Samenvattingen · Wiskunde ANL · VWO

Functies, grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

Dit onderwerp bouwt het functiebegrip op — domein, bereik en functiewaarden — en leert grafieken lezen en interpreteren, met snijpunten met de assen en met andere grafieken. Je lost vergelijkingen op, exact (isoleren, ontbinden, abc-formule) en met de intersect-functie van de grafische rekenmachine, en je lost ongelijkheden op via grafiek en tekenverloop, met de oplossing netjes als interval. Steeds ligt de nadruk op het interpreteren van de uitkomst in de context en op het opstellen van een passende formule bij een situatie (modelleren).

4 Onderdelen~20 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·0444 / 15

Examenprofiel

Functiebegrip: domein, bereik en functiewaarden bepalen (domein C2/C3)Grafieken lezen en interpreteren; snijpunten met de assen en met andere grafieken bepalenVergelijkingen exact en met de grafische rekenmachine oplossen (snijpunt-methode)Ongelijkheden oplossen via grafiek en tekenverloop; de oplossing als interval noteren

Operatoren:berekenbepaallos oplees afleg uitinterpreteertekenstel op

basisniveau

Gemeenschappelijke eindexamenstof: domein en bereik bepalen, snijpunten aflezen, en vergelijkingen en ongelijkheden oplossen — exact waar het kan en anders met de grafische rekenmachine.

verhoogd niveau

Verdieping: transformaties van grafieken herkennen en beschrijven en bij een situatie of grafiek zelf een passende formule opstellen (modelleren), met zo veel mogelijk exact-algebraïsch werk.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Functies, grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

Functiebegrip: domein, bereik en functiewaarden#

Basisexamenblad-wiskunde-a-domein-C2-C3

Een functie is een voorschrift dat bij elke toegestane invoer

x

precies één uitvoer

f(x)

hoort. We noemen

x

de onafhankelijke variabele (die kies je zelf; hij staat horizontaal) en

y=f(x)

de afhankelijke variabele (die volgt uit

x

; hij staat verticaal). In Afb. 1 staat de grafiek van

h(x)=-0{,}5x^2+2x+1

getekend voor

x

tussen 0 en 4: elk punt op de kromme is een paar

(x,\ h(x))

. De functiewaarde

h(2)=3

betekent bijvoorbeeld dat het punt

(2,\ 3)

op de grafiek ligt.

Grafiek van h(x) = -0,5x² + 2x + 1 op [0, 4]

Afb. 1Afb. 1 — De baan

h(x)=-0{,}5x^2+2x+1

op domein

D=[0,\ 4]

. De top ligt bij

(2;\ 3)

en de randpunten zijn

(0;\ 1)

(4;\ 1)

; daarom is het bereik

B=[1,\ 3]

Het domein van een functie is de verzameling van alle

x

-waarden die je mag invullen. Soms wordt het domein door de context bepaald — een afstand of een tijd begint bij 0 en stopt ergens, zoals de

[0,\ 4]

in Afb. 1 — en soms door de wiskunde: je mag niet delen door 0, geen wortel trekken uit een negatief getal en geen logaritme nemen van 0 of een negatief getal. Bij

f(x)=\sqrt{x-2}

moet bijvoorbeeld

x-2\ge 0

, dus

x\ge 2

en het domein is

[2,\ \rightarrow\rangle

. Is er geen beperking, dan is het domein alle reële getallen.

Het bereik is de verzameling van alle functiewaarden (

y

-waarden) die de functie op haar domein aanneemt. Je leest het af aan de grafiek: van de laagste tot de hoogste waarde die voorkomt. Bij een kwadratische functie let je op de top én op de randen van het domein. In Afb. 1 ligt de top bij

(2,\ 3)

en zijn de randwaarden

h(0)=1

h(4)=1

; de hoogte loopt dus van 1 tot 3 en het bereik is

[1,\ 3]

. Zonder domeinbeperking zou deze bergparabool een bereik

\langle\leftarrow,\ 3]

hebben, dus alles tot en met de top.

Een functiewaarde bereken je door in te vullen: voor

h(2)

vervang je elke

x

door 2 en reken je uit. Andersom komt ook voor: als gevraagd wordt voor welke

x

geldt

h(x)=1

, dan los je een vergelijking op (zie §3) en vind je hier

x=0

x=4

. Let op de notatie:

h(2)

is een getal (de uitvoer), terwijl

h(x)

het hele voorschrift is. De haakjes betekenen hier ‘ingevuld in’, niet ‘maal’.

