Appunti · MatematicaIT · Maturità

Goniometria e trigonometria

La goniometria studia gli angoli e le funzioni che li misurano sulla circonferenza goniometrica, mentre la trigonometria applica queste funzioni alla risoluzione dei triangoli e alla descrizione dei fenomeni periodici. Partendo dalla misura in radianti e dalle funzioni seno, coseno e tangente, l'appunto sviluppa le formule goniometriche, le equazioni e disequazioni, fino al teorema dei seni e al teorema del coseno per la risoluzione completa di un triangolo qualunque. È un nucleo pienamente valutabile all'Esame di Stato, in particolare nella seconda prova del Liceo Scientifico e nei collegamenti interdisciplinari con la fisica.

4sezionica. 16min di lettura3competenzeLivelloBase 1 · Standard 2 · Approfondimento 1Verificato · 06/2026

T·0444 / 16

Profilo d’esame

Utilizzare gli strumenti della goniometria e della trigonometria per la modellizzazione di fenomeni periodiciConfrontare e analizzare figure geometriche individuando relazioni metricheCostruire e analizzare modelli matematici di situazioni reali

Operatori:calcoladimostradeterminarisolvianalizzaspiegainterpretagiustifica

livello base

In tutti gli indirizzi liceali si richiede la padronanza delle funzioni goniometriche fondamentali, dell'identità fondamentale e dei teoremi sui triangoli per risolvere problemi metrici e modellizzare semplici fenomeni periodici.

livello avanzato

Nel Liceo Scientifico (e nell'opzione Scienze Applicate) si approfondiscono le formule goniometriche complete, le equazioni e disequazioni non elementari e l'integrazione con la fisica (moti armonici, onde), come tipicamente richiesto nella seconda prova.

Profondità

Schrift

Inhalt · 4 sezioni

Goniometria e trigonometria

Funzioni goniometriche e circonferenza goniometrica#

BasisOSA-matematica-geometriaMisura degli angoli in radiantiIdentità fondamentale della goniometria

La goniometria nasce dall'esigenza di misurare gli angoli e di associare a ciascuno di essi dei numeri che ne descrivano le proprietà: a questo scopo si introduce la circonferenza goniometrica, cioè la circonferenza di centro l'origine e raggio unitario nel piano cartesiano. Un angolo orientato, con vertice nell'origine e primo lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse, individua sulla circonferenza un punto P le cui coordinate definiscono direttamente le funzioni goniometriche.

Prima di definire le funzioni occorre fissare l'unità di misura più naturale per l'analisi: il radiante. Un angolo di un radiante è l'angolo al centro che sottende un arco di lunghezza pari al raggio; poiché l'intera circonferenza misura 2π raggi, l'angolo giro vale 2π radianti. La conversione tra gradi e radianti si fonda sulla proporzione tra l'angolo e l'angolo piatto: 180° corrispondono a π radianti. Il radiante è indispensabile in analisi perché rende valido il limite notevole del seno e le formule di derivazione delle funzioni goniometriche.

Dato il punto P associato all'angolo x sulla circonferenza goniometrica, si definisce il coseno di x come l'ascissa di P e il seno di x come l'ordinata di P (Fig. 1). La tangente di x è invece il rapporto tra seno e coseno, e geometricamente è l'ordinata del punto in cui il secondo lato dell'angolo (prolungato) interseca la retta verticale tangente alla circonferenza nel punto di coordinate (1, 0). Da questa costruzione discende immediatamente che seno e coseno sono compresi tra −1 e 1, mentre la tangente assume qualunque valore reale.

