Samenvattingen · EconomieNL · VWO

Economische en wiskundige vaardigheden

Elk economie-examen leunt op een gereedschapskist van reken- en interpretatievaardigheden. Dit onderwerp behandelt procentuele veranderingen en groeifactoren, indexcijfers (enkelvoudig en gewogen), het onderscheid tussen nominaal en reëel (koopkracht en inflatie) en het lezen en tekenen van verbanden met hellingsgetal en marginale grootheden. Deze vaardigheden worden nooit los getoetst maar in samenhang met alle inhoudelijke domeinen.

4 Onderdelen~15 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·0111 / 17

Examenprofiel

Procentuele veranderingen, groeifactoren en opeenvolgende percentages correct berekenen en terugrekenen (domein A).Indexcijfers berekenen en interpreteren: enkelvoudig, gewogen (samengesteld) en als tijdreeks.Nominale en reële grootheden onderscheiden en koopkracht berekenen met de consumentenprijsindex.Verbanden lezen, tekenen en interpreteren; hellingsgetal en marginale versus gemiddelde grootheden gebruiken.

Operatoren:berekenbepaalleg uitverklaartoon aaninterpreteertekenlees af

basisniveau

Voor iedereen: procenten, groeifactoren, indexcijfers, reëel/nominaal en het aflezen van grafieken vormen de gemeenschappelijke rekenbasis van elk onderdeel van het centraal examen economie.

verhoogd niveau

Verdieping: vlot schakelen tussen groeifactoren en indexcijfers, gewogen indexcijfers opbouwen en reële grootheden zuiver koppelen aan de context van een opgave.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Economische en wiskundige vaardigheden

Procentuele veranderingen en groeifactoren#

Basisexamenblad-economie-domein-A

Economie draait om verandering, en veel veranderingen worden in procenten uitgedrukt. Een procentuele verandering vergelijkt de verandering met de oorspronkelijke waarde: procentuele verandering

=\frac{\text{nieuw}-\text{oud}}{\text{oud}}\times 100\%

. Stijgt een prijs van €40 naar €50, dan is de verandering

\frac{50-40}{40}\times 100\%=25\%

. Cruciaal is dat je altijd deelt door de óude (uitgangs)waarde; deel je per ongeluk door de nieuwe waarde, dan krijg je een ander (en fout) getal. In Afb. 1 zie je hoe een grootheid die elk jaar met hetzelfde percentage groeit, geen rechte lijn maar een steeds steiler stijgende (exponentiële) kromme oplevert.

Exponentiële groei bij een vaste groeifactor

Afb. 1Afb. 1 — Een tegoed van €100 dat elk jaar met 5% groeit (groeifactor 1,05). Na 10 jaar is het €100 × 1,05¹⁰ ≈ €162,89. Constante procentuele groei geeft een steeds steiler stijgende (exponentiële) kromme, geen rechte lijn.

De handigste manier om met procenten te rekenen is de groeifactor: de factor waarmee je de oude waarde vermenigvuldigt om de nieuwe te krijgen. Een stijging van

p\%

hoort bij groeifactor

g=1+\frac{p}{100}

, een daling van

p\%

bij

g=1-\frac{p}{100}

. Zo hoort

+25\%

bij

g=1{,}25

-20\%

bij

g=0{,}80

. Het grote voordeel: opeenvolgende veranderingen vermenigvuldig je gewoon. Twee keer

+10\%

achter elkaar is niet

+20\%

maar

1{,}10\times1{,}10=1{,}21

, dus

+21\%

. Dit heet het samengesteld (cumulatief) effect en is de reden dat rente-op-rente en aanhoudende groei zo hard oplopen.

