Appunti · MatematicaIT · Maturità

Calcolo integrale

Il calcolo integrale completa l'analisi affrontata nel triennio: l'integrale indefinito risponde alla domanda inversa rispetto alla derivazione (qual è la funzione di cui conosco la derivata?), mentre l'integrale definito misura una grandezza cumulata — anzitutto l'area sottesa a una curva — come limite di somme di Riemann. Il teorema fondamentale del calcolo integrale salda i due punti di vista, mostrando che derivazione e integrazione sono operazioni reciproche e fornendo, con la formula di Newton-Leibniz, lo strumento operativo per calcolare aree, volumi dei solidi di rotazione e, in forma di cenni, integrali impropri. È un argomento centrale dell'Esame di Stato, in particolare nella seconda prova del Liceo Scientifico.

4sezionica. 17min di lettura3competenzeLivelloStandard 2 · Approfondimento 2Verificato · 06/2026

T·101010 / 16

Profilo d’esame

Utilizzare l'integrale per calcolare aree, volumi e grandezze cumulate, modellizzando situazioni geometriche, fisiche ed economicheCollegare il calcolo differenziale e il calcolo integrale attraverso il teorema fondamentale del calcoloPadroneggiare le tecniche di integrazione (integrali immediati, per sostituzione, per parti) e interpretare l'integrale definito come limite di somme

Operatori:calcoladeterminadimostragiustificainterpretaspiegaillustraanalizza

livello base

In tutti gli indirizzi liceali si richiede la padronanza del significato dell'integrale, degli integrali immediati e del teorema fondamentale, con applicazioni al calcolo di aree semplici.

livello avanzato

Nel Liceo Scientifico (e nell'opzione Scienze Applicate) si approfondiscono i metodi di integrazione per sostituzione e per parti, i volumi dei solidi di rotazione e i cenni agli integrali impropri, spesso al centro della seconda prova.

Profondità

Schrift

Inhalt · 4 sezioni

Calcolo integrale

Integrale indefinito e metodi di integrazione#

StandardOSA-matematica-relazioni-e-funzioni — Primitiva e integrale indefinito; integrali immediati e metodi di integrazione (per sostituzione, per parti)

Mappa dei metodi di integrazione

Il calcolo integrale nasce da una domanda inversa rispetto alla derivazione: data una funzione f, esiste una funzione F la cui derivata sia proprio f? Una tale F si chiama primitiva di f. Se F è una primitiva di f su un intervallo, allora anche F più una costante qualunque lo è, perché la derivata di una costante è nulla; viceversa due primitive della stessa funzione su un intervallo differiscono soltanto per una costante. L'insieme di tutte le primitive di f si chiama integrale indefinito di f e si scrive con il simbolo allungato dell'integrale seguito da f(x) dx, dove dx indica la variabile rispetto a cui si integra.

Gli integrali immediati si ottengono semplicemente leggendo «al contrario» la tabella delle derivate. Così l'integrale di una potenza x elevato a n (con n diverso da meno uno) è x elevato a n più uno diviso n più uno; l'integrale di uno su x è il logaritmo naturale del valore assoluto di x; l'integrale dell'esponenziale e elevato a x è ancora e elevato a x; gli integrali di seno e coseno si ricavano invertendo le rispettive derivate. La linearità dell'integrale — l'integrale di una somma è la somma degli integrali, e le costanti moltiplicative si portano fuori — permette di trattare ogni polinomio e molte combinazioni elementari.

Il metodo di integrazione per sostituzione è la lettura inversa della regola di derivazione delle funzioni composte. Si pone una nuova variabile t uguale a una parte dell'integranda, si calcola il differenziale dt e si riscrive interamente l'integrale nella nuova variabile; se la sostituzione è ben scelta, l'integrale in t diventa immediato e alla fine si ritorna alla variabile originaria. È efficace, ad esempio, quando nell'integranda compaiono una funzione e la sua derivata (a meno di costanti).

