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Equazioni differenziali

Un'equazione differenziale lega una funzione incognita alle sue derivate ed esprime in linguaggio matematico le leggi che governano i fenomeni di variazione: la crescita di una popolazione, il raffreddamento di un corpo, il moto di un punto. In questo argomento si impara che cosa significhi «risolvere» un'equazione differenziale, si studiano i due tipi fondamentali del primo ordine (a variabili separabili e lineari) e si affronta il problema di Cauchy, che individua un'unica curva integrale assegnando una condizione iniziale. Il calcolo integrale, già acquisito, diventa qui lo strumento operativo per ricostruire la funzione a partire dalla legge sulla sua derivata.

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Profilo d’esame

Costruire e interpretare modelli matematici di fenomeni reali mediante equazioni differenzialiRisolvere semplici equazioni differenziali del primo ordine, a variabili separabili e lineariCollegare il calcolo integrale alla risoluzione di equazioni differenziali e al problema di Cauchy

Operatori:risolvideterminaverificadimostrainterpretamodellizzaclassificacalcola

livello base

Per tutti gli indirizzi liceali sono richiesti il concetto di equazione differenziale e di soluzione, la risoluzione di equazioni del primo ordine a variabili separabili e lineari e l'impostazione del problema di Cauchy.

livello avanzato

Nel Liceo Scientifico (e nell'opzione Scienze Applicate) l'argomento è trattato con maggiore ampiezza, in stretto collegamento con la fisica (legge di Newton del raffreddamento, decadimento radioattivo, moti con resistenza), come tipico nodo interdisciplinare della seconda prova.

Profondità

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Equazioni differenziali

Equazioni differenziali: concetti di base#

BasisOSA-matematica-relazioni-e-funzioni — Concetto di equazione differenziale e di soluzione

Un'equazione differenziale è un'uguaglianza che lega una funzione incognita y(x) ad alcune delle sue derivate; l'incognita non è quindi un numero, come nelle equazioni algebriche, ma una funzione. Si chiama ordine dell'equazione il più alto ordine di derivazione che vi compare: y' = 2x è del primo ordine, y'' + y = 0 è del secondo. In questo argomento ci occupiamo essenzialmente di equazioni del primo ordine, della forma y' = f(x, y).

Risolvere (o «integrare») un'equazione differenziale significa determinare tutte le funzioni che, sostituite all'incognita, la rendono un'identità. L'esempio più semplice è y' = f(x): per il teorema fondamentale del calcolo integrale le sue soluzioni sono tutte e sole le primitive di f, cioè y = ∫ f(x) dx, definite a meno di una costante additiva. È proprio questa costante a rendere infinite le soluzioni.

Si distinguono allora l'integrale generale e l'integrale particolare. L'integrale generale è la famiglia di tutte le soluzioni, e dipende — per un'equazione del primo ordine — da una costante arbitraria C; geometricamente è una famiglia di curve, dette curve integrali, che riempie il piano. Un integrale particolare è una singola soluzione, ottenuta fissando un valore di C. Verificare se una funzione assegnata sia soluzione è un esercizio diretto: la si deriva e la si sostituisce nell'equazione.

Un'efficace lettura qualitativa è offerta dal campo delle direzioni. Poiché y' = f(x, y) assegna in ogni punto (x, y) del piano la pendenza che la curva integrale deve avere in quel punto, si possono tracciare brevi segmentini con quella pendenza: l'insieme di tutti questi «trattini» disegna il flusso lungo cui scorrono le curve integrali, permettendo di intuirne l'andamento ancora prima di risolvere l'equazione (Fig. 1).

Campo delle direzioni e curve integrali

y' = f(x,\,y)

Forma normale

Forma normale di un'equazione differenziale del primo ordine: la derivata prima è espressa in funzione di x e di y.

y' = f(x) \;\Longrightarrow\; y = \int f(x)\,dx + C

Caso elementare

Quando la derivata dipende solo da x, l'integrale generale è l'insieme delle primitive di f; la costante C genera la famiglia di curve integrali.

Esempio svolto

Verifica di una soluzione e ricerca dell'integrale particolare

Verifica che y(x) = C·e^(2x) sia soluzione di y' = 2y per ogni C reale, quindi determina la soluzione che soddisfa y(0) = 3.

