Samenvattingen · Wiskunde ANL · VWO

Helling, toenamediagram en differentiequotiënt

Dit onderwerp gaat over verandering: hoe snel verandert een grootheid gemiddeld over een interval, en hoe steil loopt een grafiek in één punt? Je leert het differentiequotiënt $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ berekenen en interpreteren, een toenamediagram tekenen en aflezen, de momentane helling benaderen door het interval steeds kleiner te maken, en ten slotte de hellingsgrafiek schetsen. Het is centraal-examenstof (domein D, Verandering) en vormt de opstap naar de afgeleide.

4 Onderdelen~22 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·0666 / 15

Examenprofiel

Het differentiequotiënt (Δy/Δx) — de gemiddelde veranderingssnelheid op een interval [a, b] — berekenen en met de juiste eenheid in de context interpreterenEen toenamediagram bij een tabel of grafiek tekenen en aflezen, en de toenames verbinden met de steilheid van koordenDe momentane helling benaderen door het interval steeds kleiner te maken: de intuïtieve overgang van koorde naar raaklijnDe hellingsgrafiek bij een gegeven grafiek schetsen en de helling in een punt met de grafische rekenmachine aflezen

Operatoren:berekenbepaalleg uitinterpreteertekenschetslees afverklaarbenadertoon aan

basisniveau

Voor het CE moet je het differentiequotiënt op een interval kunnen berekenen en interpreteren, een toenamediagram kunnen tekenen en aflezen, de momentane helling met kleine intervallen of met de GR kunnen benaderen, en een hellingsgrafiek kunnen schetsen.

verhoogd niveau

Wie dieper gaat, ziet de koorde bij een steeds kleiner interval naar de raaklijn draaien (de intuïtieve limiet), gebruikt het symmetrische differentiequotiënt zoals de GR dat doet, en herkent dat de hellingsgrafiek van een parabool een rechte lijn is — de brug naar de afgeleide.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Helling, toenamediagram en differentiequotiënt

Gemiddelde veranderingssnelheid en differentiequotiënt#

Basisexamenblad-wiskunde-a-domein-D1

In veel contexten wil je weten hóe snel iets verandert: hoeveel graden stijgt de temperatuur per uur, hoeveel meter legt een auto per seconde af, hoeveel euro kost een extra product? Het antwoord op zulke vragen is een veranderingssnelheid. Over een heel interval reken je met de gemiddelde veranderingssnelheid, en die krijgt in de wiskunde een vaste naam: het differentiequotiënt. In Afb. 1 zie je de parabool

f(x)=0{,}25x^2

met een rechte lijn (een koorde) door de punten

(2,1)

(6,9)

. De helling van die koorde — hoe sterk hij stijgt — is precies de gemiddelde veranderingssnelheid van

f

op het interval

[2,6]

, en die blijkt

2

te zijn. Dit hoofdstuk draait om dat ene getal en om wat het betekent.

Afb. 1 — De koorde door twee punten van de grafiek

Afb. 1Het differentiequotiënt op [2, 6] is de helling van de koorde door (2, 1) en (6, 9): (9 − 1)/(6 − 2) = 2.

Het differentiequotiënt van een functie

f

op een interval

[a,b]

is de verandering van de functiewaarde gedeeld door de verandering van

x

. We schrijven de verandering met het symbool

\Delta

(spreek uit: delta), dat ‚verandering van' betekent:

\Delta x=b-a

is de stap op de horizontale as en

\Delta y=f(b)-f(a)

is de bijbehorende verandering van de uitkomst. Het differentiequotiënt is dan

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

. Let op de volgorde: bovenaan (in de teller) staat de verandering van de úitkomst, onderaan (in de noemer) de verandering van de ínvoer. Het woord ‚gemiddelde' is wezenlijk: het getal beschrijft de verandering uitgesmeerd over het hele interval, niet op één moment — binnen het interval kan de werkelijke steilheid variëren.

