Samenvattingen · Wiskunde BNL · HAVO

Evenredigheidsverbanden

Een evenredigheidsverband beschrijft hoe twee grootheden in een vaste verhouding met elkaar samenhangen. In dit onderwerp leer je de vier hoofdtypen kennen: recht evenredig ( $y = kx$ ), omgekeerd evenredig ( $y = k/x$ ), kwadratisch (of hogere-macht) evenredig ( $y = kx^n$ ) en het wortelverband ( $y = k\sqrt{x}$ ). Je leert ze herkennen aan hun grafiek en aan hun rekenkundige eigenschap, en je leert de evenredigheidsfactor $k$ uit gegevens bepalen.

3Onderdelenca. 14min leestijd4VaardighedenNiveauBasis 1 · Standaard 2

T·0555 / 12

Examenprofiel

Recht en omgekeerd evenredige verbanden herkennen, beschrijven en grafisch weergeven.Machts- en wortelverbanden (y = kx^n, y = k\sqrt{x}) herkennen aan hun grafiek en eigenschap.De evenredigheidsfactor k bepalen uit een gegeven waardenpaar.Evenredigheidsverbanden toepassen om voorspellingen te doen en te redeneren over schaal.

Operatoren:bepaalberekenstel opleg uittoon aanvoorspel

basisniveau

Herken de vier typen evenredigheid aan hun grafiek en bepaal de evenredigheidsfactor uit één waardenpaar.

verhoogd niveau

Redeneer met de definiërende eigenschap (vast quotiënt of vast product) en gebruik die om voorspellingen exact te onderbouwen.

Diepte

Schrift

Inhalt · 3 onderdelen

Evenredigheidsverbanden

Recht evenredige verbanden#

Basisexamenblad-nl

Recht evenredig verband y = 2x

Afb. 1Het recht evenredige verband y = 2x is een rechte lijn door de oorsprong. Bij elk punt is y/x = 2 (de evenredigheidsfactor); de lijn gaat door (1,2) en (3,6).

Twee grootheden

x

y

zijn recht evenredig als ze in een vaste verhouding tot elkaar staan: wordt

x

twee keer zo groot, dan wordt

y

ook twee keer zo groot. In formulevorm betekent dit

y = kx

, waarbij

k

de evenredigheidsconstante (of evenredigheidsfactor) heet. De definiërende eigenschap is dat het quotiënt

\dfrac{y}{x}

altijd dezelfde waarde

k

heeft, voor elk waardenpaar. Dat geeft je een snelle test: deel bij een tabel telkens

y

door

x

— komt er steeds hetzelfde getal uit, dan is het verband recht evenredig en is dat getal de constante

k

De grafiek van een recht evenredig verband is altijd een rechte lijn dóór de oorsprong, met richtingscoëfficiënt

k

. Dat de lijn door de oorsprong gaat, is geen toeval maar een logisch gevolg van de definitie: als

x = 0

, dan is

y = k\cdot 0 = 0

. Hierin verschilt een recht evenredig verband van een algemeen lineair verband

y = ax + b

: bij recht evenredig is de constante

b

gelijk aan nul. Een lijn die de

y

-as op een andere hoogte snijdt, hoort dus wél bij een lineair verband maar níét bij een recht evenredig verband. Dit onderscheid is belangrijk en wordt vaak verward.

De evenredigheidsfactor

k

heeft in toepassingen een concrete betekenis: het is de hoeveelheid

y

per eenheid

x

. Kost 1 kilogram appels € 2,50, dan is de prijs recht evenredig met het gewicht met

k = 2{,}50

euro per kilogram, en geldt prijs

= 2{,}50 \cdot

gewicht. Met die ene constante kun je elke waarde voorspellen: 4 kilogram kost

2{,}50 \cdot 4 = 10

euro. Recht evenredige verbanden duiken overal op waar een vaste prijs, snelheid of dichtheid in het spel is, en je herkent ze aan formuleringen als „per”, „voor elke” of „evenredig met”.

