Eigenschappen van materialen: bouw, dichtheid en spanning-rek

Leg met het deeltjesmodel uit waarom een metalen staaf uitzet als je hem verwarmt, en waarom een gas veel makkelijker is samen te drukken dan een vaste stof.

1. 01Stap 1 — Verwarmen geeft meer bewegingsenergie

   Door de staaf te verwarmen voer je energie toe. De atomen in het metaalrooster krijgen daardoor een grotere gemiddelde bewegingsenergie en gaan heftiger om hun plaats trillen.

   $$T \uparrow \;\Rightarrow\; E_{k,\text{gem}} \uparrow$$
2. 02Stap 2 — Heftiger trillen betekent meer ruimte

   Doordat de atomen heftiger trillen, duwen ze elkaar gemiddeld iets verder weg. De gemiddelde afstand tussen de atomen wordt groter, dus het volume neemt toe: de staaf zet uit. De atomen zelf worden niet groter.

   $$E_{k,\text{gem}} \uparrow \;\Rightarrow\; d_{\text{gem}} \uparrow \;\Rightarrow\; V \uparrow$$
3. 03Stap 3 — Samendrukbaarheid: vergelijk de afstanden

   In een vaste stof zitten de deeltjes al dicht opeen in een rooster met sterke bindingskrachten; er is bijna geen lege ruimte, dus je kunt ze nauwelijks dichter op elkaar duwen. In een gas zitten de deeltjes juist ver uiteen met veel lege ruimte ertussen en verwaarloosbare binding, zodat je ze veel dichter bijeen kunt drukken.

   $$d_{\text{gem}}^{\text{gas}} \gg d_{\text{gem}}^{\text{vast}}$$

Resultaat: Een metalen staaf zet uit omdat de atomen bij verwarming heftiger trillen en gemiddeld verder uit elkaar komen te staan, waardoor het volume groeit. Een gas is veel beter samendrukbaar dan een vaste stof omdat de deeltjes in een gas ver uiteen staan met veel lege ruimte ertussen, terwijl ze in een vaste stof al dicht opeen in een rooster zitten.

Een massief blok heeft een massa van $1{,}35\ \text{kg}$ en een volume van $5{,}0 \cdot 10^{-4}\ \text{m}^3$. Bereken de dichtheid en bepaal met BINAS uit welk metaal het blok bestaat.

1. 01Stap 1 — Noteer de gegevens en de formule

   Gegeven zijn de massa en het volume; gevraagd is de dichtheid. Gebruik de definitie van dichtheid.

   $$\rho = \frac{m}{V}, \quad m = 1{,}35\ \text{kg}, \quad V = 5{,}0 \cdot 10^{-4}\ \text{m}^3$$
2. 02Stap 2 — Vul in en reken uit

   Deel de massa (in kg) door het volume (in m³); het antwoord komt dan direct in $\text{kg/m}^3$.

   $$\rho = \frac{1{,}35}{5{,}0 \cdot 10^{-4}} = 2{,}7 \cdot 10^{3}\ \text{kg/m}^3$$
3. 03Stap 3 — Zoek de stof op in BINAS

   Zoek in de dichtheidstabel welke stof bij deze waarde hoort.

   $$2{,}7 \cdot 10^{3}\ \text{kg/m}^3 \;\rightarrow\; \text{aluminium}$$

Resultaat: De dichtheid is $\rho = 2{,}7 \cdot 10^{3}\ \text{kg/m}^3 = 2700\ \text{kg/m}^3$. Die waarde hoort volgens BINAS bij aluminium, dus het blok is van aluminium.

Een staaf met dwarsdoorsnede $A = 2{,}0 \cdot 10^{-4}\ \text{m}^2$ en beginlengte $L_0 = 1{,}50\ \text{m}$ wordt belast met een trekkracht $F = 8{,}0 \cdot 10^{3}\ \text{N}$. De staaf verlengt daardoor $0{,}60\ \text{mm}$. Bereken de mechanische spanning $\sigma$, de rek $\varepsilon$ en de elasticiteitsmodulus $E$.