Meetkundig heeft het differentiequotiënt een heldere betekenis: het is de richtingscoëfficiënt (de helling) van de koorde, de rechte lijn door de twee randpunten

(a,f(a))

(b,f(b))

van de grafiek. In Afb. 1 lees je dat direct af: van

x=2

naar

x=6

ga je

\Delta x=4

naar rechts en

\Delta y=9-1=8

omhoog, dus de koorde heeft helling

\tfrac{8}{4}=2

. Het teken van het differentiequotiënt vertelt je de richting van de verandering: positief betekent dat

f

over het interval gemiddeld stijgt, negatief dat

f

gemiddeld daalt, en

0

dat

f

b

op dezelfde hoogte eindigt als in

a

(netto geen verandering, ook al kan de grafiek er tussenin best zijn gestegen en gedaald).

De naam ‚veranderingssnelheid' verklaart waarom dit begrip zo vaak in contexten opduikt. Snelheid is immers niets anders dan verandering per tijdseenheid. In Afb. 2 staat de afgelegde afstand

s(t)=2t^2

van een optrekkende auto; de koorde door

(3,18)

(5,50)

heeft helling

\frac{50-18}{5-3}=16

, en dat is de gemiddelde snelheid van

16

meter per seconde tussen

t=3

t=5

. Bij elk differentiequotiënt hoort dus een eenheid van de vorm ‚eenheid van

y

per eenheid van

x

': m/s, °C per uur, euro per stuk, inwoners per jaar. Wie de eenheid weglaat of omdraait, mist de helft van het antwoord — de interpretatie in de context is bij wiskunde A minstens zo belangrijk als de berekening zelf.

Afb. 2 — Gemiddelde snelheid als helling van een koorde

Afb. 2De gemiddelde snelheid op [3, 5] is de helling van de koorde door (3, 18) en (5, 50): 16 m/s.

In de praktijk bereken je het differentiequotiënt bijna altijd in drie stapjes: reken eerst de twee functiewaarden

f(a)

f(b)

uit (met de hand of met de GR), trek ze af tot

\Delta y

, en deel door

\Delta x=b-a

. Werk je met een tabel in plaats van een formule, dan lees je

f(a)

f(b)

gewoon uit de tabel af. Belangrijk om te onthouden: dit hoofdstuk gaat over de gemiddelde verandering over een interval. In de latere secties maken we het interval steeds kleiner om de momentane helling in één punt te benaderen — de steilheid op één enkel moment — en dat leidt uiteindelijk naar de afgeleide. Het differentiequotiënt is daarvoor de onmisbare eerste stap.

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Differentiequotiënt op [a,b]

De gemiddelde veranderingssnelheid van $f$ op het interval $[a,b]$ : de verandering van de functiewaarde gedeeld door de verandering van $x$ . Tegelijk de helling van de koorde door de twee randpunten.

\Delta x = b-a \qquad \Delta y = f(b)-f(a)

De veranderingen Δx en Δy

$\Delta$ (delta) betekent ‚verandering van'. $\Delta x$ is de stap op de horizontale as, $\Delta y$ de bijbehorende verandering van de uitkomst.

Uitgewerkt voorbeeld

Differentiequotiënt van een parabool

Gegeven de functie $f(x)=0{,}25x^2$ . Bereken het differentiequotiënt op het interval $[2,6]$ en leg uit wat het betekent.

Bepaal de twee functiewaarden
Reken de uitkomsten in de randpunten $x=2$ en $x=6$ uit.
$f(2)=0{,}25\cdot 2^2=1 \qquad f(6)=0{,}25\cdot 6^2=9$
Vul het differentiequotiënt in
Deel de verandering van $y$ door de verandering van $x$ .
$\frac{f(6)-f(2)}{6-2}=\frac{9-1}{4}=2$
Interpreteer
Over het interval $[2,6]$ neemt $f(x)$ gemiddeld met $2$ toe per eenheid die $x$ groter wordt. Meetkundig is $2$ de helling van de koorde door $(2,1)$ en $(6,9)$ in Afb. 1.

