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Successioni e progressioni

Una successione numerica è una funzione che a ogni numero naturale associa un numero reale: il modo più naturale per descrivere processi che procedono « passo dopo passo », sia con una formula chiusa sia per ricorsione. All'interno di questa famiglia, le progressioni aritmetiche (a passo additivo costante) e geometriche (a rapporto moltiplicativo costante) offrono modelli quantitativi precisi, con formule del termine generale e della somma dei primi termini che trovano applicazione anche in ambito finanziario. Lo studio del comportamento delle successioni — monotonìa, limitatezza e tendenza al limite — costituisce inoltre il primo, fondamentale ponte verso l'analisi matematica e il concetto di limite.

4sezionica. 16min di lettura4competenzeLivelloBase 1 · Standard 2 · Approfondimento 1Verificato · 06/2026

T·0666 / 16

Profilo d’esame

Riconoscere e modellizzare situazioni descrivibili mediante successioni, definite in forma chiusa o per ricorsioneUtilizzare le progressioni aritmetiche e geometriche per risolvere problemi, anche in ambito finanziarioAvviare il concetto di limite a partire dal comportamento delle successioni monotòne e limitateArgomentare e dimostrare proprietà di successioni, anche mediante il principio di induzione

Operatori:calcoladeterminadimostraclassificaanalizzagiustificainterpreta

livello base

In tutti gli indirizzi liceali si richiede di riconoscere una successione, distinguere progressioni aritmetiche e geometriche, applicarne le formule del termine generale e della somma e descrivere qualitativamente il comportamento al crescere di n.

livello avanzato

Negli indirizzi a maggiore monte ore di matematica (in particolare il Liceo Scientifico e l'opzione Scienze Applicate) si approfondiscono il principio di induzione come strumento di dimostrazione e la formalizzazione del limite di una successione, anticipando il linguaggio dell'analisi.

Profondità

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Inhalt · 4 sezioni

Successioni e progressioni

Successioni numeriche e definizione ricorsiva#

BasisOSA-matematica-relazioni-e-funzioniSuccessioni numeriche: definizione per ricorsione e in forma chiusa

Una successione numerica è una funzione che ha come dominio l'insieme dei numeri naturali (oppure i naturali a partire da un certo indice) e come codominio l'insieme dei numeri reali: a ogni indice n essa associa un unico valore, indicato con a_n e detto termine n-esimo della successione. Mentre per una funzione reale di variabile reale si scrive f(x), per una successione si preferisce la notazione a_n proprio per ricordare che la variabile indipendente è un numero intero: il grafico, di conseguenza, non è una curva continua ma una sequenza di punti isolati di ascisse 1, 2, 3, … (vedi Fig. 1).

Grafico a punti dei primi termini di una successione

Esistono due modi fondamentali di assegnare una successione. Nella forma chiusa (o esplicita) si fornisce direttamente la legge che esprime a_n in funzione dell'indice n: per esempio a_n = 2n − 1 genera la successione dei numeri dispari 1, 3, 5, 7, …, e per calcolare un termine qualsiasi basta sostituire il valore dell'indice. Questa forma è comoda perché permette di « saltare » a un termine lontano senza calcolare i precedenti.

Nella forma ricorsiva, invece, si assegnano uno o più termini iniziali e una regola di ricorrenza che lega ogni termine ai precedenti. Ad esempio la successione definita da a_1 = 3 e a_{n+1} = a_n + 4 costruisce i suoi valori « passo dopo passo »: 3, 7, 11, 15, … La ricorsione è particolarmente naturale quando un fenomeno si evolve aggiungendo o moltiplicando una quantità a ogni stadio, ma per conoscere un termine lontano richiede in genere di percorrere tutta la catena dei precedenti.

Una successione si dice monotòna crescente se ogni termine è maggiore del precedente (a_{n+1} > a_n per ogni n) e monotòna decrescente nel caso opposto; si dice limitata superiormente se esiste un numero che nessun termine supera, e limitata inferiormente in modo simmetrico. Un esempio celebre è la successione di Fibonacci, definita per ricorsione da F_1 = 1, F_2 = 1 e F_{n+1} = F_n + F_{n−1}, che genera 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … e mostra come una regola ricorsiva semplicissima possa produrre un comportamento ricco e di grande interesse storico e applicativo.

a \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R}, \qquad n \mapsto a_n

Definizione

Una successione è una funzione dall'insieme dei naturali ai reali; il valore associato all'indice n si indica con a_n.

\begin{cases} a_1 = c \\ a_{n+1} = g(a_n) \end{cases}

Forma ricorsiva

Si assegnano il termine iniziale c e la regola di ricorrenza g che produce ogni termine a partire dal precedente.