Om een recht evenredig verband op te stellen heb je maar één waardenpaar nodig (anders dan de oorsprong): de constante volgt uit

k = \dfrac{y}{x}

. Weet je dat

y = 12

als

x = 4

, dan is

k = \dfrac{12}{4} = 3

en is het verband

y = 3x

. Daarna kun je elke andere waarde berekenen. Deze efficiëntie — één punt legt het hele verband vast — komt doordat de tweede „verankering” (door de oorsprong) al vastligt. Controleer je opgestelde verband door het gegeven punt erin in te vullen; krijg je de juiste

y

terug, dan klopt je constante.

In de figuur zie je het verband

y = 2x

: een rechte lijn door de oorsprong, door de punten

(1, 2)

(3, 6)

. Bij elk punt is het quotiënt

\dfrac{y}{x}

gelijk aan 2, de evenredigheidsfactor. Merk op dat een stap van 1 naar rechts steeds 2 omhoog betekent — dat is precies de richtingscoëfficiënt. Door de drie kenmerken samen te nemen — vaste verhouding

\dfrac{y}{x} = k

, rechte lijn door de oorsprong, en betekenis „

y

per

x

” — herken en gebruik je recht evenredige verbanden moeiteloos.

y = kx, \qquad k = \frac{y}{x} \ (\text{constant})

recht evenredig verband

y en x zijn recht evenredig als hun quotiënt constant is; de grafiek is een rechte lijn door de oorsprong met richtingscoëfficiënt k.

Uitgewerkt voorbeeld

Een recht evenredig verband opstellen en gebruiken

Een auto rijdt met constante snelheid en legt in 3 uur 240 km af. Stel het verband tussen afstand $s$ en tijd $t$ op en bereken $s$ na 5 uur.

Stap 1 — Bepaal de evenredigheidsfactor
Bij constante snelheid is de afstand recht evenredig met de tijd. De factor is de afstand per uur.
$k = \frac{s}{t} = \frac{240}{3} = 80 \ \text{(km per uur)}$
Stap 2 — Stel het verband op
Vul de factor in de standaardvorm s = k·t in.
$s = 80\,t$
Stap 3 — Bereken de afstand na 5 uur
Vul t = 5 in het verband in.
$s = 80\cdot 5 = 400 \ \text{km}$

Resultaat: Resultaat: $s = 80\,t$ , dus na 5 uur is de afgelegde afstand 400 km. Omdat het quotiënt $\dfrac{s}{t} = 80$ constant is, is de afstand recht evenredig met de tijd.

Veelgemaakte fouten

Een recht evenredig verband verwarren met een algemeen lineair verband $y = ax + b$ ; bij recht evenredig is $b = 0$ (de lijn gaat door de oorsprong).
Het quotiënt verkeerd om nemen ( $\dfrac{x}{y}$ in plaats van $\dfrac{y}{x}$ ), zodat je de reciproke van $k$ vindt.
Denken dat elke stijgende rechte lijn recht evenredig is, ook als hij de $y$ -as boven of onder de oorsprong snijdt.

Actieve herhaling

Een auto rijdt met constante snelheid en legt in 3 uur 240 km af. Toon aan dat de afgelegde afstand recht evenredig is met de tijd, bepaal de evenredigheidsfactor en bereken de afstand na 5 uur.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Omgekeerd evenredige verbanden#

Standardexamenblad-nl

Omgekeerd evenredig verband y = 6/x

Afb. 2Het omgekeerd evenredige verband y = 6/x is een dalende hyperbool. Bij elk punt is het product x·y = 6 (de constante); de grafiek gaat door (1,6), (2,3) en (6,1).

