Appunti · MatematicaIT · Maturità

Funzioni esponenziali e logaritmiche

La funzione esponenziale e la sua inversa, la funzione logaritmica, costituiscono il linguaggio naturale dei fenomeni di crescita e decrescita proporzionali allo stato presente. In questo appunto se ne studiano definizione, proprietà e grafici, le proprietà operative dei logaritmi e il cambiamento di base, le tecniche risolutive di equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche, e infine i principali modelli applicativi (interesse composto, decadimento radioattivo, scale logaritmiche). L'argomento rientra a pieno titolo nel programma dell'Esame di Stato.

4sezionica. 16min di lettura3competenzeLivelloStandard 3 · Approfondimento 1Verificato · 06/2026

T·0555 / 16

Profilo d’esame

Utilizzare le funzioni esponenziale e logaritmica per descrivere e modellizzare fenomeni di crescita e decrescitaIndividuare le strategie appropriate per la soluzione di equazioni e disequazioni trascendenti (esponenziali e logaritmiche)Interpretare e costruire i grafici delle funzioni esponenziale e logaritmica, riconoscendone proprietà e relazione di inversione

Operatori:calcoladeterminadimostrarisolvianalizzarappresentagiustificainterpretaconfronta

livello base

In tutti gli indirizzi liceali si richiede di conoscere definizione, grafici e proprietà delle due funzioni, di applicare le proprietà dei logaritmi e di risolvere equazioni e disequazioni elementari, utilizzandole nei modelli di crescita e decadimento.

livello avanzato

Negli indirizzi a maggior monte ore (in particolare il Liceo Scientifico e l'opzione Scienze Applicate) si approfondiscono la definizione del numero di Eulero «e» come limite della successione (1+1/n)^n, i casi più articolati di equazioni e disequazioni e il legame con il calcolo infinitesimale (derivata e integrale dell'esponenziale, in vista delle classi successive).

Profondità

Schrift

Inhalt · 4 sezioni

Funzioni esponenziali e logaritmiche

La funzione esponenziale e il suo grafico#

StandardOSA-matematica-relazioni-e-funzioni

Si chiama funzione esponenziale di base «a» la funzione che ad ogni numero reale «x» associa la potenza a^x, dove la base «a» è un numero reale positivo e diverso da 1; il dominio è dunque l'intero insieme dei numeri reali, mentre l'immagine è l'insieme dei reali strettamente positivi. La richiesta a>0 garantisce che la potenza a^x abbia senso per ogni esponente reale (anche irrazionale), mentre l'esclusione di a=1 evita la funzione costante y=1, priva di interesse.

Il comportamento qualitativo dipende interamente dal valore della base. Se a>1 la funzione è strettamente crescente: cresce dapprima lentamente e poi in modo sempre più rapido, descrivendo una crescita «esplosiva». Se invece 0<a<1 la funzione è strettamente decrescente: parte da valori molto grandi e si avvicina indefinitamente all'asse delle ascisse. In entrambi i casi la funzione è iniettiva, dunque invertibile, fatto che apre la strada alla definizione del logaritmo.

Indipendentemente dalla base, ogni esponenziale possiede tre tratti comuni che conviene fissare. Tutte le curve passano per il punto di coordinate (0; 1), perché a^0 = 1; tutte assumono valori sempre positivi, quindi non intersecano mai l'asse delle ascisse; e tutte hanno l'asse «x» come asintoto orizzontale (verso destra se 0<a<1, verso sinistra se a>1). I grafici di a^x e di (1/a)^x sono simmetrici rispetto all'asse delle ordinate, perché (1/a)^x = a^(−x) (vedi Fig. 1).