Circonferenza goniometrica con seno, coseno e tangente

Le funzioni goniometriche godono di proprietà strutturali che ne governano i grafici. Seno e coseno sono periodiche di periodo 2π, mentre la tangente è periodica di periodo π; il seno è una funzione dispari (il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine), il coseno è una funzione pari (simmetrico rispetto all'asse delle ordinate). Dalla definizione discende inoltre la relazione fondamentale tra coseno e seno, che lega le due coordinate del punto P attraverso il teorema di Pitagora applicato al raggio unitario. I grafici di y = sin x e y = cos x sono sinusoidi identiche, sfasate di π/2 l'una rispetto all'altra (Fig. 2).

Grafici di y = sin x e y = cos x

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Identità fondamentale

Esprime il teorema di Pitagora applicato al punto P sulla circonferenza di raggio unitario: vale per ogni valore dell'angolo x.

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \qquad (\cos x \neq 0)

Tangente

La tangente è definita come rapporto tra seno e coseno e non esiste dove il coseno si annulla, cioè in x = pi/2 + k·pi.

\alpha_{\text{rad}} = \frac{\pi}{180^\circ}\,\alpha_{\text{gradi}}

Conversione gradi-radianti

Si ottiene dalla proporzione tra l'angolo dato e l'angolo piatto, che misura 180 gradi ovvero pi radianti.

Esempio svolto

Valori goniometrici di un angolo del secondo quadrante

Calcola i valori esatti di sin(2π/3), cos(2π/3) e tan(2π/3) e giustifica i segni.

Individua il quadrante
L'angolo 2π/3 è compreso tra π/2 e π, quindi appartiene al secondo quadrante, dove il seno è positivo e il coseno è negativo.
Usa l'angolo associato
2π/3 = π − π/3, quindi ha la stessa distanza angolare di π/3 dal semiasse negativo. Per gli archi associati: sin(π − α) = sin α e cos(π − α) = −cos α.
Sostituisci i valori notevoli
Poiché sin(π/3) = √3/2 e cos(π/3) = 1/2, si ottiene sin(2π/3) = √3/2 e cos(2π/3) = −1/2.
Calcola la tangente
La tangente è il rapporto tra seno e coseno: dividendo si ottiene un valore negativo, coerente con il secondo quadrante.

Risultato: sin(2π/3) = √3/2 ≈ 0.866, cos(2π/3) = −1/2, tan(2π/3) = −√3 ≈ −1.732.

Errori frequenti

Lavorare in gradi quando il contesto è analitico (limiti, derivate): il limite notevole sin x / x → 1 e le derivate valgono solo se l'angolo è espresso in radianti.
Confondere il segno delle funzioni nei vari quadranti, in particolare dimenticare che il coseno è negativo nel secondo e terzo quadrante e il seno nel terzo e quarto.

Ripasso attivo

Determina il valore esatto di sin(2π/3), cos(2π/3) e tan(2π/3), giustificando i segni mediante la posizione del punto associato sulla circonferenza goniometrica.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Formule goniometriche#

StandardOSA-matematica-geometriaFormule di addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione e prostaferesi

Le formule goniometriche permettono di esprimere le funzioni di una combinazione di angoli in termini delle funzioni dei singoli angoli, ed estendono enormemente la capacità di calcolo e di manipolazione delle espressioni trigonometriche. Il punto di partenza è la formula di sottrazione del coseno, che si dimostra calcolando in due modi diversi la distanza tra due punti della circonferenza goniometrica; da essa, per passaggi puramente algebrici, discendono tutte le altre.

Le formule di addizione e sottrazione di seno e coseno consentono di scomporre cos(α ± β) e sin(α ± β). Esse sono lo strumento per calcolare i valori di angoli non notevoli ottenuti per somma o differenza, come 15° = 45° − 30° o 75° = 45° + 30°. Dalla loro divisione si ricavano le formule di addizione della tangente. È essenziale distinguere il comportamento del coseno, in cui il segno si inverte rispetto a quello dell'operazione, da quello del seno, che lo conserva.

