Samenvattingen · Wiskunde BNL · HAVO

Periodieke (goniometrische) functies

Periodieke functies herhalen zich met een vaste regelmaat, en de belangrijkste zijn de goniometrische functies sinus en cosinus. In dit onderwerp werk je met radialen en de eenheidscirkel, en leer je een sinusoïde volledig beschrijven met vier kenmerken: de amplitude, de periode, de evenwichtsstand en de fase (horizontale verschuiving). Je leert een formule $y = a + b\sin\!\big(c(x - d)\big)$ opstellen bij een gegeven grafiek en goniometrische vergelijkingen oplossen met de periodiciteit.

4Onderdelenca. 19min leestijd4VaardighedenNiveauBasis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·0666 / 12

Examenprofiel

Hoeken in radialen meten en de sinus en cosinus uit de eenheidscirkel aflezen.De amplitude, periode, evenwichtsstand en fase van een sinusoïde bepalen en aan de grafiek koppelen.Een formule y = a + b\sin\!\big(c(x-d)\big) opstellen bij een gegeven periodieke grafiek.Goniometrische vergelijkingen oplossen met behulp van de periodiciteit en de eenheidscirkel.

Operatoren:bepaalstel opschetslos oplees afbereken

basisniveau

Lees amplitude, periode en evenwichtsstand af uit een sinusoïde en bepaal er functiewaarden mee.

verhoogd niveau

Stel een formule op uit de vier kenmerken en los goniometrische vergelijkingen volledig op met de periodiciteit.

Diepte

Schrift

Inhalt · 4 onderdelen

Periodieke (goniometrische) functies

Radialen en de eenheidscirkel#

Basisexamenblad-nl

De eenheidscirkel

Afb. 1Op de eenheidscirkel is cos α de x-coördinaat (horizontale projectie) en sin α de y-coördinaat (verticale projectie) van het draaipunt P. De straal is 1, dus cos²α + sin²α = 1.

Bij goniometrische functies meet je hoeken bij voorkeur in radialen in plaats van in graden. Een radiaal is de hoek die hoort bij een booglengte gelijk aan de straal: omdat de omtrek van een cirkel met straal 1 gelijk is aan

2\pi

, hoort bij een volledige omwenteling een hoek van

2\pi

radialen. Daarom geldt

2\pi \text{ rad} = 360°

, en dus

\pi \text{ rad} = 180°

. Hieruit volgen de veelgebruikte omrekeningen

\tfrac12\pi = 90°

\tfrac14\pi = 45°

\tfrac16\pi = 30°

. Het omrekenen gaat met de verhouding

\dfrac{\text{radialen}}{\pi} = \dfrac{\text{graden}}{180}

. Radialen lijken in het begin onhandig, maar ze zijn de natuurlijke maat voor de cirkel en — zoals je bij het differentiëren zult zien — onmisbaar voor mooie afgeleideregels.

De sinus en cosinus definieer je met de eenheidscirkel: de cirkel met straal 1 om de oorsprong. Laat een punt

P

over de cirkel draaien en noem de hoek die de straal

OP

maakt met de positieve

x

-as

\alpha

(gemeten tegen de klok in). Dan is per definitie

\cos(\alpha)

x

-coördinaat van

P

\sin(\alpha)

y

-coördinaat. In de figuur zie je dit: de horizontale projectie van

P

\cos(\alpha)

, de verticale projectie is

\sin(\alpha)

, en de straal heeft lengte 1. Deze definitie werkt voor élke hoek, ook groter dan

90°

of negatief, en dat is precies waarom sinus en cosinus periodieke functies opleveren: na een volledige omwenteling (

2\pi

) is

P

weer op dezelfde plek.

