Appunti · MatematicaIT · Maturità

Studio di funzione e problemi di massimo e minimo

Lo studio di funzione è la sintesi dell'analisi del triennio: a partire dall'espressione analitica di una funzione reale di variabile reale se ne ricostruisce il comportamento globale — dominio, simmetrie, zeri, segno, limiti, derivata prima e seconda — fino a tracciarne il «grafico probabile». Lo stesso apparato di derivate fornisce gli strumenti per i problemi di ottimizzazione, in cui si cerca il valore massimo o minimo di una grandezza in contesti geometrici, fisici ed economici. È un nucleo centrale della seconda prova dell'Esame di Stato dei licei scientifici e ricorre nel colloquio di tutti gli indirizzi.

4sezionica. 16min di lettura3competenzeLivelloStandard 2 · Approfondimento 2Verificato · 06/2026

T·0999 / 16

Profilo d’esame

Tracciare il grafico probabile di una funzione integrando tutte le informazioni analitiche (dominio, simmetrie, segno, limiti, derivate)Risolvere problemi di massimo e minimo modellizzando situazioni reali in ambito geometrico, fisico ed economicoArgomentare e giustificare con rigore i passaggi dello studio di funzione, collegando registro analitico e registro grafico

Operatori:determinastudiacalcoladimostratracciaanalizzagiustificainterpretadiscuti

livello base

Per tutti gli indirizzi si richiede lo studio completo di funzioni polinomiali e razionali fratte e la risoluzione di problemi di ottimizzazione elementari con una sola variabile vincolata.

livello avanzato

Nel Liceo Scientifico (e nell'opzione Scienze Applicate) lo studio si estende a funzioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche e goniometriche, con discussione di asintoti obliqui, flessi a tangente obliqua e problemi di ottimizzazione più articolati, anche con parametri.

Profondità

Schrift

Inhalt · 4 sezioni

Studio di funzione e problemi di massimo e minimo

Dominio, simmetrie, intersezioni e segno#

StandardOSA-matematica-relazioni-e-funzioni — Determinazione di dominio, simmetrie, intersezioni e segno

Segno di una funzione razionale fratta

Ogni studio di funzione comincia da un'analisi «statica» dell'espressione analitica, che precede l'uso del calcolo differenziale e ne prepara la lettura: si determinano il dominio, le eventuali simmetrie, le intersezioni con gli assi e il segno. Queste informazioni delimitano già la regione di piano in cui il grafico può vivere e indicano dove esso sta sopra o sotto l'asse delle ascisse.

Il dominio (o insieme di esistenza) è l'insieme dei valori di «x» per cui l'espressione ha senso. Le condizioni ricorrenti sono: il denominatore di una frazione deve essere diverso da zero; il radicando di una radice di indice pari deve essere maggiore o uguale a zero; l'argomento di un logaritmo deve essere strettamente positivo; l'argomento di una tangente diverso da π/2 + kπ. Quando concorrono più condizioni, il dominio è la loro intersezione.

Le simmetrie rispetto all'asse «y» e all'origine si riconoscono dalla parità: una funzione è pari se f(−x) = f(x) (grafico simmetrico rispetto all'asse delle ordinate), è dispari se f(−x) = −f(x) (grafico simmetrico rispetto all'origine). Riconoscere una simmetria dimezza il lavoro, perché basta studiare la funzione per x ≥ 0 e poi riflettere il grafico. Attenzione: una funzione può non essere né pari né dispari.

Le intersezioni con gli assi e lo studio del segno completano il quadro preliminare. L'intersezione con l'asse «y» (se 0 appartiene al dominio) si ottiene calcolando f(0); le intersezioni con l'asse «x» risolvendo l'equazione f(x) = 0. Lo studio del segno — risolvere la disequazione f(x) > 0 — individua gli intervalli in cui la curva sta sopra l'asse delle ascisse, fornendo una prima «sagoma» del grafico ancora prima di derivare. Per le razionali fratte si studia separatamente il segno di numeratore e denominatore.