Twee grootheden zijn omgekeerd evenredig als de ene zoveel keer kleiner wordt als de andere groter: verdubbel je

x

, dan halveert

y

. De formule is

y = \dfrac{k}{x}

, en de definiërende eigenschap is dat het próduct

x\cdot y

altijd dezelfde waarde

k

heeft. Dat geeft de herkenningstest: vermenigvuldig bij een tabel telkens

x

y

— komt er steeds hetzelfde getal uit, dan is het verband omgekeerd evenredig en is dat product de constante

k

. Waar recht evenredig om een vast quotiënt draait, draait omgekeerd evenredig om een vast product.

De grafiek van een omgekeerd evenredig verband is een hyperbool — dezelfde kromme die je bij de gebroken functies hebt leren kennen, want

\dfrac{k}{x}

is een gebroken functie. Voor

k > 0

ligt de grafiek in het eerste kwadrant (bij positieve

x

): hij daalt van heel hoog bij kleine

x

naar bijna nul bij grote

x

. De assen zijn de asymptoten: de verticale as

x = 0

(delen door nul mag niet) en de horizontale as

y = 0

(de waarde wordt nooit precies nul). Dat strookt met de intuïtie: hoe groter

x

, hoe kleiner

y

, zonder ooit nul te worden.

Het verschil met een recht evenredig verband is fundamenteel en zit in de vraag „wat blijft constant?”. Bij recht evenredig blijft het quotiënt

\dfrac{y}{x}

gelijk; bij omgekeerd evenredig blijft het product

x\cdot y

gelijk. Daardoor is de grafiek bij recht evenredig een rechte lijn en bij omgekeerd evenredig een dalende hyperbool. Toepassingen van omgekeerde evenredigheid herken je aan situaties met een vaste „totale hoeveelheid die verdeeld wordt”: bij een vaste afstand zijn snelheid en reistijd omgekeerd evenredig (sneller rijden, korter onderweg), en bij een vast werk zijn het aantal werkers en de benodigde tijd omgekeerd evenredig.

Om zo'n verband op te stellen bepaal je de constante uit één waardenpaar via

k = x\cdot y

. Weet je dat

y = 3

als

x = 2

, dan is

k = 2\cdot 3 = 6

en is het verband

y = \dfrac{6}{x}

. Wil je daarna een nieuwe waarde, dan deel je

k

door de gegeven

x

, of — handig bij omgekeerde evenredigheid — gebruik je dat het product behouden blijft: als

x

met factor 3 toeneemt, neemt

y

met factor 3 af. Die „behoud van product”-redenering laat je snel rekenen zonder telkens

k

apart in te vullen.

In de figuur zie je het verband

y = \dfrac{6}{x}

met de punten

(1, 6)

(2, 3)

(6, 1)

. Controleer dat bij elk punt het product

x\cdot y = 6

is — dat is de constante

k

. De grafiek nadert de assen maar raakt ze nooit. Door telkens te vragen of het quotiënt óf het product constant is, onderscheid je recht en omgekeerd evenredig feilloos, en kies je de juiste formule, grafiekvorm en rekenstrategie.

y = \frac{k}{x}, \qquad x\cdot y = k \ (\text{constant})

omgekeerd evenredig verband

y en x zijn omgekeerd evenredig als hun product constant is; de grafiek is een hyperbool met de assen als asymptoten.

Uitgewerkt voorbeeld

Een omgekeerd evenredig verband opstellen en gebruiken

Voor een vaste afstand zijn snelheid $v$ en reistijd $t$ omgekeerd evenredig. Bij $v = 60$ km/u is $t = 4$ uur. Bepaal de reistijd bij $v = 80$ km/u.

Stap 1 — Bepaal de constante uit het product
Bij omgekeerde evenredigheid is het product v·t constant; dat product is hier de vaste afstand.
$k = v\cdot t = 60\cdot 4 = 240 \ \text{(km)}$
Stap 2 — Stel het verband op
Vul de constante in de standaardvorm t = k/v in.
$t = \frac{240}{v}$
Stap 3 — Bereken de reistijd bij v = 80
Vul v = 80 in. (Controle met behoud van product: 80·3 = 240, klopt.)
$t = \frac{240}{80} = 3 \ \text{uur}$

Resultaat: Resultaat: $t = \dfrac{240}{v}$ , dus bij 80 km/u is de reistijd 3 uur. Het product $v\cdot t = 240$ km (de afstand) blijft behouden: harder rijden geeft een evenredig kortere reistijd.