Uit de eenheidscirkel volgt rechtstreeks de belangrijkste goniometrische betrekking. Omdat

P = (\cos\alpha, \sin\alpha)

op de cirkel met straal 1 ligt, geldt volgens de stelling van Pythagoras dat de som van de kwadraten van de coördinaten gelijk is aan het kwadraat van de straal:

\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1

. Dit heet de hoofdformule en geldt voor élke hoek. Ze is enorm nuttig: ken je de sinus van een hoek, dan vind je er (op het teken na) de cosinus mee, en omgekeerd. Omdat de coördinaten van een punt op de eenheidscirkel altijd tussen

-1

1

liggen, blijven ook

\sin(\alpha)

\cos(\alpha)

steeds tussen

-1

1

De eenheidscirkel laat je ook de exacte waarden bij de standaardhoeken aflezen. Bij

\alpha = 0

staat

P

(1, 0)

, dus

\cos(0) = 1

\sin(0) = 0

. Bij

\alpha = \tfrac12\pi

staat

P

bovenaan in

(0, 1)

, dus

\cos(\tfrac12\pi) = 0

\sin(\tfrac12\pi) = 1

. Bij

\alpha = \pi

staat

P

links in

(-1, 0)

, dus

\cos(\pi) = -1

\sin(\pi) = 0

. Door de cirkel voor je te zien, hoef je deze waarden niet uit het hoofd te leren maar lees je ze gewoon af — en weet je meteen in welke kwadranten sinus en cosinus positief of negatief zijn.

De eenheidscirkel verklaart bovendien het periodieke karakter dat de hele rest van dit onderwerp draagt. Draai je verder dan een volledige omwenteling, dan kom je weer op dezelfde punten uit:

\sin(\alpha + 2\pi) = \sin(\alpha)

\cos(\alpha + 2\pi) = \cos(\alpha)

. De functies herhalen zich dus met periode

2\pi

. Met dit beeld — een ronddraaiend punt waarvan de schaduw op de assen op en neer gaat — begrijp je waarom de grafieken van sinus en cosinus golven zijn, waarom hun waarden tussen

-1

1

blijven, en waarom alles zich na

2\pi

herhaalt. De eenheidscirkel is daarmee het fundament onder elke sinusoïde die volgt.

2\pi \text{ rad} = 360^\circ, \qquad \frac{\text{rad}}{\pi} = \frac{\text{graden}}{180}

radialen en graden

Een volledige omwenteling is 2π radialen; met deze verhouding reken je tussen radialen en graden om.

\cos(\alpha) = x_P, \quad \sin(\alpha) = y_P, \qquad \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1

definitie op de eenheidscirkel + hoofdformule

Cosinus en sinus zijn de coördinaten van het draaipunt op de eenheidscirkel; de som van hun kwadraten is altijd 1.

Uitgewerkt voorbeeld

Omrekenen en de hoofdformule gebruiken

Reken $120°$ om naar radialen en bepaal $\cos(\alpha)$ als $\sin(\alpha) = 0{,}6$ en $\alpha$ in het eerste kwadrant ligt.

Stap 1 — Reken 120° om naar radialen
Gebruik de verhouding rad/π = graden/180.
$\alpha = \frac{120}{180}\cdot \pi = \frac{2}{3}\pi$
Stap 2 — Pas de hoofdformule toe
Uit cos²α + sin²α = 1 volgt cos²α = 1 − sin²α. Vul sin α = 0,6 in.
$\cos^2(\alpha) = 1 - 0{,}6^2 = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$
Stap 3 — Kies het juiste teken
Neem de wortel. In het eerste kwadrant is de cosinus (x-coördinaat) positief, dus de positieve wortel.
$\cos(\alpha) = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$

Resultaat: Resultaat: $120° = \tfrac23\pi$ rad, en $\cos(\alpha) = 0{,}8$ (positief, want $\alpha$ ligt in het eerste kwadrant). De hoofdformule koppelt sinus en cosinus, en de eenheidscirkel bepaalt het teken.

Veelgemaakte fouten

De rekenmachine in graden (DEG) laten staan terwijl er in radialen wordt gewerkt, zodat alle waarden fout uitkomen.
Sinus en cosinus verwisselen: de cosinus is de $x$ -coördinaat (horizontaal), de sinus de $y$ -coördinaat (verticaal).
Omrekenen met de verkeerde verhouding, bijvoorbeeld $90°$ als $\pi$ radialen in plaats van $\tfrac12\pi$ .