Calcolo della derivata
Si deriva la funzione candidata rispetto a x.
Sostituzione nell'equazione
Si confronta y' con 2y: poiché 2y = 2·C·e^(2x) = 2C·e^(2x), l'uguaglianza y' = 2y è verificata identicamente, per ogni valore di C.
Imposizione della condizione iniziale
Si impone y(0) = 3, ricordando che e^0 = 1.

Risultato: Ogni funzione y = C·e^(2x) è soluzione; l'integrale particolare richiesto è y(x) = 3·e^(2x).

Errori frequenti

Dimenticare la costante additiva C quando si integra y' = f(x): si perde così l'integrale generale e si scrive una sola soluzione al posto dell'intera famiglia.
Confondere l'incognita: in un'equazione differenziale si cerca una funzione, non un numero; non ha senso «trovare il valore di x».

Ripasso attivo

Verifica che la funzione y(x) = C·e^(2x) sia soluzione dell'equazione differenziale y' = 2y per ogni valore della costante C, e determina poi l'integrale particolare che soddisfa la condizione y(0) = 3.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Equazioni a variabili separabili#

StandardOSA-matematica-relazioni-e-funzioni — Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili

Un'equazione differenziale del primo ordine si dice a variabili separabili quando la derivata si può scrivere come prodotto di una funzione della sola x per una funzione della sola y, cioè y' = g(x)·h(y). È il tipo più semplice da integrare ed è anche quello che modellizza i fenomeni elementari di crescita e decadimento, per cui la velocità di variazione è proporzionale alla quantità presente.

Il metodo risolutivo si fonda sulla notazione di Leibniz. Scritto y' = dy/dx, si «separano le variabili» portando tutto ciò che dipende da y a sinistra e tutto ciò che dipende da x a destra: dy/h(y) = g(x) dx. Si integrano poi separatamente i due membri, aggiungendo un'unica costante; il risultato è in generale una relazione implicita tra x e y, che si esplicita quando possibile.

Una cautela essenziale riguarda gli zeri di h(y). Dividere per h(y) è lecito solo dove h(y) ≠ 0; i valori che annullano h forniscono inoltre le soluzioni costanti (di equilibrio) dell'equazione, che vanno cercate a parte perché il procedimento di separazione le perde. Per y' = ky, ad esempio, oltre alla famiglia y = C·e^(kx) c'è la soluzione costante y = 0, che corrisponde a C = 0.

Il prototipo è l'equazione della crescita/decadimento esponenziale y' = ky. Separando e integrando si ottiene ln|y| = kx + c e quindi y = C·e^(kx). Se k > 0 si descrive una crescita illimitata; se k < 0 un decadimento verso zero. Questo unico modello racchiude la legge di Malthus per le popolazioni, l'interesse composto in tempo continuo e il decadimento radioattivo, a seconda del segno e del significato di k (Fig. 2).

Famiglia di curve integrali di y' = ky (k>0 crescita, k<0 decadimento)

\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y) \;\Longrightarrow\; \int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx

Separazione

Si separano le variabili e si integrano i due membri; il risultato è in generale una relazione implicita tra x e y, con un'unica costante.

y' = k\,y \;\Longrightarrow\; y(x) = C\,e^{k x}

Crescita / decadimento

Modello esponenziale: con k>0 crescita illimitata, con k<0 decadimento verso zero; la costante C coincide con il valore iniziale y(0).

Esempio svolto

Equazione a variabili separabili con problema di Cauchy

Risolvi y' = x·y con y(0) = 1 e scrivi l'integrale particolare in forma esplicita.

Separazione delle variabili
Poiché y(0) = 1 > 0, lavoriamo dove y > 0 (osservando che y = 0 è soluzione costante, qui esclusa dalla condizione iniziale). Si scrive dy/y = x dx.
Integrazione dei due membri
Si integra a sinistra in y e a destra in x, con un'unica costante c.
Esplicitazione
Si applica l'esponenziale e si pone C = e^c > 0.
Condizione iniziale
Si impone y(0) = 1: poiché e^0 = 1, risulta C = 1.

Risultato: L'integrale particolare è y(x) = e^{x²/2}.

