Gebroken lineaire functies en asymptoten

Onderzoek voor $f(x) = \dfrac{1}{x}$ wat er met $f(x)$ gebeurt als $x$ van rechts naar 0 nadert en als $x$ heel groot wordt, en koppel dat aan de asymptoten.

1. 01Stap 1 — Reken een paar waarden dicht bij 0 uit

   Vul steeds kleinere positieve x in. De functiewaarde wordt dan steeds groter.

   $$f(0{,}1) = 10, \quad f(0{,}01) = 100, \quad f(0{,}001) = 1000$$
2. 02Stap 2 — Reken een paar grote waarden uit

   Vul steeds grotere x in. De functiewaarde wordt dan steeds kleiner, maar blijft positief.

   $$f(10) = 0{,}1, \quad f(100) = 0{,}01, \quad f(1000) = 0{,}001$$
3. 03Stap 3 — Koppel aan de asymptoten

   Bij x naar 0 schiet de waarde naar oneindig: dat is de verticale asymptoot. Bij grote x nadert de waarde 0: dat is de horizontale asymptoot.

   $$x \to 0^+ \Rightarrow f(x) \to \infty \ (\text{V.A. } x=0), \qquad x \to \infty \Rightarrow f(x) \to 0 \ (\text{H.A. } y=0)$$

Resultaat: Resultaat: als $x$ van rechts naar 0 nadert, groeit $f(x)$ onbegrensd (verticale asymptoot $x = 0$); als $x$ groot wordt, nadert $f(x)$ de waarde 0 (horizontale asymptoot $y = 0$). De getallen laten het tweezijdige benaderen van de asymptoten concreet zien.

Bepaal de asymptoten van $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-1}$ en geef het snijpunt met de $y$-as.

1. 01Stap 1 — Verticale asymptoot via de noemer

   Stel de noemer op nul en los op. De teller is daar niet nul, dus het is echt een asymptoot.

   $$x - 1 = 0 \ \Rightarrow\ x = 1$$
2. 02Stap 2 — Horizontale asymptoot via de x-coëfficiënten

   Deel de coëfficiënt van x in de teller door die in de noemer.

   $$y = \frac{a}{c} = \frac{2}{1} = 2$$
3. 03Stap 3 — Snijpunt met de y-as als steunpunt

   Vul x = 0 in om het snijpunt met de y-as te vinden; dat helpt bij het plaatsen van de takken.

   $$f(0) = \frac{2\cdot 0 + 1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1, \quad\text{dus } (0,\,-1)$$

Resultaat: Resultaat: de asymptoten zijn $x = 1$ en $y = 2$, en de grafiek snijdt de $y$-as in $(0, -1)$. Omdat dit steunpunt linksonder het asymptotenkruis ligt, ligt daar de ene tak en de andere rechtsboven.

Herleid $f(x) = \dfrac{3x-4}{x-1}$ naar de vorm $\dfrac{a}{x-p}+q$ en geef de asymptoten.

1. 01Stap 1 — Laat de noemer in de teller verschijnen

   Schrijf de teller 3x − 4 als 3·(x − 1) plus de rest. Er geldt 3(x − 1) = 3x − 3, dus de rest is −4 − (−3) = −1.

   $$3x - 4 = 3(x-1) - 1$$
2. 02Stap 2 — Splits de breuk

   Deel beide delen door de noemer x − 1; het eerste deel vereenvoudigt tot 3.

   $$\frac{3x-4}{x-1} = \frac{3(x-1)}{x-1} - \frac{1}{x-1} = 3 - \frac{1}{x-1}$$
3. 03Stap 3 — Lees de standaardvorm en de asymptoten af

   Vergelijk met a/(x − p) + q: hier is a = −1, p = 1 en q = 3.

   $$f(x) = \frac{-1}{x-1} + 3 \ \Rightarrow\ \text{V.A. } x = 1, \ \text{H.A. } y = 3$$

Resultaat: Resultaat: $f(x) = \dfrac{-1}{x-1} + 3$, dus de asymptoten zijn $x = 1$ en $y = 3$. Omdat $a = -1 < 0$ liggen de takken linksboven en rechtsonder het asymptotenkruis.

Gegeven is $f(x) = \dfrac{x-3}{x+1}$. Bepaal de asymptoten, het domein en bereik en de snijpunten met de assen.

1. 01Stap 1 — Asymptoten en domein

   Noemer nul: x + 1 = 0 geeft x = −1 (verticale asymptoot en verboden waarde). De x-coëfficiënten zijn 1 en 1, dus de horizontale asymptoot is y = 1.

   $$\text{V.A. } x = -1, \quad \text{H.A. } y = 1, \quad D_f: x \neq -1$$
2. 02Stap 2 — Bereik

   De functie kan de hoogte van de horizontale asymptoot niet bereiken.

   $$B_f: y \neq 1$$
3. 03Stap 3 — Snijpunten met de assen

   Nulpunt: teller nul, dus x − 3 = 0 geeft x = 3. Snijpunt met de y-as: vul x = 0 in.

   $$(3,\,0) \quad\text{en}\quad f(0) = \frac{0-3}{0+1} = -3 \ \Rightarrow\ (0,\,-3)$$

Resultaat: Resultaat: asymptoten $x = -1$ en $y = 1$; domein $x \neq -1$, bereik $y \neq 1$; snijpunten $(3, 0)$ met de $x$-as en $(0, -3)$ met de $y$-as. Daarmee ligt de grafiek volledig vast.