D = \{ x \in \mathbb{R} : x - 2 \neq 0 \} = \mathbb{R} \setminus \{2\}

Dominio

Per una funzione razionale fratta si esclude lo zero del denominatore.

f \text{ pari} \iff f(-x) = f(x); \quad f \text{ dispari} \iff f(-x) = -f(x)

Simmetrie

Condizioni di parità e disparità; in entrambi i casi il dominio deve essere simmetrico rispetto all'origine.

Esempio svolto

Analisi preliminare di una funzione razionale fratta

Data f(x) = (x² − 1)/(x − 2), determina dominio, simmetrie, intersezioni con gli assi e segno.

Dominio
Il denominatore deve essere diverso da zero: x − 2 ≠ 0, cioè x ≠ 2.
Simmetrie
Il dominio non è simmetrico rispetto all'origine (manca x = 2 ma non x = −2), quindi la funzione non è né pari né dispari.
Intersezione con l'asse y
f(0) = (0 − 1)/(0 − 2) = (−1)/(−2) = 1/2, dunque il punto è (0; 1/2).
Intersezioni con l'asse x
f(x) = 0 quando il numeratore si annulla: x² − 1 = 0, cioè x = −1 e x = 1 (entrambi nel dominio).
Segno
Studiando il segno di numeratore (positivo per x < −1 o x > 1) e denominatore (positivo per x > 2) si ottiene: f(x) > 0 per −1 < x < 1 e per x > 2; f(x) < 0 per x < −1 e per 1 < x < 2.

Risultato: Dominio ℝ ∖ {2}; nessuna simmetria; intersezioni (0; 1/2), (−1; 0), (1; 0); f > 0 in (−1; 1) ∪ (2; +∞).

Errori frequenti

Dimenticare una condizione di esistenza (per esempio il denominatore non nullo all'interno di una radice), ottenendo un dominio errato e quindi un grafico incoerente.
Confondere il segno della funzione con il segno della sua derivata: «f(x) > 0» dice dove la curva sta sopra l'asse x, NON dove cresce.

Ripasso attivo

Data f(x) = (x² − 1)/(x − 2), determina dominio, eventuali simmetrie, intersezioni con gli assi e segno della funzione.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Crescenza, decrescenza, massimi e minimi#

StandardOSA-matematica-relazioni-e-funzioni — Studio della monotonia mediante la derivata prima; massimi e minimi relativi e assoluti

Grafico di f(x) = x³ − 3x con massimo e minimo relativi

Il segno della derivata prima governa la monotonia della funzione: dove f′(x) > 0 la funzione è crescente, dove f′(x) < 0 è decrescente. Lo studio del segno di f′ traduce così l'andamento «in salita» o «in discesa» del grafico in un calcolo algebrico, ed è il cuore dell'analisi differenziale di una funzione.

I punti in cui la derivata prima si annulla, f′(x) = 0, si dicono punti stazionari (o critici): in essi la retta tangente è orizzontale. Un punto stazionario può essere un massimo relativo, un minimo relativo oppure un flesso a tangente orizzontale; la sua natura si decide osservando come cambia il segno di f′ attraversando il punto (criterio della derivata prima): se f′ passa da + a − si ha un massimo, da − a + un minimo, se non cambia segno si ha un flesso orizzontale.

Occorre distinguere gli estremi relativi (locali) dagli estremi assoluti (globali). Un massimo o minimo relativo è il più grande o più piccolo valore in un intorno del punto; un estremo assoluto è il più grande o più piccolo valore su tutto il dominio (o su un intervallo assegnato). Su un intervallo chiuso e limitato il teorema di Weierstrass (ripasso) garantisce l'esistenza di massimo e minimo assoluti, da ricercare tra i punti stazionari interni e gli estremi dell'intervallo.