Errori frequenti

Trattare dy/dx come una vera frazione senza giustificazione: la separazione è un formalismo lecito, ma il risultato va sempre confermato per derivazione.
Sopprimere il valore assoluto in ln|y| senza discutere il segno di y, oppure dividere per h(y) senza verificare che non si annulli — perdendo le soluzioni di equilibrio.

Ripasso attivo

Risolvi l'equazione differenziale a variabili separabili y' = x·y con la condizione iniziale y(0) = 1, e scrivi l'integrale particolare in forma esplicita.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Equazioni lineari del primo ordine e problema di Cauchy#

VertiefungOSA-matematica-relazioni-e-funzioni — Equazioni differenziali lineari del primo ordine; problema di Cauchy e condizioni iniziali

Un'equazione differenziale lineare del primo ordine ha la forma y' + a(x)·y = b(x), in cui l'incognita y e la sua derivata compaiono al primo grado e senza prodotti tra loro. Se b(x) = 0 l'equazione si dice omogenea (ed è anche a variabili separabili); se b(x) ≠ 0 si dice completa. È un modello più generale del precedente perché ammette un termine «forzante» b(x) esterno.

Il metodo standard è quello del fattore integrante. Si moltiplica tutta l'equazione per μ(x) = e^(∫a(x)dx): il primo membro diventa allora la derivata del prodotto μ(x)·y, per la regola di derivazione del prodotto. Integrando si ottiene la formula risolutiva che esprime l'integrale generale come combinazione di un integrale particolare e di tutte le soluzioni dell'omogenea associata.

Il problema di Cauchy consiste nel cercare la soluzione di un'equazione differenziale che soddisfi una data condizione iniziale, ad esempio y(x₀) = y₀. Geometricamente significa selezionare, tra le infinite curve integrali della famiglia, l'unica che passa per il punto (x₀, y₀); algebricamente significa imporre la condizione per determinare il valore della costante C (Fig. 3).

Problema di Cauchy: una sola curva integrale per il punto iniziale

Che tale curva esista e sia unica è garantito, sotto ipotesi di regolarità della funzione f(x, y) = b(x) − a(x)y, dal teorema di esistenza e unicità (teorema di Cauchy). Per le equazioni lineari del primo ordine, in particolare, se a(x) e b(x) sono continue in un intervallo la soluzione del problema di Cauchy esiste, è unica ed è definita su tutto l'intervallo: una proprietà che dà solidità ai modelli costruiti con queste equazioni.

y' + a(x)\,y = b(x)

Forma lineare

Equazione differenziale lineare del primo ordine: omogenea se b(x)=0, completa se b(x)≠0.

\mu(x) = e^{\int a(x)\,dx}, \qquad y = \frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x)\,b(x)\,dx + C\right)

Fattore integrante

Moltiplicando per μ(x) il primo membro diventa la derivata di μ(x)·y; integrando si ottiene l'integrale generale.

Esempio svolto

Equazione lineare completa con il fattore integrante

Risolvi il problema di Cauchy y' + y = x con y(0) = 0.

Identificazione e fattore integrante
Qui a(x) = 1 e b(x) = x. Il fattore integrante è μ(x) = e^(∫1 dx) = e^x.
Ricomposizione del primo membro
Moltiplicando l'equazione per e^x, il primo membro diventa la derivata del prodotto e^x·y.
Integrazione (per parti a destra)
Si integra: ∫ x·e^x dx = (x − 1)e^x + C, per parti. Quindi e^x·y = (x − 1)e^x + C.
Integrale generale e condizione iniziale
Dividendo per e^x: y = x − 1 + C·e^(−x). Imponendo y(0) = 0: 0 = −1 + C, da cui C = 1.

Risultato: L'integrale particolare è y(x) = x − 1 + e^(−x).

Errori frequenti

Sbagliare il fattore integrante dimenticando l'esponenziale o l'integrale di a(x): senza μ(x) corretto il primo membro non si ricompone come derivata di un prodotto.
Imporre la condizione iniziale sull'integrale particolare già semplificato anziché sull'integrale generale completo di costante C, ottenendo un valore errato (o nessun valore) per C.