Funzioni esponenziali per basi maggiori e minori di 1

Tra tutte le basi possibili una riveste un ruolo privilegiato: il numero di Eulero e ≈ 2.71828…, numero irrazionale e trascendente, definito come limite della successione (1 + 1/n)^n al tendere di «n» all'infinito. La funzione e^x, detta esponenziale naturale, è quella la cui pendenza in ogni punto coincide con il valore della funzione stessa: questa proprietà la rende lo strumento elementare per descrivere ogni fenomeno la cui velocità di variazione è proporzionale alla quantità presente, ed è la ragione per cui «e» domina il calcolo differenziale e integrale.

f(x) = a^{x}, \qquad a > 0,\ a \neq 1, \qquad D = \mathbb{R},\ \operatorname{Im} = (0, +\infty)

Definizione

La funzione esponenziale di base «a»: definita su tutti i reali, assume solo valori positivi.

e = \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \approx 2.71828

Numero di Eulero

Il numero «e» come limite della successione fondamentale; base dell'esponenziale naturale e^x.

\left(\tfrac{1}{a}\right)^{x} = a^{-x}

Simmetria

I grafici di a^x e (1/a)^x sono simmetrici rispetto all'asse delle ordinate.

Esempio svolto

Confronto di due esponenziali simmetriche

Date f(x) = 2^x e g(x) = (1/2)^x, determina dominio e immagine, studia la monotonia, individua il punto comune ai grafici e descrivi la simmetria che li lega.

Dominio e immagine
Entrambe sono esponenziali con base positiva diversa da 1: il dominio è tutto l'asse reale e l'immagine è l'insieme dei reali positivi.
Monotonia
La base di f è 2 > 1, quindi f è crescente; la base di g è 1/2 < 1, quindi g è decrescente.
Punto comune
Per x = 0 entrambe valgono 1, dunque i grafici si incontrano nel punto (0; 1).
Simmetria
Poiché g(x) = (1/2)^x = 2^(−x) = f(−x), il grafico di g è il simmetrico di quello di f rispetto all'asse delle ordinate.

Risultato: Entrambe hanno dominio R e immagine (0; +∞); f è crescente e g decrescente; i grafici si incontrano in (0; 1) e sono simmetrici rispetto all'asse y.

Errori frequenti

Affermare che la funzione esponenziale possa annullarsi o assumere valori negativi: a^x è sempre strettamente positiva, l'asse «x» è solo un asintoto.
Confondere la potenza a base variabile (la funzione potenza x^n, definita per ogni base) con la potenza a esponente variabile (l'esponenziale a^x, con base FISSA positiva): hanno grafici e proprietà del tutto diverse.

Ripasso attivo

Considera le funzioni f(x) = 2^x e g(x) = (1/2)^x. Determina dominio e immagine di ciascuna, studiane la monotonia, individua il punto comune ai due grafici e l'eventuale asintoto, e spiega in base a quale simmetria i due grafici si corrispondono.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

La funzione logaritmica e le proprietà dei logaritmi#

StandardOSA-matematica-relazioni-e-funzioni

Poiché la funzione esponenziale a^x (con a>0 e a≠1) è iniettiva, ammette inversa: tale inversa è la funzione logaritmica. Il logaritmo in base «a» di un numero positivo «x», indicato con log_a x, è per definizione l'esponente che si deve dare alla base «a» per ottenere «x». In simboli, log_a x = y equivale a a^y = x: è questa equivalenza, e non una formula da memorizzare, il cuore di tutto l'argomento.

Dall'essere inversa dell'esponenziale discendono immediatamente dominio, immagine e grafico. La funzione logaritmica ha come dominio i soli reali positivi (non esiste il logaritmo di zero né di un numero negativo) e come immagine tutto l'asse reale. Il suo grafico si ottiene da quello dell'esponenziale per simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante (la retta y = x): se a>1 è crescente, se 0<a<1 è decrescente, passa sempre per il punto (1; 0) e ha l'asse delle ordinate come asintoto verticale (vedi Fig. 2).

Esponenziale e logaritmo come funzioni inverse

Le proprietà operative trasformano prodotti in somme, quozienti in differenze e potenze in prodotti: il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi, quello di un quoziente è la differenza, quello di una potenza è l'esponente moltiplicato per il logaritmo della base. Sono queste regole — diretta riscrittura delle proprietà delle potenze — ad aver reso storicamente il logaritmo uno strumento di calcolo, e oggi a permettere di «abbassare» gli esponenti nelle equazioni.