Actieve herhaling

Reken $120°$ om naar radialen, lees met de eenheidscirkel $\sin(\tfrac12\pi)$ en $\cos(\pi)$ af, en bepaal met de hoofdformule $\cos(\alpha)$ als $\sin(\alpha) = 0{,}6$ en $\alpha$ in het eerste kwadrant ligt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De sinusoïde: amplitude, periode en evenwichtsstand#

Standardexamenblad-nl

De sinusoïde y = 2 + 3 sin(2x)

Afb. 2De sinusoïde y = 2 + 3 sin(2x) heeft evenwichtsstand y = 2, amplitude 3 (bereik [−1, 5]) en periode π. Het eerste maximum ligt bij (¼π, 5), het eerste minimum bij (¾π, −1).

Een sinusoïde is een grafiek van de vorm

y = a + b\sin(c\,x)

(of met cosinus): een golf die je verkrijgt door de standaardsinus te vermenigvuldigen en te verschuiven. Vier kenmerken beschrijven zo'n golf volledig: de evenwichtsstand, de amplitude, de periode en de fase. De evenwichtsstand is de horizontale middenlijn

y = a

waar de golf omheen slingert — het gemiddelde van het hoogste en het laagste punt. Bij de standaardsinus

y = \sin(x)

is de evenwichtsstand

y = 0

; door een getal

a

op te tellen schuif je de hele golf omhoog, zodat de evenwichtsstand op

y = a

komt te liggen.

De amplitude is de afstand van de evenwichtsstand tot het hoogste (of laagste) punt: hoe ver de golf naar boven en beneden uitwijkt. In

y = a + b\sin(cx)

is de amplitude

|b|

. Het maximum van de golf ligt dan op

y = a + |b|

en het minimum op

y = a - |b|

, zodat het bereik

[a - |b|,\ a + |b|]

is. Andersom kun je uit een grafiek de amplitude bepalen als

\dfrac{\text{max} - \text{min}}{2}

en de evenwichtsstand als

\dfrac{\text{max} + \text{min}}{2}

. Deze twee formules zijn je belangrijkste gereedschap om een sinusoïde af te lezen: ze halen

b

a

rechtstreeks uit het hoogste en laagste niveau van de golf.

De periode is de horizontale lengte van één volledige golf — de afstand waarna het patroon zich herhaalt. Bij de standaardsinus is de periode

2\pi

. De factor

c

vóór de

x

regelt de periode: hij perst de golf samen of rekt hem uit. De periode is

\dfrac{2\pi}{c}

, dus een grotere

c

geeft een kórtere periode (meer golven per interval). Bij

y = 2 + 3\sin(2x)

c = 2

, zodat de periode

\dfrac{2\pi}{2} = \pi

is: de golf herhaalt zich twee keer zo snel als de standaardsinus. Let op de relatie: de periode en de factor

c

zijn elkaars omgekeerde-met-

2\pi

, dus

c = \dfrac{2\pi}{\text{periode}}

Met deze drie kenmerken lees je een sinusoïde volledig af, zoals in de figuur van

y = 2 + 3\sin(2x)

. De evenwichtsstand is

y = 2

(de gestippelde middenlijn), de amplitude is 3 (de golf reikt van 2 tot 5 omhoog en van 2 tot

-1

omlaag, dus het bereik is

[-1, 5]

), en de periode is

\pi

. Het eerste maximum ligt op

x = \tfrac14\pi

(waar de sinus zijn top bereikt) op hoogte

y = 5

, het eerste minimum op

x = \tfrac34\pi

op hoogte

y = -1

. Door deze waarden te markeren teken je de golf nauwkeurig, zonder een waardetabel te hoeven maken.