In toepassingen dragen de variabelen een betekenis en een eenheid. De onafhankelijke variabele is meestal wat je regelt of afleest (tijd, afstand, aantal), de afhankelijke is wat daarvan afhangt (hoogte, kosten, temperatuur). Domein en bereik volgen dan uit de situatie: negatieve tijden of afstanden vallen af, en het bereik zegt iets over de mogelijke uitkomsten. Zo maakt het functiebegrip van een tabel of een verhaal een wiskundig model dat je kunt doorrekenen.

y = f(x)

Functienotatie

$x$ is de onafhankelijke variabele (invoer), $y=f(x)$ de afhankelijke variabele (uitvoer). $f(a)$ is de functiewaarde bij $x=a$ ; het punt $(a,\ f(a))$ ligt op de grafiek.

D = [0,\;4], \qquad B = [1,\;3]

Domein en bereik

Het domein $D$ is de verzameling toegestane $x$ -waarden; het bereik $B$ is de verzameling bijbehorende functiewaarden (hier de waarden bij de functie uit Afb. 1).

x_{\text{top}} = -\frac{b}{2a}

Top van een parabool

Bij een kwadratische functie $f(x)=ax^2+bx+c$ ligt de top hier; met de top en de randwaarden bepaal je het bereik.

Uitgewerkt voorbeeld

Domein, bereik en maximale hoogte van een waterstraal

Een waterstraal volgt de baan $h(x)=-0{,}5x^2+2x+1$ , waarbij $x$ de horizontale afstand (in m) is en $h$ de hoogte (in m). De straal loopt van $x=0$ tot $x=4$ . Bepaal het domein en het bereik van $h$ en de maximale hoogte.

Domein uit de context
De horizontale afstand loopt van 0 tot 4 meter, dus het domein is $D=[0,\ 4]$ . Hier is $x$ de onafhankelijke variabele en $h(x)$ de afhankelijke.
$D = [0,\;4]$
Top van de parabool
De coëfficiënten zijn $a=-0{,}5$ en $b=2$ . De top ligt bij $x=-\frac{b}{2a}$ , en dat valt binnen het domein.
$x_{\text{top}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2\cdot(-0{,}5)} = 2$
Maximale hoogte
Vul $x=2$ in: de maximale hoogte is 3 m.
$h(2) = -0{,}5\cdot 2^2 + 2\cdot 2 + 1 = 3$
Randwaarden en minimum
Aan de randen geldt $h(0)=1$ en $h(4)=1$ . Omdat dit een bergparabool is, is de laagste waarde op $[0,\ 4]$ dus 1.
$h(0) = 1, \qquad h(4) = 1$
Bereik aflezen
De hoogte loopt van 1 m (aan de randen) tot 3 m (in de top), dus het bereik is $B=[1,\ 3]$ .
$B = [1,\;3]$

Resultaat: Domein $D=[0,\ 4]$ (m), bereik $B=[1,\ 3]$ (m); de maximale hoogte is 3 m bij $x=2$ m.

Veelgemaakte fouten

Domein en bereik verwisselen: het domein gaat over de $x$ -waarden (horizontaal), het bereik over de $y$ -waarden (verticaal).
Bij een kwadratische functie alleen de randwaarden invullen en de top vergeten, waardoor het bereik te klein wordt (of andersom bij een dalparabool).
Vergeten dat de context het domein beperkt (een afstand of een tijd kan bijvoorbeeld niet negatief zijn).

Actieve herhaling

Gegeven $f(x)=\sqrt{x-2}$ . Bepaal het domein en het bereik van $f$ en bereken $f(6)$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Grafieken en snijpunten lezen#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-C2-C3

In Afb. 2 zie je twee grafieken die elkaar in twee punten snijden. Een grafiek lezen begint bij de bijzondere punten, en de snijpunten met de assen zijn het belangrijkst. Op de

x

-as is de

y

-waarde nul, dus die snijpunten — de nulpunten — vind je door

f(x)=0

op te lossen; het snijpunt met de

y

-as vind je door

x=0

in te vullen en

f(0)

te berekenen. Een functie heeft hoogstens één snijpunt met de

y

-as (want bij

x=0

hoort precies één functiewaarde), maar ze kan meerdere nulpunten hebben.