Met groeifactoren kun je ook terugrekenen. Als een prijs ná een stijging van

25\%

nu €50 is, dan was de oude prijs

\frac{50}{1{,}25}=\,\text{EUR}40

— je deelt door de groeifactor in plaats van te vermenigvuldigen. En om de gemiddelde jaarlijkse groei over meerdere jaren te vinden neem je de wortel: groeit een bedrag in 3 jaar met een totale groeifactor

1{,}331

, dan is de gemiddelde jaarlijkse groeifactor

\sqrt[3]{1{,}331}=1{,}10

, dus

10\%

per jaar. Let op de asymmetrie van procenten: eerst

-20\%

en dan

+20\%

brengt je niet terug bij af, want

0{,}80\times1{,}20=0{,}96

, een netto daling van

4\%

Een veelgemaakte verwarring is die tussen procent en procentpunt. Een procentpunt is het verschil tussen twee percentages; een procent is een relatieve verandering. Stijgt de werkloosheid van

4\%

naar

6\%

van de beroepsbevolking, dan is dat een toename van

2

procentpunt, maar ook een toename van

\frac{6-4}{4}\times100\%=50\%

. Beide uitspraken zijn juist, maar ze betekenen iets anders: het procentpunt vergelijkt de twee percentages rechtstreeks, terwijl het procent de relatieve groei van het ene percentage naar het andere aangeeft. Op het examen moet je scherp aangeven welke van de twee gevraagd wordt.

\text{procentuele verandering}=\frac{\text{nieuw}-\text{oud}}{\text{oud}}\times 100\%

Procentuele verandering

Deel altijd door de oude (uitgangs)waarde.

\text{nieuw}=\text{oud}\times g,\quad g=1+\frac{p}{100}

Groeifactor

Bij een stijging van $p\%$ ; bij een daling is $g=1-\frac{p}{100}$ .

g_{\text{totaal}}=g_1\times g_2\times\dots\times g_n

Samengestelde groei

Opeenvolgende veranderingen vermenigvuldig je; de gemiddelde groeifactor is $\sqrt[n]{g_{\text{totaal}}}$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Opeenvolgende koersveranderingen van een aandeel

Een aandeel staat op €200. In het eerste jaar daalt de koers met 20%, in het tweede jaar stijgt hij met 20%. Bereken de koers na twee jaar en de totale procentuele verandering.

Groeifactoren opstellen
Een daling van 20% hoort bij groeifactor $0{,}80$ ; een stijging van 20% bij groeifactor $1{,}20$ .
Koers na jaar 1
$200\times0{,}80=\,\text{EUR}160$ .
$200\times0{,}80=160$
Koers na jaar 2
$160\times1{,}20=\,\text{EUR}192$ .
$160\times1{,}20=192$
Totale verandering
De totale groeifactor is $0{,}80\times1{,}20=0{,}96$ , dus de koers is met $4\%$ gedaald. Een daling en een even grote stijging heffen elkaar niet op.
$0{,}80\times1{,}20=0{,}96\;\Rightarrow\;-4\%$

Resultaat: De koers is na twee jaar €192; dat is een totale daling van 4% ten opzichte van de €200 bij de start.

Veelgemaakte fouten

Opeenvolgende percentages optellen in plaats van de groeifactoren te vermenigvuldigen (twee keer +10% is +21%, niet +20%).
Bij het terugrekenen de nieuwe waarde delen door 1 plus het percentage in plaats van door de groeifactor, of delen door de verkeerde (nieuwe) waarde bij de procentuele verandering.

Actieve herhaling

De omzet van een bedrijf groeit drie jaar achtereen: +5%, +8% en −3%. Bereken de totale procentuele omzetverandering over de drie jaar en de gemiddelde jaarlijkse groeifactor.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma economie vwo — domein A (vaardigheden) (CvTE / Examenblad)

Indexcijfers#

Standaardexamenblad-economie-domein-A

Opbouw van een gewogen prijsindexcijfer

Afb. 3Afb. 3 — Een gewogen prijsindexcijfer: 0,30 × 110 + 0,50 × 104 + 0,20 × 108 = 106,6. De categorie met het grootste budgetaandeel (wonen) weegt het zwaarst mee.