In alternativa al criterio del segno di f′ si può usare il criterio della derivata seconda nei punti stazionari: se f′(x₀) = 0 e f″(x₀) < 0 il punto è un massimo relativo (concavità verso il basso), se f″(x₀) > 0 è un minimo relativo (concavità verso l'alto). Se f″(x₀) = 0 il test è inconcludente e si torna allo studio del segno di f′. Vanno inoltre considerati i punti del dominio in cui f non è derivabile (punti angolosi, cuspidi), che possono essere comunque estremi.

f'(x) > 0 \Rightarrow f \text{ crescente}; \qquad f'(x) < 0 \Rightarrow f \text{ decrescente}

Monotonia

Relazione fondamentale tra segno della derivata prima e andamento della funzione.

f'(x_0) = 0 \,\land\, f''(x_0) < 0 \Rightarrow \text{massimo}; \quad f'(x_0) = 0 \,\land\, f''(x_0) > 0 \Rightarrow \text{minimo}

Criterio della derivata seconda

Test per la natura di un punto stazionario tramite la concavità; se f''(x_0)=0 il test è inconcludente.

Esempio svolto

Monotonia ed estremi di una funzione cubica

Studia la monotonia di f(x) = x³ − 3x e classifica i suoi punti stazionari.

Derivata prima
Si deriva termine a termine: f′(x) = 3x² − 3.
Punti stazionari
Si pone f′(x) = 0: 3x² − 3 = 0, cioè x² = 1, da cui x = −1 e x = 1.
Segno di f′
f′(x) > 0 (parabola con concavità verso l'alto) per x < −1 e per x > 1; f′(x) < 0 per −1 < x < 1. Quindi f cresce in (−∞; −1), decresce in (−1; 1), cresce in (1; +∞).
Classificazione
In x = −1 la derivata passa da + a −: massimo relativo, con f(−1) = (−1)³ − 3(−1) = −1 + 3 = 2. In x = 1 passa da − a +: minimo relativo, con f(1) = 1 − 3 = −2.

Risultato: Massimo relativo in (−1; 2), minimo relativo in (1; −2); f cresce in (−∞; −1) ∪ (1; +∞) e decresce in (−1; 1).

Errori frequenti

Affermare che ogni punto a derivata nulla è un massimo o un minimo: f(x) = x³ ha f′(0) = 0 ma in 0 c'è solo un flesso orizzontale.
Cercare gli estremi assoluti su un intervallo chiuso senza valutare la funzione anche agli estremi dell'intervallo, oltre che nei punti stazionari interni.

Ripasso attivo

Studia la monotonia di f(x) = x³ − 3x e classifica i suoi punti stazionari, indicando massimi e minimi relativi.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Concavità, flessi e grafico probabile#

VertiefungOSA-matematica-relazioni-e-funzioni — Studio della concavità e dei flessi mediante la derivata seconda; schema completo di studio di funzione

Schema completo dello studio di funzione

La derivata seconda descrive la concavità del grafico: dove f″(x) > 0 la funzione volge la concavità verso l'alto (è convessa), dove f″(x) < 0 volge la concavità verso il basso (è concava). Lo studio del segno di f″ aggiunge l'ultima informazione qualitativa necessaria per disegnare correttamente la curva, distinguendo le «conche» dalle «cupole».

I punti in cui la concavità cambia si chiamano punti di flesso. Condizione necessaria perché x₀ sia un flesso è che f″(x₀) = 0 (oppure che f″ non esista in x₀); la condizione è confermata se f″ cambia effettivamente segno attraversando x₀. Un flesso si dice a tangente orizzontale se in quel punto è anche f′(x₀) = 0, a tangente obliqua altrimenti; in ogni caso la retta tangente attraversa il grafico.

Gli asintoti (ripasso dai limiti) completano il comportamento al contorno: l'asintoto verticale x = c si ha quando un limite per x → c è infinito; l'asintoto orizzontale y = ℓ quando il limite per x → ±∞ è finito e vale ℓ; l'asintoto obliquo y = mx + q, possibile solo in assenza di quello orizzontale, ha coefficiente angolare m = lim f(x)/x e quota q = lim [f(x) − mx] per x → ±∞.