Ponendo β = α nelle formule di addizione si ottengono le formule di duplicazione: sin 2α, cos 2α e tan 2α si esprimono mediante le funzioni di α. La formula del coseno duplicato ammette tre forme equivalenti grazie all'identità fondamentale, e ciascuna è utile in un contesto diverso, in particolare per linearizzare i quadrati di seno e coseno. Da queste, isolando le funzioni dell'angolo metà, si ottengono le formule di bisezione, che esprimono le funzioni di α/2.

Le formule parametriche esprimono seno e coseno in funzione razionale di t = tan(α/2): sono lo strumento standard per ricondurre un'equazione goniometrica a un'equazione algebrica nell'incognita t. Le formule di prostaferesi, infine, trasformano somme e differenze di seni o coseni in prodotti: sono particolarmente utili nello studio dei fenomeni ondulatori, dove la somma di due oscillazioni dà luogo al fenomeno dei battimenti (Fig. 3).

Mappa delle formule goniometriche

\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

Addizione del coseno

Il segno a secondo membro è opposto a quello dell'operazione: questa e la formula generatrice di tutte le altre.

\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta

Addizione del seno

Qui il segno a secondo membro coincide con quello dell'operazione, a differenza del coseno.

\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \qquad \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha

Duplicazione

Si ottengono ponendo beta uguale ad alpha nelle formule di addizione; il coseno duplicato ha anche le forme 1 - 2 sin^2 e 2 cos^2 - 1.

\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} \qquad \cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}

Bisezione

Il segno della radice dipende dal quadrante in cui cade l'angolo alpha mezzi.

Esempio svolto

Valore esatto di cos 15° con le formule di sottrazione

Calcola il valore esatto di cos 15° scrivendo 15° come differenza di angoli notevoli.

Scegli la decomposizione
Si scrive 15° = 45° − 30°, perché entrambi sono angoli notevoli di cui si conoscono i valori esatti.
Applica la formula di sottrazione del coseno
Si usa cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β con α = 45° e β = 30°.
Sostituisci i valori notevoli
Con cos 45° = sin 45° = √2/2, cos 30° = √3/2 e sin 30° = 1/2 si ottiene la somma di due prodotti.
Semplifica
Raccogliendo √2/4 si ottiene la forma compatta del risultato.

Risultato: cos 15° = (√6 + √2)/4 ≈ 0.966.

Errori frequenti

Scrivere cos(α + β) = cos α + cos β (e analogamente per il seno): le funzioni goniometriche NON sono lineari, e la somma degli angoli richiede le formule di addizione.
Nella bisezione, dimenticare di determinare il segno della radice in base al quadrante in cui cade l'angolo metà, scrivendo automaticamente il segno positivo.

Ripasso attivo

Utilizzando le formule di sottrazione, calcola il valore esatto di cos 15° e sin 15°, scrivendo 15° come 45° − 30°.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Equazioni e disequazioni goniometriche#

VertiefungOSA-matematica-geometriaEquazioni e disequazioni goniometriche

Un'equazione goniometrica è un'equazione in cui l'incognita compare come argomento di una o più funzioni goniometriche. Poiché tali funzioni sono periodiche, una soluzione non è mai isolata: a essa corrisponde un'intera famiglia di soluzioni, ottenute aggiungendo multipli interi del periodo. La risoluzione completa richiede perciò di descrivere tutte le soluzioni mediante un parametro intero k, e non solo i valori nell'intervallo principale.

Le equazioni elementari sono del tipo sin x = m, cos x = m oppure tan x = m. Per il seno e il coseno esiste soluzione solo se m è compreso tra −1 e 1; in tal caso le soluzioni si leggono sulla circonferenza goniometrica come le intersezioni con una retta orizzontale o verticale, che individua in generale due archi per periodo. Per la tangente, invece, esiste sempre soluzione, perché la tangente assume tutti i valori reali, e le soluzioni distano un periodo π l'una dall'altra.

