vermenigvuldigen, niet optellen.
Een procentuele verandering verkeerd omzetten in een groeifactor ( $+8\%\to\times 1{,}08$ , $-8\%\to\times 0{,}92$ ), of bij „na hoeveel jaar" een niet-geheel antwoord laten staan.

Actieve herhaling

Je zet 2000 euro op een spaarrekening met 4% samengestelde interest per jaar. Stel een formule op voor het bedrag na n jaar en bereken het bedrag na 15 jaar.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde A (VWO)

Rijen: rekenkundig en meetkundig

Kernpunten

Van rij naar formule

Kernpunten

Twintigste term en som

Een rij reconstrueren uit twee termen

Kernpunten

Twintigste term en som van een meetkundige rij

Kernpunten

Enkelvoudig versus samengesteld sparen

Afschrijven met een vaste factor

Bronnen