Resultaat: Het differentiequotiënt is $2$ : op $[2,6]$ stijgt $f$ gemiddeld met $2$ per eenheid $x$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Gemiddelde snelheid van een auto

Een auto trekt op. De afgelegde afstand $s$ (in meter) na $t$ seconden is $s(t)=2t^2$ . Bereken de gemiddelde snelheid over het interval $[3,5]$ en geef de betekenis met eenheid.

Bereken de afstanden
Reken $s$ uit in $t=3$ en $t=5$ .
$s(3)=2\cdot 3^2=18 \qquad s(5)=2\cdot 5^2=50$
Differentiequotiënt = gemiddelde snelheid
Snelheid is afstand per tijd, dus $\frac{\Delta s}{\Delta t}$ .
$\frac{s(5)-s(3)}{5-3}=\frac{50-18}{2}=16$
Interpreteer met eenheid
De auto legt tussen $t=3$ en $t=5$ gemiddeld $16$ meter per seconde af. Dat is de gemiddelde snelheid; op één enkel moment kan de snelheid hoger of lager zijn (Afb. 2).

Resultaat: De gemiddelde snelheid op $[3,5]$ is $16$ m/s.

Veelgemaakte fouten

Teller en noemer verwisselen: het is $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ (verandering van de uitkomst gedeeld door verandering van de invoer), niet andersom.
De eenheid vergeten of fout kiezen. Een veranderingssnelheid heeft altijd de vorm ‚eenheid van $y$ per eenheid van $x$ ', bijvoorbeeld m/s of °C per uur.
$f(b)-f(a)$ verwarren met $f(b-a)$ . Reken eerst de twee functiewaarden apart uit en trek ze dan pas af.

Actieve herhaling

Gegeven $f(x)=0{,}5x^2+1$ . Bereken het differentiequotiënt op het interval $[1,4]$ en leg uit wat dit getal betekent voor de grafiek van $f$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Toenamediagram en koorden#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-D1

Afb. 1 — De data als grafiek: elk lijnstukje is een koorde

Afb. 3De weergaven per dag. De rechte stukjes tussen de punten zijn koorden; hun steilheid is de toename van dat interval — en die wordt steeds groter.

Wanneer je gegevens in gelijke stappen hebt — bijvoorbeeld een meting per dag of per jaar — is het vaak leerzaam om niet naar de waarden zelf te kijken, maar naar de toenames: hoeveel komt er per stap bij (of gaat eraf)? Die toenames zet je als staafjes in een toenamediagram. In Afb. 1 staat het aantal weergaven

N

(in duizendtallen) van een video na

t

dagen als grafiek; in Afb. 2 staan de bijbehorende toenames per dag —

3, 6, 9, 12, 15

— als staafdiagram. Het toenamediagram maakt in één oogopslag zichtbaar hoe het tempo van de verandering zelf verandert: hier worden de staafjes steeds hoger, dus de video wordt met de dag sneller bekeken.

Een toenamediagram maak je in twee stappen. Bereken eerst per stap de toename: het verschil tussen twee opeenvolgende waarden,

\text{toename}=f(x+\Delta x)-f(x)

. Voor de video:

5-2=3

11-5=6

20-11=9

, enzovoort. Teken vervolgens boven elk interval een staafje met die hoogte. Werk je vanuit een tabel, dan zijn de toenames simpelweg de verschillen van de rij getallen; werk je vanuit een grafiek, dan lees je de functiewaarden eerst af en trek je ze af. Elk staafje hoort bij een héél stapje, niet bij één punt — daarom teken je het staafje boven het interval

[x,\,x+\Delta x]

Het toenamediagram is een kompas voor de vórm van de oorspronkelijke grafiek. Steeds hogere staafjes betekenen: de grafiek loopt steeds steiler op (versnellende groei). Steeds lagere, maar nog positieve staafjes betekenen: de grafiek stijgt nog wel, maar remt af. Worden de staafjes negatief, dan dáált de grootheid en wijst het staafje omlaag. Zo lees je aan het toenamediagram af waar een verband snel of langzaam verandert, en waar het van stijgen naar dalen omslaat (daar wisselt het teken van de staafjes). Het diagram vertelt dus over de steilheid, terwijl de grafiek zelf over de hoogte gaat.