Snijpunten van f(x) = 0,5x + 1 en g(x) = -x² + 4x - 1

Afb. 2Afb. 2 — De grafieken van

f(x)=0{,}5x+1

(rechte lijn) en

g(x)=-x^2+4x-1

(parabool) snijden elkaar in

S_1\approx(0{,}72;\ 1{,}36)

S_2\approx(2{,}78;\ 2{,}39)

. In een snijpunt geldt

f(x)=g(x)

Twee grafieken snijden elkaar waar ze dezelfde functiewaarde hebben, dus waar

f(x)=g(x)

. Grafisch is dat het punt waar de krommen elkaar kruisen; in een context betekent het dat twee grootheden op dat moment even groot zijn (bijvoorbeeld waar de kosten gelijk zijn aan de opbrengst). De

x

-coördinaat vind je door de vergelijking

f(x)=g(x)

op te lossen (§3), de

y

-coördinaat door die

x

f

g

in te vullen. Op de grafische rekenmachine gebruik je hiervoor de intersect-functie.

Behalve de snijpunten lees je aan een grafiek het gedrag af: waar stijgt de functie (de grafiek loopt omhoog als je van links naar rechts gaat) en waar daalt ze, en waar liggen een maximum of een minimum. Bij een stijgend deel neemt de afhankelijke variabele toe als de onafhankelijke toeneemt; bij een dalend deel neemt ze af. Deze taal — toenemend, afnemend, maximaal, minimaal — heb je nodig om een grafiek in woorden te beschrijven en te interpreteren.

Veel functies zijn vervormingen van een standaardgrafiek. Vier transformaties komen steeds terug:

f(x)+c

verschuift de grafiek

c

omhoog (of omlaag als

c<0

);

f(x-a)

verschuift hem

a

naar rechts;

a\cdot f(x)

rekt hem verticaal uit met factor

a

(en spiegelt in de

x

-as als

a<0

); en

f(-x)

spiegelt hem in de

y

-as. Zo is

y=(x-2)^2-1

de standaardparabool

y=x^2

, twee naar rechts en één omlaag geschoven. Het herkennen van zulke transformaties helpt je snel een grafiek te schetsen en een formule te doorzien.

Andersom kun je bij een situatie of een gegeven grafiek zelf een passende formule opstellen — dat heet modelleren. Eerst kies je een functietype dat bij het gedrag past: een rechte lijn bij een constante toename, een parabool bij een verhaal met een top of dal, een exponentiële functie bij een vast groeipercentage. Daarna bepaal je de parameters uit gegeven punten, of je laat de grafische rekenmachine met regressie de best passende formule berekenen. Een model is altijd een benadering; controleer of het binnen het zinvolle domein realistische waarden geeft.

\text{snijpunt met de } x\text{-as}: \quad f(x) = 0

Nulpunt

Op de $x$ -as is $y=0$ ; de oplossingen van $f(x)=0$ zijn de $x$ -coördinaten van de snijpunten met de $x$ -as.

\text{snijpunt met de } y\text{-as}: \quad x = 0 \Rightarrow (0,\ f(0))

Snijpunt met de y-as

Vul $x=0$ in; er is hoogstens één zo'n snijpunt.

\text{snijpunt van twee grafieken}: \quad f(x) = g(x)

Snijpunt van grafieken

Los $f(x)=g(x)$ op voor de $x$ -coördinaat en vul die in $f$ of $g$ in voor de $y$ -coördinaat.

Uitgewerkt voorbeeld

Snijpunten met de assen en met een andere grafiek

Gegeven $f(x)=0{,}5x+1$ en $g(x)=-x^2+4x-1$ (zie Afb. 2). a) Lees de snijpunten van $f$ en $g$ af. b) Bereken exact de snijpunten van $g$ met de $x$ -as. c) Geef het snijpunt van $g$ met de $y$ -as.