Een indexcijfer drukt een waarde uit ten opzichte van een gekozen basiswaarde, die op 100 wordt gesteld: indexcijfer

=\frac{\text{waarde}}{\text{basiswaarde}}\times100

. Het maakt ontwikkelingen over de tijd of verschillen tussen grootheden direct vergelijkbaar, ook als de oorspronkelijke eenheden (euro's, kilo's, aantallen) heel verschillend zijn. In de tabel van Afb. 2 staat de prijs van een product per jaar met basisjaar 2020 = 100; een indexcijfer van 120 in 2023 betekent meteen dat de prijs sinds 2020 met 20% is gestegen. Het getal 100 is dus geen prijs maar een ijkpunt.

Prijs en prijsindexcijfer per jaar

Afb. 2Afb. 2 — Prijsindexcijfers met basisjaar 2020 = 100. Elk indexcijfer is (prijs / €40) × 100. Het cijfer 120 in 2023 betekent 20% duurder dan in 2020.

Uit een indexcijfer lees je de procentuele verandering ten opzichte van het basisjaar rechtstreeks af: indexcijfer 112 betekent

+12\%

ten opzichte van de basis. Maar tussen twee ándere jaren dan het basisjaar moet je opnieuw met groeifactoren rekenen: van indexcijfer 105 naar 120 is de groeifactor

\frac{120}{105}=1{,}1428\ldots

, dus een stijging van ongeveer

14{,}3\%

— niet

15

procentpunt en niet

15\%

. Dit onderscheid tussen ‘verandering ten opzichte van de basis’ en ‘verandering tussen twee latere jaren’ is een klassieke examenval.

Een samengesteld (gewogen) indexcijfer vat meerdere deelreeksen samen tot één getal, waarbij elke deelreeks meetelt naar zijn belang. Het bekendste voorbeeld is de consumentenprijsindex (CPI): de prijzen van honderden producten worden gewogen met hun aandeel in het gemiddelde huishoudbudget. Het gewogen indexcijfer bereken je als

\frac{\sum(w_i\times I_i)}{\sum w_i}

, waarin

w_i

het gewicht (budgetaandeel) en

I_i

het partiële indexcijfer van categorie

i

is. Zo wegen prijsstijgingen van producten waaraan huishoudens veel uitgeven zwaarder mee dan die van producten waaraan ze weinig besteden.

Indexcijfers hebben ook grenzen. Het basisjaar bepaalt het perspectief: een ander basisjaar geeft andere indexcijfers voor dezelfde reeks, al blijven de onderlinge groeifactoren gelijk. Verder blijven de gewichten in een gewogen index vaak een tijd vast, terwijl het echte bestedingspatroon verandert; daardoor kan de CPI de werkelijke prijsstijging licht over- of onderschatten. Toch is het indexcijfer onmisbaar: het is de brug tussen ruwe cijfers en de percentages waarmee de rest van de economie rekent, en het is de basis voor het onderscheid tussen nominaal en reëel in de volgende paragraaf.

\text{indexcijfer}=\frac{\text{waarde}}{\text{basiswaarde}}\times100

Enkelvoudig indexcijfer

De basiswaarde staat op 100.

I_{\text{gewogen}}=\frac{\sum (w_i\times I_i)}{\sum w_i}

Gewogen (samengesteld) indexcijfer

$w_i$ = gewicht/budgetaandeel, $I_i$ = partieel indexcijfer van categorie $i$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Een gewogen consumentenprijsindex berekenen

Een huishouden besteedt 30% van het budget aan voeding, 50% aan wonen en 20% aan overige zaken. De partiële prijsindexcijfers zijn: voeding 110, wonen 104, overig 108. Bereken de consumentenprijsindex (CPI).

Formule kiezen
De CPI is een gewogen gemiddelde van de partiële indexcijfers met de budgetaandelen als gewichten.
$I_{\text{CPI}}=\sum (w_i\times I_i)$
Bijdragen berekenen
Voeding: $0{,}30\times110=33$ . Wonen: $0{,}50\times104=52$ . Overig: $0{,}20\times108=21{,}6$ .
Optellen
$33+52+21{,}6=106{,}6$ . Omdat de gewichten samen 1 zijn, hoef je niet meer te delen.