Il «grafico probabile» è la sintesi finale: si riportano nel piano dominio, intersezioni, segno, asintoti, intervalli di monotonia con massimi e minimi, intervalli di concavità con i flessi, e si congiunge il tutto in modo coerente. Lo schema completo procede ordinatamente — dominio, simmetrie, intersezioni e segno, limiti e asintoti, derivata prima (monotonia ed estremi), derivata seconda (concavità e flessi), tracciamento — e ogni informazione deve risultare compatibile con le altre.

f''(x) > 0 \Rightarrow \text{concavità verso l'alto}; \qquad f''(x) < 0 \Rightarrow \text{concavità verso il basso}

Concavità

Relazione tra segno della derivata seconda e tipo di concavità del grafico.

y = mx + q, \quad m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \quad q = \lim_{x \to \pm\infty} \big[ f(x) - mx \big]

Asintoto obliquo

Esiste solo se entrambi i limiti sono finiti (con m diverso da 0) e in assenza di asintoto orizzontale verso quell'infinito.

Esempio svolto

Concavità, flesso e grafico di una cubica

Per f(x) = x³ − 3x determina concavità e punti di flesso mediante la derivata seconda, completando lo studio.

Derivata seconda
Da f′(x) = 3x² − 3 si ottiene f″(x) = 6x.
Segno di f″
f″(x) > 0 per x > 0 (concavità verso l'alto), f″(x) < 0 per x < 0 (concavità verso il basso).
Flesso
f″(x) = 0 in x = 0 e la derivata seconda cambia segno: c'è un flesso. Poiché f′(0) = −3 ≠ 0, è un flesso a tangente obliqua, nel punto (0; 0).
Sintesi grafica
Funzione dispari (simmetrica rispetto all'origine), priva di asintoti (è un polinomio), con massimo (−1; 2), minimo (1; −2) e flesso (0; 0); il grafico è la cubica della Fig. 2.

Risultato: Concavità verso il basso per x < 0 e verso l'alto per x > 0; flesso a tangente obliqua in (0; 0). Il grafico probabile è la cubica con massimo (−1; 2), flesso (0; 0) e minimo (1; −2).

Errori frequenti

Dichiarare flesso un punto dove f″ si annulla senza verificare il cambio di segno della derivata seconda: in f(x) = x⁴ si ha f″(0) = 0 ma in 0 c'è un minimo, non un flesso.
Cercare un asintoto obliquo pur essendoci già un asintoto orizzontale: i due non possono coesistere verso lo stesso infinito.

Ripasso attivo

Per f(x) = x³ − 3x determina concavità e punti di flesso mediante la derivata seconda, integrando le informazioni nel grafico probabile.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Problemi di massimo e minimo (ottimizzazione)#

VertiefungOSA-matematica-relazioni-e-funzioni — Problemi di ottimizzazione (massimo e minimo) in contesti geometrici, fisici ed economici; ottimizzazione vincolata

Volume della scatola V(x) = x(12 − 2x)² in funzione del taglio x

I problemi di massimo e minimo (o di ottimizzazione) chiedono di rendere massima o minima una grandezza — un'area, un volume, un costo, un tempo, un perimetro — in una situazione concreta. Sono l'applicazione più importante del calcolo differenziale e ricorrono regolarmente nei problemi della seconda prova, perché collegano la matematica a contesti geometrici, fisici ed economici.

Il metodo è sempre lo stesso e va eseguito con ordine. Primo: si individua la grandezza da ottimizzare e la si esprime con una funzione. Secondo: se compaiono più variabili, si usa la relazione di vincolo del problema per ridurre tutto a una sola variabile indipendente. Terzo: si determina il dominio significativo della variabile, tenendo conto delle limitazioni geometriche o fisiche (lunghezze positive, ecc.). Quarto: si cerca l'estremo con la derivata prima e se ne verifica la natura. Quinto: si torna al testo per dare la risposta e verificarne la plausibilità.