Er is een mooi verband tussen het toenamediagram en het differentiequotiënt uit sectie 1. Een koorde is de rechte verbinding tussen twee punten van een grafiek, en de helling van die koorde is het differentiequotiënt over dat interval. In een lijngrafiek van tabelgegevens (Afb. 1) is elk recht stukje tussen twee opeenvolgende punten precies zo'n koorde. Als de stapgrootte

\Delta x=1

is, geldt bovendien

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{1}=\Delta y

: dan is de toename gelijk aan het differentiequotiënt over die stap. De staafjes in het toenamediagram zijn in dat geval dus letterlijk de hellingen van de koorden — de gemiddelde snelheden per dag.

Ten slotte het verband met de gemiddelde verandering over het héle interval. De gemiddelde toename per dag over

[0,5]

is het differentiequotiënt

\frac{N(5)-N(0)}{5-0}=\frac{47-2}{5}=9

, en dat is precies het gemiddelde van de vijf staafjes:

\frac{3+6+9+12+15}{5}=9

. Dat is geen toeval — de gemiddelde veranderingssnelheid over een interval is altijd het gemiddelde van de toenames binnen dat interval (bij gelijke stappen). Let bij het aflezen wél op de stapgrootte: alleen als

\Delta x

overal even groot is, mag je de staafjes zo netjes met elkaar en met het gemiddelde vergelijken.

\text{toename} = f(x+\Delta x)-f(x)

Toename per stap

De toename is het verschil tussen twee opeenvolgende functiewaarden; in een toenamediagram is dit de hoogte van het staafje boven dat interval.

\Delta x = 1 \;\Rightarrow\; \frac{\Delta y}{\Delta x}=\Delta y

Toename = differentiequotiënt bij stapgrootte 1

Als de stap $1$ is, valt de noemer weg en is de toename precies gelijk aan het differentiequotiënt (de helling van de koorde) over die stap.

Afb. 2 — Toenamediagram van de weergaven per dag

Afb. 4Het toenamediagram: de toename per dag (3, 6, 9, 12, 15) neemt steeds toe, dus de grafiek in Afb. 1 loopt steeds steiler.

Uitgewerkt voorbeeld

Toenamediagram bij een groeitabel

Het aantal weergaven $N$ (in duizendtallen) van een video na $t$ dagen staat in de tabel: bij $t=0,1,2,3,4,5$ is $N=2,5,11,20,32,47$ . Bepaal de toenames per dag, teken het toenamediagram en bereken de gemiddelde toename per dag over $[0,5]$ .

Bereken de toenames
Trek elke waarde af van de volgende: dat is de toename $\Delta N$ per stap van één dag.
$5-2=3,\; 11-5=6,\; 20-11=9,\; 32-20=12,\; 47-32=15$
Teken het toenamediagram
Zet de toenames $3, 6, 9, 12, 15$ als staafjes boven de intervallen $0\!-\!1, 1\!-\!2, \dots, 4\!-\!5$ (Afb. 2). De staafjes worden steeds hoger: de video wordt steeds sneller bekeken.
Gemiddelde toename over het hele interval
Dat is het differentiequotiënt van $N$ op $[0,5]$ .
$\frac{N(5)-N(0)}{5-0}=\frac{47-2}{5}=9$
Verband met de staafjes
Omdat elke stap $\Delta t=1$ dag is, is elke toename tegelijk het differentiequotiënt over die dag. Het gemiddelde $9$ is precies het gemiddelde van de staafjes: $\frac{3+6+9+12+15}{5}=9$ .