Il metodo di integrazione per parti è la lettura inversa della regola di derivazione del prodotto: l'integrale di f per la derivata di g è uguale al prodotto f per g meno l'integrale della derivata di f per g. Si applica quando l'integranda è il prodotto di due fattori di natura diversa, scegliendo come fattore da derivare quello che si semplifica derivando (tipicamente un polinomio) e come fattore da integrare quello che resta gestibile (un'esponenziale, un seno, un coseno). Una buona scelta dei due fattori riduce l'integrale a uno più semplice o immediato.

\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c \qquad (n \neq -1)

Integrale di una potenza

Regola fondamentale per i polinomi: vale per ogni esponente reale diverso da meno uno; c è la costante di integrazione.

\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + c

Caso n = -1

L'unico caso escluso dalla regola della potenza: la primitiva è il logaritmo naturale del valore assoluto di x.

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt \quad \text{con } t = g(x)

Integrazione per sostituzione

Si pone t uguale a g(x), da cui dt uguale a g'(x) dx; l'integrale si riscrive nella nuova variabile.

\int f(x)\,g'(x)\,dx = f(x)\,g(x) - \int f'(x)\,g(x)\,dx

Integrazione per parti

Lettura inversa della derivata del prodotto: si deriva f e si integra g'; conviene quando f si semplifica derivando.

Esempio svolto

Integrazione per parti di un prodotto polinomio-esponenziale

Calcola l'integrale indefinito di x per e elevato a x rispetto a x.

Scelta dei fattori
Si pone f(x) uguale a x (si semplifica derivando) e g'(x) uguale a e elevato a x (immediato da integrare).
Derivata e primitiva
Si calcola la derivata di f e una primitiva di g'.
Formula per parti
Si applica la formula dell'integrazione per parti.
Integrale residuo
L'integrale residuo è immediato.
Verifica
Derivando il risultato si ritrova l'integranda: la derivata di (x meno uno) per e elevato a x è e elevato a x più (x meno uno) per e elevato a x, cioè x per e elevato a x.

Risultato: L'integrale vale (x meno uno) per e elevato a x più c, ossia x·e^x − e^x + c.

Errori frequenti

Scrivere l'integrale di uno su x come logaritmo di x senza valore assoluto, oppure applicare la regola della potenza al caso n uguale a meno uno (dove invece compare il logaritmo).
Nell'integrazione per parti, scegliere come fattore da derivare quello sbagliato, ottenendo un integrale residuo più complicato di quello di partenza anziché più semplice.

Ripasso attivo

Calcola l'integrale indefinito di x per e elevato a x rispetto a x, utilizzando il metodo di integrazione per parti, e verifica il risultato per derivazione.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Integrale definito e significato geometrico#

StandardOSA-matematica-relazioni-e-funzioni — Integrale definito: definizione come limite di somme e significato geometrico; somme di Riemann

L'integrale definito risponde a un problema antico: misurare l'area di una regione delimitata da una curva. Data una funzione continua e non negativa f su un intervallo chiuso da a a b, si divide l'intervallo in n parti e su ciascuna si costruisce un rettangolo, ottenendo una somma di aree di rettangoli — la somma di Riemann — che approssima l'area cercata. L'integrale definito è il limite di queste somme quando il numero delle suddivisioni tende all'infinito e l'ampiezza di ciascuna tende a zero.

Operativamente, scelta una suddivisione in n parti uguali di ampiezza delta x uguale a (b meno a) diviso n, si moltiplica il valore della funzione in un punto di ciascun sottointervallo per delta x e si sommano i contributi; al crescere di n l'approssimazione migliora. Per una funzione continua il limite esiste e non dipende dalla scelta dei punti campione: questo limite è, per definizione, l'integrale definito di f tra a e b. Geometricamente, per f non negativa, esso misura l'area compresa tra il grafico, l'asse x e le rette verticali x uguale ad a e x uguale a b (Fig. 2).