Due basi sono di uso corrente: la base 10, che dà il logaritmo decimale (scritto Log o semplicemente log), e la base «e», che dà il logaritmo naturale (scritto ln). Per passare da una base all'altra si usa la formula del cambiamento di base, che esprime un logaritmo in base «a» come rapporto di due logaritmi in una qualunque altra base «b». Questa formula è indispensabile, ad esempio, per calcolare con la calcolatrice un logaritmo in base 2 disponendo solo dei tasti «log» e «ln».

\log_{a} x = y \iff a^{y} = x \qquad (a > 0,\ a \neq 1,\ x > 0)

Definizione

Il logaritmo è l'esponente da assegnare alla base per ottenere l'argomento; è l'inverso dell'esponenziale.

\log_{a}(x \cdot y) = \log_{a} x + \log_{a} y, \qquad \log_{a}\!\frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y

Prodotto e quoziente

Il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi; quello di un quoziente è la differenza.

\log_{a} x^{n} = n \, \log_{a} x

Potenza

L'esponente dell'argomento esce come fattore: è questa la regola che «abbassa» gli esponenti.

\log_{a} x = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}

Cambiamento di base

Permette di esprimere un logaritmo in base «a» tramite una qualunque altra base «b» (tipicamente 10 o e).

Esempio svolto

Sviluppo di un'espressione e cambiamento di base

Sviluppa log_a((x^2·sqrt(y))/z^3) indicando le condizioni di esistenza; calcola poi log_2 10 mediante cambiamento di base in base e.

Condizioni di esistenza
Gli argomenti devono essere positivi: occorre x ≠ 0 (per x^2 > 0 basta x ≠ 0), y > 0 e z > 0.
Quoziente
Il logaritmo del quoziente è la differenza dei logaritmi di numeratore e denominatore.
Prodotto e potenze
Si separa il prodotto in somma e si fanno uscire gli esponenti (la radice è una potenza di esponente 1/2). Poiché qui è solo x ≠ 0, l'esponente pari richiede il valore assoluto: log_a x^2 = 2 log_a |x|.
Cambiamento di base
Applicando la formula con base e, log_2 10 si scrive come rapporto di logaritmi naturali.

Risultato: log_a((x^2·√y)/z^3) = 2 log_a |x| + (1/2) log_a y − 3 log_a z, con x≠0, y>0, z>0; inoltre log_2 10 = ln10/ln2 ≈ 3.32.

Errori frequenti

Scrivere log(x + y) = log x + log y: la proprietà della somma vale per il logaritmo di un PRODOTTO, non di una somma. log(x·y) = log x + log y, mentre log(x + y) non si semplifica.
Dimenticare le condizioni di esistenza: l'argomento di un logaritmo deve essere strettamente positivo, e questo va imposto PRIMA di applicare le proprietà (che possono altrimenti introdurre o perdere soluzioni).

Ripasso attivo

Sviluppa, applicando le proprietà dei logaritmi, l'espressione log_a((x^2 · sqrt(y)) / z^3), indicando le condizioni di esistenza. Calcola inoltre log_2 10 mediante la formula del cambiamento di base, esprimendolo come rapporto di logaritmi naturali.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche#

VertiefungOSA-matematica-relazioni-e-funzioni

Soluzione grafica della disequazione (1/2)^x < 8

Un'equazione si dice esponenziale quando l'incognita compare in almeno un esponente, logaritmica quando compare nell'argomento di un logaritmo. La strategia di base poggia sull'iniettività: poiché l'esponenziale è iniettivo, due potenze con la stessa base sono uguali se e solo se hanno uguali gli esponenti; analogamente, poiché il logaritmo è iniettivo, due logaritmi con la stessa base sono uguali se e solo se hanno uguali gli argomenti.

Quando l'equazione esponenziale può essere ridotta alla forma a^(f(x)) = a^(g(x)), si uguagliano gli esponenti e ci si riconduce a un'equazione algebrica. Se invece i due membri non si lasciano scrivere con la stessa base, si applica il logaritmo a entrambi i membri («si passa ai logaritmi»): da a^x = b si ottiene x = log_a b. Alcune equazioni, come a^(2x) − k·a^x + h = 0, diventano algebriche con la sostituzione t = a^x (ricordando di accettare solo le soluzioni con t > 0).