Veelgemaakte fouten

Omgekeerd en recht evenredig verwarren: bij omgekeerd evenredig is het próduct constant, niet het quotiënt.
De constante uit het quotiënt halen ( $\dfrac{y}{x}$ ) terwijl je het product $x\cdot y$ nodig hebt.
Denken dat de grafiek de assen ergens snijdt; $x = 0$ en $y = 0$ zijn asymptoten.

Actieve herhaling

Voor een vaste afstand zijn de snelheid $v$ en de reistijd $t$ omgekeerd evenredig. Bij $v = 60$ km/u is $t = 4$ uur. Stel het verband op en bereken de reistijd bij $v = 80$ km/u.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Machts- en wortelverbanden#

Standardexamenblad-nl

Kwadratisch evenredig verband y = 0,5x²

Afb. 3Het kwadratisch evenredige verband y = 0,5x² (een parabool door de oorsprong). Verdubbelt x van 2 naar 4, dan wordt y vier keer zo groot: van 2 naar 8.

Naast recht en omgekeerd evenredig bestaan er verbanden waarin

y

evenredig is met een mácht van

x

y = kx^n

. Bij

n = 2

spreek je van een kwadratisch evenredig verband (

y = kx^2

), bij hogere gehele

n

van een machtsverband, en bij

n = \tfrac12

van een wortelverband (

y = k\sqrt{x}

). De gemeenschappelijke eigenschap is dat

y

verandert volgens een vaste macht van de schaal waarmee

x

verandert. Verdubbel je

x

bij

y = kx^2

, dan wordt

y

vier keer zo groot (

2^2 = 4

); verdrievoudig je

x

, dan wordt

y

negen keer zo groot. De exponent

n

bepaalt dus hoe sterk

y

op een schaalverandering van

x

reageert.

Het kwadratisch evenredige verband

y = kx^2

heeft als grafiek een parabool door de oorsprong (een halve parabool als

x

alleen positief kan zijn). Het komt veel voor in meetkundige en natuurkundige contexten: de oppervlakte van een vierkant is evenredig met het kwadraat van de zijde, en de remweg van een auto met het kwadraat van de snelheid. De definiërende rekentest is dat

\dfrac{y}{x^2}

constant is — deel

y

door

x^2

, en je vindt telkens dezelfde

k

. Het sterke „op schaal” effect (twee keer zo groot in

x

, vier keer zo groot in

y

) is precies wat zulke verbanden zo kenmerkend maakt.

Het wortelverband

y = k\sqrt{x}

is in zekere zin het tegenovergestelde: hier reageert

y

juist gedempt op een verandering van

x

. Maak je

x

vier keer zo groot, dan wordt

y

maar twee keer zo groot (

\sqrt{4} = 2

). De grafiek is een (halve) wortelkromme die steeds flauwer stijgt, met domein

x \ge 0

. Wortelverbanden treden op waar een grootheid met de wortel van een andere meegroeit, bijvoorbeeld de tijd die een slinger nodig heeft in verhouding tot de wortel van zijn lengte. De rekentest is dat

\dfrac{y}{\sqrt{x}}

constant is.

Bij al deze verbanden bepaal je de constante

k

uit één waardenpaar door

y

te delen door de juiste macht van

x

k = \dfrac{y}{x^n}

. Voor

y = kx^2

met het punt

(2, 2)

k = \dfrac{2}{2^2} = \dfrac{2}{4} = 0{,}5

, dus

y = 0{,}5x^2

. De kunst is om eerst het tYpe verband te herkennen (welke macht?) en dan pas de constante te bepalen — want deel je door de verkeerde macht, dan krijg je geen constante uitkomst. Een handige check is daarom: probeer een paar waardenparen met de vermoede macht en kijk of

\dfrac{y}{x^n}

echt constant blijft.