Resultaat: De CPI is 106,6; het algemeen prijspeil is met 6,6% gestegen ten opzichte van het basisjaar.

Veelgemaakte fouten

De verandering tussen twee niet-basisjaren aflezen als het verschil in indexpunten (120 − 105 = 15%) in plaats van als groeifactor (120/105 ≈ +14,3%).
Bij een gewogen indexcijfer de partiële indexcijfers gewoon optellen of ongewogen middelen in plaats van te wegen met de budgetaandelen.

Actieve herhaling

Het prijsindexcijfer van energie is 130 (2020=100) en dat van de overige bestedingen 105. Energie heeft een budgetaandeel van 12%. Bereken de bijdrage van energie aan de CPI en de totale CPI.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma economie vwo — domein A (vaardigheden) (CvTE / Examenblad)

Nominaal en reëel: koopkracht en inflatie#

Standaardexamenblad-economie-domein-A

Een nominale grootheid is uitgedrukt in de euro's van het moment zelf; een reële grootheid is gecorrigeerd voor de verandering van het prijspeil. Het verschil is beslissend voor koopkracht: als je loon met 4% stijgt maar de prijzen met 6%, ben je er in euro's op vooruitgegaan maar kun je er minder van kopen. Afb. 4 laat nominaal en reëel inkomen naast elkaar zien: de nominale lijn stijgt, terwijl de reële lijn — wat je écht kunt kopen — veel vlakker verloopt. De kernvraag van dit onderwerp is steeds: hoeveel goederen en diensten kun je met een bedrag kopen, niet hoeveel euro's het zijn.

Nominaal versus reëel inkomen

Afb. 4Afb. 4 — Nominaal inkomensindexcijfer versus reëel inkomensindexcijfer (2020=100). Het reële cijfer is telkens (nominaal / CPI) × 100. De nominale lijn stijgt sterker; de reële lijn toont de werkelijke koopkrachtontwikkeling.

Reële grootheden bereken je met indexcijfers: het reële indexcijfer

=\frac{\text{nominaal indexcijfer}}{\text{prijsindexcijfer}}\times100

. Stijgt het loon naar indexcijfer 110 (nominaal

+10\%

) en het prijspeil naar 108 (inflatie

8\%

), dan is het reële looncijfer

\frac{110}{108}\times100=101{,}85

: de koopkracht is met

1{,}85\%

gestegen. Een handige vuistregel is dat de reële groei ongeveer gelijk is aan de nominale groei minus de inflatie (

10\%-8\%\approx2\%

), maar die benadering is alleen zuiver bij kleine percentages — de exacte methode met de indexcijfers is altijd goed.

Inflatie is de aanhoudende stijging van het algemeen prijspeil, gemeten met de CPI; het inflatiepercentage is de procentuele stijging van de CPI ten opzichte van een jaar eerder. Inflatie holt de koopkracht van geld en van vaste bedragen uit: wie €1000 onder het matras bewaart, kan er bij

8\%

inflatie een jaar later nog maar voor ongeveer €926 aan kopen (

\frac{1000}{1{,}08}

). Daarom moeten uitkeringen, pensioenen en spaarrente met de inflatie worden vergeleken om te weten of ze werkelijk meer of minder waard worden.

Het onderscheid nominaal–reëel keert overal in het examen terug: bij het bruto binnenlands product (reëel bbp corrigeert voor prijsstijging, zodat je echte productiegroei ziet), bij de rente (reële rente = nominale rente − inflatie) en bij lonen en inkomens. De vaste denkstap is telkens dezelfde: neem de nominale grootheid, deel door het prijsindexcijfer en vermenigvuldig met 100 om terug te rekenen naar het prijspeil van het basisjaar. Zo maak je bedragen uit verschillende jaren eerlijk vergelijkbaar.

