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Limiti e continuità delle funzioni

Il concetto di limite descrive il comportamento di una funzione « in prossimità » di un punto o all'infinito, senza che la funzione debba necessariamente assumere quel valore: è lo strumento con cui l'analisi matematica passa dal discreto al continuo. A partire dalla definizione fondata sugli intorni, si costruiscono l'algebra dei limiti, il riconoscimento e lo scioglimento delle forme indeterminate (con l'aiuto dei limiti notevoli), la nozione di continuità in un punto e su un intervallo e la classificazione dei punti di discontinuità. I grandi teoremi sulle funzioni continue (Weierstrass, valori intermedi, esistenza degli zeri) e lo studio degli asintoti completano il quadro, fornendo le basi indispensabili per il calcolo differenziale e per lo studio di funzione.

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Profilo d’esame

Utilizzare il concetto di limite per studiare il comportamento locale e globale delle funzioniRiconoscere e trattare le forme indeterminate, anche mediante i limiti notevoliAnalizzare la continuità di una funzione e classificare i punti di discontinuitàApplicare i teoremi sulle funzioni continue (Weierstrass, valori intermedi, esistenza degli zeri) nella risoluzione di problemi

Operatori:calcoladeterminadimostraverificaclassificaanalizzagiustificainterpretarappresenta

livello base

In tutti i Licei si richiede di interpretare il significato di limite e di continuità, calcolare limiti semplici e riconoscere i casi notevoli di discontinuità e di asintoto su grafici e funzioni elementari.

livello avanzato

Nel Liceo Scientifico (anche opzione Scienze Applicate) si richiedono la padronanza della definizione mediante intorni, la dimostrazione dei limiti notevoli e dei teoremi sulle funzioni continue e il loro uso argomentato nei problemi.

Profondità

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Inhalt · 4 sezioni

Limiti e continuità delle funzioni

Concetto di limite e definizione#

StandardOSA-matematica-relazioni-e-funzioniDefinizione di limite (intorni)

Il limite nasce da una domanda semplice: che cosa succede ai valori di una funzione « f(x) » quando la variabile « x » si avvicina indefinitamente a un certo valore « c », senza necessariamente raggiungerlo? Il punto « c » può anche non appartenere al dominio: ciò che conta è il comportamento di « f » in un intorno di « c », cioè in tutti i punti vicini a « c » tranne, eventualmente, « c » stesso. Scriviamo « lim_{x→c} f(x) = L » per dire che, avvicinando « x » a « c », i valori « f(x) » si stabilizzano attorno al numero « L ».

La definizione rigorosa traduce questa idea nel linguaggio degli intorni (o « ε–δ »): « lim_{x→c} f(x) = L » significa che, fissato comunque un intorno di « L » ampio « ε > 0 », esiste un intorno di « c » ampio « δ > 0 » tale che, per ogni « x » del dominio con « 0 < |x − c| < δ », risulti « |f(x) − L| < ε ». In parole: per quanto stretta sia la « fascia » attorno a « L » che pretendiamo, possiamo sempre trovare un intorno di « c » abbastanza piccolo in cui la funzione vi rimane confinata.

Distinguiamo il limite destro « lim_{x→c⁺} f(x) » (« x » tende a « c » dai valori maggiori) e il limite sinistro « lim_{x→c⁻} f(x) » (dai valori minori). Il limite « esiste finito » se e solo se i due limiti laterali esistono finiti e coincidono: questa è la condizione che useremo costantemente per le funzioni definite « a tratti » e per i punti sospetti. La discordanza dei limiti laterali è il segnale tipico di un « salto ».

Il concetto si estende ai limiti all'infinito e ai limiti infiniti. Si parla di « lim_{x→+∞} f(x) = L » quando i valori si avvicinano a « L » man mano che « x » cresce oltre ogni limite, e di « lim_{x→c} f(x) = +∞ » quando « f(x) » supera ogni soglia prefissata avvicinandosi a « c ». Questi casi prefigurano gli asintoti orizzontali e verticali (Fig. 1) e sono la chiave per descrivere il comportamento globale della funzione.

Significato del limite tramite intorni

Fig. 1La definizione « ε–δ »: scelta la fascia attorno a L (ampiezza ε), si trova un intorno di c (raggio δ) che vi confina la funzione.