La scelta della variabile indipendente e la corretta scrittura del vincolo sono i passaggi decisivi: una buona scelta semplifica enormemente i calcoli. Spesso il vincolo è un'uguaglianza (perimetro fissato, somma costante, relazione di similitudine, teorema di Pitagora) che permette di esprimere una variabile in funzione dell'altra e di sostituirla nella funzione obiettivo.

La verifica della natura dell'estremo non va trascurata: non basta annullare la derivata, occorre controllare con il segno di f′ o di f″ che si tratti effettivamente di un massimo (o di un minimo), e che il valore trovato appartenga al dominio significativo. Quando il dominio è un intervallo chiuso, l'estremo assoluto può cadere anche agli estremi dell'intervallo, che vanno quindi confrontati con i valori nei punti stazionari interni.

V(x) = x\,(12 - 2x)^2, \qquad 0 < x < 6

Funzione obiettivo

Volume della scatola: altezza x e base quadrata di lato (12 − 2x); il dominio significativo impone lati positivi.

V'(x) = (12 - 2x)(12 - 6x) = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \ (\text{accettabile})

Condizione di stazionarietà

La soluzione x = 6 va scartata perché annulla la base; resta x = 2, che è un massimo.

Esempio svolto

Scatola di volume massimo da un foglio quadrato

Da un foglio di cartone quadrato di lato 12 cm si ritagliano agli angoli quattro quadratini di lato x e si ripiegano i bordi per ottenere una scatola aperta. Determina x che rende massimo il volume e calcola tale volume.

Funzione obiettivo
La base è un quadrato di lato (12 − 2x) e l'altezza è x, quindi V(x) = x(12 − 2x)².
Dominio significativo
Devono essere positivi sia l'altezza sia il lato di base: x > 0 e 12 − 2x > 0, cioè 0 < x < 6.
Derivata e punti stazionari
V′(x) = (12 − 2x)² + x · 2(12 − 2x)(−2) = (12 − 2x)[(12 − 2x) − 4x] = (12 − 2x)(12 − 6x). Posto V′(x) = 0 si ha x = 6 (escluso) oppure x = 2.
Natura del punto
In (0; 6) la derivata è positiva per 0 < x < 2 e negativa per 2 < x < 6: in x = 2 la derivata passa da + a −, dunque x = 2 è un massimo.
Valore massimo
V(2) = 2 · (12 − 4)² = 2 · 8² = 2 · 64 = 128 cm³.

Risultato: Il volume è massimo per x = 2 cm e vale 128 cm³ (scatola con base 8 × 8 cm e altezza 2 cm).

Errori frequenti

Ottimizzare senza ridurre prima a una sola variabile tramite il vincolo, oppure dimenticare di imporre il dominio significativo (per esempio accettare una lunghezza negativa o nulla).
Concludere che il punto stazionario è un massimo senza verificarne la natura, o trascurare i valori agli estremi dell'intervallo quando si cerca un estremo assoluto.

Ripasso attivo

Da un foglio di cartone quadrato di lato 12 cm si vuole costruire una scatola aperta ritagliando agli angoli quattro quadratini uguali di lato x e ripiegando i bordi. Determina x in modo che il volume della scatola sia massimo e calcola tale volume.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Studio di funzione e problemi di massimo e minimo

Punti chiave

Analisi preliminare di una funzione razionale fratta

Punti chiave

Monotonia ed estremi di una funzione cubica

Punti chiave

Concavità, flesso e grafico di una cubica

Punti chiave

Scatola di volume massimo da un foglio quadrato

Fonti

Studio di funzione e problemi di massimo e minimo

Punti chiave

Analisi preliminare di una funzione razionale fratta

Punti chiave

Monotonia ed estremi di una funzione cubica

Punti chiave

Concavità, flesso e grafico di una cubica

Punti chiave

Scatola di volume massimo da un foglio quadrato

Fonti