Ripasso attivo

Risolvi il problema di Cauchy y' + y = x con y(0) = 0, usando il fattore integrante, e scrivi l'integrale particolare.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Applicazioni e modelli#

StandardOSA-matematica-relazioni-e-funzioni — Modelli descritti da equazioni differenziali (crescita, decadimento, fenomeni fisici)

La forza delle equazioni differenziali sta nel tradurre in formula una legge di variazione espressa a parole. La frase «la velocità di variazione di una grandezza è proporzionale alla grandezza stessa» diventa y' = ky; la frase «la velocità di raffreddamento è proporzionale alla differenza di temperatura con l'ambiente» diventa la legge di Newton del raffreddamento. Saper compiere questa traduzione è, in sede d'esame, tanto importante quanto saper integrare.

Il modello di crescita/decadimento esponenziale y' = ky descrive, con k > 0, la crescita di una popolazione in condizioni ideali (legge di Malthus) o un capitale a interesse composto continuo; con k < 0, il decadimento radioattivo o lo scarico di un condensatore. La soluzione y = y₀·e^(kt) parte dal valore iniziale y₀; nel decadimento si introduce il tempo di dimezzamento, il tempo dopo cui la quantità si riduce a metà.

La legge di Newton del raffreddamento, T' = −k(T − T_a), è un'equazione lineare (e separabile): un corpo a temperatura T immerso in un ambiente a temperatura costante T_a si raffredda tanto più rapidamente quanto maggiore è la differenza T − T_a. La sua soluzione è T(t) = T_a + (T₀ − T_a)·e^(−kt), che parte dalla temperatura iniziale T₀ e tende asintoticamente alla temperatura ambiente T_a (Fig. 4).

Raffreddamento di Newton: T(t) da 90 °C verso l'ambiente a 20 °C

In tutti questi casi il procedimento è uniforme e ricorre nelle prove d'esame: si scrive l'equazione differenziale a partire dalla legge fisica, si individuano le condizioni iniziali, si risolve (di solito per separazione o con il fattore integrante), si determinano le costanti dai dati e infine si interpreta il risultato (comportamento per t → +∞, valore a un dato istante, asintoti).

y' = k\,y \;\Longrightarrow\; y(t) = y_0\,e^{k t}

Crescita / decadimento

Modello esponenziale con valore iniziale y₀; k>0 crescita (Malthus, interesse composto), k<0 decadimento (radioattività).

T' = -k\,(T - T_a) \;\Longrightarrow\; T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,e^{-k t}

Raffreddamento di Newton

La temperatura parte da T₀ e tende asintoticamente alla temperatura ambiente T_a per t → +∞.

Esempio svolto

Legge di Newton del raffreddamento

Un corpo a 90 °C è posto in una stanza a 20 °C, con raffreddamento T' = −k(T − 20). Scrivi T(t) e descrivi il comportamento per t → +∞.

Separazione delle variabili
Posto u = T − 20 (con u ≠ 0), l'equazione diventa u' = −k·u, cioè du/u = −k dt.
Integrazione
Integrando i due membri si ottiene il logaritmo della differenza di temperatura.
Esplicitazione
Applicando l'esponenziale e ponendo A = e^c, risulta T − 20 = A·e^(−kt), cioè T = 20 + A·e^(−kt).
Condizione iniziale
Imponendo T(0) = 90: 90 = 20 + A, da cui A = 70.

Risultato: La legge oraria è T(t) = 20 + 70·e^(−kt); per t → +∞ il termine esponenziale tende a 0, quindi T(t) → 20 °C: la temperatura del corpo tende a quella dell'ambiente (asintoto orizzontale T = 20).

Errori frequenti

Confondere il segno del coefficiente k: nel raffreddamento e nel decadimento la costante davanti compare con il segno meno, e dimenticarlo porta a una crescita anziché a una diminuzione.
Dimenticare la temperatura ambiente T_a nel modello di Newton, scrivendo T' = −kT: così la temperatura tenderebbe erroneamente a zero invece che a T_a.

Ripasso attivo

Un corpo a 90 °C è posto in una stanza a 20 °C. Sapendo che il suo raffreddamento segue la legge di Newton T' = −k(T − 20), scrivi la legge oraria T(t) in funzione di T₀, T_a e k, e descrivi il comportamento della temperatura per t → +∞.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Equazioni differenziali

Punti chiave

Verifica di una soluzione e ricerca dell'integrale particolare

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Equazione a variabili separabili con problema di Cauchy

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Equazione lineare completa con il fattore integrante

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Legge di Newton del raffreddamento

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Legge di Newton del raffreddamento

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