\lim_{x \to c} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \exists\, \delta > 0 : \ 0 < |x - c| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon

Definizione di limite finito

Per ogni fascia di semiampiezza ε attorno a L esiste un intorno di c (di raggio δ) in cui la funzione rimane confinata in quella fascia.

\lim_{x \to c} f(x) = L \iff \lim_{x \to c^{-}} f(x) = \lim_{x \to c^{+}} f(x) = L

Limite ed esistenza dei limiti laterali

Il limite esiste finito se e solo se i due limiti laterali esistono finiti e sono uguali fra loro.

Esempio svolto

Verifica di un limite mediante la definizione

Verifica, applicando la definizione di limite, che « lim_{x→2} (3x − 1) = 5 ».

Imposto la disuguaglianza
Devo mostrare che, fissato ε > 0, vale |(3x − 1) − 5| < ε in un opportuno intorno di 2.
Lego |x − 2| a ε
La disuguaglianza 3|x − 2| < ε equivale a |x − 2| < ε/3.
Scelgo δ
Basta porre δ = ε/3: per ogni x con 0 < |x − 2| < δ risulta |(3x − 1) − 5| < ε.

Risultato: Poiché per ogni ε > 0 esiste δ = ε/3 > 0 che soddisfa la definizione, si conclude che « lim_{x→2} (3x − 1) = 5 ».

Errori frequenti

Confondere « il limite per x→c » con « il valore f(c) »: il limite descrive l'avvicinamento, non l'arrivo, e può esistere anche dove la funzione non è definita.
Concludere che il limite esiste senza verificare che i due limiti laterali coincidano, in particolare nelle funzioni definite a tratti o con valore assoluto.

Ripasso attivo

Verifica, applicando la definizione di limite mediante intorni, che « lim_{x→2} (3x − 1) = 5 », determinando per ogni « ε > 0 » un opportuno « δ > 0 ».

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Calcolo dei limiti e forme indeterminate#

StandardOSA-matematica-relazioni-e-funzioniLimiti notevoli (sin x / x, (1+1/n)^n)

Per calcolare i limiti non si ricorre ogni volta alla definizione: si usa l'algebra dei limiti, l'insieme di regole che permette di passare al limite di somme, prodotti e quozienti. Se « lim f = L » e « lim g = M » (finiti), allora il limite della somma è « L + M », quello del prodotto è « L · M », quello del quoziente è « L / M » purché « M ≠ 0 ». Queste regole, unite alla continuità delle funzioni elementari, risolvono direttamente la grande maggioranza dei limiti in cui si può « sostituire » il valore.

Quando la sostituzione produce un'espressione priva di significato univoco si ha una forma indeterminata. Le sette forme classiche sono « 0/0 », « ∞/∞ », « ∞ − ∞ », « 0 · ∞ », « 1^∞ », « 0⁰ » e « ∞⁰ »: il simbolo non basta a decidere il risultato, che dipende dalle funzioni in gioco. Riconoscere la forma è il primo passo; il secondo è scegliere la tecnica che la « scioglie ».

Le tecniche fondamentali sono la scomposizione e la semplificazione (per « 0/0 » di funzioni razionali, eliminando il fattore che annulla numeratore e denominatore), la razionalizzazione (per forme con radici), il raccoglimento del termine dominante (per « ∞/∞ » e « ∞ − ∞ », dove conta il grado più alto) e l'uso dei limiti notevoli. Per i polinomi, all'infinito comanda il monomio di grado massimo; per le funzioni razionali, il limite all'infinito si decide confrontando i gradi di numeratore e denominatore.

I limiti notevoli sono « scioglitori » già dimostrati di forme « 0/0 » o « 1^∞ ». Il più importante è « lim_{x→0} sin(x)/x = 1 », dimostrabile per via geometrica con il confronto delle aree sulla circonferenza goniometrica; da esso discendono « lim_{x→0} (1 − cos x)/x² = 1/2 ». Per la forma « 1^∞ » si usa « lim_{x→±∞} (1 + 1/x)^x = e », da cui « lim_{x→0} (e^x − 1)/x = 1 » e « lim_{x→0} ln(1 + x)/x = 1 » (Fig. 2).