Per le equazioni logaritmiche si fissano anzitutto le condizioni di esistenza (ogni argomento strettamente positivo); poi, riducendo il tutto a log_a A = log_a B, si uguagliano gli argomenti, oppure si passa alla forma esponenziale (log_a x = c equivale a x = a^c). È indispensabile verificare alla fine che le soluzioni trovate rispettino le condizioni di esistenza, scartando quelle che le violano: questo controllo è parte integrante della risoluzione, non un'aggiunta facoltativa.

Le disequazioni richiedono un'attenzione in più: il verso della disuguaglianza si conserva se la base è maggiore di 1 (funzione crescente), mentre si inverte se la base è compresa tra 0 e 1 (funzione decrescente). Così, da una disequazione esponenziale a^(f(x)) < a^(g(x)) si passa a f(x) < g(x) quando a>1, e a f(x) > g(x) quando 0<a<1; la stessa regola vale per le disequazioni logaritmiche, sempre nel rispetto delle condizioni di esistenza.

a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x) \qquad (a > 0,\ a \neq 1)

Uguaglianza di basi

Per l'iniettività dell'esponenziale: con la stessa base, uguali le potenze equivale a uguali gli esponenti.

a^{x} = b \iff x = \log_{a} b \qquad (b > 0)

Passaggio ai logaritmi

Quando le basi non coincidono si applica il logaritmo a entrambi i membri.

a > 1:\ a^{f(x)} < a^{g(x)} \iff f(x) < g(x); \qquad 0 < a < 1:\ a^{f(x)} < a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)

Disequazioni

Il verso si conserva se a>1 (crescente) e si inverte se 0<a<1 (decrescente).

Esempio svolto

Equazione logaritmica con condizioni di esistenza

Risolvi log(x − 1) + log(x + 2) = 1 (base 10), indicando le condizioni di esistenza e verificando le soluzioni.

Condizioni di esistenza
Entrambi gli argomenti devono essere positivi: x − 1 > 0 e x + 2 > 0, quindi nel complesso x > 1.
Somma di logaritmi
Applicando la proprietà del prodotto, la somma dei due logaritmi diventa il logaritmo del prodotto.
Forma esponenziale
Per definizione di logaritmo decimale, l'argomento è uguale a 10 elevato a 1.
Equazione di secondo grado
Si sviluppa e si porta a forma canonica: x^2 + x − 2 = 10, cioè x^2 + x − 12 = 0, le cui soluzioni sono x = 3 e x = −4.
Verifica
La condizione di esistenza richiede x > 1: x = 3 è accettabile, x = −4 va scartata.

Risultato: L'unica soluzione è x = 3.

Errori frequenti

Non invertire il verso della disuguaglianza quando la base è compresa tra 0 e 1: è l'errore più frequente nelle disequazioni esponenziali e logaritmiche.
Dimenticare di verificare le condizioni di esistenza nelle equazioni logaritmiche, accettando come valida una soluzione che rende negativo o nullo l'argomento di un logaritmo.

Ripasso attivo

Risolvi l'equazione logaritmica log(x − 1) + log(x + 2) = 1 (logaritmi in base 10), indicando le condizioni di esistenza e verificando le soluzioni. Risolvi inoltre la disequazione esponenziale (1/2)^x < 8, motivando l'eventuale inversione del verso.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Modelli di crescita, decadimento e scale logaritmiche#

StandardOSA-matematica-relazioni-e-funzioni

La ragione per cui l'esponenziale è onnipresente nelle applicazioni è semplice: descrive ogni grandezza la cui variazione, in un dato intervallo, è proporzionale al valore già presente. Una popolazione, un capitale, una sostanza radioattiva variano in questo modo, e il loro andamento nel tempo si scrive nella forma N(t) = N_0 · a^t, dove N_0 è il valore iniziale e «a» è il fattore di crescita per unità di tempo: se a>1 si ha crescita, se 0<a<1 decadimento (vedi Fig. 4).