Resultaat: Toenames: $3, 6, 9, 12, 15$ (×1000). De grafiek loopt steeds steiler; de gemiddelde toename over $[0,5]$ is $9$ (×1000) weergaven per dag.

Veelgemaakte fouten

De functiewaarden zelf in het toenamediagram zetten in plaats van de verschillen (toenames) tussen opeenvolgende waarden.
Vergeten dat een staafje negatief kan zijn: als de grootheid daalt, is de toename negatief en wijst het staafje omlaag.
Aannemen dat de toename zonder meer het differentiequotiënt is; dat klopt alleen als de stapgrootte $\Delta x$ overal $1$ (of steeds even groot) is.

Actieve herhaling

Een tabel geeft het aantal deelnemers aan een online cursus: bij $t=0,1,2,3,4$ weken zijn dat $50, 80, 140, 230, 350$ deelnemers. Bereken de toenames per week, teken het toenamediagram en beschrijf wat het over de groei zegt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Van gemiddeld naar momentaan (naar de afgeleide toe)#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-D1

Afb. 1 — De koorde draait naar de raaklijn

Afb. 5De koorde op [2, 4] heeft helling (4 − 1)/(4 − 2) = 1,5. Schuift het tweede punt naar x = 2, dan draait de koorde naar de raaklijn met helling 1: de momentane helling in x = 2.

Het differentiequotiënt geeft de gemiddelde verandering over een heel interval, maar vaak wil je de verandering op één enkel moment weten: hoe hard rijdt de auto precíes op

t=4

, hoe steil loopt de grafiek in precíes

x=2

? Dat heet de momentane helling (of momentane veranderingssnelheid). Het idee om daar te komen is verrassend eenvoudig: maak het interval steeds kleiner. In Afb. 1 zie je de parabool

f(x)=0{,}25x^2

met de koorde over

[2,4]

, die helling

1{,}5

heeft, en de raaklijn in het punt

(2,1)

, die helling

1

heeft. Schuif je het rechterpunt van de koorde steeds dichter naar

x=2

, dan draait de koorde langzaam naar de raaklijn toe.

Wiskundig gebeurt er dit: je bekijkt het differentiequotiënt op

[a,\,a+h]

, dus

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

, en laat de stap

h

steeds kleiner worden. De bijbehorende koorden worden dan steeds kortere, steilere (of vlakkere) lijntjes die zich om het punt

(a,f(a))

heen vlijen, en hun helling nadert één vast getal. Dat vaste getal is de momentane helling in

x=a

: de helling van de raaklijn in dat punt. In Afb. 2 zie je dat concreet gebeuren voor

x=2

: de differentiequotiënten

1{,}5;\ 1{,}25;\ 1{,}125;\ 1{,}025;\ 1{,}0025

kruipen steeds dichter naar

1

toe naarmate

b

naar

2

nadert.

Zo bereken je de momentane helling in de praktijk: kies een héél klein stapje

h

(bijvoorbeeld

0{,}01

0{,}001

) en reken het differentiequotiënt

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

uit; dat is een goede benadering van de helling in

a

. Je kunt ook een paar steeds kleinere stapjes nemen en kijken naar welk getal de uitkomsten naderen — dat getal is het antwoord. Op wiskunde A werk je hierbij intuïtief: je hoeft de limiet niet formeel op te schrijven, maar je moet wél kunnen laten zien dat de differentiequotiënten naar één waarde toe kruipen. Hoe kleiner

h

, hoe beter de benadering; met

h

precies

0

zou je

\tfrac{0}{0}

krijgen, en dáárom nader je de helling met kleine stapjes in plaats van hem direct in te vullen.