Het loont om amplitude, periode en evenwichtsstand niet als losse parameters te zien maar als de drie „knoppen” waarmee je elke golf vormt. De evenwichtsstand

a

schuift de golf verticaal, de amplitude

b

rekt hem verticaal uit, en de factor

c

rekt of perst hem horizontaal (de periode). In de volgende paragraaf komt de vierde knop erbij — de fase, de horizontale verschuiving — en daarmee kun je vanuit een grafiek het complete voorschrift

y = a + b\sin\!\big(c(x - d)\big)

reconstrueren. Wie de betekenis van elke parameter beheerst, schakelt moeiteloos heen en weer tussen een golf en haar formule.

y = a + b\sin(cx): \quad \text{evenwicht } y=a, \ \text{amplitude } |b|, \ \text{periode } \frac{2\pi}{c}

kenmerken van een sinusoïde

a is de middenlijn, |b| de uitwijking en 2π/c de lengte van één golf; samen leggen ze de golf vast.

\text{amplitude} = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}, \qquad \text{evenwicht} = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

aflezen uit een grafiek

Uit het hoogste en laagste niveau van de golf bepaal je direct de amplitude en de evenwichtsstand.

Uitgewerkt voorbeeld

De kenmerken van een sinusoïde bepalen

Bepaal van $y = 2 + 3\sin(2x)$ de evenwichtsstand, amplitude, periode en bereik en geef het eerste maximum.

Stap 1 — Lees evenwicht en amplitude af
In de vorm a + b·sin(cx) is a de evenwichtsstand en |b| de amplitude.
$a = 2 \ (\text{evenwicht } y=2), \qquad |b| = 3 \ (\text{amplitude})$
Stap 2 — Bereken de periode en het bereik
De factor c = 2 geeft de periode 2π/c; het bereik loopt van a − |b| tot a + |b|.
$\text{periode} = \frac{2\pi}{2} = \pi, \qquad \text{bereik } [2-3,\ 2+3] = [-1,\ 5]$
Stap 3 — Bepaal het eerste maximum
De sinus is maximaal (gelijk aan 1) als zijn argument ½π is, dus 2x = ½π geeft x = ¼π. De functiewaarde is dan het maximum.
$2x = \tfrac12\pi \Rightarrow x = \tfrac14\pi, \quad y = 2 + 3 = 5 \ \Rightarrow\ \left(\tfrac14\pi,\ 5\right)$

Resultaat: Resultaat: evenwichtsstand $y = 2$ , amplitude 3, periode $\pi$ , bereik $[-1, 5]$ , en het eerste maximum ligt in $\left(\tfrac14\pi, 5\right)$ . De vier getallen $a$ , $b$ en $c$ bepalen de golf volledig.

Veelgemaakte fouten

De amplitude als de afstand tussen maximum en minimum nemen in plaats van de hélft daarvan.
De periode gelijkstellen aan de factor $c$ in plaats van aan $\dfrac{2\pi}{c}$ .
De evenwichtsstand vergeten en het bereik vanaf 0 berekenen in plaats van vanaf $y = a$ .

Actieve herhaling

Gegeven is $y = 2 + 3\sin(2x)$ . Bepaal de evenwichtsstand, de amplitude, de periode en het bereik, en geef de coördinaten van het eerste maximum.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Fase en het opstellen van een formule#

Standardexamenblad-nl

Faseverschuiving van de sinus

Afb. 3De grafiek van y = sin(x − ⅓π) (doorgetrokken) is de standaardsinus y = sin(x) (gestippeld), ⅓π naar rechts geschoven. De fase verandert alleen de horizontale ligging, niet de amplitude of periode.

De vierde knop waarmee je een sinusoïde vormt, is de fase: een horizontale verschuiving van de golf. In de vorm

y = a + b\sin\!\big(c(x - d)\big)

d

de horizontale verschuiving — de golf wordt

d

naar rechts geschoven ten opzichte van de standaard, precies zoals bij het transformeren van grafieken een

x - d

een verschuiving naar rechts geeft. De parameter

d

vertelt je dus wáár de golf „begint”: het punt waar de oplopende sinus zijn evenwichtsstand kruist, verschuift van

x = 0

naar

x = d

. Door

d

te variëren laat je dezelfde golf op een andere plek beginnen, zonder de vorm te veranderen.