Il limite notevole sin(x)/x in prossimità di x = 0

Fig. 2Grafico di y = sin(x)/x: pur non essendo definita in x = 0, la funzione tende a 1; il punto (0; 1) è il « buco » riempibile.

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2}

Limiti notevoli goniometrici

Sciolgono forme 0/0 con funzioni goniometriche; il primo si dimostra per confronto di aree sulla circonferenza goniometrica.

\lim_{x \to \pm\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e \qquad \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1

Limiti notevoli esponenziali e logaritmici

Il primo definisce il numero e e scioglie la forma 1^∞; gli altri due ne discendono e sciolgono forme 0/0.

Esempio svolto

Forma indeterminata 0/0 con scomposizione

Calcola « lim_{x→2} (x² − 4)/(x − 2) ».

Riconosco la forma
Sostituendo x = 2 ottengo (4 − 4)/(2 − 2) = 0/0: forma indeterminata.
Scompongo il numeratore
Uso la differenza di quadrati x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
Semplifico
Per x ≠ 2 posso eliminare il fattore (x − 2), restando con x + 2.
Passo al limite
La funzione x + 2 è continua: basta sostituire x = 2.

Risultato: « lim_{x→2} (x² − 4)/(x − 2) = 4 ». In x = 2 la funzione di partenza ha una discontinuità eliminabile.

Esempio svolto

Forma indeterminata 0/0 con un limite notevole

Calcola « lim_{x→0} sin(5x)/x ».

Riconosco la forma
Per x → 0 sia numeratore sia denominatore tendono a 0: forma 0/0.
Faccio comparire l'argomento
Moltiplico e divido per 5 per ottenere sin(5x)/(5x).
Applico il limite notevole
Posto t = 5x, per x → 0 anche t → 0 e sin(t)/t → 1.

Risultato: « lim_{x→0} sin(5x)/x = 5 · 1 = 5 ».

Errori frequenti

Trattare « ∞ − ∞ » o « 0 · ∞ » come se valessero automaticamente 0: sono forme indeterminate, il risultato va calcolato.
Applicare « lim sin(x)/x = 1 » quando l'argomento del seno e il denominatore non sono lo stesso infinitesimo (per esempio in sin(3x)/x, dove il risultato è 3).

Ripasso attivo

Calcola « lim_{x→2} (x² − 4)/(x − 2) » e, separatamente, « lim_{x→0} sin(5x)/x », giustificando la tecnica usata in ciascun caso.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Continuità e punti di discontinuità#

StandardOSA-matematica-relazioni-e-funzioniContinuità di una funzione in un punto e in un intervallo; punti di discontinuità

Una funzione « f » è continua nel punto « c » del suo dominio quando il limite per « x → c » esiste, è finito e coincide con il valore della funzione: « lim_{x→c} f(x) = f(c) ». Intuitivamente, il grafico « non si interrompe » in « c »: si può tracciare senza staccare la penna dal foglio. Una funzione si dice continua in un intervallo se è continua in ogni suo punto.

La continuità richiede dunque tre condizioni simultanee: « f » deve essere definita in « c » (esiste « f(c) »), il limite « lim_{x→c} f(x) » deve esistere finito e i due valori devono essere uguali. Il venir meno di una qualsiasi delle tre genera un punto di discontinuità: la classificazione che segue dice esattamente quale condizione è violata.

I punti di discontinuità si classificano in tre specie. La discontinuità di prima specie (« salto ») si ha quando i limiti laterali esistono finiti ma sono diversi; il « salto » è la loro differenza. La discontinuità di seconda specie si ha quando almeno uno dei limiti laterali è infinito o non esiste (tipica delle funzioni con asintoto verticale o con oscillazioni). La discontinuità di terza specie (« eliminabile ») si ha quando il limite esiste finito ma è diverso da « f(c) », oppure « f(c) » non è definita: basterebbe « ridefinire » il valore nel punto per renderla continua (Fig. 3).

Le tre specie di discontinuità

Fig. 3Confronto qualitativo: terza specie (« buco » riempibile), prima specie (salto fra limiti finiti), seconda specie (limite infinito).