Door de vier typen naast elkaar te zetten — recht evenredig (

n = 1

), kwadratisch evenredig (

n = 2

), wortelverband (

n = \tfrac12

) en omgekeerd evenredig (

n = -1

) — zie je dat ze allemaal speciale gevallen van

y = kx^n

zijn, met telkens een andere exponent. De exponent bepaalt de grafiekvorm (lijn, parabool, wortelkromme of hyperbool) én de schaalregel (hoe

y

op een factor in

x

reageert). Wie deze familie als geheel begrijpt, herkent in een tabel of grafiek snel om welk type het gaat, kiest de bijbehorende rekentest voor

k

, en kan met het verband betrouwbaar voorspellen en redeneren.

y = kx^n, \qquad k = \frac{y}{x^n}

machtsverband (algemeen)

Recht evenredig (n=1), kwadratisch evenredig (n=2), wortelverband (n=½) en omgekeerd evenredig (n=−1) zijn allemaal speciale gevallen.

x \to c\cdot x \ \Rightarrow\ y \to c^{\,n}\cdot y

schaalregel

Vermenigvuldig je x met een factor c, dan verandert y met de factor cⁿ; bij n = 2 dus met c².

Uitgewerkt voorbeeld

Een kwadratisch evenredig verband gebruiken

De remweg $s$ is kwadratisch evenredig met de snelheid $v$ . Bij $v = 50$ is $s = 12{,}5$ m. Bepaal $s$ bij $v = 100$ km/u.

Stap 1 — Bepaal de constante
Bij een kwadratisch evenredig verband is s/v² constant. Reken k uit het gegeven paar.
$k = \frac{s}{v^2} = \frac{12{,}5}{50^2} = \frac{12{,}5}{2500} = 0{,}005$
Stap 2 — Stel het verband op
Vul de constante in de vorm s = k·v² in.
$s = 0{,}005\,v^2$
Stap 3 — Bereken s bij v = 100
Vul v = 100 in. Let op: de snelheid verdubbelt, dus de remweg wordt 2² = 4 keer zo groot.
$s = 0{,}005\cdot 100^2 = 0{,}005\cdot 10000 = 50 \ \text{m}$

Resultaat: Resultaat: $s = 0{,}005\,v^2$ , dus bij 100 km/u is de remweg 50 m. Doordat de snelheid verdubbelde, werd de remweg vier keer zo groot (van 12,5 naar 50 m) — de schaalregel $c^2$ in actie.

Veelgemaakte fouten

Bij $y = kx^2$ denken dat $y$ verdubbelt als $x$ verdubbelt; $y$ wordt juist vier keer zo groot.
De constante uit $\dfrac{y}{x}$ halen bij een kwadratisch of wortelverband, in plaats van uit $\dfrac{y}{x^2}$ respectievelijk $\dfrac{y}{\sqrt{x}}$ .
Het domein van een wortelverband vergeten: $\sqrt{x}$ vraagt $x \ge 0$ .

Actieve herhaling

De remweg $s$ van een auto is kwadratisch evenredig met de snelheid $v$ . Bij $v = 50$ km/u is $s = 12{,}5$ m. Stel het verband op en bepaal de remweg bij $v = 100$ km/u.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde B (HAVO)

Evenredigheidsverbanden

Kernpunten

Een recht evenredig verband opstellen en gebruiken

Kernpunten

Een omgekeerd evenredig verband opstellen en gebruiken

Kernpunten

Een kwadratisch evenredig verband gebruiken

Bronnen

Evenredigheidsverbanden

Kernpunten

Een recht evenredig verband opstellen en gebruiken

Kernpunten

Een omgekeerd evenredig verband opstellen en gebruiken

Kernpunten

Een kwadratisch evenredig verband gebruiken

Bronnen