In de figuur zie je het effect van de fase: de grafiek van

y = \sin(x - \tfrac13\pi)

is de standaardsinus

y = \sin(x)

, maar dan

\tfrac13\pi

naar rechts geschoven. Waar de gewone sinus in de oorsprong stijgend door zijn evenwichtsstand gaat, doet de verschoven sinus dat pas bij

x = \tfrac13\pi

. Alle andere kenmerken — amplitude 1, periode

2\pi

, evenwichtsstand 0 — blijven gelijk; alleen de horizontale ligging verschuift. Zo verklaart de fase ook het verband tussen sinus en cosinus:

\cos(x) = \sin(x + \tfrac12\pi)

, een sinus die een kwart periode naar links is geschoven.

Het opstellen van een formule bij een gegeven periodieke grafiek is een kernvaardigheid, en je doet het door de vier kenmerken één voor één te bepalen. Bepaal eerst de evenwichtsstand

a = \dfrac{\text{max} + \text{min}}{2}

en de amplitude

b = \dfrac{\text{max} - \text{min}}{2}

uit het hoogste en laagste niveau. Lees vervolgens de periode af (de horizontale lengte van één golf) en bereken daaruit

c = \dfrac{2\pi}{\text{periode}}

. Bepaal ten slotte de fase

d

door te kijken waar de golf stijgend door de evenwichtsstand gaat; dat punt geeft

d

. Vul

a

b

c

d

in de standaardvorm in, en je hebt het voorschrift.

Een handige controle is om een herkenbaar punt van de grafiek in je opgestelde formule in te vullen en te kijken of de hoogte klopt. Vergeet daarbij niet dat je vaak kunt kiezen tussen een sinus- en een cosinusformule voor dezelfde golf: een cosinus heeft zijn top in

x = d

, terwijl een sinus daar stijgend door zijn evenwichtsstand gaat. Kies de vorm die het beste past bij het opvallendste punt van de grafiek — ligt er een duidelijk maximum, dan is een cosinus vaak handiger; zie je een duidelijk „startpunt” op de middenlijn, dan ligt een sinus voor de hand. Beide leiden tot een correcte formule.

Met de vier parameters

a

b

c

d

heb je de volledige taal van de periodieke functies in handen. Je kunt nu in beide richtingen schakelen: van een formule naar een nauwkeurige grafiek (door evenwicht, amplitude, periode en fase te tekenen) én van een grafiek naar de bijbehorende formule (door de vier kenmerken af te lezen). Deze tweezijdige vaardigheid is precies wat het examen toetst bij modellen van periodieke verschijnselen — getijden, temperatuurschommelingen, draaiende onderdelen — waarbij je een gegeven golf in een formule moet vatten of een formule moet interpreteren.

y = a + b\sin\!\big(c(x - d)\big), \qquad c = \frac{2\pi}{\text{periode}}

volledige sinusoïde

a = evenwichtsstand, b = amplitude, c volgt uit de periode, d = horizontale verschuiving (de golf d naar rechts).

\cos(x) = \sin\!\left(x + \tfrac12\pi\right)

sinus en cosinus als faseverschuiving

Cosinus is een sinus die een kwart periode naar links is geschoven; dezelfde golf kun je dus met sinus of cosinus beschrijven.

Uitgewerkt voorbeeld

Een formule opstellen bij een periodieke grafiek

Een sinusoïde heeft maximum 7, minimum 1, periode 4 en gaat bij $x = 1$ stijgend door de evenwichtsstand. Stel een formule op.

Stap 1 — Evenwichtsstand en amplitude
Bereken het gemiddelde en het halve verschil van maximum en minimum.
$a = \frac{7+1}{2} = 4, \qquad b = \frac{7-1}{2} = 3$
Stap 2 — Bepaal c uit de periode
De factor c volgt uit de periode via c = 2π/periode.
$c = \frac{2\pi}{4} = \tfrac12\pi$
Stap 3 — Bepaal de fase en stel de formule op
De golf gaat stijgend door de evenwichtsstand bij x = 1, dus d = 1. Vul alle parameters in.
$y = 4 + 3\sin\!\big(\tfrac12\pi\,(x - 1)\big)$

Resultaat: Resultaat: $y = 4 + 3\sin\!\big(\tfrac12\pi(x - 1)\big)$ . De vier kenmerken — evenwicht 4, amplitude 3, periode 4 (dus $c = \tfrac12\pi$ ) en fase $d = 1$ — leggen de golf eenduidig vast.