Esempio svolto

Dalla ricorsione ai primi termini

Una successione è definita da a_1 = 2 e a_{n+1} = 3a_n − 1. Calcola i primi quattro termini e stabilisci se è monotòna crescente.

Termine iniziale
Il dato fornisce direttamente il primo termine.
Secondo termine
Applico la regola con n = 1.
Terzo termine
Applico la regola con n = 2.
Quarto termine
Applico la regola con n = 3.
Monotonìa
Confronto termini consecutivi: poiché 2 < 5 < 14 < 41 e in generale a_{n+1} − a_n = 2a_n − 1 > 0 finché a_n > 0, la successione è crescente.

Risultato: I primi quattro termini sono 2, 5, 14, 41 e la successione è monotòna crescente (cresce sempre più rapidamente).

Errori frequenti

Confondere la successione (la sequenza ordinata dei termini) con l'insieme dei suoi valori: l'ordine e le ripetizioni contano, perciò a_n e a_m con n ≠ m sono termini distinti anche se hanno lo stesso valore.
In una definizione ricorsiva, dimenticare di assegnare il termine (o i termini) iniziali: senza condizione iniziale la regola di ricorrenza non individua alcuna successione.

Ripasso attivo

Data la successione definita per ricorsione da a_1 = 2 e a_{n+1} = 3a_n − 1, calcola i primi quattro termini, stabilisci se è monotòna e congettura un comportamento al crescere di n.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Progressioni aritmetiche#

StandardOSA-matematica-relazioni-e-funzioniProgressioni aritmetiche e geometriche; termine generale e somma dei primi n termini

Termini di una progressione aritmetica allineati su una retta

Una progressione aritmetica è una successione in cui la differenza fra ogni termine e il precedente è costante: tale costante si chiama ragione e si indica con d. La condizione che la definisce è dunque a_{n+1} − a_n = d per ogni n, cioè si passa da un termine al successivo aggiungendo sempre la stessa quantità. Se d è positiva la progressione cresce in modo lineare, se d è negativa decresce, se d è nulla è costante.

Poiché ogni termine si ottiene aggiungendo d a quello precedente, dopo n − 1 passi a partire dal primo termine a_1 si ottiene la formula del termine generale a_n = a_1 + (n − 1)d. Questa espressione mostra che a_n dipende linearmente dall'indice n: i punti del grafico di una progressione aritmetica sono perciò allineati su una retta di pendenza d (vedi Fig. 1), il che spiega perché le progressioni aritmetiche modellizzano i fenomeni a variazione costante.

Una proprietà elegante è quella del termine medio: in una progressione aritmetica ogni termine (escluso il primo e, se finita, l'ultimo) è la media aritmetica dei due termini ad esso adiacenti, ossia a_n = (a_{n−1} + a_{n+1}) / 2. Questa caratterizzazione fornisce anche un criterio rapido per riconoscere se tre numeri sono in progressione aritmetica.

La somma S_n dei primi n termini si calcola con la formula di Gauss S_n = n(a_1 + a_n) / 2, che esprime la somma come prodotto del numero di termini per la media fra il primo e l'ultimo. L'idea, attribuita aneddoticamente al giovane Gauss per sommare i primi cento numeri naturali, consiste nel sommare la sequenza a sé stessa scritta in ordine inverso: ciascuna delle n coppie « primo + ultimo » ha la stessa somma a_1 + a_n, e il totale è quindi n(a_1 + a_n), da cui dividendo per 2 si ottiene la formula. Sostituendo l'espressione del termine generale si ottiene anche la forma equivalente S_n = n[2a_1 + (n − 1)d] / 2.

a_n = a_1 + (n-1)\,d

Termine generale

L'n-esimo termine si ottiene aggiungendo n − 1 volte la ragione d al primo termine a_1.

S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2}

Somma (Gauss)

La somma dei primi n termini è il numero di termini per la media aritmetica fra il primo e l'ultimo.

S_n = \frac{n\,\bigl[\,2a_1 + (n-1)\,d\,\bigr]}{2}

Somma (forma con d)

Forma equivalente, utile quando si conoscono il primo termine e la ragione ma non l'ultimo termine.

Esempio svolto

Termine generale e somma di una progressione aritmetica

In una progressione aritmetica il primo termine è a_1 = 4 e la ragione è d = 3. Determina il quindicesimo termine a_15 e la somma S_15 dei primi quindici termini.

Termine generale
Applico la formula con n = 15.
Imposto la somma
Uso la formula di Gauss con primo e ultimo termine noti.
Sostituisco i valori
Sostituisco a_1 = 4 e a_15 = 46.
Calcolo finale
Eseguo il prodotto e la divisione.