a) Snijpunten van de grafieken aflezen
Uit Afb. 2 lees je af: de krommen kruisen bij $S_1\approx(0{,}72;\ 1{,}36)$ en $S_2\approx(2{,}78;\ 2{,}39)$ . De exacte berekening (via $f(x)=g(x)$ ) volgt in §3.
b) Snijpunt met de x-as: los g(x) = 0 op
Op de $x$ -as is $y=0$ , dus los $-x^2+4x-1=0$ op. Vermenigvuldig eerst met $-1$ .
$-x^2 + 4x - 1 = 0 \iff x^2 - 4x + 1 = 0$
Discriminant en abc-formule
Met $a=1,\ b=-4,\ c=1$ is $D=(-4)^2-4\cdot1\cdot1=12$ .
$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$
Nulpunten benaderen
Omdat $\sqrt{3}\approx1{,}73$ is $x\approx0{,}27$ of $x\approx3{,}73$ . De snijpunten met de $x$ -as zijn $(2-\sqrt{3};\ 0)$ en $(2+\sqrt{3};\ 0)$ .
c) Snijpunt met de y-as
Vul $x=0$ in $g$ in.
$g(0) = -(0)^2 + 4\cdot 0 - 1 = -1$

Resultaat: Snijpunten van $f$ en $g$ : $\approx(0{,}72;\ 1{,}36)$ en $(2{,}78;\ 2{,}39)$ . $g$ snijdt de $x$ -as in $x=2\pm\sqrt{3}$ ( $\approx0{,}27$ en $3{,}73$ ) en de $y$ -as in $(0;\ -1)$ .

Veelgemaakte fouten

Snijpunt met de $x$ -as en met de $y$ -as verwisselen: op de $x$ -as is $y=0$ (los $f(x)=0$ op), op de $y$ -as is $x=0$ (bereken $f(0)$ ).
Bij $f(x)=g(x)$ maar één snijpunt opschrijven terwijl er twee zijn (of andersom) — controleer aan de grafiek hoeveel snijpunten er zijn.
Een grafiek verkeerd verschuiven: $f(x-a)$ gaat naar rechts (niet naar links) en $f(x)+c$ omhoog (niet opzij).

Actieve herhaling

De grafiek van $g(x)=x^2-4x+3$ is gegeven. Bepaal de snijpunten met de $x$ -as en met de $y$ -as, en beschrijf hoe de grafiek van $g$ uit de standaardparabool $y=x^2$ ontstaat door verschuiven.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Vergelijkingen oplossen (exact en met de GR)#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-C2-C3

Een vergelijking oplossen betekent alle

x

-waarden vinden waarvoor de linkerkant gelijk is aan de rechterkant. De sleutel is dat

f(x)=g(x)

hetzelfde is als

f(x)-g(x)=0

: je brengt alles naar één kant en zoekt de nulpunten van de verschilfunctie. In Afb. 3 staat die verschilfunctie

h(x)=f(x)-g(x)=x^2-3{,}5x+2

getekend; haar nulpunten

x_1\approx0{,}72

x_2\approx2{,}78

zijn precies de

x

-coördinaten van de snijpunten uit Afb. 2. Een vergelijking oplossen en snijpunten zoeken zijn dus twee kanten van dezelfde medaille.

Nulpunten van de verschilfunctie h(x) = x² - 3,5x + 2

Afb. 3Afb. 3 — De verschilfunctie

h(x)=f(x)-g(x)=x^2-3{,}5x+2

. De vergelijking

f(x)=g(x)

is gelijkwaardig aan

h(x)=0

; de nulpunten

x_1\approx0{,}72

x_2\approx2{,}78

zijn precies de

x

-coördinaten van de snijpunten uit Afb. 2.

Voor exacte oplossingen heb je een gereedschapskist. Een lineaire vergelijking los je op door de onbekende te isoleren. Een kwadratische vergelijking breng je eerst in de vorm

ax^2+bx+c=0

en los je dan op door te ontbinden in factoren (als dat lukt) of met de abc-formule

x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}

, waarbij

D=b^2-4ac

de discriminant is. Kwadraatafsplitsen is een alternatief dat meteen de top laat zien. Werk netjes en houd bij elke stap de tekens in de gaten.

Lang niet elke vergelijking is exact op te lossen, en op het examen mag je de grafische rekenmachine gebruiken. De snijpunt-methode werkt altijd: voer de linkerkant in als

Y_1

en de rechterkant als

Y_2

, kies een venster waarin je het snijpunt ziet, en gebruik 2ND → CALC → 5:intersect; geef een linker- en een rechtergrens en de GR leest de

x

-coördinaat af. Voor een vergelijking van de vorm

f(x)=0

kun je ook CALC → 2:zero gebruiken. Rond af zoals de opgave vraagt (vaak op twee decimalen) en schrijf op wat je hebt ingevoerd, zodat je uitwerking navolgbaar is.