Veelgemaakte fouten

De fase de verkeerde kant op lezen: $x - d$ verschuift de golf $d$ naar réchts.
De periode vergeten om te rekenen naar $c$ , zodat de golf te smal of te breed wordt.
Amplitude of evenwichtsstand verwisselen, waardoor de golf op de verkeerde hoogte of met de verkeerde uitwijking wordt opgesteld.

Actieve herhaling

Een sinusoïde heeft maximum 7, minimum 1, periode 4 en gaat bij $x = 1$ stijgend door de evenwichtsstand. Stel een formule $y = a + b\sin\!\big(c(x-d)\big)$ op.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Goniometrische vergelijkingen oplossen#

Vertiefungexamenblad-nl

Oplossingen van sin(x) = 0,5

Afb. 4De vergelijking sin(x) = 0,5 komt overeen met de snijpunten van y = sin(x) en y = 0,5. Binnen [0, 2π] zijn er twee: x = ⅙π en x = ⅚π (= π − ⅙π).

Een goniometrische vergelijking als

\sin(x) = 0{,}5

heeft, anders dan een gewone vergelijking, oneindig veel oplossingen — een rechtstreeks gevolg van de periodiciteit. Omdat de sinus zich elke

2\pi

herhaalt, levert elke oplossing telkens nieuwe op door er hele veelvouden van de periode bij op te tellen. Het oplossen verloopt daarom in twee stappen: vind eerst de oplossingen binnen één periode (meestal

[0, 2\pi)

), en breid die daarna uit met de periodiciteit. De eenheidscirkel en de grafiek zijn hierbij onmisbaar, omdat ze laten zien hóevéél oplossingen er per periode zijn en waar ze liggen.

Binnen één periode heeft

\sin(x) = c

(met

-1 < c < 1

) precies twee oplossingen, en de eenheidscirkel laat zien waarom: er zijn twee punten op de cirkel met dezelfde

y

-coördinaat

c

, symmetrisch ten opzichte van de verticale as. Heb je met de rekenmachine één oplossing

x_1

gevonden, dan is de tweede

x_2 = \pi - x_1

(de spiegeling in de verticale as). In de figuur zie je dit voor

\sin(x) = 0{,}5

: de grafiek snijdt de lijn

y = 0{,}5

binnen

[0, 2\pi]

x = \tfrac16\pi

en in

x = \pi - \tfrac16\pi = \tfrac56\pi

. Voor de cosinus geldt een vergelijkbare symmetrie, maar dan ten opzichte van de horizontale as: daar is de tweede oplossing

x_2 = -x_1

(of

2\pi - x_1

De algemene oplossing krijg je door bij elke gevonden oplossing binnen één periode de term

+\,k\cdot 2\pi

op te tellen, waarbij

k

elk geheel getal mag zijn. Voor

\sin(x) = 0{,}5

is de complete oplossing dus

x = \tfrac16\pi + k\cdot 2\pi

x = \tfrac56\pi + k\cdot 2\pi

, met

k \in \mathbb{Z}

. De

k

telt hoeveel volledige omwentelingen je verder of terug gaat. Vraagt de opgave alleen om de oplossingen in een begrensd interval, dan kies je vervolgens de waarden van

k

die in dat interval vallen — dat is een veelvoorkomende laatste stap.