De grafische rekenmachine kan de momentane helling direct geven. Veel toestellen hebben in het grafiekenscherm een optie ‚dy/dx' (of

\tfrac{d}{dx}

, soms ‚helling'), en er is de functie nDeriv (numerieke afgeleide). Onder de motorkap gebruikt de GR meestal het symmetrische differentiequotiënt

\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}

: een even groot stukje links én rechts van

a

. Dat is vaak nauwkeuriger dan een eenzijdig stapje. Voor

f(x)=0{,}25x^2

x=2

geeft het zelfs exact het goede antwoord:

\frac{f(2{,}01)-f(1{,}99)}{0{,}02}=\frac{1{,}010025-0{,}990025}{0{,}02}=1

. Reken bij een ‚momentane' vraag dus nooit met een groot interval — dat geeft de gemiddelde in plaats van de momentane helling.

Deze sectie is de brug naar het volgende onderwerp, de afgeleide. Waar je nu de momentane helling nog punt voor punt benadert met kleine stapjes of met de GR, geeft de afgeleide functie

f'

straks in één klap een formule voor de helling in élk punt. De momentane helling in

x=a

is niets anders dan

f'(a)

, de helling van de raaklijn in

(a,f(a))

. Onthoud daarom de kernbeweging van dit hoofdstuk: van een koorde over een interval, via steeds kleinere intervallen, naar de raaklijn in één punt — van gemiddelde verandering naar momentane verandering. Dat is precies de gedachte waarop het hele differentiëren rust.

\text{helling in } a \approx \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\quad(h\text{ klein})

Momentane helling benaderen

Voor een kleine stap $h$ benadert het differentiequotiënt de helling in het punt $x=a$ . Hoe kleiner $h$ , hoe beter de benadering.

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\ \to\ \text{de helling in }a \quad (h\to 0)

Van koorde naar raaklijn

Laat je $h$ naar $0$ gaan, dan draait de koorde naar de raaklijn en nadert het differentiequotiënt de momentane helling. Op wiskunde A gebruik je dit intuïtief, zonder formele limiet.

\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}

Symmetrisch differentiequotiënt (GR)

De grafische rekenmachine berekent de helling met een even groot stukje links en rechts van $a$ ; dat geeft meestal een nauwkeuriger benadering van de momentane helling.

Afb. 2 — Het differentiequotiënt op [2, b] als b naar 2 nadert

Afb. 6Hoe kleiner het interval, hoe dichter het differentiequotiënt bij 1 ligt. De momentane helling in x = 2 is 1.

Uitgewerkt voorbeeld

Van koorde naar raaklijn: de momentane helling

Gegeven $f(x)=0{,}25x^2$ . Benader de momentane helling in $x=2$ door het differentiequotiënt over steeds kleinere intervallen te berekenen. Naar welk getal nadert het?

Interval [2; 2,1]
Bereken $f(2{,}1)$ en het differentiequotiënt.
$\frac{f(2{,}1)-f(2)}{0{,}1}=\frac{1{,}1025-1}{0{,}1}=1{,}025$
Nog kleiner: [2; 2,01] en [2; 2,001]
Herhaal met een steeds kleiner interval.
$\frac{f(2{,}01)-f(2)}{0{,}01}=1{,}0025 \qquad \frac{f(2{,}001)-f(2)}{0{,}001}=1{,}00025$
Symmetrisch interval (zoals de GR rekent)
Neem een even groot stukje links en rechts van $x=2$ .
$\frac{f(2{,}01)-f(1{,}99)}{0{,}02}=\frac{1{,}010025-0{,}990025}{0{,}02}=1$
Conclusie
De differentiequotiënten $1{,}025;\ 1{,}0025;\ 1{,}00025$ naderen $1$ ; de koorde draait naar de raaklijn (Afb. 1). De momentane helling in $x=2$ is dus $1$ .

Resultaat: De momentane helling in $x=2$ is $1$ (de helling van de raaklijn).