Area sottesa alla parabola y = x² su [0, 2]

Quando f assume valori negativi, l'integrale definito conta le aree con segno: i tratti in cui il grafico sta sopra l'asse x danno contributo positivo, quelli sotto contributo negativo. Per ottenere l'area geometrica effettiva (sempre positiva) occorre quindi integrare il valore assoluto della funzione, oppure spezzare l'intervallo nei tratti di segno costante e sommare i valori assoluti dei singoli integrali.

L'integrale definito gode di proprietà fondamentali: è lineare (l'integrale di una somma è la somma degli integrali, le costanti escono dal segno di integrale); è additivo rispetto all'intervallo (l'integrale da a a b più quello da b a c è uguale a quello da a a c); scambiando gli estremi cambia segno; sull'intervallo ridotto a un punto vale zero. Vale inoltre il teorema della media integrale: esiste almeno un punto interno in cui il valore della funzione coincide con il valor medio integrale, cioè l'integrale diviso per l'ampiezza dell'intervallo.

\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b-a}{n}

Definizione come limite di somme

L'integrale definito è il limite delle somme di Riemann al tendere all'infinito del numero di suddivisioni.

\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{b}^{c} f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx

Additività rispetto all'intervallo

L'integrale si spezza su intervalli consecutivi: utile quando la funzione cambia segno o espressione.

\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx = f(c) \quad \text{per qualche } c \in (a,b)

Teorema della media integrale

Per f continua esiste un punto in cui il valore della funzione eguaglia il valor medio integrale.

Esempio svolto

Somma di Riemann e valore esatto

Stima l'area sottesa a y uguale a x al quadrato su [0, 2] con una somma di Riemann a 4 sottointervalli e punti di destra, poi confrontala con il valore esatto dell'integrale definito.

Suddivisione
Si divide [0, 2] in 4 parti uguali: l'ampiezza è 0,5 e i punti di destra sono 0,5; 1; 1,5; 2.
Somma di Riemann
Si sommano i valori della funzione nei punti di destra moltiplicati per delta x.
Valore esatto
Una primitiva di x al quadrato è x al cubo diviso 3; valutata tra 0 e 2 dà otto terzi.
Confronto
La somma a destra sovrastima l'area perché la funzione è crescente; otto terzi vale circa 2,67 contro 3,75 della stima.

Risultato: La somma di Riemann a destra dà 3,75 (sovrastima); il valore esatto dell'integrale è otto terzi, circa 2,67.

Errori frequenti

Confondere il valore dell'integrale definito con l'area quando la funzione cambia segno: un integrale nullo non significa area nulla, ma compensazione tra parti positive e negative.
Dimenticare il fattore delta x nella somma di Riemann, sommando solo i valori della funzione e perdendo così le dimensioni di un'area.

Ripasso attivo

Stima l'area sottesa alla parabola y uguale a x al quadrato sull'intervallo da 0 a 2 mediante una somma di Riemann con 4 sottointervalli e punti campione di destra, poi confronta il risultato con il valore esatto dell'integrale definito.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Teorema fondamentale del calcolo integrale#

VertiefungOSA-matematica-relazioni-e-funzioni — Teorema fondamentale del calcolo integrale e formula di Newton-Leibniz

La funzione integrale F(x) accumula l'area sotto y = sin x

Il teorema fondamentale del calcolo integrale è il cuore dell'intero argomento: stabilisce che derivazione e integrazione sono operazioni l'una inversa dell'altra. La sua prima parte introduce la funzione integrale: fissato un estremo inferiore a, si considera la funzione che a ogni x associa l'integrale di f da a a x; questa funzione, indicata di solito con F maiuscola di x, misura l'area variabile sottesa al grafico fino al punto x.