1. 01Stap 1 — Bereken de spanning

   Deel de kracht door de oppervlakte van de dwarsdoorsnede. De uitkomst komt in $\text{N/m}^2$ (pascal).

   $$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{8{,}0 \cdot 10^{3}}{2{,}0 \cdot 10^{-4}} = 4{,}0 \cdot 10^{7}\ \text{N/m}^2$$
2. 02Stap 2 — Bereken de rek

   Reken de verlenging eerst om naar meter: $0{,}60\ \text{mm} = 0{,}60 \cdot 10^{-3}\ \text{m}$. Deel daarna door de beginlengte; de rek is dimensieloos.

   $$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{0{,}60 \cdot 10^{-3}}{1{,}50} = 4{,}0 \cdot 10^{-4}$$
3. 03Stap 3 — Bereken de elasticiteitsmodulus

   Deel de spanning door de rek. Omdat de rek geen eenheid heeft, komt $E$ in dezelfde eenheid als $\sigma$: pascal.

   $$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{4{,}0 \cdot 10^{7}}{4{,}0 \cdot 10^{-4}} = 1{,}0 \cdot 10^{11}\ \text{N/m}^2$$

Resultaat: De mechanische spanning is $\sigma = 4{,}0 \cdot 10^{7}\ \text{Pa}$ (= 40 MPa), de rek is $\varepsilon = 4{,}0 \cdot 10^{-4}$ (dimensieloos) en de elasticiteitsmodulus is $E = 1{,}0 \cdot 10^{11}\ \text{Pa}$ (= 100 GPa). Die grote waarde van $E$ laat zien dat het om een vrij stug materiaal gaat.

Kies met behulp van de tabel gemotiveerd een materiaal voor een constructiebalk die zowel licht als stijf moet zijn. Gebruik daarbij de verhouding tussen de stijfheid en de dichtheid.

1. 01Stap 1 — Vertaal de eis naar grootheden

   „Licht” betekent een lage dichtheid $\rho$; „stijf” betekent een grote elasticiteitsmodulus $E$. Die twee botsen soms (staal is stijf maar zwaar). Een goede maat is de soortelijke stijfheid $\dfrac{E}{\rho}$: stijfheid per kilogram.

   $$\frac{E}{\rho}\ \text{(soortelijke stijfheid)}$$
2. 02Stap 2 — Bereken E/ρ voor de kandidaten

   Zet $E$ in pascal ($1\ \text{GPa} = 10^{9}\ \text{Pa}$) en deel door de dichtheid. Voor staal, aluminium, hout en beton geeft dat achtereenvolgens ongeveer $2{,}7 \cdot 10^{7}$, $2{,}6 \cdot 10^{7}$, $2{,}4 \cdot 10^{7}$ en $1{,}3 \cdot 10^{7}$.

   $$\left(\frac{E}{\rho}\right)_{\text{staal}} = \frac{2{,}1 \cdot 10^{11}}{7800} \approx 2{,}7 \cdot 10^{7}$$
3. 03Stap 3 — Kies gemotiveerd

   Staal heeft de hoogste $\dfrac{E}{\rho}$, maar is met $7800\ \text{kg/m}^3$ zwaar. Aluminium heeft vrijwel dezelfde soortelijke stijfheid, maar een dichtheid van slechts $2700\ \text{kg/m}^3$ — ongeveer een derde. Een even stijve balk wordt van aluminium dus veel lichter. Hout is nog lichter, maar in de praktijk minder sterk en niet in alle richtingen even stijf; beton valt af door de lage $\dfrac{E}{\rho}$.

   $$\text{aluminium}:\ \frac{E}{\rho} \approx 2{,}6 \cdot 10^{7},\ \rho = 2700\ \text{kg/m}^3$$

Resultaat: Aluminium is de beste keuze voor een lichte én stijve balk: de soortelijke stijfheid $\dfrac{E}{\rho} \approx 2{,}6 \cdot 10^{7}$ is bijna zo hoog als die van staal ($2{,}7 \cdot 10^{7}$), terwijl de dichtheid maar een derde is. Zo krijg je dezelfde stijfheid bij veel minder gewicht. Beton valt af (lage $E/\rho$) en staal is te zwaar; hout is licht maar minder sterk en richtingsafhankelijk.