Het aantal oplossingen kun je vooraf inschatten. Bij een kwadratische vergelijking bepaalt de discriminant het aantal:

D>0

geeft twee oplossingen,

D=0

één en

D<0

geen (reële) oplossing. Grafisch komt dit overeen met het aantal snijpunten: twee grafieken kunnen elkaar twee keer snijden, één keer raken of elkaar niet snijden. Zo weet je of je alle oplossingen te pakken hebt.

Sluit altijd af met controleren en interpreteren. Vul een gevonden

x

terug in de oorspronkelijke vergelijking om je antwoord te toetsen. In een context is niet elke wiskundige oplossing zinvol: een negatieve tijd, een negatief aantal of een waarde buiten het domein valt af. Vermeld alleen de oplossingen die binnen de context passen, en geef je antwoord met de juiste eenheid.

f(x) = g(x) \iff f(x) - g(x) = 0

Naar één kant brengen

Een snijpunt/oplossing van $f(x)=g(x)$ is een nulpunt van de verschilfunctie $h=f-g$ .

x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \qquad D = b^2 - 4ac

abc-formule en discriminant

Voor $ax^2+bx+c=0$ . $D>0$ : twee oplossingen; $D=0$ : één; $D<0$ : geen reële oplossing.

\text{GR: } Y_1 = \ldots,\ Y_2 = \ldots \ \xrightarrow{\ \text{intersect}\ } \ x

Snijpunt-methode

Voer beide kanten in als $Y_1$ en $Y_2$ en lees het snijpunt af met 2ND CALC 5:intersect (of CALC 2:zero voor $f(x)=0$ ).

Uitgewerkt voorbeeld

Een vergelijking exact oplossen én controleren met de GR

Los de vergelijking $0{,}5x+1=-x^2+4x-1$ exact op. Controleer je antwoord met de intersect-functie van de grafische rekenmachine.

Alles naar één kant
Breng alles naar links: $0{,}5x+1+x^2-4x+1=0$ . Dit is $h(x)=0$ met $h=f-g$ (Afb. 3).
$0{,}5x + 1 = -x^2 + 4x - 1 \iff x^2 - 3{,}5x + 2 = 0$
Discriminant
Met $a=1,\ b=-3{,}5,\ c=2$ : er zijn twee oplossingen want $D>0$ .
$D = (-3{,}5)^2 - 4\cdot 1\cdot 2 = 12{,}25 - 8 = 4{,}25$
abc-formule
Vul in en vereenvoudig; door teller en noemer met 2 te vermenigvuldigen krijg je de nette exacte vorm.
$x = \frac{3{,}5 \pm \sqrt{4{,}25}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{4}$
Benaderen
Omdat $\sqrt{17}\approx4{,}12$ is $x_1\approx0{,}72$ en $x_2\approx2{,}78$ .
Controle met de GR
Voer in $Y_1=0{,}5X+1$ en $Y_2=-X^2+4X-1$ . Kies 2ND → CALC → 5:intersect, geef rond elk snijpunt een linker- en rechtergrens en bevestig. De GR leest $X\approx0{,}72$ en $X\approx2{,}78$ — dezelfde waarden.

Resultaat: $x=\frac{7\pm\sqrt{17}}{4}$ , oftewel $x\approx0{,}72$ of $x\approx2{,}78$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Een vergelijking met de GR: wanneer haalt het spaarbedrag €900?

Een spaarbedrag groeit jaarlijks met 8%: $B(t)=500\cdot 1{,}08^{\,t}$ euro, met $t$ in jaren. Na hoeveel jaar is het bedrag €900? Los op met de intersect-functie van de GR.