\text{reëel indexcijfer}=\frac{\text{nominaal indexcijfer}}{\text{prijsindexcijfer}}\times100

Reëel indexcijfer

Corrigeert een nominale grootheid voor de verandering van het prijspeil.

\text{reële groei}\approx\text{nominale groei}-\text{inflatie}

Benadering reële groei

Alleen zuiver bij kleine percentages; anders de indexcijfermethode gebruiken.

Uitgewerkt voorbeeld

Koopkracht van een loonstijging

Het nominale inkomen van een werknemer stijgt van €30.000 (2020) naar €33.000 (2023). De CPI stijgt in die periode van 100 naar 108. Is de werknemer er in koopkracht op vooruit- of achteruitgegaan? Bereken het reële inkomen in prijzen van 2020.

Nominale verandering
Het loon stijgt met $\frac{33000-30000}{30000}\times100\%=10\%$ (nominaal indexcijfer 110).
Reëel inkomen berekenen
$\text{reëel inkomen}=\frac{33000}{108}\times100=\,\text{EUR}30.555{,}56$ in prijzen van 2020.
$\frac{33000}{108}\times100\approx30556$
Reëel indexcijfer
$\frac{110}{108}\times100=101{,}85$ : de koopkracht is met ongeveer $1{,}85\%$ toegenomen.

Resultaat: De koopkracht is licht gestegen: het reële inkomen is ongeveer €30.556 (prijzen 2020), een reële stijging van circa 1,85%.

Veelgemaakte fouten

Nominale en reële groei zonder meer verwisselen, of de benadering (nominaal − inflatie) gebruiken bij grote percentages waar ze onnauwkeurig wordt.
Bij de omrekening delen door het percentage in plaats van door het prijsindexcijfer, of vergeten met 100 te vermenigvuldigen.

Actieve herhaling

De spaarrente is 3% per jaar en de inflatie 5%. Bereken (benaderend) de reële rente en leg uit of het spaartegoed in koopkracht groeit of krimpt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma economie vwo — domein A (vaardigheden) (CvTE / Examenblad)

Verbanden, grafieken en marginale grootheden#

Standaardexamenblad-economie-domein-A

Economen vatten samenhangen vaak in een lineair verband:

y=a+b\cdot x

, waarin

a

het startpunt (de waarde bij

x=0

) is en

b

het hellingsgetal, dat aangeeft met hoeveel

y

verandert als

x

met één toeneemt. Het hellingsgetal bereken je als

b=\frac{\Delta y}{\Delta x}

, de verandering van

y

gedeeld door de verandering van

x

. Bij de totale kosten

TK=100+20q

a=100

(de constante of vaste kosten) en

b=20

(de kosten van elk extra product). In Afb. 5 zie je zo'n rechte kostenlijn: de helling is overal 20, dus elk extra product kost €20 méér.

Totale kosten als lineair verband

Afb. 5Afb. 5 — Totale kosten TK = 100 + 20q. Het snijpunt met de verticale as (100) zijn de vaste kosten; de helling (20) zijn de marginale (en variabele) kosten per product.

Het verschil tussen een marginale en een gemiddelde grootheid is een van de belangrijkste ideeën in de economie. De marginale grootheid gaat over de laatste, extra eenheid: de marginale kosten

MK

zijn de kosten van één product méér, oftewel de helling van de totale-kostenlijn. De gemiddelde grootheid deelt het totaal door het aantal: de gemiddelde totale kosten

GTK=\frac{TK}{q}

. Bij

TK=100+20q

MK=20

(constant), maar

GTK=\frac{100}{q}+20

daalt naarmate

q

groter wordt, omdat de vaste €100 over steeds meer producten wordt uitgesmeerd. Afb. 6 toont die dalende GTK-curve, die van bovenaf naar de marginale kosten van 20 toe kruipt.

Dalende gemiddelde totale kosten

Afb. 6Afb. 6 — Gemiddelde totale kosten GTK = 100/q + 20. De curve daalt omdat de vaste €100 over steeds meer producten wordt verdeeld en nadert de marginale kosten (20) als asymptoot.

