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Geometria analitica: retta e coniche

La geometria analitica traduce le figure del piano nel linguaggio dell'algebra: a ogni punto si associa una coppia di coordinate e a ogni curva un'equazione, così che problemi geometrici di distanza, parallelismo e tangenza diventino calcoli. In questo argomento si studiano la retta e i fasci di rette, poi le quattro coniche — circonferenza, parabola, ellisse e iperbole — sia come luoghi geometrici sia attraverso le loro equazioni e proprietà focali. Il filo conduttore è il passaggio continuo fra registro grafico e registro algebrico, competenza centrale nella seconda prova dell'Esame di Stato del Liceo scientifico.

4sezionica. 18min di lettura3competenzeLivelloBase 1 · Standard 1 · Approfondimento 2Verificato · 06/2026

T·0333 / 16

Profilo d’esame

Confrontare e analizzare figure geometriche individuando invarianti e relazioni nel piano cartesianoPassare dal registro grafico a quello algebrico e viceversaRisolvere problemi geometrici per via analitica

Operatori:determinacalcoladimostraclassificainterpretarappresentaverificaspiega

livello base

Per tutti gli indirizzi liceali sono richieste la retta, la circonferenza e la parabola con le loro equazioni canoniche e le condizioni di tangenza con una retta.

livello avanzato

Negli indirizzi a forte connotazione matematica (Liceo scientifico e opzione Scienze applicate) si aggiungono ellisse e iperbole come luoghi, le proprietà focali, l'eccentricità e i problemi di tangenza risolti con il discriminante e le condizioni di parametro.

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Inhalt · 4 sezioni

Geometria analitica: retta e coniche

Il piano cartesiano e la retta#

BasisOSA-matematica-geometria — Il piano cartesiano: distanza, punto medio, retta e fasci di rette

Retta per due punti con pendenza e intercetta

Il piano cartesiano nasce dall'idea di Cartesio di fissare due rette orientate e perpendicolari, gli assi, che permettono di individuare ogni punto del piano con una coppia ordinata di numeri reali, le sue coordinate: l'ascissa misura lo spostamento lungo l'asse delle x, l'ordinata quello lungo l'asse delle y. Questa corrispondenza biunivoca fra punti e coppie è la base di tutta la geometria analitica, perché trasforma una figura in un insieme di soluzioni di un'equazione.

Dati due punti A e B, la distanza fra loro si ottiene applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che ha per cateti le differenze delle ascisse e delle ordinate; il punto medio del segmento AB ha invece per coordinate le medie aritmetiche delle coordinate degli estremi. Queste due formule, insieme, consentono di trattare per via algebrica le proprietà metriche di triangoli e poligoni, ad esempio per verificare che un triangolo è isoscele o per individuare il baricentro.

La retta è il luogo dei punti le cui coordinate soddisfano un'equazione di primo grado nelle variabili x e y. La forma esplicita y = mx + q mette in evidenza il coefficiente angolare m, che esprime la pendenza, cioè il rapporto fra l'incremento dell'ordinata e quello dell'ascissa, e l'ordinata all'origine q, intersezione con l'asse delle y. La forma implicita ax + by + c = 0 ha il pregio di rappresentare anche le rette verticali, prive di coefficiente angolare.

Il coefficiente angolare governa le posizioni reciproche: due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare e sono perpendicolari quando il prodotto dei loro coefficienti angolari vale −1, ossia quando uno è l'antireciproco dell'altro. Un fascio di rette è invece l'insieme di tutte le rette che condividono una proprietà: il fascio proprio raccoglie le rette passanti per un punto fisso, detto centro, mentre il fascio improprio raccoglie tutte le rette parallele a una direzione data.

Per scrivere l'equazione di una retta basta una condizione geometrica completa: la retta passante per un punto con pendenza assegnata, oppure la retta passante per due punti, da cui si ricava prima il coefficiente angolare e poi l'equazione. La distanza di un punto da una retta, infine, misura la lunghezza del segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta ed è uno strumento essenziale per le condizioni di tangenza.

d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Distanza fra due punti

Lunghezza del segmento AB, ottenuta col teorema di Pitagora applicato alle differenze delle coordinate.