La prima parte del teorema afferma che, se f è continua, la funzione integrale F è derivabile e la sua derivata è esattamente f: derivare l'area accumulata restituisce la funzione che la genera. In altre parole la funzione integrale è una primitiva di f. Questo risultato spiega perché l'integrale indefinito e l'integrale definito, apparentemente legati a problemi diversi (primitive da un lato, aree dall'altro), siano due facce dello stesso oggetto.

La seconda parte — la formula di Newton-Leibniz — è lo strumento di calcolo: per valutare l'integrale definito di f tra a e b basta trovare una qualsiasi primitiva F di f e calcolare la differenza tra il valore in b e il valore in a. Non occorre più passare per il limite delle somme di Riemann: il problema dell'area si riduce alla ricerca di una primitiva. È questa formula che rende il calcolo integrale uno strumento operativo e potente.

Dimostrare il teorema della media integrale e usarlo come passo per la prima parte è un'argomentazione classica: il rapporto incrementale della funzione integrale, per l'additività e per il teorema della media, coincide con il valore della funzione in un punto interno, e per continuità tende a f(x) quando l'incremento tende a zero. Da qui discende la formula di Newton-Leibniz applicando la differenza tra primitive.

F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt \;\Longrightarrow\; F'(x) = f(x)

Prima parte (funzione integrale)

Per f continua, la funzione integrale è una primitiva di f: la sua derivata è la funzione stessa.

\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a), \qquad F'(x) = f(x)

Formula di Newton-Leibniz

L'integrale definito si calcola valutando una qualunque primitiva agli estremi e facendone la differenza.

Esempio svolto

Funzione integrale del seno e formula di Newton-Leibniz

Data F di x uguale all'integrale di sin t da 0 a x, determina F, calcola F primo e verifica che vale sin x; poi calcola l'integrale definito di sin x da 0 a pi greco.

Primitiva del seno
Una primitiva di sin t è meno cos t; valutata tra 0 e x dà la funzione integrale.
Derivata di F
Derivando F si ritrova l'integranda, come previsto dal teorema fondamentale.
Integrale su [0, pi]
Si applica Newton-Leibniz con la primitiva meno cos x.
Risultato numerico
La differenza vale 2: è l'area di una semionda di seno.

Risultato: F(x) = 1 − cos x, con F'(x) = sin x; l'integrale di sin x da 0 a pi greco vale 2.

Errori frequenti

Confondere la funzione integrale (che dipende dall'estremo superiore variabile x) con il numero che si ottiene da un integrale definito su estremi fissi.
Nell'applicare Newton-Leibniz, invertire l'ordine della sottrazione (valore in a meno valore in b) ottenendo il risultato con segno sbagliato.

Ripasso attivo

Considera la funzione integrale F di x definita come l'integrale di sin t da 0 a x. Determina la sua espressione esplicita, calcola la sua derivata e verifica che coincide con l'integranda; infine calcola l'integrale definito di sin x da 0 a pi greco.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Applicazioni: aree, volumi e integrali impropri#

VertiefungOSA-matematica-relazioni-e-funzioni — Calcolo di aree, volumi dei solidi di rotazione (metodo dei dischi); integrali impropri (cenni)

Area tra le curve y = x e y = x² su [0, 1]

Le applicazioni del calcolo integrale traducono il significato di «grandezza cumulata» in problemi concreti. Il primo è l'area compresa tra due curve: se sull'intervallo da a a b la curva di equazione y uguale a f(x) sta sopra quella di equazione y uguale a g(x), l'area racchiusa è l'integrale della differenza f meno g tra a e b. È fondamentale individuare prima gli estremi di integrazione (gli ascisse dei punti di intersezione) e stabilire quale funzione sia la maggiore nell'intervallo considerato (Fig. 5).

Il secondo grande problema è il volume dei solidi di rotazione. Facendo ruotare attorno all'asse x la regione sottesa al grafico di una funzione f non negativa tra a e b, si genera un solido che può essere immaginato come un'impilatura di sottili dischi; ciascun disco ha raggio f(x) e spessore dx, quindi volume pi greco per f(x) al quadrato per dx. Sommando tutti i dischi — cioè integrando — si ottiene il volume come pi greco per l'integrale del quadrato di f tra a e b. È il metodo dei dischi, che permette di ritrovare per via analitica i volumi noti del cono, della sfera e del paraboloide.