Le equazioni non elementari si riconducono a quelle elementari con strategie standard: l'uso dell'identità fondamentale e delle formule per esprimere tutto mediante una sola funzione, la sostituzione (per esempio t = tan(α/2) o t = cos x) che trasforma l'equazione in un'equazione algebrica, la scomposizione in fattori e l'annullamento del prodotto. Particolarmente importanti sono le equazioni lineari in seno e coseno, risolubili con il metodo dell'angolo aggiunto o con le formule parametriche.

Le disequazioni goniometriche si risolvono confrontando il valore della funzione con una soglia e individuando sulla circonferenza goniometrica l'arco (o gli archi) in cui la condizione è verificata (Fig. 4). Si determina prima l'insieme delle soluzioni in un periodo, leggendo gli estremi dell'arco dai valori che annullano la differenza, e poi si estende periodicamente. La rappresentazione grafica della circonferenza, con l'evidenziazione dell'arco-soluzione, è lo strumento di controllo più affidabile contro gli errori di segno.

Risoluzione grafica di sin x ≥ 1/2 sulla circonferenza goniometrica

\sin x = m \iff x = \arcsin m + 2k\pi \ \lor\ x = \pi - \arcsin m + 2k\pi

Equazione elementare in seno

Vale per m compreso tra -1 e 1; le due famiglie corrispondono ai due archi simmetrici rispetto all'asse verticale. k e un intero qualsiasi.

\cos x = m \iff x = \pm\arccos m + 2k\pi

Equazione elementare in coseno

Vale per m compreso tra -1 e 1; i due archi sono simmetrici rispetto all'asse orizzontale (delle ascisse).

\tan x = m \iff x = \arctan m + k\pi

Equazione elementare in tangente

Esiste sempre soluzione perche la tangente assume ogni valore reale; il periodo della tangente e pi.

Esempio svolto

Equazione goniometrica elementare

Risolvi in R l'equazione 2 sin x − 1 = 0.

Isola la funzione goniometrica
Si porta il termine noto a secondo membro e si divide per 2.
Trova le soluzioni nel primo periodo
Sulla circonferenza goniometrica il seno vale 1/2 in due punti del giro: gli archi pi/6 e 5pi/6, simmetrici rispetto all'asse verticale.
Estendi per periodicità
Poiche il seno ha periodo 2pi, a ciascuna soluzione si aggiunge un multiplo intero di 2pi per ottenere tutte le soluzioni reali.

Risultato: x = π/6 + 2kπ oppure x = 5π/6 + 2kπ, con k intero.

Errori frequenti

Fornire solo le soluzioni dell'intervallo [0, 2π) dimenticando il termine + 2kπ (oppure + kπ per la tangente): l'insieme delle soluzioni risulta così incompleto.
Nelle disequazioni, leggere male l'arco sulla circonferenza e confondere quale dei due archi soddisfa la disuguaglianza, ottenendo l'intervallo complementare.

Ripasso attivo

Risolvi nell'insieme dei numeri reali l'equazione 2 sin x − 1 = 0 e rappresenta le soluzioni sulla circonferenza goniometrica.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Risoluzione dei triangoli e applicazioni#

StandardOSA-matematica-geometriaTeorema dei seni e teorema del coseno; risoluzione dei triangoliArea di un triangolo

La trigonometria applica le funzioni goniometriche allo studio metrico dei triangoli: risolvere un triangolo significa determinare la misura di tutti i suoi lati e di tutti i suoi angoli a partire da un numero sufficiente di dati. Il caso più semplice è quello del triangolo rettangolo, in cui i teoremi sui triangoli rettangoli esprimono ogni cateto come prodotto dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto, o dell'altro cateto per la tangente dell'angolo adiacente. Per i triangoli qualunque servono invece due teoremi generali.