M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)

Punto medio

Le coordinate del punto medio sono le medie aritmetiche delle coordinate degli estremi.

m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

Coefficiente angolare

Pendenza della retta per due punti; definito solo se le ascisse sono diverse.

m_1=m_2\ \text{(parallele)}\qquad m_1\cdot m_2=-1\ \text{(perpendicolari)}

Posizioni reciproche

Condizioni sui coefficienti angolari per parallelismo e perpendicolarità.

d(P,r)=\frac{|a\,x_P+b\,y_P+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Distanza punto-retta

La retta va scritta nella forma implicita ax+by+c=0; il valore assoluto garantisce una distanza non negativa.

Fascio proprio di rette per un punto

Esempio svolto

Retta, punto medio e asse del segmento

Dati i punti A(−1, 2) e B(3, 4), determina l'equazione della retta AB, le coordinate del punto medio M e l'equazione dell'asse del segmento AB.

Coefficiente angolare di AB
Calcolo m come rapporto fra le differenze delle ordinate e delle ascisse.
Equazione della retta AB
Uso la forma per un punto e pendenza, passando per A(−1, 2).
Punto medio M
Medie aritmetiche delle coordinate di A e B.
Pendenza dell'asse
L'asse è perpendicolare ad AB, quindi ha coefficiente angolare antireciproco.
Equazione dell'asse
Retta per M(1, 3) con pendenza −2.

Risultato: Retta AB: y = x/2 + 5/2; punto medio M(1, 3); asse del segmento AB: y = −2x + 5.

Errori frequenti

Confondere la condizione di perpendicolarità (prodotto dei coefficienti angolari uguale a −1) con quella di parallelismo (coefficienti angolari uguali), oppure dimenticare il caso della retta verticale, che non ha coefficiente angolare.
Nella distanza punto-retta, usare l'equazione in forma esplicita anziché portarla nella forma implicita ax + by + c = 0 prima di applicare la formula, sbagliando così i coefficienti a denominatore.

Ripasso attivo

Dati i punti A(−1, 2) e B(3, 4), determina l'equazione della retta AB, le coordinate del punto medio M del segmento AB e l'equazione dell'asse del segmento AB (la retta perpendicolare ad AB passante per M).

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Circonferenza e parabola#

StandardOSA-matematica-geometria — Le coniche: circonferenza e parabola come luoghi geometrici e loro equazioni

Parabola y = x² − 4x + 3 con vertice e fuoco

La circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, il centro, e la distanza comune è il raggio. Imponendo che la distanza generica del punto P(x, y) dal centro sia uguale al raggio e quadrando, si ottiene l'equazione canonica; sviluppandola si arriva alla forma generale, in cui mancano il termine misto xy e il coefficiente di x al quadrato è uguale a quello di y al quadrato. Da questa forma si risale al centro e al raggio con semplici formule.

Non ogni equazione di quel tipo rappresenta però una circonferenza reale: il raggio al quadrato, calcolato come somma dei quadrati delle semicoordinate del centro meno il termine noto, deve risultare positivo. Se è nullo la circonferenza degenera in un punto, se è negativo non esiste alcun punto reale. È un controllo che va sempre eseguito prima di disegnare.

La parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, il fuoco, e da una retta fissa, la direttrice. Per la parabola con asse parallelo all'asse delle y l'equazione ha la forma di un trinomio di secondo grado; il segno del coefficiente direttore decide la concavità, verso l'alto se positivo e verso il basso se negativo. Il vertice è il punto di minimo o di massimo della curva e giace sull'asse di simmetria.

Dalla definizione come luogo si ricavano gli elementi notevoli: l'ascissa del vertice e dell'asse di simmetria, l'ordinata del vertice, le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice, tutti espressi in funzione dei coefficienti dell'equazione attraverso il discriminante. La conoscenza di questi elementi permette di tracciare un grafico accurato e di risolvere problemi di tangenza e di ottimizzazione.