Grafieken lezen is een examenvaardigheid op zich. Let bij elke grafiek eerst op wat er op de assen staat en in welke eenheid, en of een verandering een beweging langs de lijn is (het gevolg van een verandering van de grootheid op de horizontale as) of een verschuiving van de hele lijn (het gevolg van een verandering van een andere factor). Een snijpunt van twee lijnen is meestal een evenwicht of een omslagpunt en verdient altijd aandacht. Het hellingsgetal vertel je af door bij twee punten op de lijn de

\Delta y

\Delta x

te nemen; een steilere lijn betekent een grotere reactie.

Deze grafische en marginale denkwijze is het fundament onder bijna elk later onderwerp: vraag- en aanbodlijnen, kostencurves, de winstmaximale hoeveelheid bij

MO=MK

, de Lorenzcurve en de Phillipscurve zijn allemaal verbanden waarvan je de helling, de snijpunten en de verschuivingen moet kunnen duiden. Wie vlot kan schakelen tussen een formule, een tabel en een grafiek van hetzelfde verband — en telkens weet of een grootheid marginaal of gemiddeld is — heeft de belangrijkste gereedschappen van het vak in handen.

y=a+b\cdot x,\qquad b=\frac{\Delta y}{\Delta x}

Lineair verband en hellingsgetal

$a$ = waarde bij $x=0$ ; $b$ = verandering van $y$ per eenheid $x$ .

MK=\frac{\Delta TK}{\Delta q},\qquad GTK=\frac{TK}{q}

Marginale en gemiddelde kosten

Marginaal = de extra eenheid (helling); gemiddeld = totaal gedeeld door het aantal.

Uitgewerkt voorbeeld

Hellingsgetal en marginale kosten uit een tabel

Van een bedrijf zijn de totale kosten bekend: bij 4 producten €180 en bij 9 producten €280. Neem aan dat het verband lineair is. Bepaal het hellingsgetal, stel de formule TK = a + b·q op en geef de marginale kosten.

Hellingsgetal
$b=\frac{\Delta TK}{\Delta q}=\frac{280-180}{9-4}=\frac{100}{5}=20$ euro per product.
Constante a bepalen
Vul een punt in: $180=a+20\times4\Rightarrow a=180-80=100$ .
Formule en interpretatie
$TK=100+20q$ . De marginale kosten zijn gelijk aan de helling: $MK=\,\text{EUR}20$ per product; de vaste kosten zijn €100.

Resultaat: Het hellingsgetal is 20, de kostenfunctie is TK = 100 + 20q en de marginale kosten zijn €20 per product.

Veelgemaakte fouten

Een verschuiving van een hele lijn verwarren met een beweging langs de lijn, waardoor de oorzaak van een verandering fout wordt benoemd.
Marginale en gemiddelde kosten door elkaar halen: de marginale kosten zijn de helling van TK, niet TK/q.

Actieve herhaling

Een bedrijf heeft vaste kosten van €600 en constante marginale kosten van €15 per product. Stel de formule voor de totale kosten op en bereken de gemiddelde totale kosten bij een productie van 200 stuks.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma economie vwo — domein A (vaardigheden) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma economie vwo — domein A (vaardigheden)

Economische en wiskundige vaardigheden

Kernpunten

Opeenvolgende koersveranderingen van een aandeel

Kernpunten

Een gewogen consumentenprijsindex berekenen

Kernpunten

Koopkracht van een loonstijging

Kernpunten

Hellingsgetal en marginale kosten uit een tabel

Bronnen

Economische en wiskundige vaardigheden

Kernpunten

Opeenvolgende koersveranderingen van een aandeel

Kernpunten

Een gewogen consumentenprijsindex berekenen

Kernpunten

Koopkracht van een loonstijging

Kernpunten

Hellingsgetal en marginale kosten uit een tabel

Bronnen