Standaardfuncties: machts-, exponentiële, logaritmische en goniometrische functies

Gegeven is $f(x) = x^4$. Bepaal het domein en bereik, onderzoek de symmetrie en geef drie punten van de grafiek.

1. 01Stap 1 — Bepaal het domein

   Voor elke reële x is x⁴ gedefinieerd, dus er is geen beperking op het domein.

   $$D_f = \mathbb{R}$$
2. 02Stap 2 — Onderzoek de symmetrie en bepaal het bereik

   De exponent 4 is even, dus f(−x) = (−x)⁴ = x⁴ = f(x): de grafiek is symmetrisch in de y-as. Een even macht is nooit negatief, dus het laagste punt is (0,0).

   $$f(-x) = f(x) \ \Rightarrow\ \text{symmetrisch in de } y\text{-as}, \quad B_f: y \ge 0$$
3. 03Stap 3 — Geef drie punten

   Vul een paar handige x-waarden in. Door de symmetrie liggen (1,1) en (−1,1) op gelijke hoogte.

   $$(0,0),\quad (1,1),\quad (-1,1)$$

Resultaat: Resultaat: $f(x) = x^4$ heeft domein $\mathbb{R}$ en bereik $y \ge 0$, is symmetrisch in de $y$-as en gaat onder andere door $(0,0)$, $(1,1)$ en $(-1,1)$. De even exponent verklaart zowel de symmetrie als het niet-negatieve bereik.

Een hoeveelheid van 800 mg neemt elk uur met 15% af. Stel $H(t) = g\cdot a^t$ op (t in uren) en bereken $H(3)$.

1. 01Stap 1 — Bepaal beginwaarde en groeifactor

   De beginhoeveelheid is 800 mg, dus g = 800. Een afname van 15% per uur geeft groeifactor a = 1 − 0,15 = 0,85.

   $$g = 800, \qquad a = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$$
2. 02Stap 2 — Stel het voorschrift op

   Vul beginwaarde en groeifactor in de standaardvorm in.

   $$H(t) = 800\cdot 0{,}85^{\,t}$$
3. 03Stap 3 — Bereken H(3)

   Vul t = 3 in en reken uit; rond af op een geheel aantal mg.

   $$H(3) = 800\cdot 0{,}85^{3} = 800\cdot 0{,}614125 \approx 491$$

Resultaat: Resultaat: $H(t) = 800\cdot 0{,}85^{\,t}$ en $H(3) \approx 491$ mg. Omdat $0{,}85^{\,t}$ voor elke $t$ positief blijft, nadert $H$ wel de waarde 0 maar bereikt die nooit: $y = 0$ is een horizontale asymptoot.

Een kapitaal groeit volgens $K(t) = 1000\cdot 1{,}05^{\,t}$ (t in jaren). Na hoeveel jaar is het kapitaal verdubbeld tot 2000?

1. 01Stap 1 — Stel de vergelijking op

   Verdubbeld betekent K(t) = 2000. Deel beide kanten door 1000 om de macht te isoleren.

   $$1000\cdot 1{,}05^{\,t} = 2000 \ \Rightarrow\ 1{,}05^{\,t} = 2$$
2. 02Stap 2 — Schrijf de exponent als logaritme

   Gebruik de definitie van de logaritme: 1,05^t = 2 betekent t = log met grondtal 1,05 van 2.

   $$t = \log_{1{,}05}(2)$$
3. 03Stap 3 — Benader met de rekenmachine

   Reken de logaritme uit (bijvoorbeeld via log(2)/log(1,05)) en rond af.

   $$t = \frac{\log(2)}{\log(1{,}05)} \approx 14{,}2$$

Resultaat: Resultaat: na ongeveer $14{,}2$ jaar is het kapitaal verdubbeld. De logaritme maakt de exponent vrij, zodat je uit een gewenste eindwaarde de bijbehorende tijd kunt terugrekenen.

Bepaal zonder rekenmachine $\sin\!\left(\tfrac12\pi\right)$, $\cos(\pi)$ en $\tan(0)$, en leg met de eenheidscirkel uit waarom $\tan\!\left(\tfrac12\pi\right)$ niet bestaat.

1. 01Stap 1 — Lees de coördinaten op de eenheidscirkel af

   Bij hoek ½π staat het punt bovenaan de cirkel in (0,1); bij hoek π links in (−1,0). De sinus is de y-coördinaat, de cosinus de x-coördinaat.

   $$\sin\!\left(\tfrac12\pi\right) = 1, \qquad \cos(\pi) = -1$$
2. 02Stap 2 — Bereken de tangens in 0

   Gebruik tan(x) = sin(x)/cos(x). In x = 0 is sin(0) = 0 en cos(0) = 1.

   $$\tan(0) = \frac{\sin(0)}{\cos(0)} = \frac{0}{1} = 0$$
3. 03Stap 3 — Verklaar de asymptoot bij ½π

   In x = ½π is cos(½π) = 0, dus de noemer van de tangens is nul; delen door nul mag niet.

   $$\tan\!\left(\tfrac12\pi\right) = \frac{\sin(\tfrac12\pi)}{\cos(\tfrac12\pi)} = \frac{1}{0}\ \text{(niet gedefinieerd)}$$

Resultaat: Resultaat: $\sin\!\left(\tfrac12\pi\right) = 1$, $\cos(\pi) = -1$ en $\tan(0) = 0$; $\tan\!\left(\tfrac12\pi\right)$ bestaat niet omdat $\cos\!\left(\tfrac12\pi\right) = 0$ en je dan door nul zou delen. Daar heeft de tangensgrafiek een verticale asymptoot.

De grafiek van $f(x) = \sqrt{x}$ wordt 3 naar rechts verschoven en met factor 2 verticaal opgerekt. Geef het voorschrift $g$, het domein en het beginpunt van $g$.

1. 01Stap 1 — Pas de horizontale verschuiving toe

   Drie naar rechts schuiven betekent x vervangen door x − 3 in het voorschrift.

   $$f(x-3) = \sqrt{x-3}$$
2. 02Stap 2 — Pas de verticale vermenigvuldiging toe

   Verticaal oprekken met factor 2 betekent de hele functie met 2 vermenigvuldigen.

   $$g(x) = 2\sqrt{x-3}$$
3. 03Stap 3 — Bepaal domein en beginpunt

   De wortel vraagt x − 3 ≥ 0, dus x ≥ 3. Het beginpunt (0,0) van f beeldt af op (0+3, 2·0) = (3,0).

   $$D_g: x \ge 3, \qquad \text{beginpunt } (3,\,0)$$

Resultaat: Resultaat: $g(x) = 2\sqrt{x-3}$ met domein $x \ge 3$ en beginpunt $(3, 0)$. De horizontale verschuiving verplaatst het beginpunt en beperkt het domein; de verticale factor 2 maakt de grafiek tweemaal zo steil.