Il terzo tema, presentato come cenno, è quello degli integrali impropri: si estende la nozione di integrale ai casi in cui l'intervallo di integrazione è illimitato (per esempio da 1 a più infinito) oppure la funzione è illimitata in un estremo. In questi casi l'integrale si definisce come limite di un integrale «ordinario» quando l'estremo tende all'infinito o al punto di singolarità: se il limite esiste finito l'integrale improprio converge, altrimenti diverge.

L'esempio archetipico è l'integrale di uno su x al quadrato da 1 a più infinito: l'area sotto la curva, pur estendendosi all'infinito, è finita e vale 1; al contrario l'integrale di uno su x sullo stesso intervallo diverge. Il confronto tra questi due casi mostra che la convergenza dipende dalla rapidità con cui la funzione tende a zero, un'idea che apre la strada allo studio delle serie e dei modelli in cui una grandezza «totale» resta finita pur su un dominio illimitato.

A = \int_{a}^{b} \big[f(x) - g(x)\big]\,dx \quad (f \ge g \text{ su } [a,b])

Area tra due curve

Si integra la differenza tra la funzione superiore e quella inferiore, tra le ascisse di intersezione.

V = \pi \int_{a}^{b} \big[f(x)\big]^{2}\,dx

Volume del solido di rotazione (dischi)

Rotazione attorno all'asse x: ogni disco ha raggio f(x) e volume pi greco f(x)^2 dx.

\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{t \to +\infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{t} = 1

Integrale improprio convergente

Area finita su un dominio illimitato: il limite esiste finito, quindi l'integrale converge.

Esempio svolto

Area tra due curve e volume di un solido di rotazione

Calcola l'area tra y uguale a x e y uguale a x al quadrato, poi il volume del solido generato dalla rotazione attorno all'asse x della regione sottesa a y uguale alla radice di x su [0, 4].

Intersezioni
Si risolve x uguale a x al quadrato: le soluzioni sono 0 e 1, estremi di integrazione.
Funzione superiore
Su (0, 1) la retta y uguale a x sta sopra la parabola y uguale a x al quadrato.
Calcolo dell'area
Si integra la differenza tra retta e parabola.
Volume con il metodo dei dischi
Il raggio è radice di x, quindi il quadrato del raggio è x; si integra tra 0 e 4.

Risultato: L'area tra le due curve è un sesto; il volume del solido di rotazione è 8 pi greco (circa 25,13).

Errori frequenti

Calcolare l'area tra due curve come differenza degli integrali senza prima stabilire quale funzione sia la maggiore, ottenendo un'area negativa o sbagliata.
Nel metodo dei dischi, dimenticare di elevare al quadrato il raggio f(x) oppure omettere il fattore pi greco, perdendo il significato di volume.

Ripasso attivo

Determina l'area della regione di piano compresa tra le curve y uguale a x e y uguale a x al quadrato; poi calcola il volume del solido ottenuto dalla rotazione attorno all'asse x della regione sottesa a y uguale alla radice di x sull'intervallo da 0 a 4.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Calcolo integrale

Punti chiave

Integrazione per parti di un prodotto polinomio-esponenziale

Punti chiave

Somma di Riemann e valore esatto

Punti chiave

Funzione integrale del seno e formula di Newton-Leibniz

Punti chiave

Area tra due curve e volume di un solido di rotazione

Fonti

Calcolo integrale

Punti chiave

Integrazione per parti di un prodotto polinomio-esponenziale

Punti chiave

Somma di Riemann e valore esatto

Punti chiave

Funzione integrale del seno e formula di Newton-Leibniz

Punti chiave

Area tra due curve e volume di un solido di rotazione

Fonti