Curva di decadimento radioattivo con emivite

L'interesse composto è l'esempio finanziario classico. Un capitale C investito al tasso annuo «i» diventa, dopo «t» anni, C·(1 + i)^t, perché ad ogni periodo gli interessi maturati si aggiungono al capitale e producono a loro volta interessi. Da qui il «tempo di raddoppio» di un investimento si calcola risolvendo (1 + i)^t = 2, ossia t = ln2 / ln(1 + i): ed è proprio il logaritmo lo strumento che permette di ricavare il tempo a partire dalla quantità.

Il decadimento radioattivo segue la legge N(t) = N_0 · (1/2)^(t/T), dove T è il tempo di dimezzamento (emivita): ad ogni intervallo di durata T la quantità di sostanza si riduca alla metà. Questa legge è alla base della datazione al radiocarbonio: misurando la frazione di carbonio-14 residua in un reperto e conoscendone l'emivita (circa 5730 anni), si risale all'età invertendo la formula con un logaritmo. Per il carbonio-14, ad esempio, una frazione residua del 25 % corrisponde a due emivite, cioè 11 460 anni.

Quando una grandezza varia su più ordini di grandezza, si adotta una scala logaritmica, che comprime intervalli enormi in numeri maneggevoli. Sono di questo tipo la scala Richter per l'energia dei terremoti, la scala dei decibel per l'intensità sonora e la scala del pH in chimica: in tutte, un'unità in più sulla scala corrisponde a una variazione di un fattore costante (dieci, per pH e Richter) della grandezza fisica sottostante. La scala logaritmica è dunque il linguaggio naturale dei fenomeni moltiplicativi.

N(t) = N_{0} \, a^{t} \qquad (a > 1:\ \text{crescita}, \quad 0 < a < 1:\ \text{decadimento})

Modello esponenziale

Variazione proporzionale al valore presente: N_0 è il valore iniziale, «a» il fattore per unità di tempo.

M(t) = C \, (1 + i)^{t}

Interesse composto

Montante di un capitale C dopo t periodi al tasso i; gli interessi maturano a loro volta interessi.

N(t) = N_{0} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T}

Decadimento radioattivo

T è l'emivita: ogni intervallo di durata T dimezza la quantità presente.

Esempio svolto

Tempo di raddoppio di un capitale

Un capitale è investito al tasso annuo composto del 4 %. Dopo quanti anni raddoppia? Arrotonda a una cifra decimale.

Impostazione
Il montante dopo t anni è C·(1.04)^t; si chiede che valga il doppio del capitale iniziale.
Semplificazione
Si divide per C (positivo, quindi lecito): resta un'equazione esponenziale pura.
Passaggio ai logaritmi
Si applica il logaritmo naturale a entrambi i membri e si fa uscire l'esponente.
Calcolo numerico
Sostituendo i valori numerici si ottiene circa 17.7 anni.

Risultato: Il capitale raddoppia dopo circa 17.7 anni.

Errori frequenti

Usare un modello lineare (incremento costante) al posto di quello esponenziale (incremento proporzionale): nell'interesse composto, sommare ogni anno la stessa cifra è interesse SEMPLICE, non composto.
Confondere il tempo di dimezzamento con «metà del tempo necessario ad esaurire la sostanza»: dopo due emivite resta un quarto, non zero; il decadimento esponenziale non si annulla mai in un tempo finito.

Ripasso attivo

Un capitale viene investito al tasso annuo composto del 4 %. Determina dopo quanti anni il capitale raddoppia, impostando l'equazione esponenziale e risolvendola con i logaritmi. Arrotonda il risultato a una cifra decimale.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)) · Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Funzioni esponenziali e logaritmiche

Punti chiave

Confronto di due esponenziali simmetriche

Punti chiave

Sviluppo di un'espressione e cambiamento di base

Punti chiave

Equazione logaritmica con condizioni di esistenza

Punti chiave

Tempo di raddoppio di un capitale

Fonti

Funzioni esponenziali e logaritmiche

Punti chiave

Confronto di due esponenziali simmetriche

Punti chiave

Sviluppo di un'espressione e cambiamento di base

Punti chiave

Equazione logaritmica con condizioni di esistenza

Punti chiave

Tempo di raddoppio di un capitale

Fonti