Stel de vergelijking op
Gevraagd is $B(t)=900$ . Deze vergelijking is niet met ontbinden of de abc-formule op te lossen; gebruik de GR.
$500 \cdot 1{,}08^{\,t} = 900$
GR: twee grafieken en intersect
Voer in $Y_1=500\cdot 1{,}08^{X}$ en $Y_2=900$ . Kies een venster met $0\le X\le 15$ en gebruik 2ND → CALC → 5:intersect.
Aflezen (en exact met de logaritme)
De GR geeft $X\approx7{,}64$ . Exact kan het met de logaritme (zie het onderwerp exponentiële functies).
$t = \frac{\log 1{,}8}{\log 1{,}08} \approx 7{,}64$
Interpreteren in de context
Na 7 jaar is $B(7)\approx\,\text{EUR}856{,}91$ (nog te weinig) en na 8 jaar $B(8)\approx\,\text{EUR}925{,}47$ . Het spaarbedrag haalt de €900 dus in de loop van het 8e jaar.

Resultaat: $t\approx7{,}64$ jaar; pas vanaf het 8e jaar is het spaarbedrag minstens €900.

Veelgemaakte fouten

Een minteken kwijtraken bij het naar één kant brengen, bijvoorbeeld $-x^2+4x-1$ verkeerd van teken voorzien.
De GR-uitkomst niet of verkeerd afronden, of de intersect-grenzen zo kiezen dat de GR het verkeerde (of geen) snijpunt vindt.
Denken dat elke vergelijking exact op te lossen is; bij bijvoorbeeld $500\cdot 1{,}08^{t}=900$ is de GR (of de logaritme) nodig.

Actieve herhaling

Los exact op: $x^2-3=2x$ . Los daarna met de GR op: $2^{x}=5$ (rond af op twee decimalen).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Ongelijkheden en intervallen#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-a-domein-C2-C3

Een ongelijkheid zoals

f(x)>g(x)

vraagt niet naar losse punten maar naar een heel gebied van

x

-waarden. De aanpak is steeds hetzelfde: bepaal eerst de grens door de bijbehorende vergelijking

f(x)=g(x)

op te lossen, en beslis daarna op welke stukken de ene grafiek boven de andere ligt. In Afb. 4 zie je dat de parabool

f

tussen

x=1

x=4

boven de lijn

g

ligt; dat gearceerde gebied is de oplossing. Het tekenschema (Afb. 5) en de getallenlijn (Afb. 6) laten hetzelfde antwoord op twee andere manieren zien.

Waar geldt f(x) > g(x)? — het gearceerde gebied

Afb. 4Afb. 4 —

f(x)=-x^2+6x-5

(parabool) en

g(x)=x-1

(rechte lijn). Tussen de snijpunten

(1;\ 0)

(4;\ 3)

ligt de parabool boven de lijn: daar geldt

f(x)>g(x)

. Het gearceerde gebied hoort bij de oplossing

1<x<4

Tekenschema van f(x) - g(x) = -(x - 1)(x - 4)

Afb. 5Afb. 5 — Tekenschema van

f(x)-g(x)=-(x-1)(x-4)

. Alleen op

1<x<4

f(x)-g(x)

positief, dus daar geldt

f(x)>g(x)

De oplossing 1 < x < 4 op de getallenlijn

Afb. 6Afb. 6 — De oplossing van

f(x)>g(x)

is het open interval

\langle 1,\ 4\rangle

: alle

x

met

1<x<4

. De randen 1 en 4 horen er niet bij (open bolletjes), want daar geldt

f(x)=g(x)

De grafische methode is vaak het snelst. Teken of lees beide grafieken (eventueel met de GR), zoek de snijpunten — dat zijn de grenzen — en kijk simpelweg waar de gevraagde grafiek boven (of onder) de andere loopt. Voor

f(x)>g(x)

neem je de

x

-waarden waar de grafiek van

f

hoger ligt; voor

f(x)<g(x)

juist waar hij lager ligt. De snijpunten zelf horen bij een strikte ongelijkheid niet tot de oplossing.

Wil je het zonder grafiek doen, dan gebruik je het tekenverloop. Breng alles naar één kant zodat je

f(x)-g(x)

krijgt, ontbind die uitdrukking in factoren en bepaal per interval — begrensd door de nulpunten — het teken van elke factor en van het product. In een tekenschema (Afb. 5) zet je de nulpunten op een lijn en noteer je in elk vak of het resultaat positief of negatief is. Daar waar het teken past bij de ongelijkheid, ligt de oplossing.