Bij een sinusoïde met factor

c

, zoals

\sin(2x) = 0{,}5

, werk je met een hulpvariabele. Stel

u = 2x

, los

\sin(u) = 0{,}5

op (dat geeft

u = \tfrac16\pi + k\cdot 2\pi

u = \tfrac56\pi + k\cdot 2\pi

), en deel ten slotte alles door 2 om terug te keren naar

x

. Doordat je deelt door de factor, komen de oplossingen dichter bij elkaar te liggen: een functie met een kortere periode heeft méér oplossingen per interval. Vergeet bij deze stap niet de

+\,k\cdot 2\pi

mee te delen, anders mis je de helft van de oplossingen.

De rode draad bij goniometrische vergelijkingen is dus: reduceer tot een standaardgeval, vind de twee oplossingen binnen één periode (met de rekenmachine plus de symmetrieregel

\pi - x_1

voor sinus,

-x_1

voor cosinus), schrijf de algemene oplossing met

+\,k\cdot 2\pi

, en selecteer ten slotte de oplossingen in het gevraagde interval. Reken in radialen en zet de rekenmachine in de juiste stand. Met deze vaste werkwijze los je elke goniometrische vergelijking systematisch op, en gebruik je de periodiciteit als bondgenoot in plaats van als bron van verwarring.

\sin(x) = c \ \Rightarrow\ x = x_1 + k\cdot 2\pi \ \lor\ x = \pi - x_1 + k\cdot 2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

oplossen van sin(x) = c

Binnen één periode zijn er twee oplossingen (x₁ en π − x₁); door k·2π op te tellen krijg je alle oplossingen.

\cos(x) = c \ \Rightarrow\ x = \pm x_1 + k\cdot 2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

oplossen van cos(x) = c

Bij de cosinus liggen de twee oplossingen symmetrisch om de x-as: x₁ en −x₁ (modulo 2π).

Uitgewerkt voorbeeld

Een goniometrische vergelijking volledig oplossen

Los $\sin(x) = 0{,}5$ op voor $0 \le x \le 2\pi$ en geef de algemene oplossing.

Stap 1 — Vind de eerste oplossing
Bepaal x₁ met de standaardwaarde (of de rekenmachine in radialen). De sinus is 0,5 bij ⅙π.
$x_1 = \arcsin(0{,}5) = \tfrac16\pi$
Stap 2 — Vind de tweede oplossing met de symmetrieregel
Binnen één periode is de tweede oplossing π − x₁ (de spiegeling in de verticale as op de eenheidscirkel).
$x_2 = \pi - \tfrac16\pi = \tfrac56\pi$
Stap 3 — Schrijf de algemene oplossing
Tel bij beide oplossingen veelvouden van de periode 2π op.
$x = \tfrac16\pi + k\cdot 2\pi \ \lor\ x = \tfrac56\pi + k\cdot 2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Resultaat: Resultaat: in $[0, 2\pi]$ zijn de oplossingen $x = \tfrac16\pi$ en $x = \tfrac56\pi$ ; de algemene oplossing is $x = \tfrac16\pi + k\cdot 2\pi$ of $x = \tfrac56\pi + k\cdot 2\pi$ met $k \in \mathbb{Z}$ . De twee oplossingen per periode komen uit de symmetrie van de eenheidscirkel.

Veelgemaakte fouten

Slechts één oplossing per periode geven en de tweede ( $\pi - x_1$ bij sinus) vergeten.
De term $+\,k\cdot 2\pi$ weglaten, zodat je alleen de oplossingen in één periode geeft terwijl de hele oplossingsverzameling wordt gevraagd.
Bij $\sin(cx) = \ldots$ vergeten de $+\,k\cdot 2\pi$ mee door de factor $c$ te delen, waardoor de helft van de oplossingen wegvalt.

Actieve herhaling

Los $\sin(x) = 0{,}5$ op voor $0 \le x \le 2\pi$ en geef daarna de algemene oplossing.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde B (HAVO)

Periodieke (goniometrische) functies

Kernpunten

Omrekenen en de hoofdformule gebruiken

Kernpunten

De kenmerken van een sinusoïde bepalen

Kernpunten

Een formule opstellen bij een periodieke grafiek

Kernpunten

Een goniometrische vergelijking volledig oplossen

Bronnen