Il teorema dei seni afferma che in ogni triangolo il rapporto tra ciascun lato e il seno dell'angolo opposto è costante e uguale al diametro della circonferenza circoscritta. È lo strumento adatto quando si conoscono un lato e due angoli, oppure due lati e l'angolo opposto a uno di essi (caso che può però essere ambiguo, dando luogo a zero, una o due soluzioni). La sua dimostrazione si fonda sulla relazione tra l'angolo alla circonferenza e l'altezza relativa a un lato.

Il teorema del coseno, detto anche teorema di Carnot, generalizza il teorema di Pitagora: il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due, diminuita del doppio prodotto di questi per il coseno dell'angolo compreso (Fig. 5). È lo strumento adatto quando si conoscono due lati e l'angolo tra essi compreso (per trovare il terzo lato), oppure tutti e tre i lati (per trovare gli angoli). Quando l'angolo compreso è retto, il coseno si annulla e si ritrova esattamente il teorema di Pitagora.

Triangolo qualunque con lati a, b, c e teorema del coseno

L'area di un triangolo si calcola in modo immediato a partire da due lati e dall'angolo tra essi compreso, mediante il prodotto dei due lati per il seno dell'angolo, diviso due. Questi strumenti hanno numerose applicazioni concrete: nella topografia per misurare distanze inaccessibili, in fisica per la scomposizione delle forze e dei vettori, e nella modellizzazione dei fenomeni periodici come le oscillazioni e le onde. La trigonometria costituisce così il ponte tra la geometria, l'analisi e la fisica.

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R

Teorema dei seni

Il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto e costante e pari al diametro 2R della circonferenza circoscritta.

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma

Teorema del coseno (Carnot)

Generalizza il teorema di Pitagora; quando gamma e retto il coseno e nullo e si ritrova c^2 = a^2 + b^2.

S = \frac{1}{2}\,a\,b\,\sin\gamma

Area del triangolo

L'area e meta del prodotto di due lati per il seno dell'angolo da essi compreso.

Esempio svolto

Risoluzione di un triangolo con il teorema del coseno

Di un triangolo si conoscono a = 8 cm, b = 5 cm e l'angolo compreso C = 60°. Determina il terzo lato c e l'area.

Imposta il teorema del coseno
L'angolo C = 60° e compreso tra i lati a e b, quindi il terzo lato c si ottiene dal teorema del coseno.
Sostituisci i dati
Con a = 8, b = 5 e cos 60° = 1/2 si calcola il quadrato di c.
Estrai la radice
Il lato e la radice quadrata aritmetica del valore trovato.
Calcola l'area
L'area si ottiene da due lati e dall'angolo compreso, con sin 60° = radice di 3 diviso 2.

Risultato: Il terzo lato misura c = 7 cm e l'area vale S = 10√3 cm² ≈ 17.32 cm².

Errori frequenti

Applicare il teorema dei seni in un caso ambiguo (due lati e l'angolo opposto al minore) senza verificare l'esistenza della seconda soluzione, perdendo una configurazione valida del triangolo.
Nel teorema del coseno, sbagliare quale angolo è compreso tra i due lati noti, oppure dimenticare il segno del coseno quando l'angolo è ottuso (e quindi il coseno è negativo).

Ripasso attivo

Di un triangolo si conoscono i lati a = 8 cm, b = 5 cm e l'angolo compreso C = 60°. Determina la misura del terzo lato c e l'area del triangolo.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)) · Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Goniometria e trigonometria

Punti chiave

Valori goniometrici di un angolo del secondo quadrante

Punti chiave

Valore esatto di cos 15° con le formule di sottrazione

Punti chiave

Equazione goniometrica elementare

Punti chiave

Risoluzione di un triangolo con il teorema del coseno

Fonti

Goniometria e trigonometria

Punti chiave

Valori goniometrici di un angolo del secondo quadrante

Punti chiave

Valore esatto di cos 15° con le formule di sottrazione

Punti chiave

Equazione goniometrica elementare

Punti chiave

Risoluzione di un triangolo con il teorema del coseno

Fonti