Tutte le funzioni elementari (polinomi, funzioni razionali, radici, esponenziali, logaritmi, funzioni goniometriche) sono continue in tutto il loro dominio; inoltre somma, prodotto, quoziente (dove definito) e composizione di funzioni continue sono ancora funzioni continue. Questo « teorema di permanenza della continuità » consente di individuare i punti sospetti restringendo l'attenzione ai valori esclusi dal dominio e ai punti di raccordo delle funzioni definite a tratti.

f \text{ continua in } c \iff \lim_{x \to c} f(x) = f(c)

Definizione di continuità in un punto

Servono insieme: l'esistenza di f(c), l'esistenza finita del limite e la loro uguaglianza.

\text{salto} = \lim_{x \to c^{+}} f(x) - \lim_{x \to c^{-}} f(x) \neq 0 \;\Rightarrow\; \text{disc. di prima specie}

Discontinuità di prima specie (salto)

I due limiti laterali sono finiti ma diversi: la loro differenza misura l'ampiezza del salto.

Esempio svolto

Classificazione di una discontinuità eliminabile

Data « f(x) = (x² − 1)/(x − 1) » per x ≠ 1 e « f(1) = 3 », studia la continuità in x = 1, classifica la discontinuità e indica la ridefinizione che rende f continua.

Calcolo il limite
Per x ≠ 1 si ha x² − 1 = (x − 1)(x + 1); semplificando resta x + 1, il cui limite per x → 1 è 2.
Confronto con f(1)
Il limite vale 2, ma il valore assegnato è f(1) = 3: limite e valore non coincidono.
Classifico
Il limite esiste finito ma è diverso da f(1): la discontinuità è di terza specie (eliminabile).
Ridefinisco
Ponendo f(1) = 2 (il valore del limite) la funzione diventa continua in x = 1.

Risultato: In x = 1 la funzione ha una discontinuità eliminabile; ponendo f(1) = 2 essa diventa continua su tutto R.

Errori frequenti

Considerare continua una funzione razionale anche nei punti in cui il denominatore si annulla: in quei punti la funzione non è definita e va analizzata a parte.
Confondere la discontinuità eliminabile (limite finito, ma diverso da f(c) o f non definita) con il salto (limiti laterali finiti ma diversi tra loro).

Ripasso attivo

Data « f(x) = (x² − 1)/(x − 1) » per x ≠ 1 e « f(1) = 3 », stabilisci se f è continua in x = 1, classifica l'eventuale discontinuità e indica come ridefinire f per renderla continua.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Teoremi sulle funzioni continue e asintoti#

VertiefungOSA-matematica-relazioni-e-funzioniTeoremi di Weierstrass, dei valori intermedi e di esistenza degli zeri

Il teorema di esistenza degli zeri

Fig. 5f continua con f(a) < 0 e f(b) > 0: il grafico deve attraversare l'asse x, dunque esiste c con f(c) = 0.

Le funzioni continue su intervalli chiusi e limitati godono di proprietà globali notevoli, che traducono in teoremi l'idea intuitiva di « curva senza interruzioni ». Questi teoremi sono esistenziali: garantiscono che certi valori o certi punti esistono, anche quando non sappiamo calcolarli esplicitamente, e sono lo strumento con cui si dimostra, per esempio, che un'equazione ha soluzione.

Il teorema di Weierstrass afferma che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato « [a, b] » ammette in esso massimo e minimo assoluti: esistono due punti dell'intervallo in cui la funzione assume il valore più grande e quello più piccolo. Il teorema dei valori intermedi afferma che una funzione continua su « [a, b] » assume tutti i valori compresi tra « f(a) » e « f(b) »: l'immagine di un intervallo, per una funzione continua, è ancora un intervallo.

Il teorema di esistenza degli zeri (caso particolare del precedente, dovuto a Bolzano) afferma che se « f » è continua su « [a, b] » e « f(a) » e « f(b) » hanno segno opposto, allora esiste almeno un punto « c » interno in cui « f(c) = 0 ». È la giustificazione del metodo di bisezione per l'approssimazione delle radici e una delle richieste più frequenti d'esame per provare l'esistenza di una soluzione (Fig. 4). L'ipotesi di continuità è essenziale: senza di essa la curva potrebbe « saltare » oltre lo zero.

Iperbole con asintoto obliquo: g(x) = (x²+1)/x

Fig. 4g(x) = (x² + 1)/x = x + 1/x: asintoto verticale x = 0 e asintoto obliquo y = x (la retta a cui il ramo si avvicina).