De oplossing schrijf je als interval. Gebruik rechte haken voor gesloten randen die erbij horen —

[a,\ b]

bij

\le

\ge

— en punthaken voor open randen die er niet bij horen —

\langle a,\ b\rangle

bij

<

>

. Een halfopen interval als

\langle a,\ b]

komt voor als één rand wel en de andere niet meetelt. Losse stukken combineer je met het verenigingsteken

\cup

, en

\infty

-\infty

krijgt altijd een punthaak omdat oneindig nooit meetelt. Op de getallenlijn teken je een open rand als een open bolletje en een gesloten rand als een dichte stip.

Twee zaken vragen extra aandacht. Ten eerste de randen: bij een strikte ongelijkheid (

<

>

) tellen de grenspunten niet mee, bij een niet-strikte (

\le

\ge

) wél. Ten tweede het rekenen: als je beide kanten van een ongelijkheid met een negatief getal vermenigvuldigt of deelt, draait het ongelijkteken om. Vergeet dat niet, want het is een klassieke bron van fouten.

f(x) > g(x)

Ongelijkheid

Bepaal de grens met $f(x)=g(x)$ en kijk daarna met de grafiek of het tekenverloop waar $f$ boven $g$ ligt.

[a,\,b]\ \text{gesloten}, \quad \langle a,\,b\rangle\ \text{open}, \quad \langle a,\,b]\ \text{halfopen}

Intervalnotatie

Rechte haak = rand hoort erbij ( $\le,\ge$ ); punthaak = rand hoort er niet bij ( $<,>$ ). Bij $\pm\infty$ altijd een punthaak.

1 < x < 4 \iff x \in \langle 1,\;4 \rangle

Van ongelijkheid naar interval

Een strikte dubbele ongelijkheid wordt een open interval.

Uitgewerkt voorbeeld

Een ongelijkheid oplossen en als interval noteren

Los op: $-x^2+6x-5>x-1$ . Noteer de oplossing als interval.

Grenzen: los f(x) = g(x) op
De grens ligt waar $-x^2+6x-5=x-1$ . Breng alles naar één kant en vermenigvuldig met $-1$ .
$-x^2 + 6x - 5 = x - 1 \iff x^2 - 5x + 4 = 0$
Ontbinden
Dit ontbindt netjes; de oplossingen zijn de snijpunten $(1;\ 0)$ en $(4;\ 3)$ uit Afb. 4.
$(x-1)(x-4) = 0 \iff x = 1 \ \text{of}\ x = 4$
Tekenverloop bepalen
Schrijf $f(x)-g(x)=-(x-1)(x-4)$ . Voor $x$ tussen 1 en 4 is $(x-1)>0$ en $(x-4)<0$ , dus het product is negatief en $-(x-1)(x-4)$ is positief: daar geldt $f(x)>g(x)$ (zie het tekenschema, Afb. 5).
$f(x) - g(x) = -(x-1)(x-4)$
Grafische controle
In Afb. 4 ligt de parabool $f$ precies tussen $x=1$ en $x=4$ boven de lijn $g$ — dat bevestigt het gebied.
Als interval noteren
De ongelijkheid is strikt ( $>$ ), dus de randen $x=1$ en $x=4$ horen er niet bij (daar geldt $f=g$ ). De oplossing is het open interval (Afb. 6).
$1 < x < 4 \iff x \in \langle 1,\;4 \rangle$

Resultaat: $f(x)>g(x)$ voor $1<x<4$ , oftewel $x\in\langle 1,\ 4\rangle$ .

Veelgemaakte fouten

De grens wel of niet meenemen door elkaar halen: bij $>$ of $<$ open randen ( $\langle\ \rangle$ ), bij $\ge$ of $\le$ gesloten randen ( $[\ ]$ ).
Bij het vermenigvuldigen of delen door een negatief getal vergeten het ongelijkteken om te draaien.
Alleen de snijpunten opschrijven en niet aangeven op welk interval $f$ boven $g$ ligt.

Actieve herhaling

Los op en noteer als interval: $x^2-4x+3\le 0$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde A (VWO)

Functies, grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

Kernpunten

Domein, bereik en maximale hoogte van een waterstraal

Kernpunten

Snijpunten met de assen en met een andere grafiek

Kernpunten

Een vergelijking exact oplossen én controleren met de GR

Een vergelijking met de GR: wanneer haalt het spaarbedrag €900?

Kernpunten

Een ongelijkheid oplossen en als interval noteren

Bronnen