Sia la circonferenza sia la parabola si determinano imponendo un numero di condizioni pari al numero di parametri incogniti: la circonferenza ha tre coefficienti, dunque tre condizioni (per esempio il passaggio per tre punti, o per due punti più il centro su una retta); la parabola con asse verticale ha tre coefficienti e si determina con tre condizioni analoghe (passaggio per punti, vertice assegnato, tangenza).

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2

Circonferenza (forma canonica)

Centro C(x0, y0) e raggio r; deriva direttamente dalla definizione di luogo.

x^2+y^2+ax+by+c=0,\quad C\!\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right),\ r=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}

Circonferenza (forma generale)

Centro e raggio in funzione dei coefficienti; serve r^2>0 perché la circonferenza sia reale.

y=ax^2+bx+c

Parabola con asse verticale

Trinomio di secondo grado; a>0 concavità verso l'alto, a<0 verso il basso.

V\!\left(-\frac{b}{2a},\ -\frac{\Delta}{4a}\right),\quad F\!\left(-\frac{b}{2a},\ \frac{1-\Delta}{4a}\right),\quad y=-\frac{1+\Delta}{4a}

Vertice, fuoco e direttrice

Elementi notevoli della parabola y=ax^2+bx+c, con Delta=b^2-4ac; l'ultima è l'equazione della direttrice.

Circonferenza come luogo equidistante dal centro

Esempio svolto

Circonferenza per tre punti e parabola di vertice assegnato

Determina l'equazione della circonferenza passante per A(0, 0), B(4, 0) e C(0, 2), con centro e raggio; determina poi la parabola con asse parallelo all'asse y, vertice in V(2, −1) e passante per l'origine, e il suo fuoco.

Imposto il passaggio per A
Sostituendo A(0,0) nella forma generale ottengo subito c.
Passaggio per B e per C
Sostituendo B(4,0) e C(0,2) ricavo a e b.
Equazione e centro della circonferenza
Scrivo l'equazione e ne ricavo centro e raggio.
Parabola dal vertice
Uso la forma col vertice y=a(x-2)^2-1 e impongo il passaggio per l'origine.
Forma esplicita e fuoco
Sviluppo e calcolo il fuoco con Delta=b^2-4ac.

Risultato: Circonferenza x^2 + y^2 − 4x − 2y = 0, centro C(2, 1), raggio √5; parabola y = x^2/4 − x con fuoco F(2, 0).

Errori frequenti

Dimenticare di verificare che il raggio al quadrato sia positivo: si finisce per disegnare una circonferenza che in realtà è degenere o immaginaria.
Per la parabola, confondere il fuoco con il vertice o sbagliare il segno nel calcolo della direttrice, dimenticando che la direttrice sta dalla parte opposta del fuoco rispetto al vertice.

Ripasso attivo

Determina l'equazione della circonferenza passante per i punti A(0, 0), B(4, 0) e C(0, 2); individua centro e raggio. Determina poi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y, vertice in V(2, −1) e passante per l'origine, e calcola le coordinate del fuoco.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Ellisse e iperbole#

VertiefungOSA-matematica-geometria — Le coniche: ellisse e iperbole come luoghi geometrici; eccentricità, fuochi e direttrici

Le quattro coniche come sezioni del cono

L'ellisse è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi, i fuochi. Riferendola a un sistema con centro nell'origine e fuochi sull'asse delle x, si ottiene l'equazione canonica: i denominatori sono i quadrati dei semiassi, e il semiasse maggiore è il più grande dei due. La relazione fra i semiassi e la semidistanza focale lega la geometria della curva alla posizione dei fuochi.

L'iperbole è invece il luogo dei punti per i quali è costante il valore assoluto della differenza delle distanze dai due fuochi. La sua equazione canonica si distingue da quella dell'ellisse per il segno meno fra i due termini; l'iperbole è formata da due rami che si avvicinano indefinitamente a due rette dette asintoti, le cui equazioni si ottengono dai semiassi. Per l'iperbole la semidistanza focale è maggiore del semiasse reale.

Un parametro unifica la descrizione di tutte le coniche: l'eccentricità, rapporto fra la semidistanza focale e il semiasse maggiore. Per la circonferenza l'eccentricità è nulla, per l'ellisse è compresa fra zero e uno, per la parabola vale esattamente uno e per l'iperbole è maggiore di uno. L'eccentricità misura quanto la curva si allontana dalla forma circolare ed è collegata anche alle direttrici, attraverso la definizione unificata fuoco-direttrice.