Lo studio dei limiti all'infinito e nei punti di discontinuità di seconda specie individua gli asintoti, le rette a cui il grafico si avvicina indefinitamente. Si ha un asintoto verticale « x = c » quando « lim_{x→c} f(x) = ±∞ »; un asintoto orizzontale « y = L » quando « lim_{x→±∞} f(x) = L »; un asintoto obliquo « y = mx + q » quando il limite orizzontale è infinito ma esistono finiti « m = lim_{x→±∞} f(x)/x » (con « m ≠ 0 ») e « q = lim_{x→±∞} [f(x) − mx] ».

f \in C([a,b]),\ f(a)\cdot f(b) < 0 \;\Rightarrow\; \exists\, c \in (a,b): f(c) = 0

Teorema di esistenza degli zeri (Bolzano)

Una funzione continua che cambia segno agli estremi di un intervallo chiuso si annulla in almeno un punto interno.

m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \qquad q = \lim_{x \to \pm\infty}\big(f(x) - mx\big)

Asintoto obliquo y = mx + q

L'asintoto obliquo esiste se entrambi i limiti sono finiti e m ≠ 0; va cercato solo quando il limite all'infinito di f è infinito.

Esempio svolto

Esistenza di una radice con il teorema degli zeri

Dimostra che l'equazione « x³ + x − 1 = 0 » ammette almeno una soluzione nell'intervallo [0, 1].

Verifico la continuità
f(x) = x³ + x − 1 è un polinomio, quindi continua su tutto R e in particolare su [0, 1].
Calcolo agli estremi
Valuto f in 0 e in 1.
Applico il teorema
f è continua e f(0)·f(1) = (−1)(1) = −1 < 0: sono soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri.
Concludo
Esiste almeno un punto c interno a (0, 1) in cui f si annulla, cioè una soluzione dell'equazione.

Risultato: L'equazione x³ + x − 1 = 0 ammette almeno una soluzione in (0, 1) (essendo f crescente, la soluzione è in effetti unica).

Esempio svolto

Ricerca degli asintoti di una funzione razionale

Determina gli asintoti di « g(x) = (x² + 1)/x ».

Asintoto verticale
Il dominio è x ≠ 0; studio il limite per x → 0, dove il numeratore tende a 1 e il denominatore a 0.
Asintoto orizzontale
All'infinito il limite è infinito (grado del numeratore maggiore di quello del denominatore): nessun asintoto orizzontale.
Coefficiente angolare m
Calcolo m come limite di g(x)/x.
Termine noto q
Calcolo q come limite di g(x) − mx = (x² + 1)/x − x = 1/x.

Risultato: g ha asintoto verticale x = 0 e asintoto obliquo y = x (m = 1, q = 0); nessun asintoto orizzontale.

Errori frequenti

Applicare il teorema di Weierstrass o degli zeri senza verificare le ipotesi (continuità e intervallo chiuso e limitato; cambio di segno agli estremi): senza ipotesi la tesi può cadere.
Cercare l'asintoto obliquo quando esiste già quello orizzontale, oppure concludere che esiste solo perché m è finito, dimenticando di verificare che q sia finito.

Ripasso attivo

Dimostra, mediante il teorema di esistenza degli zeri, che l'equazione « x³ + x − 1 = 0 » ammette almeno una soluzione nell'intervallo [0, 1]; quindi determina gli asintoti di « g(x) = (x² + 1)/x ».

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)) · Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Limiti e continuità delle funzioni

Punti chiave

Verifica di un limite mediante la definizione

Punti chiave

Forma indeterminata 0/0 con scomposizione

Forma indeterminata 0/0 con un limite notevole

Punti chiave

Classificazione di una discontinuità eliminabile

Punti chiave

Esistenza di una radice con il teorema degli zeri

Ricerca degli asintoti di una funzione razionale

Fonti

Limiti e continuità delle funzioni

Punti chiave

Verifica di un limite mediante la definizione

Punti chiave

Forma indeterminata 0/0 con scomposizione

Forma indeterminata 0/0 con un limite notevole

Punti chiave

Classificazione di una discontinuità eliminabile

Punti chiave

Esistenza di una radice con il teorema degli zeri

Ricerca degli asintoti di una funzione razionale

Fonti