Risultato: Il quindicesimo termine è a_15 = 46 e la somma dei primi quindici termini è S_15 = 375.

Errori frequenti

Sbagliare il numero di passi nel termine generale, scrivendo a_n = a_1 + n·d invece di a_n = a_1 + (n − 1)d: dal primo all'n-esimo termine si compiono n − 1 incrementi, non n.
Nella formula della somma usare un valore errato di n oppure confondere a_n (l'ultimo termine sommato) con la ragione d.

Ripasso attivo

In una progressione aritmetica il primo termine è 4 e la ragione è 3. Determina il quindicesimo termine e la somma dei primi quindici termini.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Progressioni geometriche#

StandardOSA-matematica-relazioni-e-funzioniProgressioni aritmetiche e geometriche; termine generale e somma dei primi n termini

Confronto tra crescita lineare e crescita geometrica

Una progressione geometrica è una successione in cui il rapporto fra ogni termine e il precedente è costante: tale costante si chiama ragione e si indica con q (con q ≠ 0 e termini non nulli). La condizione che la definisce è a_{n+1} / a_n = q, cioè si passa da un termine al successivo moltiplicando sempre per la stessa quantità. Mentre la progressione aritmetica aggiunge, quella geometrica moltiplica: questa differenza produce una crescita (o decrescita) di tipo esponenziale anziché lineare.

Poiché ogni termine si ottiene moltiplicando per q quello precedente, dopo n − 1 moltiplicazioni a partire da a_1 si ottiene il termine generale a_n = a_1 · q^{n−1}. Il comportamento dipende in modo decisivo dalla ragione: se q > 1 i termini crescono in valore assoluto (esplosione esponenziale), se 0 < q < 1 decrescono avvicinandosi a zero, se q = 1 la progressione è costante e se q < 0 i segni si alternano. La Fig. 1 confronta visivamente questi regimi.

Anche per le progressioni geometriche vale una proprietà del termine medio: ogni termine intermedio è, in valore assoluto, la media geometrica dei due adiacenti, cioè a_n² = a_{n−1} · a_{n+1}. Questa relazione fornisce un criterio per stabilire se tre numeri (concordi in segno) sono in progressione geometrica.

La somma dei primi n termini, quando q ≠ 1, si calcola con S_n = a_1 · (q^n − 1) / (q − 1). Tale formula ha una conseguenza notevole: se la ragione è in valore assoluto minore di 1, al crescere illimitato di n la potenza q^n tende a zero e la somma si avvicina al valore limite a_1 / (1 − q), detto somma della serie geometrica. È il primo esempio, accessibile già in questa fase, di una somma di infiniti addendi che dà un risultato finito — un'idea che anticipa il calcolo dei limiti.

a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}

Termine generale

L'n-esimo termine si ottiene moltiplicando n − 1 volte la ragione q per il primo termine a_1.

S_n = a_1 \cdot \frac{q^{\,n} - 1}{q - 1}, \qquad q \neq 1

Somma dei primi n termini

Somma di una progressione geometrica con ragione diversa da 1; se q = 1 la somma vale n·a_1.

S = \frac{a_1}{1 - q}, \qquad |q| < 1

Somma della serie geometrica

Quando il valore assoluto della ragione è minore di 1, la somma dei termini tende a questo valore finito al crescere illimitato di n.

Esempio svolto

Termine generale e somma di una progressione geometrica

In una progressione geometrica il primo termine è a_1 = 3 e la ragione è q = 2. Determina il sesto termine a_6 e la somma S_6 dei primi sei termini.

Termine generale
Applico la formula con n = 6.
Imposto la somma
Uso la formula della somma con q ≠ 1.
Calcolo la potenza
Sostituisco 2^6 = 64.
Calcolo finale
Eseguo il prodotto.

Risultato: Il sesto termine è a_6 = 96 e la somma dei primi sei termini è S_6 = 189 (verifica diretta: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189).

Errori frequenti

Applicare la formula della somma S_n = a_1(q^n − 1)/(q − 1) anche quando q = 1: in quel caso il denominatore si annulla e la somma vale semplicemente n·a_1 (tutti i termini sono uguali ad a_1).
Confondere l'esponente nel termine generale, scrivendo a_n = a_1·q^n invece di a_n = a_1·q^{n−1}: dal primo all'n-esimo termine si moltiplica n − 1 volte, non n.