Tutte e quattro le coniche nascono da un'unica costruzione geometrica: sono le curve che si ottengono intersecando un cono circolare a due falde con un piano. L'inclinazione del piano rispetto all'asse del cono determina il tipo di sezione — circonferenza, ellisse, parabola o iperbole — e questa visione, già nota ad Apollonio di Perga nel terzo secolo avanti Cristo, spiega perché queste curve condividano tante proprietà.

Le proprietà focali hanno un significato fisico importante: l'ellisse riflette verso un fuoco i raggi uscenti dall'altro fuoco, principio sfruttato nelle gallerie acustiche e descritto dalle leggi di Keplero per le orbite planetarie; la parabola riflette in direzione parallela all'asse i raggi provenienti dal fuoco, alla base di fari e antenne; l'iperbole interviene nei sistemi di localizzazione basati su differenze di tempo.

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad c^2=a^2-b^2\ (a>b)

Ellisse e semidistanza focale

a e b sono i semiassi; per fuochi sull'asse x si ha a>b e i fuochi in (\pm c, 0).

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad c^2=a^2+b^2

Iperbole e semidistanza focale

Vertici in (\pm a, 0), fuochi in (\pm c, 0); il segno meno distingue l'iperbole dall'ellisse.

y=\pm\frac{b}{a}\,x

Asintoti dell'iperbole

Rette a cui i rami dell'iperbole si avvicinano indefinitamente.

e=\frac{c}{a}

Eccentricità

e=0 circonferenza, 0<e<1 ellisse, e=1 parabola, e>1 iperbole.

Ellisse x²/25 + y²/9 = 1 con semiassi e fuochi

Esempio svolto

Elementi di un'ellisse e di un'iperbole

Per l'ellisse x²/25 + y²/9 = 1 determina semiassi, fuochi ed eccentricità; per l'iperbole x²/16 − y²/9 = 1 determina vertici, fuochi e asintoti.

Semiassi dell'ellisse
Leggo i denominatori dell'equazione canonica.
Fuochi ed eccentricità dell'ellisse
Uso c^2=a^2-b^2 e poi e=c/a.
Vertici e fuochi dell'iperbole
Per l'iperbole a^2=16, b^2=9 e c^2=a^2+b^2.
Asintoti dell'iperbole
Coefficiente angolare pari al rapporto b/a.

Risultato: Ellisse: a=5, b=3, F(±4, 0), e=4/5. Iperbole: V(±4, 0), F(±5, 0), asintoti y = ±3x/4.

Errori frequenti

Scambiare le relazioni fra semiassi e distanza focale: nell'ellisse la semidistanza focale al quadrato è la differenza dei quadrati dei semiassi, nell'iperbole è la loro somma.
Per l'iperbole, scrivere gli asintoti con il coefficiente angolare invertito, cioè confondere il rapporto fra il semiasse trasverso e quello non trasverso.

Ripasso attivo

Data l'ellisse di equazione x²/25 + y²/9 = 1, determina i semiassi, le coordinate dei fuochi e l'eccentricità. Data poi l'iperbole x²/16 − y²/9 = 1, determina i vertici, i fuochi e le equazioni degli asintoti.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Rette e coniche: intersezioni e tangenti#

VertiefungOSA-matematica-geometria — Posizioni reciproche di retta e conica; rette tangenti

Tangenti a una circonferenza da un punto esterno

Per studiare la posizione reciproca di una retta e di una conica si mette a sistema l'equazione della retta con quella della conica. Sostituendo l'espressione della retta nell'equazione della conica si ottiene un'equazione di secondo grado in una sola incognita: il numero delle sue soluzioni reali, governato dal discriminante, dice quanti punti hanno in comune la retta e la conica.

Si presentano tre casi. Se il discriminante è positivo l'equazione ha due soluzioni distinte e la retta è secante, intersecando la conica in due punti. Se il discriminante è nullo le due soluzioni coincidono e la retta è tangente, toccando la conica in un solo punto. Se il discriminante è negativo non vi sono soluzioni reali e la retta è esterna alla conica, senza punti in comune.