Veelgemaakte fouten

Bij een ‚momentane' helling toch een groot interval gebruiken. Kies het interval heel klein (bijvoorbeeld $\Delta x=0{,}01$ ) of gebruik de helling-optie van de GR.
Denken dat de helling in een top of dal niet bestaat; daar is de momentane helling juist $0$ (horizontale raaklijn).
De limietgedachte formeel proberen op te schrijven. Op wiskunde A hoef je alleen intuïtief te laten zien dat de differentiequotiënten naar één getal naderen.

Actieve herhaling

Gegeven $f(x)=x^2$ . Benader de helling in $x=3$ door het differentiequotiënt op $[3;\,3{,}1]$ en op $[3;\,3{,}01]$ te berekenen. Naar welk geheel getal naderen de uitkomsten?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Hellingsgrafiek#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-D1

Afb. 1 — Een functie en zijn hellingsgrafiek

Afb. 7De hellingsgrafiek g(x) = 0,5x geeft in elke x de helling van f(x) = 0,25x². In x = 3 heeft de raaklijn helling 1,5, en de hellingsgrafiek leest daar ook 1,5 af.

Tot nu toe berekende je de helling telkens in één los punt. Doe je dat in genoeg punten en zet je die hellingen als nieuwe grafiek uit, dan krijg je de hellingsgrafiek: een grafiek die bij elke

x

de momentane helling (de steilheid) van

f

aangeeft. In Afb. 1 staat de parabool

f(x)=0{,}25x^2

getekend samen met haar hellingsgrafiek

g(x)=0{,}5x

, de gestreepte rechte lijn. Dat je die twee in één plaatje ziet, is geen truc: de hoogte van

g

in een punt is precies de steilheid van

f

in dat punt. In

x=3

bijvoorbeeld heeft de raaklijn aan

f

helling

1{,}5

, en juist daar leest de hellingsgrafiek ook

1{,}5

af.

Een hellingsgrafiek schets je in drie stappen. Lees eerst in een aantal handig gekozen punten de momentane helling van

f

af — met de raaklijn ‚op het oog', of nauwkeuriger met de helling-optie (dy/dx) van de GR. Zet die waarden vervolgens in een tabelletje van

x

tegen ‚helling', zoals in Afb. 2. Teken ten slotte de punten

(x,\ \text{helling})

in een nieuw assenstelsel en verbind ze tot een vloeiende grafiek. Kies de punten met zorg: neem er genoeg, en juist ook daar waar de grafiek het steilst loopt en waar hij (bijna) vlak is, want die uitersten bepalen de vorm van de hellingsgrafiek.

De hellingsgrafiek leest af als een verhaal over

f

zelf. Waar

f

stíjgt, is de helling positief en ligt de hellingsgrafiek bóven de

x

-as; waar

f

dáált, is de helling negatief en ligt de hellingsgrafiek eronder. In een top of dal van

f

is de raaklijn horizontaal, dus de helling is

0

en snijdt de hellingsgrafiek de

x

-as. Hoe steiler

f

loopt, hoe verder de hellingsgrafiek van de

x

-as af ligt. Zo kun je de redenering ook omkeren: uit een gegeven hellingsgrafiek lees je af waar

f

stijgt of daalt en waar

f

een uiterste heeft — precies waar de hellingsgrafiek van teken wisselt.

Het voorbeeld

f(x)=0{,}25x^2

laat een prachtig patroon zien. De afgelezen hellingen

-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2

x=-4,-2,0,2,4

liggen keurig op één rechte lijn door de oorsprong: de hellingsgrafiek is

g(x)=0{,}5x

. De hellingsgrafiek van een parabool is dus altijd een rechte lijn. Dat sluit mooi aan bij sectie 2: de toenames van

0{,}25x^2

over gelijke stappen (

0{,}25;\ 0{,}75;\ 1{,}25;\ \dots

) namen zelf ook lineair toe. In

x=0

is de helling

0

— daar heeft de parabool haar laagste punt met een horizontale raaklijn — en links daarvan is de helling negatief (dalende tak), rechts positief (stijgende tak).