Ripasso attivo

In una progressione geometrica il primo termine è 3 e la ragione è 2. Determina il sesto termine e la somma dei primi sei termini.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Principio di induzione e comportamento al limite#

VertiefungOSA-matematica-relazioni-e-funzioniPrincipio di induzione (cenni) e concetto di limite di una successioneSuccessioni monotòne e limitate

Lo schema della dimostrazione per induzione

Il principio di induzione matematica è uno strumento di dimostrazione delle proposizioni che dipendono da un numero naturale n. Esso si articola in due passi: la base, in cui si verifica che la proposizione è vera per il primo valore (tipicamente n = 1); e il passo induttivo, in cui si dimostra che, supposta vera la proposizione per un generico n (ipotesi induttiva), essa risulta vera anche per n + 1. Se entrambi i passi sono soddisfatti, la proposizione è vera per ogni numero naturale: l'idea intuitiva è quella di una fila infinita di tessere del domino in cui la prima cade e ciascuna fa cadere la successiva (vedi Fig. 1).

L'induzione è naturalmente legata alle successioni e alle progressioni, perché molte loro formule — come la somma dei primi n numeri naturali 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 o le stesse formule della somma di una progressione — si dimostrano rigorosamente proprio per induzione. È importante non saltare la base: senza di essa il passo induttivo, da solo, potrebbe « propagare » una proprietà falsa, e la dimostrazione non sarebbe valida.

Le successioni sono anche il contesto più naturale per introdurre il concetto di limite. Si dice che una successione tende a un numero finito L, e si scrive che il limite per n che tende a più infinito di a_n è L, quando i termini si avvicinano indefinitamente a L man mano che l'indice cresce: in modo più preciso, per quanto piccola si fissi una soglia, da un certo indice in poi tutti i termini distano da L meno di quella soglia. Una successione che ammette limite finito si dice convergente; se i termini crescono oltre ogni limite si parla di successione divergente, mentre se oscillano senza stabilizzarsi la successione è indeterminata (non regolare).

Esiste un legame profondo fra monotonìa, limitatezza e convergenza: per il teorema di regolarità ogni successione monotòna ammette sempre limite (eventualmente +∞ o −∞); se inoltre è limitata, il limite è finito, quindi la successione converge. Per esempio la successione a_n = 1/n è decrescente e limitata inferiormente da 0, e infatti tende a 0; la progressione geometrica con 0 < q < 1, decrescente e positiva, tende anch'essa a 0. Questo risultato è la porta d'ingresso all'analisi: definito su una successione, il concetto di limite verrà poi esteso alle funzioni di variabile reale.

\lim_{n \to +\infty} a_n = L

Limite finito

La successione converge al valore L: i suoi termini si avvicinano indefinitamente a L al crescere dell'indice n.

\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n\,(n+1)}{2}

Somma dei primi n naturali

Formula dimostrabile per induzione; coincide con la somma di una progressione aritmetica di primo termine 1 e ragione 1.

\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0

Esempio di limite

La successione 1/n è decrescente e limitata inferiormente da 0: essendo monotòna e limitata, converge, e il suo limite è 0.

Esempio svolto

Dimostrazione per induzione della somma di Gauss

Dimostra per induzione che, per ogni numero naturale n, vale 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2.

Base
Verifico la proprietà per n = 1: a sinistra la somma è 1, a destra 1·2/2 = 1. L'uguaglianza è soddisfatta.
Ipotesi induttiva
Suppongo che la formula sia vera per un generico n.
Passo induttivo
Aggiungo a entrambi i membri il termine successivo (n + 1) e uso l'ipotesi.
Semplificazione
Raccolgo (n + 1) a fattore comune.
Conclusione
Il risultato è proprio la formula per n + 1, dunque per il principio di induzione vale per ogni n.

Risultato: La formula 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 è dimostrata per ogni numero naturale n: la base è verificata e il passo induttivo conferma la formula per n + 1.

Errori frequenti

Omettere la verifica della base dell'induzione, oppure non utilizzare effettivamente l'ipotesi induttiva nel passo: in tal caso la dimostrazione è incompleta o errata.
Confondere « limitata » con « convergente »: la successione a_n = (−1)^n è limitata (oscilla fra −1 e 1) ma non ammette limite, dunque la limitatezza da sola non garantisce la convergenza.

Ripasso attivo

Dimostra per induzione che la somma dei primi n numeri naturali vale n(n + 1)/2, cioè 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 per ogni numero naturale n.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)) · Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Successioni e progressioni

Punti chiave

Dalla ricorsione ai primi termini

Punti chiave

Termine generale e somma di una progressione aritmetica

Punti chiave

Termine generale e somma di una progressione geometrica

Punti chiave

Dimostrazione per induzione della somma di Gauss

Fonti

Successioni e progressioni

Punti chiave

Dalla ricorsione ai primi termini

Punti chiave

Termine generale e somma di una progressione aritmetica

Punti chiave

Termine generale e somma di una progressione geometrica

Punti chiave

Dimostrazione per induzione della somma di Gauss

Fonti