La condizione di tangenza, ossia discriminante nullo, è uno strumento risolutivo potentissimo: imposta come equazione nel parametro incognito (per esempio il coefficiente angolare di una retta del fascio, o l'ordinata all'origine), permette di trovare le rette tangenti a una conica condotte da un punto esterno o parallele a una direzione assegnata. È il metodo standard per i problemi di tangenza nella seconda prova.

Per la sola circonferenza esiste un metodo alternativo, spesso più rapido: una retta è tangente alla circonferenza se e solo se la distanza del centro dalla retta è uguale al raggio. Imponendo questa uguaglianza si evita di sviluppare il sistema, ma il metodo del discriminante resta universale perché si applica a tutte le coniche.

Esiste infine la formula di sdoppiamento, che fornisce direttamente la retta tangente a una conica in un suo punto: si ottiene dall'equazione della conica sostituendo formalmente al quadrato di una variabile il prodotto della variabile con la coordinata del punto di tangenza, e a ciascuna variabile la semisomma con la coordinata corrispondente del punto. È elegante e veloce quando il punto di tangenza appartiene alla conica.

\begin{cases} y=mx+q \\ \text{(equazione della conica)} \end{cases}\ \Rightarrow\ Ax^2+Bx+C=0

Sistema retta-conica

La sostituzione riduce il sistema a un'equazione di secondo grado in x.

\Delta>0\ \text{secante},\quad \Delta=0\ \text{tangente},\quad \Delta<0\ \text{esterna}

Discriminante e posizione

Il segno del discriminante classifica la posizione reciproca di retta e conica.

d(C,r)=r

Tangenza a una circonferenza

Condizione equivalente alla tangenza per la sola circonferenza: distanza centro-retta uguale al raggio.

x\,x_0+y\,y_0=r^2

Sdoppiamento (circonferenza centrata nell'origine)

Tangente alla circonferenza x^2+y^2=r^2 nel suo punto (x0, y0).

Posizioni di una retta rispetto a una parabola

Esempio svolto

Tangenti a una circonferenza da un punto esterno

Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza x² + y² = 5 condotte dal punto P(3, 1), e i relativi punti di tangenza.

Fascio di rette per P
Scrivo le rette per P(3, 1) con coefficiente angolare m.
Sostituzione nella circonferenza
Sostituisco in x^2+y^2=5 e ordino in x, posto q=1-3m.
Condizione di tangenza
Impongo discriminante nullo; dopo le semplificazioni resta un'equazione in m.
Equazioni delle tangenti
Sostituisco i due valori di m nel fascio.
Punti di tangenza
Per ogni m il sistema ha una radice doppia, che dà il punto di tangenza.

Risultato: Le tangenti sono y = 2x − 5 (punto di tangenza T1(2, −1)) e y = −x/2 + 5/2 (punto di tangenza T2(1, 2)).

Errori frequenti

Dimenticare il caso della retta verticale quando si parametrizza un fascio con y = mx + q: una tangente verticale ha coefficiente angolare non definito e va trattata a parte.
Impostare la condizione di tangenza ma poi non verificare le soluzioni nel contesto del problema, accettando rette che non rispettano i vincoli geometrici richiesti (per esempio tangenti che non passano per il punto dato).

Ripasso attivo

Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza x² + y² = 5 condotte dal punto esterno P(3, 1), specificando i punti di tangenza.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)) · Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Geometria analitica: retta e coniche

Punti chiave

Retta, punto medio e asse del segmento

Punti chiave

Circonferenza per tre punti e parabola di vertice assegnato

Punti chiave

Elementi di un'ellisse e di un'iperbole

Punti chiave

Tangenti a una circonferenza da un punto esterno

Fonti

Geometria analitica: retta e coniche

Punti chiave

Retta, punto medio e asse del segmento

Punti chiave

Circonferenza per tre punti e parabola di vertice assegnato

Punti chiave

Elementi di un'ellisse e di un'iperbole

Punti chiave

Tangenti a una circonferenza da un punto esterno

Fonti