De hellingsgrafiek is de laatste stap vóór de afgeleide. Waar je hem nu nog puntsgewijs schetst door hellingen af te lezen, zul je straks met de afgeleide functie

f'

meteen de formule van de hellingsgrafiek kunnen opschrijven: voor

f(x)=0{,}25x^2

blijkt dat

f'(x)=0{,}5x

— exact de lijn die we hierboven aflazen. Voor het examen is het belangrijk dat je een hellingsgrafiek kunt schetsen bij een gegeven grafiek én de kenmerken correct koppelt (stijgen ↔ positief, dalen ↔ negatief, top/dal ↔ nul), en dat je de helling in een punt met de GR kunt bepalen. Daarmee heb je alle gereedschappen in handen om in het volgende hoofdstuk het differentiëren zelf te leren.

g(x)=\text{de helling (steilheid) van }f\text{ in }x

Hellingsgrafiek g

De hellingsgrafiek $g$ geeft bij elke $x$ de momentane helling van $f$ . Je vindt $g(x)$ door in dat punt de raaklijn te bekijken of met de GR de helling af te lezen.

f\text{ stijgt}\Rightarrow g>0;\quad f\text{ daalt}\Rightarrow g<0;\quad \text{top/dal}\Rightarrow g=0

Teken van de helling

Het teken van de hellingsgrafiek vertelt of $f$ stijgt, daalt of een top/dal heeft (horizontale raaklijn, helling $0$ ).

Afb. 2 — De helling van f(x) = 0,25x² in enkele punten

Afb. 8De met de GR afgelezen helling in vijf punten. Uitgezet in een assenstelsel geven deze punten de hellingsgrafiek: de rechte lijn g(x) = 0,5x.

Uitgewerkt voorbeeld

De hellingsgrafiek van een parabool schetsen

Gegeven $f(x)=0{,}25x^2$ . Lees in $x=-4,-2,0,2,4$ de momentane helling af (met de GR) en schets daarmee de hellingsgrafiek. Wat voor grafiek krijg je?

Lees de helling af in elk punt
Gebruik de helling-optie (dy/dx) van de GR in elke $x$ .
$x=-4:\,-2 \quad x=-2:\,-1 \quad x=0:\,0 \quad x=2:\,1 \quad x=4:\,2$
Zet de punten uit
Teken de punten $(-4,-2),\ (-2,-1),\ (0,0),\ (2,1),\ (4,2)$ in een nieuw assenstelsel (Afb. 2).
Herken de vorm
De punten liggen op één rechte lijn door de oorsprong: de hellingsgrafiek is $g(x)=0{,}5x$ (Afb. 1). In $x=0$ is de helling $0$ — daar heeft $f$ haar laagste punt met een horizontale raaklijn.

Resultaat: De hellingsgrafiek is een rechte lijn door de oorsprong: $g(x)=0{,}5x$ .

Veelgemaakte fouten

De hellingsgrafiek verwarren met de grafiek van $f$ zelf. De hellingsgrafiek geeft in elk punt de steilheid van $f$ , niet de hoogte.
Het teken vergeten: als $f$ daalt, ligt de hellingsgrafiek onder de $x$ -as (negatieve helling).
Slechts naar een paar punten kijken; lees de helling in genoeg punten af (ook waar de grafiek het steilst is en waar hij vlak loopt) om de vorm goed te krijgen.

Actieve herhaling

De grafiek van $f(x)=0{,}5x^2$ is gegeven. Lees met de GR de helling af in $x=-2,-1,0,1,2$ en schets daarmee de hellingsgrafiek. Welke soort grafiek krijg je?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde A (VWO)

Helling, toenamediagram en differentiequotiënt

Kernpunten

Differentiequotiënt van een parabool

Gemiddelde snelheid van een auto

Kernpunten

Toenamediagram bij een groeitabel

Kernpunten

Van koorde naar raaklijn: de momentane helling

Kernpunten

De hellingsgrafiek van een parabool schetsen

Bronnen